Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
Таким образом, перед нами задача о раскрытии неопределен-
ности вида
и выражение, стоящее под знаком предела, ведет
себя следующем образом:
2
)23)(12(
xx
3
)6(
x
3
18
x
~
18
3
x
при
.
Для строгого доказательства того, что предел равен 18, разде-
3
лим числитель и знаменатель дроби на
(величину, определяю-
щую «скорость стремления числителя и знаменателя на бесконечность»).
Принимая во внимание, что
2
xx
3
x
x
x
x
1
3
3
x
2
x
2
x
2
x
2
3
xx
6)6(
1
x
2
;
6
xx
x
33
,
2
2312)23()12()23)(12(
x
x
получаем
2
2
3
xx
3
6
x
92
.18
1
lim
1
2
lim
xx
1
2
)23)(12(
xx
)6(
x
3
Последний предел уже не содержит неопределенности. Для его вычисления применили теорему о пределе частного двух функций
и учли, что
1
lim
xx
0
.
Пример 4. Вычислить
3
2
xx
lim
x
5
2
.
41
xx
Решение. Исследуем, как ведут себя числитель и знаменатель
дроби, стоящей под знаком предела, при
.
101
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
В числителе
1
3
как
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
3
2 xx можно пренебречь слагаемым 32 x , так
растет медленнее, чем
.
1
2
, то есть
3
~2 xxxx при
1
2
В знаменателе слагаемое 4x стремится к плюс бесконечности
2
5
при
как x в первой степени, а слагаемое
5
2
– как
1x
т. е. переменная x в меньшей степени, поэтому этим слагаемым
можно пренебречь. Следовательно, знаменатель стремится к плюс
бесконечности как x в первой степени, т. е.
.
2
при
xxx 4~41
5
Таким образом, перед нами задача о раскрытии неопределен-
ности вида
и выражение, стоящее под знаком предела, ведет
себя следующем образом:
3
2
xx
5
2
~
4
41
xx
1
x
x
4
0
при
.
x
Для строгого доказательства того, что предел равен 0, разде-
лим числитель и знаменатель дроби на
(величину, определяю-
щую «скорость стремления знаменателя к бесконечности»).
Принимая во внимание, что
33
x
xx
2
x
x
x
2
x
21
,
2
1
3
2
5
2
x
5
2
x
xx
x
x
x
2
14141
x
5
5
5
4
11
xxx
,4
53
21
2
1
3
2
x
x
5
11
53
xx
0
.0
4
4
получаем
lim
3
xx
2
5
2
lim
xx
xx
41
,
102
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
Последний предел уже не содержит неопределенности. Для его вычисления применили теорему о пределе частного двух функций
и учли, что
1
lim
ax
при
0
.0a
3. Раскрытие неопределенности вида
Пример 5.
Вычислить
x
2
.)4(lim
xx
Решение. Рассмотрим отдельно случаи, когда
и
неопределенности нет, и
.
1. Найдем
Так как
x
2. Найдем
Так как
x
x
x
2
4lim2x
xxx
2
4lim2x
.)4(lim
xx
и
lim , то в данном случае
xx
2
.)4(lim
xx
, а
lim
xx
дача о раскрытии неопределенности вида
.)4(lim
, то перед нами за-
. Для ее раскрытия
умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на
сопряженное ему выражение
2
. В результате получим
xx 4
22
)4)(4(
2
lim
lim)4(lim
xx
)4(
xx
4
xx
22
lim
2
xx
4
4
lim4
xxx
xxxx
)4(
1
222
.
4
xxxxxx
Последний предел уже не содержит неопределенности. Для
его вычисления применим теорему о связи бесконечно малой
и бесконечно большой функций (см. теорему 1 § 4). Заметим, что
в знаменателе стоит бесконечно большая функция, так как
2
x
)4(lim
xx
, и поэтому величина, обратная бесконеч-
103
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
t
t
x
x
x
t
n
t
A
A
A
y
A
A
t
n
t
но большой, будет бесконечно малой. Таким образом,
lim
1
2
xxx
4
0
и, следовательно, .0)4(lim
xxx
2
§ 9. Замечательные пределы
Рассмотрим пределы, имеющие большое значение для реше-
0
ния задачи о раскрытии неопределенности вида
.
0
Теорема 1. Пусть t – угол, выраженный в радианах, и 0
не принимая значение нуль. Тогда
lim
t
sin
0
.1
(1)
t
t
Доказательство. Воспользуемся геометрическим определени-
ем тригонометрических функций
и
cos
. Возьмем ок-
ty sin
ружность единичного радиуса с центром в начале координат и проведем луч, составляющий угол t с положительным направлением
оси
ты которой по определению есть
(рис. 3.35). Он высекает на окружности точку A, координа-
O
.
Так как функция
и
cos
)( четная, т. е.
ttfsin
y si
t
,
)( tf
tf
t
то можно считать, что
го момента, будет
t . Будем считать, что
. Так как
0t
2
Из рис. 3.35 видно, что длины отрезка
D с центральным углом t2 и ломаной
t
)(
t
, то, начиная с некоторо-
0t
,)(
t .
0
2
дуги окружности
,
D
связаны следую-
CD
)(sin
t
sin
щим неравенством
.CDACADAD
104
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
A
A
tsin
t
122 yx
1
A(cos t, sin t)
)sin,(cos ttA
1
t
B
1
O
D(cos t, –sin t)
1
Рис. 3.35
C
1
x
)sin,(cos ttD
Так как
D равна
tAB sin
, то
12
. В свою очередь длина дуги
tAD sin2
. Наконец, так как
ttAD 22
2
, то длина ломаной
tCD tg
.
tCD tg2
CD
равна
В результате получаем цепочку неравенств
.tg22sin2 ttt
Поделив это двойное неравенство на положительную величи-
2, получим
ну
1
sin
1
или
tttcos
t
cos
sin
t
.1
t
Геометрически ясно, что 10coscoslim
tx
0
. Учитывая свойство 4
§ 5 о пределе сжатой переменной, находим
sin
t
lim
0
t
105
.1
AC
ACACD
Ч. и т. д.
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
t
x
M
ttN
t
MNK
M
t
M
N
MN
x
y
t
t
Теорема 2. Справедлива формула
lim
t
0
.1
(2)
t
)1(ln
Доказательство. Возьмем на графике функции
точки
)0,1(
и
и проведем через эти точки пря-
))1(ln,1(
мую, которую назовем секущей (рис. 3.36).
ln (1 +
y
)
)1ln( t
1 xy
N
y ln
xy ln
две
M
O
1
Рис. 3.36
K
t 1
x
С помощью прямоугольного треугольника
найдем уг-
ловой коэффициент секущей
k
tg
сек
NK
K
t
)1(ln
.
t
При 0
ной к кривой
точка
ln
, секущая
в точке M, а угол
стремится к касатель-
, к углу наклона
4
упомянутой касательной к оси абсцисс (см. пункт 3 § 2, геометрическое определение числа e).
Таким образом,
lim
t
)1(ln
0
t
4
tgtglim
.1
4
t
Ч. и т. д.
106
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
t
t
Теорема 3. Справедлива формула
1
t
.)1(lim
et
0
t
Доказательство. Обозначим
ное логарифмическое тождество ye
(3)
1
t
ty
)1( и применим основ-
yln
, тогда
1
1
t
1
t
)1(ln
t
eet
)1(ln
t
t
.)1(
В силу непрерывности показательной функции и справедливости формулы (2) получим
1
t
t
0
1
t
)1(ln
t
t
0
lim
t
1
)1(ln
t
t
0
.lim)1(lim
eeet
Следствие. Имеет место формула
t
1
t
1lim e
t
.
Ч. и т. д.
Доказательство. Введем новую переменную
y1
. Так как
t
, то 0y . Используя равенство (3), получим
t
1
1lim
t
t
0
y
1
y
.)1(lim
ey
Ч. и т. д.
Теорема 4. Справедлива формула
t
1
a
lim
t
0
(4)
.ln
a
ea
lim
t
0
имеем
t
1
e
t
107
(5)
.1ln
e
В частности, при
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
t
t
y
t
x
xx
x
x
Доказательство. Положим
(в силу непрерывности функции 1tay в точке
0t
0
). Далее выразим t через y, в результате получим
1
a
t
ya
1 , )1ln(ln yat и
t
. Ясно, что 0y при
1
ay
y
ln
)1ln(
a
.
t
Применяя теорему 3 § 6 о пределе частного и формулу (2),
найдем искомый предел
t
lim
t
1
a
lim
t
y
ln
y
a
limln
a
yy
1
000
)1(ln
y
y
.ln
a
Теорема 5. Справедлива формула
1)1(
lim
t
t
0
(6)
.
Доказательство. Введем новую переменную
Ясно, что 0y при
ty в точке 0
1)1(
(в силу непрерывности функции
0t
).
Далее выполним следующие преобразования:
)1(ln
,
yt
1)1(
и
)1(ln)1(ln
t
.1
)1(ln
y
Учитывая последнее равенство, преобразуем выражение, стоя-
щее под знаком предела в формуле (6), следующим образом:
lim
1)1(
t
t
y
00
tt
t
0
y
y
limlim
0
t
t
0
y
)1(ln
t
)1(ln
y
lim
0
t
y
1
0
)1(ln
y
y
)1(ln
t
.
t
0
t
Ч. и т. д.
1)1(
ty
,
.
108
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
x
Применяя теоремы 2 и 3 § 6 о пределе произведения и о пределе частного, формулу (2), найдем искомый предел
lim
1)1(
t
lim
t
1
lim
000
tyt
)1(ln
y
y
)1(ln
t
.
t
§ 10. Эквивалентные бесконечно малые функции
Напомним, что функция )(
функцией в точке
, если
xx
0
называется бесконечно малой
(см. определения 2 § 3
xxx
0
0)(lim
и 1 § 5) .
Рассмотрим две бесконечно малые функции
в точке
Определение. Две бесконечно малые функции
в точке
и пишут
.
xx
0
xx
называются эквивалентными, если
0
.
xx
)(~)(
xx
0
lim
Из теорем о замечательных пределах (см. формулы (1)–(6) § 9)
следуют основные соотношения эквивалентности:
,~sin
(1)
0
,~)1(ln
e
(2)
0
(3)
,ln~1
aa
0
(4)
,~1
0
(5)
.~1)1(
0
109
Ч. и т. д.
и
)(
и
)(
x
xx
x
0
)(
)(x
)(
,
1
)(
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
x
xx
x
Здесь может быть как независимой переменной, стремя-
щейся к нулю, так и бесконечно малой функцией в точке
xx
При вычислении предела отношения бесконечно малых функ-
ций будем использовать следующую теорему.
Теорема. Пусть )(
нечно малые функции в точке
и
lim
xx
)(
x
xx
,
)(
x
0
. Тогда, если существует один из пределов
xx
)(~)(
1
0
)(
x
1
lim
xx
0
, то существует и второй, и они равны
)(
x
1
, )(1x , )(x , )(1x суть беско-
xx , причем )(~)(
0
lim
)(
x
lim
xxxx
)(
x
)(
x
1
.
)(
x
00
1
xx
0
Доказательство. Пусть, например, существует конечный пре-
дел
x
)(
1
.
x
)(
1
, то по определению
)(~)(
xx
1
xx
0
)(
lim
x
xx
x
0
1
)(
Поскольку
lim
xx
0
и
)(~)(
xx
lim
xx
1
0
)(
x
1
xx
0
1
и .1
)(
x
Так как
)(
x
)(
x
)(
x
)(
x
1
)(
x
1
)(
x
1
)(
x
1
,
)(
x
то по теореме 2 § 5 следует, что существует конечный предел
lim
)(
x
lim
)(
x
lim1
)(
x
lim
)(
x
1
)(
x
1
1
)(
x
)(
x
1
lim
)(
x
1
)(
x
1
lim1
xxxx
00
.
)(
x
1
)(
x
1
xxxxxxxx
0000
)(
x
Ч. и т. д.
2
)1(ln
Пример 1. Вычислить
lim
x
0
x
.
cos1
.
0
xx
1
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]