Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»

Кафедра высшей математики

А. Л. Краснощеков

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

Направление подготовки:

09.03.02. «Информационные системы и технологии»

Профиль подготовки:

«Информационные технологии в образовании»

Направление подготовки:

44.03.05. «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)»

Профили подготовки:

«Физика и дополнительное образование (робототехника)» «Технология и дополнительное образование (декоративно-прикладное искусство)»

Пермь

ПГГПУ

2017

УДК 512.64+514.12 ББК В 143+В 151.54

К 78

Р е ц е н з е н т ы;

кандидат педагогических наук, доцент Пермского государственного гуманитарно-

педагогического университета А. Ю. Скорнякова;

кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики

Пермской государственной фармацевтической академии В. И. Данилова

К 78

Краснощеков, А. Л.

Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб.-метод.

пособие. Направление подготовки: 09.03.02 «Информационные системы и технологии», профиль подготовки «Информационные технологии в образовании»; направление подготовки: 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)», профили подготовки «Физика и дополнительное образование (робототехника)», «Технология и дополнительное образование (декоративно-прикладное искусство)» / А. Л. Краснощеков; Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т. – Пермь, 2017. – 41 с.

Содержит основные понятия, теоремы, формулы, методы линейной алгебры и аналитической

геометрии, алгоритмы решения типовых задач, варианты индивидуальных контрольных заданий. Учебный материал соответствует Государственному образовательному стандарту профессионального высшего образования.

Предназначается для студентов физического факультета направлений «Информационные

технологии в образовании» и «Педагогическое образование» бакалавриата ПГГПУ.

УДК 512.64+514.12

ББК В 143+В 151.54

Печатается по решению учебно-методического совета

Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета.

 Краснощеков А. Л., 2017

гуманитарно-педагогический университет», 2017

СОДЕРЖАНИЕ

1. Линейная алгебра .................................................................................................... 4

Основные понятия линейной алгебры ........................................................................ 4

Определители, свойства и вычисление ....................................................................... 6

Система линейных уравнений. Основные понятия ................................................... 8

Критерий Кронекера–Капелли ..................................................................................... 10

Методы решения систем линейных уравнений ......................................................... 10

2. Аналитическая геометрия ..................................................................................... 13

Различные уравнения прямой линии на плоскости ................................................... 13

Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола ..................... 17

Элементы векторной алгебры ...................................................................................... 21

Уравнение прямой линии в трехмерном пространстве ............................................. 24

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве .................................................... 25

Поверхности второго порядка в пространстве ........................................................... 26

3. Алгоритмы решения типовых задач ................................................................... 31

4. Вопросы для экзамена или зачета ....................................................................... 35

5. Варианты индивидуальных контрольных заданий ......................................... 36

Список литературы ..................................................................................................... 40

1. Линейная алгебра

Линейная алгебра – раздел алгебры, изучающий линейные

преобразования в конечномерных пространствах. Первоначальными объектами исследования линейной алгебры были системы линейных уравнений. Описание свойств и методов решений системы линейных уравнений потребовало введения и изучения многих понятий. К ним относятся понятия: матрица,

определитель матрицы, ранг матрицы, матрица линейного преобразования, вектор, векторное (линейное) пространство, базис линейного пространства

и другие.

Основные понятия линейной алгебры

Таблица чисел ai k вида















mnmm

aaa

...

................

...

22221

11211

которая состоит из т строк (1 ≤ i ≤ т) и п столбцов (1 ≤ k ≤ n), называется прямоугольной матрицей А размерностью т на п. Числа ai k (1 ≤ i ≤ т, 1 ≤ k ≤ n)

называются элементами матрицы, причем первый индекс i определяет номер строки, а второй индекс k определяет номер столбца матрицы. Заметим, что элементами матрицы А могут быть любые объекты, не обязательно числа. Но в дальнейшем изучении линейной алгебры рассматриваются только действительные числа. Количество элементов матрицы А равно произведению т



п. Если число строк т матрицы равно числу столбцов n, то такая матрица называется квадратной матрицей п-го порядка (при т = n = 2-квадратная матрица 2-го порядка, при т = n = 3 – квадратная матрица 3-го порядка и так далее). Если т = 1, 1 ≤ k ≤ n, то это матрица-строка, если n =1, 1 ≤ i ≤ т, то это матрица-столбец. Матрица из одного числа – само это число, если это число равно нулю, то это нуль – матрица. Главную диагональ матрицы образуют элементы с одинаковыми индексами a11, a22, a33, . . . Квадратная матрица любого порядка, у которой все элементы расположенные ниже главной

диагонали, равны нулю, называется треугольной. Если этим свойством обладает прямоугольная матрица какой-либо размерности, то она называется

ступенчатой. Две квадратные (прямоугольные) матрицы А и В называются равными, если они одного порядка (одной размерности) и их соответствующие

элементы равны между собой.

Над матрицами можно выполнять арифметические действия, такие как

сложение, вычитание, умножение, включая умножение на число. Суммой (разностью) двух матриц А и В одинаковой размерности или одного порядка называется матрица С такой же размерности или порядка, с элементами, равными сумме (разности) соответствующих элементов матриц. Две матрицы А и В можно перемножать, если они квадратные одного и того же порядка. Две прямоугольные матрицы А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, также можно перемножать. Элементы матрицы произведения получаются как суммы произведений элементов какой-либо строки матрицы А на соответствующие элементы какого-либо столбца матрицы

В. В связи с этим умножение матриц А и В, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности, то есть АВ # ВА. Если АВ = ВА, то такие

матрицы А и В называются перестановочными. Матрица, у которой элементы, расположенные на главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю, называется единичной. Обозначается единичная матрица буквой Е. Для квадратной матрицы А и единичной матрицы Е одного и того же порядка имеет место равенство ЕА = АЕ = А. Это означает, что матрицы А и Е обладают свойством перестановочности и их произведение равно матрице А. Матрица

называется транспонированной по отношению к матрице А. Она получена

из матрицы А заменой строк на её столбцы.

Над строками (столбцами) прямоугольной или квадратной матрицы А можно выполнять элементарные преобразования двух типов, переводящие ее в другую аналогичную матрицу В. Элементарное преобразование 1-го типа над строкой матрицы А состоит в получении новой строки как результата сложения какой-либо выбранной строки матрицы А с другой ее строкой,

предварительно умноженной на некоторое число. Замена выбранной строки матрицы А на строку, полученную после элементарного преобразования, вместе с неизменными остальными ее строками приводит к новой матрице В. Элементарное преобразование 1-го типа состоит в замене местами двух какихлибо строк матрицы А. Такое преобразование, выполненное в матрице А, вместе с неизменными остальными ее строками также приводит к новой матрице В.

Важной характеристикой матрицы А является ее ранг, который определяется как максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы А и обозначается rang (А) или r (A). С помощью элементарных преобразований первого и второго типов над строками матрицы можно получить эквивалентную ей треугольную или ступенчатую матрицу. Число ненулевых элементов главной диагонали такой матрицы составит ранг исходной матрицы. Этот метод нахождения ранга матрицы называется методом Гаусса. Наименьший ранг матрицы равен единице, а наибольший ранг может совпадать с числом строк (столбцов) матрицы.

Определители, свойства и вычисление

Каждой квадратной матрице А любого порядка можно сопоставить вычисленное по определенным правилам число, которое называется определителем этой матрицы А и обозначается | А | или det A. Так для

квадратной матрицы А =



 





 



2221

1211

соответствует определитель второго

порядка | А |=

2221

1211

, который равен | А | = a11 a22 – a21 a12. Квадратной

матрице третьего порядка А =













333231

232221

131211

aaa

соответствует определитель

третьего порядка | А | =

333231

232221

131211

aaa

, который равен

| А | = a11 a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23a32 - a12a21 a33.

Основные свойства определителей:

1. Определитель матрицы, которая содержит нулевую строку, равен нулю.

2. Определитель матрицы, которая имеет две одинаковые строки, равен нулю.

3. Определитель матрицы не меняет своего значения при

транспонировании матрицы.

4. Определитель матрицы не меняет своего значения, если в ней

выполнено элементарное преобразование 1-го типа

5. Определитель матрицы меняет свое значение на противоположное,

если в ней выполнено элементарное преобразование 2-го типа.

6. Определитель матрицы изменит свое значение во столько раз,

во сколько раз изменены все элементы какой-либо строки матрицы.

7. Определитель произведения двух матриц равен произведению

определителей матриц.

Свойства определителей сохраняются при замене слова строка на слово столбец. Они часто используются при вычислении определителей больших порядков (при п > 3).

Вычисление определителей любого порядка можно выполнить на основании теоремы о разложении определителя по элементам какой-нибудь его строки или столбца.

Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Так разложение определителя п-го порядка по его первой строке имеет вид

| А | = a11 A11 + a12 A

+ . . . + a1n A1n ,

где A1k – алгебраические дополнения элементов а1k (1 ≤ k ≤ n) первой строки матрицы A. Алгебраическим дополнением Aik , элементов аi k (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) определителя | А | называется его минор Мi к, взятый со знаком (-1)

i+k

, то есть

Aik =(-1)

i+k

Мik. Минором какого-либо элемента определителя | А | называется

определитель, полученный из данного определителя | А | вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент.

Заметим, что данная теорема допускает ее многократное применение, при

этом порядок миноров понижается на единицу. Такой способ вычисления определителя | А | эффективен, если какая-либо его строка или столбец имеет некоторое число нулевых элементов. Другой способ вычисления определителя матрицы основан на методе Гаусса. Определитель матрицы любого порядка равен произведению элементов главной диагонали треугольной матрицы, к которой приведена исходная матрица.

В связи с введенным понятием определителя можно дать иное

определение ранга матрицы, а также ввести понятия невырожденной, вырожденной и обратной матриц. Ранг матрицы А равен наибольшему порядку определителя, отличного от нуля, среди всех определителей, составленных из матрицы, или, иначе, ранг матрицы равен наибольшему порядку минора, не равного нулю. Это определение ранга матрицы эквивалентно приведенному ранее. Матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы А не равен нулю, |А | ≠ 0, в противном случае такая матрица называется вырожденной. Ранг вырожденной матрицы меньше числа строк матрицы. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если А А-1 = А-1 А = Е. Условием существования обратной матрицы А-1 является невырожденность матрицы А. Для нахождения обратной матрицы А-1 следует вычислить ее определитель | А |, а также все алгебраические дополнения Aik элементов аik (1 ≤ i, k ≤ n) матрицы А. Тогда обратная матрица А-1 записывается в виде

-1













nnnn

ÀÀÀ

...

...........

...

22212

12111

Система линейных уравнений. Основные понятия

Систему из т линейных уравнений с n переменными (неизвестными), записывают в виде



 



 





....

.........................

,...

12211

22222121

11212111

mnnmmm

bxaxaxa

Систему линейных уравнений можно также записать в матричной форме

А Х = В,

где















mnmm

aaa

...

................

...

22221

11211

– основная матрица системы линейных уравнений,

составленная из коэффициентов при переменных,

X =













...

– матрица - столбец переменных, В =













...

- матрица-столбец

свободных членов.

Система линейных уравнений, в которой все свободные члены b1, b2, . . . , bm равны нулю, называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то такая система линейных уравнений называется неоднородной.

Решением системы линейных уравнений называется любой упорядоченный набор чисел α1, α2 , . . . , αn таких, что при подстановке их вместо переменных в каждое уравнение системы все уравнения обращаются в верные числовые равенства. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение. Отметим, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое или тривиальное решение, однако однородная система может иметь и ненулевое решение, а потому она всегда совместна. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система линейных уравнений называется неопределенной, если она имеет

бесчисленное множество решений.

Расширенной матрицей

называется матрица, которая получена из основной матрицы А добавлением к ней столбца свободных членов системы линейных уравнений.

Критерий Кронекера–Капелли

Основная теорема совместности системы линейных уравнений

выражается критерием Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Заметим, что из критерия Кронекера – Капелли следует, что если ранг

основной матрицы А не равен рангу расширенной матрицы

, причем

возможно лишь неравенство r ( А ) < r (A ), то система линейных уравнений не совместна.

Из этой теоремы также следует, что если ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны и совпадают с числом переменных n, то есть r ( А ) = r (A ) = n, то система линейных уравнений имеет единственное решение; если ранги основной матрицы и расширенной матрицы совпадают, но меньше числа переменных, то есть r ( А ) = r (A ) < п, то система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений. В последнем случае можно записать общее решение системы линейных уравнений, в котором зависимые или базисные переменные выражаются через свободные или небазисные переменные, причем число зависимых переменных равно рангу основной и расширенной матриц.

Методы решения систем линейных уравнений

К наиболее распространенным методам решения систем линейных уравнений относятся:

а) метод алгебраического сложения – основан на элементарных преобразованиях системы линейных уравнений, которые приводят ее к линейному уравнению относительно одной переменной;

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]