Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Если повернуть параболу относительно осей координат на угол
против часовой стрелки, то в каноническом уравнении текущие координаты
x и y поменяются местами и уравнение такой параболы, будет иметь вид
x
2
= 2 p y.
Аналогично можно получить уравнения y2 = -2 p x и x2 = -2 p y. Во всех случаях
вершина параболы будет находиться в начале координат.
ЗАМЕЧАНИЕ. Эллипс, гипербола, парабола и окружность были известны
древнегреческим геометрам. Сами эти кривые они получали как сечения
прямого кругового конуса плоскостями, наклоненными под разными углами
к его оси, поэтому кривые второго порядка называются коническими сечениями.
Элементы векторной алгебры
Векторами, или векторными величинами, – называются такие
величины, которые характеризуются их числовым значением и направлением.
Величины, которые характеризуются только их числовым значением,
называются скалярами. Вектор понимается как направленный отрезок
и изображается отрезком прямой на плоскости или в пространстве со стрелкой
на одном из его концов. Вектор обозначается a,
,a
AB
, АВ. Длина отрезка
в выбранном масштабе равна длине вектора или модулю вектора
ABa ,
, | a |.
Различают свободные векторы – такие, которые как угодно перемещать
параллельно самим себе на плоскости или в пространстве, не изменяя
их модулей и направлений, и связанные или закрепленные - те, которые
перемещать нельзя (они располагаются в системе координат). Два вектора
называются равными, если они имеют равные модули и одинаковое
направление. Вектор, имеющий модуль равный нулю, есть нуль-вектор,
а вектор с модулем, равным единице, – единичный вектор, или орт. Два
вектора, имеющие равные модули, но противоположные направления,
называются противоположными. Над векторами можно выполнять линейные
операции, такие как умножение вектора на число, сложение, вычитание.
Сложение свободных векторов производится по «правилу треугольника» или
22
Z
Y
X
C
A B M1 M
0
i
j
k
«правилу параллелограмма». Вычитание векторов определяется как операция,
обратная сложению. Два вектора
а и b называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой, на параллельных прямых
линиях, либо если один из векторов есть нульвектор. Коллинеарные векторы связаны
равенством b = λ а, где λ – числовой множитель Рис. 6
(параметр). Это равенство называют условием коллинеарности двух векторов.
Проекцией вектора
AB
на ось l называется длина отрезка А
1В1
оси l,
заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных на ось
l из начала и конца вектора
AB
с учетом их ориентирования. Проекцию вектора
AB
на ось l можно найти по формуле
cosABABПр
l
,
где угол φ – угол между вектором AB и положительным направлением оси l.
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система
координат XOYZ с координатными ортами i, j, k. Возьмем точку М ( x; y; z )
и построим вектор
ОМ
(рис. 6). Тогда вектор
ОМ
можно представить виде
суммы векторов ОА,
ОВ, ОС
. Отсюда
ОМ
= ОА i + ОВ j + ОС k,
которое называют разложением вектора
ОМ
по ортам i, j, k. Так как ОА = x,
ОВ = y, ОС = z есть одновременно проекции вектора
ОМ
на координатные
оси и координаты точки М ( x; y; z ), то из равенства
ОМ
= x i + y j + z k
следует, что x, y, z есть координаты вектора
ОМ
. Значит, вектор
ОМ
при
помощи его координат записывают символом
ОМ
={ x, y, z } или
ОМ
( x, y, z),
что равнозначно разложению вектора
ОМ
по ортам.
23
Пусть вектор
21
ММ
задан точками М1 ( x1; y1; z1 ) и М2 ( x2; y2; z2 ) – его
начала и конца. Тогда координаты вектора
21
ММ
находятся как разности
одноименных координат точек его начала и конца
21
ММ
= { x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 },
а модуль вектора
21
ММ
определяется по формуле
2
12
2
12
2
1221
)()()( zzyyxxMM
.
Пусть даны два вектора а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 ) с модулями
2
1
2
1
2
1
zyx a
и
b
=
2
2
2
2
2
2
zyx
.
Тогда
1. Векторы а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 ) равны тогда и только тогда, если
равны их одноименные координаты, то есть из равенства а = b следует
x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2 .
2. Условие коллинеарности b = λ а векторов а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 )
выразится в пропорциональности их одноименных координат
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
.
3. Сумма двух векторов а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 ) есть вектор
с ( x1+ x2; y1 + y2; z1 + z2).
4. Разность двух векторов а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 ) есть вектор
d ( x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2).
5. Произведение вектора а ( x1; y1; z1 ) на некоторое число λ есть вектор
λ а (λ x1; λ y1; λ z1 ).
6. Скалярным произведением а ∙ b двух векторов а (x1; y1; z1 ) и b (x2; y2;
z2 ) называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между
ними
а b =
a b
cos φ
и вычисляется также по формуле
а b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
24
Скалярное произведение двух векторов а (x1; y1; z1 ) и b (x2; y2; z2 ) также
позволяет найти угол между этими векторами по формулам
cos φ =
ba
ba
или cos φ =
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
.
Если угол между векторами а ( x1; y1; z1 ) и b ( x2; y2; z2 ) прямой ( φ = 90º ),
то векторы а (x1; y1; z1 ) и b (x2; y2; z2 ) называются ортогональными. Так как
cosφ = cos90º = 0, отсюда следует условие ортогональности векторов а( x1; y1; z1
) и b ( x2; y2; z2 ), которое состоит в равенстве нулю скалярного произведения
а b = 0 или x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0.
Уравнение прямой линии в трехмерном пространстве
Пусть в трехмерном пространстве заданы точка
М
0
( x0; y0; z0 ) и вектор S ( n; m; l ) (рис. 7). Тогда
в этом пространстве определится единственная прямая
линия a, которая проходит через точку М0 ( x0; y0; z0 )
параллельно вектору S( n; m; l ). Вектор S( n; m; l ) Рис. 7
называется направляющим вектором прямой линии a. Составим уравнение
прямой линии a. Возьмем на прямой линии a произвольную точку М (x; y; z)
и построим вектор
ММ
0
(x – x0; y – y0; z – z0 ), расположенный также на этой
прямой линии a. Векторы
ММ
0
( x – x0; y – y0; z – z0 ) и S( n; m; l )
коллинеарные векторы, а потому из условия коллинеарности векторов следует,
что
ММ
0
= t S,
где t – произвольный параметр, принимающий для каждой точки М (x; y; z)
определенное числовое значение. Такое уравнение называется векторным
уравнением прямой линии a. Поскольку координаты векторов
ММ
0
и S
известны, то из векторного уравнения получим
x – x0 = t n, y – y0 = t m, z – z0 = t l
или
x = x0 + t n, y = y0 + t m, z = z0 + t l .
M0
M
a
S
25
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой линии a.
Исключая параметр t из параметрических уравнений, запишем равенство
l
zz
m
yy
n
xx
000
.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой линии a.
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве
Пусть в трехмерном пространстве заданы точка М0 ( x0; y0; z0 ) и вектор
n
( А; В; С ) (рис. 8). Тогда в этом пространстве
определится единственная плоскость
, которая
проходит через точку М0 (x0; y0; z0) перпендикулярно
вектору n( А; В; С ). Вектор n( А; В; С ) называется
нормальным вектором плоскости . Составим уравнение
этой плоскости. Возьмем произвольную точку М ( x; y; z )
на плоскости и построим вектор
ММ
0
( x – x0; y – y0; z – z0 ), Рис. 8
расположенный в ней. Так как вектор n( А; В; С) перпендикулярен плоскости
, то он ортогонален вектору
ММ
0
(x–x0; y–y0; z–z0), лежащему в плоскости .
Условием ортогональности векторов n( А; В;С) и
ММ
0
(x–x0; y – y0; z –z0) есть
равенство нулю их скалярного произведения
n
∙
ММ
0
= 0 .
Это векторное уравнение плоскости
. Отсюда, записав скалярное
произведение в координатной форме, получим уравнение
А (x – x0) + В ( y – y0) + С ( z – z0) = 0,
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку
с заданным нормальным вектором. Раскроем скобки в данном уравнении
и обозначим через D= - A x0 – B y0 – C z0 , тогда уравнение
А x + В y + С z + D = 0
есть уравнение первой степени относительно текущих координат x, y, z точки
плоскости, а потому называется общим уравнением плоскости.
26
Расположение плоскости, заданной общим уравнением
А x + В y + С z + D = 0 относительно координатных осей и координатных
плоскостей в трехмерном пространстве зависит от того, какие коэффициенты
A, B, C и D этого уравнения обращаются в нуль. Так, например, если D = 0,
то уравнение А x + В y + С z = 0 определит плоскость, проходящую через
начало координат. Если D ≠ 0, то плоскость пересекает все три координатные
оси (a, b и с – отрезки, отсекаемые плоскостью от координатных осей OX, OY
и OZ ), а общее уравнение плоскости можно записать в виде
1
c
z
b
y
a
x
,
которое называется уравнением плоскости в отрезках.
Через три точки, расположенные в трехмерном пространстве, можно
провести плоскость, притом единственную. Пусть даны три точки
М
1
( x1; y1; z1 ), М2 ( x2; y2; z2 ), М3 ( x3; y3; z3 ). Уравнение такой плоскости
можно найти с помощью определителя третьего порядка
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
В трехмерном пространстве прямые линии и плоскости могут пресекаться
между собой, образуя различные углы, либо быть параллельными или
совпадать. Поскольку прямая линия и плоскость в трехмерном пространстве
определяются направляющим и нормальным векторами, угол между двумя
прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями находится
как угол между направляющими и нормальными векторами. Аналогично
определяются условия ортогональности и коллинеарности между ними.
Поверхности второго порядка в пространстве
Уравнение вида Ф (x; y; z) = 0, которое связывает между собой
текущие координаты x, y и z точек трехмерного пространства определяет,
вообще говоря, множество точек этого пространства, понимаемое как
поверхность, а само уравнение есть уравнение поверхности. Среди всех
27
поверхностей выделяют поверхности второго порядка, общее уравнение,
которых записывают в виде
а
11
x
2
+a22
y2 +a33 z2 +2а12 x y +2a13 x z +2a23 y z +2а14 x +2a24 y +2a34 z + a44 = 0,
где ai k – коэффициенты (i, k =1,2,3,4), причем коэффициенты ai k (i, k =1,2,3)
одновременно не равны нулю.
Различают невырожденные и вырожденные поверхности второго
порядка, среди которых – пара пересекающихся или параллельных плоскостей
или прямых, плоскость, прямая, точка, пустое множество. Так, уравнение
второго порядка x
2
+ y2 + z2 = 0 определяет точку О (0; 0; 0) – начало
координат. К невырожденным поверхностям второго порядка относятся –
сфера, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, конус, цилиндры или
цилиндрические поверхности.
Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных
от данной точки (центр сферы).
Каноническое уравнение сферы (рис. 9) имеет вид
x
2
+ y2 + z2 = R2,
где R – радиус, точка О (0; 0; 0) – центр сферы. Рис. 9
Сфера – это замкнутая поверхность. Каноническое уравнение сферы
содержит текущие координаты во второй степени, что означает
симметричность сферы относительно начала и осей координат. Если центр
сферы находится в точке А(a; b; c), а ее радиус равен R, то уравнение сферы
имеет вид
.
Эллипсоид – замкнутая поверхность. Каноническое уравнение эллипсоида
имеет вид
(рис. 10).
Рис. 10
28
В сечении эллипсоида любой плоскостью получается
эллипс, в частности, сечение эллипсоида и координатной
плоскости XOY есть эллипс с уравнением
.
Эллиптический параболоид – это незамкнутая
поверхность (рис. 11). Каноническое уравнение
эллиптического параболоида имеет вид Рис. 11
.
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, параллельной
координатной плоскости XOZ или YOZ, получаются параболы
или
. В сечении эллиптического параболоида плоскостями z =c, c ,
плоскостями, параллельными координатной плоскости XOY , получаются
эллипсы с уравнениями
.
Эллиптический конус – это незамкнутая поверхность.
Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид
(рис. 12).
В сечении эллиптического конуса плоскостью параллельной
координатной плоскости XOZ или YOZ, получаются две взаимно Рис. 12
пересекающиеся прямые с точкой пересечения в начале координат. Если
эллиптический конус пересекается плоскостью z=|p|, где
p , параллельна плоскости XOY, то в сечении получаются
эллипсы.
Однополостный эллиптический гиперболоид – это
незамкнутая неограниченная поверхность (рис. 13).
Каноническое уравнение однополостного эллиптического
гиперболоида имеет вид
. Рис. 13
29
В сечении однополостного эллиптического параболоида плоскостью,
параллельной координатной плоскости XOZ или YOZ, получаются гиперболы.
В сечении однополостного эллиптического параболоида плоскостями z = c, c
, плоскостями, параллельными координатной плоскости XOY, получаются
эллипсы.
Двуполостный эллиптический гиперболоид – это
незамкнутая неограниченная поверхность, состоящая
из двух частей (рис. 14). Каноническое уравнение
двуполостного эллиптического гиперболоида имеет вид
В сечении двуполостного эллиптического параболоида
плоскостью, параллельной координатной плоскости XOZ
или YOZ, получаются гиперболы с вещественной осью 2с, Рис. 14
расположенной на координатной оси OZ. Если двуполостный эллиптический
параболоид пересекается плоскостью z = |p|, где p , параллельна плоскости
XOY, то в сечении получаются эллипсы.
ЗАМЕЧАНИЕ. Частным случаем рассмотренных выше поверхностей
второго порядка являются так называемые поверхности вращения. Эти
поверхности получены вращением кривых второго порядка вокруг своих осей
симметрии. Так, сфера получена вращением окружности вокруг любого
ее диаметра; эллипсоид вращения получен вращением эллипса вокруг его
большой или малой оси; однополостный гиперболоид вращения получен
вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси; двуполостный гиперболоид
вращения получен вращением гиперболы вокруг ее вещественной оси;
параболоид вращения получен вращением параболы вокруг ее оси. Конус
вращения получен вращением двух пересекающихся в начале координат вокруг
оси симметрии. Во всех случаях сечением поверхностей вращения
с плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность, что
отражается в их канонических уравнениях. Например, каноническое уравнение
параболоида вращения, полученного вращением параболы y = x2 вокруг ее оси
симметрии, имеет вид z = x
2
+ y2 .
30
Гиперболический параболоид – это незамкнутая
неограниченная поверхность, полученная движением
параболы, сохраняющей неизменными форму
и направление, когда вершина этой параболы
скользит по другой параболе, направленной Рис. 15
в противоположную сторону и лежащей в плоскости, перпендикулярной
плоскости первой параболы (рис. 15). Гиперболический параболоид из-за его
вида называют также седлом. Каноническое уравнение гиперболического
параболоида имеет вид
, p q
У гиперболического параболоида довольно сложная поверхность. Полное
исследование его сечений можно найти в учебнике С.В. Фролова
и Р.Я. Шостака [2, с. 132–134].
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность,
образованная движением прямой (образующей), которая перемещается
в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз
некоторую неподвижную кривую (направляющую). Отметим, что
направляющая не должна лежать в плоскости, параллельной образующей.
Если в качестве направляющей цилиндрических
поверхностей выбираются различные кривые второго порядка,
лежащие в плоскости XOY, а образующие – параллельные оси
OZ, то получаются цилиндрические поверхности второго
порядка с каноническими уравнениями.
1. Прямой круговой цилиндр x 2 + y 2 = R2.
2. Прямой эллиптический цилиндр
x
a
y
b
2
2
2
2
1
(рис. 16). Рис. 16
3. Прямоц гиперболический цилиндр
x
a
y
b
2
2
2
2
1
.
4. Прямой параболический цилиндр y
2
= 2 p x.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]