Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие

31

3. Алгоритмы решения типовых задач

ЗАДАЧА 3.1. Окружность x2 + y2 = 40 проходит через фокусы

гиперболы, лежащие на оси ОX. Напишите уравнение этой гиперболы, если одна из ее асимптот образует с положительным направлением оси ОX угол, равный arctg 3.

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнения асимптот гиперболы

y

b a

x 

.

Из условия задачи получим tg (arctg 3) =

b a

, отсюда b = 3a или b2 = 9 a2. Так

как окружность x2 + y2 = 40 проходит через фокусы гиперболы F1 ( - c; 0) и F2 ( c; 0), лежащие на оси ОX, то R = c, и R2 = с2 = 40. Подставим найденные значения в соотношение c2 - a2 = b2, получим 40 - a2 = 9a2, откуда 10a2 = 40 или a2 = 4. Тогда b2 = 36. Подставим найденные значения в каноническое уравнение

гиперболы

1

2



b

y

a

x

, получим искомое уравнение гиперболы

1

364

22



yx

. Задача решена.

ЗАДАЧА 3.2. Найдите точку пересечения прямой линии

2

3

1

2

1

1 







 zyx

с плоскостью x + 2 y + z - 2 = 0.

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение прямой линии в параметрическом виде

x = t – 1, y = - t + 2, z = 2 t – 3 и подставим в уравнение плоскости, получим уравнение t – 1 + 2 (- t + 2) + 2 t – 3 – 2 = 0, или t – 2 = 0. Откуда t = 2. Это означает, что прямая линия и плоскость имеют единственную точку пересечения. Получим x = 2 – 1 = 1, y = - 2 + 2 = 0, z = 4 – 3 = 1. Искомая точка

М ( 1; 0; 1). Задача решена.

ЗАДАЧА 3.3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера

 

 







12

1335

122

zx

zyx

32

РЕШЕНИЕ. Вычислим определитель  основной матрицы А системы

линейных уравнений



=

201

335

212

= 2∙(-3)∙2 + 2∙5∙0 + 1∙(-1)∙3 - 2∙(-3)∙1 - 5∙(-1)∙2 -2∙0∙3 = 1.

Так как определитель = 1 ≠ 0, то система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение. Вычислим определители

zyx

 ,,

.



x

201

331

211



=1∙(-3)∙2 + 2∙1∙0 + (-1)∙(-1)∙3 - 2∙(-3)∙(-1) - 1∙0∙3 - 1∙(-1)∙2=-7,



y

211

315

212



= 2∙1∙2 + 2∙(-1)∙5 + 1∙1∙3 - 2∙1∙1 - 2∙(-1)∙3 - 1∙5∙2 = -9,



z

101

135

112



= 2∙(-3)∙(-1) + 1∙5∙0 + 1∙(-1)∙1 - 1∙(-3)∙1 - 2∙0∙1 - 5∙(-1)∙(-1) = 3.

По правилу Крамера находим единственное решение системы линейных уравнений

7

1

7

x

,

9

1

9

y

,

3

1

3

z

.

Задача решена.

ЗАДАЧА 3.4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А,

В, С, D отделов 1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для отделов

по этим сотрудникам представлены в таблице данных. Составьте штатное

расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд

заработной платы отделов. Систему линейных уравнений решите методом

Гаусса.

33

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

2 1 3 1

4 2 1 1

1 1 3 1

1 2 1 1

14 12 10

7

РЕШЕНИЕ. Обозначим число сотрудников категории А, В, С, D отделов

1, 2, 3, 4 соответственно через переменные x1, x2, x3, x4. Тогда по фонду заработной платы каждого из отделов составим линейное уравнение, которые вместе образуют систему линейных уравнений. Имеем



 



 





.7

1023

1222

1442

4321

xxxx

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса. Воспользуемся матричной формой записи системы линейных уравнений и выполним необходимые элементарные преобразования над строками расширенной

матрицы À.

.4)1(.3

9

1

5

7

3000

0100

1010

1111

10

1

5

7

3100

0100

1010

1111

.4)2(.1

.4)2(.2.3)3(.1

.32.2.2)1(.1.4.1

0

11

5

7

1120

2120

1010

1111

14

10

12

7

1142

1213

2121

1111

7

10

12

14

1111

1213

2121

1142

стрстр

стрстрстрстр

стрстрстрстрстрстр

А































































































Число ненулевых элементов основной и расширенной матриц последней матрицы равно 4. Это означает, что r ( А ) = r (A ) = n = 4. Тогда в силу

34

критерия Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение. По последней матрице восстановим систему линейных уравнений



 



 











93

1

5

7

4

3

42

4321

x

xx

xxxx

.

Отсюда x4 = 3, x3 = 1, x2 = 2, x1 = 1. Полученное решение можно интерпретировать следующим образом. Число сотрудников категории А, В, С, D штатного расписания отделов 1, 2, 3, 4 соответственно составляют 1, 2, 1 и 3 сотрудника. Задача решена.

35

4. Вопросы для зачета или экзамена

1. Матрицы. Основные понятия. Действия над ними.

2. Элементарные преобразования над матрицами. Ранг матрицы.

3. Определители. Основные свойства.

4. Вычисление определителей с помощью алгебраических дополнений.

5. Обратная матрица, ее нахождение.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

7. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–

Капелли.

8. Методы решения систем линейных уравнений: алгебраического

сложения, подстановки, матричный метод.

9. Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, Крамера.

10. Уравнение прямой линии на плоскости: с угловым коэффициентом,

общее, в отрезках.

11. Различные уравнения прямой линии на плоскости.

12. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой линии.

13. Окружность, парабола.

14. Эллипс. Гипербола.

15. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над

векторами.

16. Разложение вектора по ортам.

17. Скалярное произведение векторов.

18. Прямая линия в пространстве.

19. Уравнения плоскости в пространстве.

20. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

в пространстве.

36

5. Варианты индивидуальных контрольных заданий

Вариант 1

1. Противоположные вершины квадрата лежат в точках А (-2; 5) и С (2; 8).

Найдите длину его диагоналей и уравнение окружности, описанной около квадрата.

2. Найдите точку пересечения плоскости 2 x + 3 y + z – 3 = 0 и прямой

линии, заданной параметрическими уравнениями

 

 







64

,23

,32

tz

ty

tx

.

3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 







722

72

8323

zyx

4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А, В, С, D отделов 1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для этих сотрудников представлены в таблице данных. Составьте штатное расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд заработной платы. Систему линейных уравнений решите методом Гаусса.

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

3 4 5 2

12

3 4 1

7 5 3 0

11

2 3 3

86 46 46 16

Вариант 2

1. Даны уравнения сторон треугольника x + 2 y - 2 = 0, 2 x + y - 13 = 0 и x - 2 y + 6 = 0. Покажите, что треугольник прямоугольный и найти уравнение окружности, описанной около него.

2. Найдите тупой угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями

1

3

03

2





 zyx

и

1

3

1

2

1 







 zyx

.

3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 









26893

1667

32

zyx

37

4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А, В, С, D отделов 1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для этих сотрудников представлены в таблице данных. Составьте штатное расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд заработной платы. Систему линейных уравнений решите методом Гаусса.

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

5 7 5 2

4 0 8 6

11

5 4

10

2 4

13

7

133

89 137 133

Вариант 3

1. Две стороны квадрата определяются уравнениями x + 3 y + 10 = 0, 3 x - y - 20 = 0, а его центр лежит в точке М ( 3; -1). Найдите уравнения диагоналей квадрата и уравнение окружности, описанной около него.

2. Найдите точку пересечения прямой линии

2

3

1

2

2 









 zyx

и плоскости x + 2 y – 2 z + 6 = 0.

3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 







36762

6232

22349

zyx

4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А, В, С, D отделов 1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для этих сотрудников представлены в таблице данных. Составьте штатное расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд заработной платы. Систему линейных уравнений решите методом Гаусса.

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

0 7 5 2

4 3 2 6

11

5 4 3

2 4

13

7

127 127 143 128

38

Вариант 4

1. В эллипс вписан прямоугольник. Одна вершина прямоугольника

А ( 5; 7,5 ) лежит на эллипсе, а две противоположные стороны проходят через фокусы F 1 (-5; 0) и F2 (5; 0) эллипса. Найдите уравнение эллипса.

2. При каких значениях А и В плоскость А x + В y + 3 z - 5 = 0

перпендикулярна к прямой линии

 

 









22

,53

,32

tz

ty

tx

.

3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 









30348

163

421062

zyx

4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А, В, С, D отделов 1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для этих сотрудников представлены в таблице данных. Составьте штатное расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд заработной платы. Систему линейных уравнений решите методом Гаусса.

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

3 3 5 2

4 5 2 6

1 5 4 3

2 4 8 7

61 89 97

106

Вариант 5

1. Две вершины эллипса

144369

22

 yx

лежат в фокусах гиперболы,

вершины которой находятся в фокусах данного эллипса. Составьте уравнение гиперболы.

2. Найдите острый угол между прямыми линиями

2

5

1

2 









 zyx

,

2

5

1

3

1

2 







 zyx

.

3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 







2182

3065

6323

zyx

39

4. Заработная плата каждого из сотрудников категории А, В, С, D отделов

1, 2, 3, 4 управления и фонд заработной платы для этих сотрудников представлены в таблице данных. Составьте штатное расписание сотрудников отделов, при котором будет использован весь фонд заработной платы. Систему линейных уравнений решите методом Гаусса.

Отдел

Зарплата сотрудников

Фонд

А В С

D

1 2 3 4

3 4 5 2

4 5 2 6

1 5 4 3

5 7 9 5

67 134 125

96

40

Список литературы

Основной

1. Баврин, И.И. Курс высшей математики / И.И. Баврин. – М.:

Просвещение, 2010. – 400 с.

2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. /

Д.В. Беклемишев. – М., 2000. – 248 с.

3. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник /

В.А. Ильин. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2012. – 400 с.

4. Фролов, С.В. Курс высшей математики / С.В. Фролов, Р.Я. Шостак. –

М.: Высшая математика, 1973. – Т. 1. 480 с.

Дополнительный

5. Краснощеков, А.Л. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

[Текст]: учеб.-метод. пособие / А.Л. Краснощеков. – Пермь, 2003. – 56 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в задачах и упражнениях. – Т. 1.

/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. – М.: Высшая школа, 1986. – 356 с.

7. Кузьмичёв, А.И. Линейная алгебра – 1 [Электронный ресурс]: учебное

пособие для самостоятельной работы / А. И. Кузьмичёв; [науч. ред. М.П. Тропин]; Новосиб. гос. пед. ун-т. – Новосибирск: НГПУ, 2012. – 121 с. – (Учебно-дидактические комплексы кафедры алгебры). – Библиогр.: с. 119. –

ISBN 978-5-85921-894. – URL: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/438516/.