Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
б) метод подстановки – состоит в том, что, выбрав одну переменную,
остальные переменные выражают через нее в уравнениях системы, получая тем
самым одно линейное уравнение с этой переменной.
В этих методах совместность или несовместность системы линейных
уравнений связана с исследованием решения простейшего линейного
уравнения.
в) метод или правило Крамера – использует определители матриц,
составленных из коэффициентов при переменных и свободных членов.
Если определитель
0 À
, то система линейных уравнений
определенная и ее решение находится по формулам
i
x
i
x
, i = 1, 2, . . . , n,
где
i
x
– определители матриц, полученных из основной матрицы А заменой
i-го столбца на столбец свободных членов;
г) матричный метод – использует матричную запись системы линейных
уравнений АХ = В и обратную матрицу А-1 и основывается на теореме.
Если определитель | А | ≠ 0, то система линейных уравнений
определенная и ее решение определится из матричного равенства Х = А-1 В.
Приведенные выше методы не обладают универсальностью и не всегда могут
быть использованы для решения любых систем линейных уравнений, в отличие
от двух следующих методов;
д) метод последовательного исключения переменных, или метод Гаусса,
– состоит из прямого и обратного ходов. Прямым ходом метода Гаусса
с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типов с расширенной
матрицей A приводят ее к ступенчатому или треугольному виду. По виду
полученной матрицы определяется ранг основной и расширенной матриц.
Далее с помощью критерия Кронекера–Капелли устанавливается совместность
или несовместность данной системы линейных уравнений. Если окажется, что
система линейных уравнений несовместна, то процесс решения завершен. Если
12
будет установлено, что система линейных уравнений совместна, то обратным
ходом метода Гаусса находится единственное или общее решение этой
системы;
е) метод полного исключения переменных, или метод Жордана–Гаусса, –
использует преобразования системы линейных уравнений, отличные
от элементарных преобразований первого и второго типов. Эти преобразования
называют симплексными.
Последние два метода используются при решении системы линейных
уравнений независимо от ее форм записи, обладая универсальностью
и алгоритмичностью, что позволяет их применять в компьютерных программах
решения систем линейных уравнений большой размерности.
13
2. Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия – часть математики, в которой исследуются
геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат.
В аналитической геометрии рассматриваются две основные задачи: 1) как, зная
геометрические свойства линии (или множества точек), найти ее уравнение,
то есть уравнение, связывающее координаты ее точек; 2) зная уравнение линии,
связывающее ее координаты, найти геометрические свойства этой линии.
Метод координат на плоскости (в пространстве) устанавливает взаимно
однозначное соответствие между точками евклидовой плоскости
(пространства) и упорядочными парами (тройками) действительных чисел –
координатами этой точки на плоскости (в пространстве). На плоскости (в
пространстве) можно построить различные системы координат. К наиболее
распространенным системам координат относятся прямоугольная, или
декартовая, полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат.
Пусть на плоскости задана прямоугольная, или декартовая, система
координат, а в ней две точки М1(x1 ; y1) и М2(x2 ; y2). Тогда расстояние между
ними определится по формуле
М М x x y y
1 2 2 1
2
2 1
2
( ) ( ) .
Различные уравнения прямой линии на плоскости
Прямоугольная система координат позволяет записать уравнения
различных линий на плоскости. Уравнением линии на плоскости
в прямоугольной системе координат называется уравнение вида
Ф (x ; y) = 0
c переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки
данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости,
не лежащей на этой линии. Переменные x и y уравнения линии называются
текущими координатами.
Прямая линия есть простейшая из кривых линий на плоскости.
Положение любой прямой на координатной плоскости можно определить при
14
помощи различных параметров, в зависимости от выбора которых можно
получить разные виды прямой линии.
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости
XOY задана произвольная прямая
l не параллельная оси OY. Ее положение
определится двумя параметрами: ординатой
b точки B(0; b) пересечения с осью OY и углом ,
образованным прямой l и положительным
направлением оси OX, который Рис. 1
называется углом наклона прямой l с осью OX.
Пусть точка М (x ; y) – произвольная точка прямой l. Из прямоугольного
треугольника BNM (рис. 1) имеем
tg
y b
x
.
Отсюда получим y - b = x tg. Введем обозначение tg = k. Величина
k называется угловым коэффициентом прямой линии. Перенесем b в правую
часть равенства, получим уравнение
y = k x + b,
которое называют уравнением прямой линии с угловым коэффициентом.
Если b = 0, то получим y = k x – уравнение прямой линии, проходящей через
начало координат. Если k = tg = 0, то есть = 0, получим y = b – уравнение
прямой линии параллельной оси OX, проходящей через точку B(0; b).
По аналогии с уравнением y = b уравнение x = a – есть уравнение прямой
линии параллельной оси OY и проходящей через точку A(a; 0).
Общее уравнение прямой линии. Рассмотрим уравнение вида
A x + B y + C = 0,
где в правой части равенства находится многочлен первой степени переменных
x и y, причем коэффициенты A и B одновременно не равны нулю. Покажем, что
это уравнение – общее уравнение прямой линии. Прежде всего, если с данным
уравнением произведены любые тождественные преобразования, то те же пары
15
чисел x и y будут удовлетворять уравнениям до и после таких преобразований.
Далее, пусть B 0; разрешим данное уравнение относительно переменной y,
получим y =
B
C
x
B
A
. Положим здесь
B
A
= k,
B
C
= b. Тогда уравнение
запишется в виде y = k x + b, которое представляет собой уравнение прямой
линии с угловым коэффициентом. Пусть B = 0, А 0; данное уравнение
в этом случае имеет вид A x + С = 0, разрешая его относительно переменной x,
получим x =
A
C
. Введем обозначение
A
C
= а, тогда приходим к уравнению
вида x = a, то есть к виду уравнения прямой линии, параллельной оси OY.
Случай А = B = 0 исключен, так как уравнение не содержит переменных x и y.
Таким образом, при всех возможных числовых значениях коэффициентов А,
B и С уравнение A x + B y + C = 0 есть уравнение некоторой определенной
прямой линии на плоскости XOY и притом единственной. Поэтому уравнение
A x + B y + C = 0
назовем общим уравнением прямой линии.
Уравнение прямой линии с данным угловым коэффициентом
и проходящей через данную точку. Пусть дана точка M1(x1; y1) и угловой
коэффициент k. Воспользуемся уравнением
y = k x + b,
где угловой коэффициент k задан. Так как искомая прямая линия проходит
через точку M 1 ( x1 ; y1 ), то ее координаты удовлетворяют этому уравнению,
имеем
y1 = k x1 + b.
Вычитая почленно эти равенства, получим
y - y1 = k ( x - x1 ) ,
искомое уравнение прямой линии.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Если k – произвольное число, то последнее уравнение
называется уравнением пучка прямых линий с центром в точке M1(x1; y1).
16
Уравнение прямой линии, проходящей через две данные точки. Пусть
даны две точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) такие, что x1 x2 и y
1
y2 ,
то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат. Любая прямая
линия, проходящая через точку M 1 ( x1 ; y1 ), принадлежит пучку прямых линий
y - y1 = k ( x - x1 ). Среди этих прямых линий найдется такая, которая пройдет
через точку M 2 ( x2 ; y2 ), значит, ее координаты можно подставить в уравнение
пучка прямых линий. Получим равенство
y2 - y1 = k ( x2 - x1 ).
Отсюда найдем угловой коэффициент
k =
y y
x x
2 1
2 1
и подставим его значение в уравнение пучка прямых линий, откуда получим
искомое уравнение прямой линии
y y
y y
x x
x x
1
2 1
1
2 1
.
Уравнение прямой линии в «отрезках». Предположим, что в общем
уравнении прямой A x + B y + C = 0 А 0 , В 0 и С 0. Перенеся в нём
С в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на (-С ),
получим
A
C
x
B
C
y
1
. Введем обозначения
C
A
a
,
C
B
b
, тогда приходим
к искомому уравнению
xay
b
1
.
Название – уравнение прямой линии в «отрезках» – объясняется тем, что числа
а и b соответственно абсцисса и ордината точек A(a; 0) и B(0; b), лежащих
на осях ОX и OY. Такой вид уравнения удобен для построения прямой линии.
Заметим, что прямые линии, проходящие через начало координат, не могут
быть записаны уравнением прямой линии в «отрезках».
Угол между двумя прямыми линиями y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2
определяется по формуле
17
tg
k k
k k
2 1
1 2
1
.
Отсюда можно получить:
условие параллельности двух прямых линий ( = 0), состоящее
в равенстве угловых коэффициентов, то есть, k 1 = k2;
условие взаимной перпендикулярности двух прямых линий ( = / 2),
которое имеет вид k 1 k2 = - 1.
Расстояние d от точки M0( x0 ; y0 ) до прямой линии A x + B y + C = 0
определяется по формуле
d
Ax By C
A B
0 0
2 2
.
Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола
Пусть правая часть общего уравнения линии Ф (x ; y) = 0 есть многочлен
второй степени. Тогда получим уравнение вида
A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0,
где A, B, C, D, E и F – некоторые действительные числа, называемые
коэффициентами уравнения, причем по крайней мере один из коэффициентов –
A, B или C – отличен от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости XOY
кривые второго порядка. К кривым второго порядка относятся эллипс, частным
случаем которого является окружность, гипербола, парабола.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Исследование общего уравнения кривых линий
A x2 + B xy + C y2 +D x + E y + F = 0 (см. 4 ) устанавливает те значения
коэффициентов, при которых оно определяет уравнения эллипса, окружности,
гиперболы, параболы с возможными для них случаями вырождения.
Окружность. Множество точек плоскости, равноудаленных от данной
точки (центр окружности) называется окружностью.
Пусть точка M0 ( x0 ; y0 ) – центр окружности, R –
ее радиус, а M ( x ; y ) – произвольная точка окружности
(рис. 2). Из определения окружности M0 M = R.
Отсюда по формуле расстояния между двумя точками
имеем Рис. 2
( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 = R2.
18
Если центр окружности совпадает с началом координат О ( 0; 0 ),
то ее уравнение имеет вид x 2 + y 2 = R2. Такое уравнение окружности
называется каноническим, то есть простейшим.
Эллипс. Множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух
данных точек F1 и F2 (называемых фокусами эллипса)
есть величина постоянная, равная 2а, называется
эллипсом. Пусть фокусы эллипса F1(- c ; 0) и F2 (c ; 0)
лежат на оси ОX (расстояние между фокусами
обозначим через 2с), M ( x ; y ) – произвольная точка
эллипса (рис. 3). Тогда из определения эллипса
имеем Рис. 3
M F1 + M F2 = 2 a.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками, получим
aycxycx 2)()(
2222
.
Дважды возводя в квадрат обе части уравнения и учитывая обозначение
a2 - c2 = b2,
получим каноническое уравнение эллипса
x
a
y
b
2
2
2
2
1
.
Так как текущие координаты входят в уравнение эллипса в четных
степенях, то эллипс обладает полной симметрией, т.е. симметричен
относительно начала и осей координат. Точки A(a; 0), A1(- a; 0), B( 0; b) и B1( 0; - b)
называются вершинами, отрезок А1 А – большой осью, отрезок В1 В – малой осью
эллипса. Значит а – длина большой полуоси, b – длина малой полуоси, c –
длина половины фокусного расстояния, причем а с. Эксцентриситетом
эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его
большой оси
22сас
а
. Так как с < а , то для любого эллипса эксцентриситет
будет меньше 1.
19
Отметим, что большая ось эллипса может быть расположена на оси OY,
тогда эллипс вытянут вдоль этой оси, при этом уравнение эллипса не меняется.
Гипербола. Множество точек плоскости,
разность расстояний которых до двух данных точек
F1 и F2 (называемых фокусами гиперболы) есть
величина постоянная, равная 2а > 0, называется
гиперболой.
Пусть фокусы гиперболы F1 (- c ; 0 ) и F2 ( c ; 0 )
лежат на оси ОX (расстояние между фокусами Рис. 4
фокусами обозначим через 2с), M ( x ; y ) – произвольная точка гиперболы
(Рис. 4). Тогда из определения гиперболы имеем
M F1 - M F2 = 2 a.
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и произведя
необходимые преобразования, получим каноническое уравнение гиперболы
x
a
y
b
2
2
2
2
1
.
Здесь введено обозначение c2 - a2 = b2 .
Так как текущие координаты входят в уравнение гиперболы в четных
степенях, то гипербола обладает полной симметрией, т.е. симметрична
относительно начала и осей координат и состоит из двух частей, называемых
ветвями. Точки A(a; 0), A1(-a; 0) называются вершинами, отрезок А1 А –
вещественной осью, отрезок В1 В – мнимой осью гиперболы. Значит, а - длина
вещественной полуоси, b - длина мнимой полуоси, c – длина половины
фокусного расстояния, причем а с. Эксцентриситетом гиперболы
называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси
22сас
а
. Для любой гиперболы будет 1. Отсюда следует, что чем
меньше эксцентриситет гиперболы (чем ближе он к единице), тем больше
вытянуты ее ветви вдоль оси ОX. Прямые
y
b
a
x
называются асимптотами
20
гиперболы, которые являются продолжением диагоналей прямоугольника
со сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям, с центром в начале
координат – его называют осевым прямоугольником гиперболы. Осевой
прямоугольник облегчает построение гиперболы, сама гипербола касается
вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах (вершины
гиперболы), а ее ветви неограниченно приближаются к асимптотам.
Если в уравнении гиперболы а = b, то она называется равносторонней
и ее уравнение имеет вид x2 - y2 = a2.
Отметим, что вещественная ось может быть
расположена на оси OY и тогда гипербола будет
вытянута вдоль этой оси.
Парабола. Множество точек плоскости,
равноудаленных от данной точки F (называемой
фокусом параболы) и данной прямой (называемой
директрисой параболы), называется параболой.
Пусть фокус параболы F(
2
p
;0) лежит на оси ОX, Рис. 5
директриса параболы – прямая l, перпендикулярная оси ОX, уравнение которой
2
p
x
, M(x; y) – произвольная точка параболы (рис. 5). Через величину
p обозначено расстояние от фокуса до директрисы параболы, которою
называют параметром параболы. Из определения параболы имеем
A M = M F ,
где А – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису l.
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и произведя
необходимые преобразования, получим каноническое уравнение параболы
y
2
= 2 p x.
Поскольку в каноническом уравнении текущая координата y входит
во второй степени, то ось ОX является осью симметрии параболы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]