Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
x
Решение. Так как 0)1(lnlim
x
0
ред нами задача о раскрытии неопределенности вида
2
x
и 0)cos1(lim
xx
0
0
. Для рас-
0
, то пе-
крытия этой неопределенности заменим бесконечно малые функции
2
и
x
)1(ln
cos1
в точке
на эквивалентные. Для это-
0
x
0
го воспользуемся соотношениями эквивалентности
~sin и .~)1(ln
0
0
В результате получим:
2
рает
при
малой функции
2
x
2
,~)1(ln
xxx
0
;
0
2
sin2cos1
играет
где роль бесконечно малой функции
2
2
xxx
x
2
при
2~
0
x
, где роль бесконечно
22
.
0
иг-
2
Эти соотношения эквивалентности позволяют нам раскрыть
неопределенность и вычислить предел
lim
2
)1(ln
x
0
cos1
x
lim
xx
2
x
0
x
2
.2
2
Пример 2. Вычислить
x
22
lim
5
x
1
Решение. Так как
1xx
нами задача о раскрытии неопределенности вида
.
2
1
x
5
0)22(lim
и
2
xx
1
, то перед
0)1(lim
0
. Для раскры-
0
тия этой неопределенности заменим бесконечно малые функции
x
5
22
2
и
в точке
1
x
x
0
Преобразуем функцию
на эквивалентные.
1
x
так, чтобы можно было вос-
22
пользоваться соотношением эквивалентности
111
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
x
x
.ln~1
aa
0
В результате получим
1
xx
x
x
1
,2ln)1(2~)12(222
где роль бесконечно малой функции играет
5
Преобразуем теперь функцию
2
x
так, чтобы можно
1
при
1
было воспользоваться соотношением эквивалентности
.~1)1(
0
В результате получим
5
2
1
2
5
1
2
~1)1(11
x
1
5
,)1(
xxx
где роль бесконечно малой функции играет
1
.
, и
1
5
Эти соотношения эквивалентности позволяют нам раскрыть
неопределенность и вычислить предел
lim
x
x
22
5
1
x
2
1
lim
x
1
1
2ln)1(2
2
x
)1(
lim2ln10
1
xx
1
x
xx
5
1
lim2ln10
1
xx
1
1
2ln10
.2ln5
2
2
)1)(1(
1
.
1
, при
112
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Рекомендуемая литература
Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –
1.
СПб. : Лань, 2005.
2.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. – М. :
Физматгиз, 1960.
3.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефи-
мов. – М. : Физматгиз, 1963.
4.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление /
Н. С. Пискунов. – СПб. : Мифрил, Физматгиз, 1996.
5.
Нумеров С. Н. Функция одного аргумента, ее предел и непрерыв-
ность: метод. указания к выполнению задания для студентов всех специальностей ЛИСИ / С. Н. Нумеров. – Л. : ЛИСИ, 1985.
6.
Долгинцева Г. Я. Векторная алгебра. Теория пределов: текст лекций
для студентов всех специальностей ЛИСИ /
на; ЛИСИ. – Л., 1989.
Г. Я. Долгинцева, Н. М. Ивочки-
7. Карамян А. А. Аналитическая геометрия на плоскости: учеб. посо-
бие для студентов всех специальностей и всех форм обучения / А. А. Карамян, С. И.
Прокофьева; СПбГАСУ. – СПб., 2012.
8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д. В. Клетеник. – М. : Наука, 1969.
9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н
. Берман. – М. : Наука, 1985.
10. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геомет-
рии / О. Н. Цубербиллер. – М. : Физматгиз, 1963.
11. Берс Л. Математический анализ / Липман Берс. – М. : Высшая шко-
ла, 1975.
12. Бермант А. Д. Краткий курс математического анализа / А. Д. Бер-
мант, И. Г. Араманович. – М. : Наука, 1971.
113
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Введение…………..……………………………..………………………...
Рабочая программа курса высшей математики…………..……………..
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости…………………...
§ 1. Декартова система координат…………………………………
§ 2. Простейшие задачи на координаты точек……………………
§ 3. Прямая линия…………………………………………………..
§ 4. Кривые второго порядка………………………………………
§ 5. Преобразование декартовых координат. Параллельный
перенос осей………………………………………………………...
§ 6. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
и параболы со смещенной вершиной при параллельном
переносе осей….
Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
в пространстве
§ 1. Векторы…………………………………………………………
§ 2. Линейные операции над векторами…………………………..
§ 3
. Векторы в декартовой системе координат…………………...
§ 4. Скалярное произведение векторов……………………………
§ 5
. Векторное произведение векторов……………………………
§ 6
. Радиус-вектор………………………………………………….
§ 7. Уравнение плоскости………………………………………….
§ 8. Прямая линия в пространстве…………………………………
§ 9. Взаимное расположение прямых и плоскостей……………...
Глава 3. Теория пределов……………………………………………….
§ 1. Функция одного аргумента……………………………………
§ 2. Элементарные функции……………………………………….
§ 3
. Бесконечно малая функция и ее свойства……………………
§ 4. Бесконечно большая функция и ее связь с бесконечно
малой………..
§ 5. Предел функции………………………………………………..
§ 6. Основные теоремы о пределе функции……………………...
§ 7. Непрерывность функции………………………………………
§ 8. Раскрытие неопределенностей вида
и
§ 9. Замечательные пределы………………………………………
§ 10. Эквивалентные бесконечно малые функции……………….
Рекомендуемая литература……………………………………………….
……………………………………………………………
……………………………………………………………..
Оглавление
0
,
0
3
4
9
9
10
11
19
32
33
38
38
39
41
43
44
48
49
54
57
61
61
67
72
76
77
84
88
98
104
109
113
114
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Учебное издание
Красоленко
Сванидзе
Якунина
Георгий Владимирович,
Николай Владимирович,
Галина Владимировна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Учебное пособие
Редактор В. А. Преснова
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 20.08.14. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
Усл. печ. л. 6,7. Тираж 100 экз. Заказ 63. «С» 37.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
115
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
116
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]