Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
n
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
5. Графики обратных тригонометрических функций
y arcsi
y arccos
,
y arctg
и
y arcctg
представлены на
,
рис. 3.13–3.16.
–1,5
1.5
2
3
1
0.5
–0,5
- 1 - 0.5 0.5 1
–1 –0,5
- 0.5
–0,5
–1
- 1
–1,5
- 1.5
Рис. 3.13
2
–0,5
arcsin
2,5
2.5
2
1,5
1.5
2
–0,5
1
0,5
0.5
Рис. 3.14
- 1 - 0.5 0.5 1
–1
y
2
arctgxy
y
= arctg x
0,5
arccos
–1
1 -1
x
2
Рис. 3.15
71
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
x
x
x
x
x
x
y
arcctgxy
y
= arcctg x
2
–1
Рис. 3.16
1
x
Определение 2 (определение элементарной функции).
Элементарной функцией называется любая функция, которая
может быть получена из основных элементарных функций путем
применения конечного числа раз арифметических действий и взятия функции от функции, причем «внешняя» функция является основной элементарной.
Пример. Функции
cos1
x
3
2
sin5ln xxy ,
arctg
y
x
cos1
являются элементарными.
В качестве примера
неэлементарной функции приведем функ-
цию Лапласа (интеграл вероятностей)
2
t
x
1
)(
2
2
.
dtex
0
§ 3. Бесконечно малая функция и ее свойства
Определение 1. Пусть
-окрестность точки
x
щих неравенству
Согласно определению,
ние двух открытых интервалов
– некоторое положительное число.
– множество значений x, удовлетворяю-
0
.
||0
xx
0
-окрестность точки
xxxx
есть объедине-
x
0
(рис. 3.17).
),(),(
0000
72
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
xy
x
xy
x
x
x
xy
0x
x
x
0
0x
Рис. 3.17
Интервалы
вой полуокрестностями точки
Определение 2. Пусть функция
рой окрестности точки
Функция )(
),(
xx
и ),(
00
x и, может быть, в самой точке 0x .
0
xx называются левой и пра-
00
.
x
0
y
определена в некото-
)(
называется бесконечно малой в точке
x ,
0
если для любого сколь угодно малого положительного числа
найдется такое положительное число
точках
|)(|
-окрестности точки
.
x
, зависящее от , что во всех
будет выполнено неравенство
0
Приведем геометрическую интерпретацию определения бес-
конечно малой функции
зададим произвольное положительное число
тальную полосу, ограниченную прямыми
рассмотрим кусок графика функции
лосе, и спроектируем его на ось Ox. В качестве
ки
можно взять любую окрестность, лежащую внутри спроекти-
x
0
в точке
)(
y
(рис. 3.18). Для этого
x
0
и построим горизон-
y
и y . Далее
, лежащий в этой по-
)(
-окрестности точ-
рованного множества точек на оси Ox. Заметим, что на выбор
-окрестности точки
ределяемое первоначальным выбором числа
Тогда для всех значений x из так построенной
точки
принадлежать
x все соответствующие значения функции )(
0
-окрестности, расположенной на оси Oy, точки
. Другими словами, для всех значений x, достаточно мало от-
0y
личающихся от числа
y
мало отличаются от нуля.
)(
На рис. 3.18 число
, т. е. числа , есть ограничение сверху, оп-
x
0
.
-окрестности
y будут
, соответствующие значения функции
x
0
выбрано наибольшим, в качестве числа
можно было бы взять любое положительное число, которое меньше, чем указано на рисунке. Отметим также, что в данном случае
функция )(
определена в точке
x и 0)(
0
x .
0
73
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
O
y
x
y
x
x
x
y
x
fx
f
N
Nxf
N
x
N
N
xxf
)(
)(
x
0
x
0
x
Рис. 3.18
0
y
Рассмотрим два основных свойства бесконечно малых функ-
ций.
Теорема 1. Сумма любого конечного числа функций, беско-
нечно малых в точке
, есть бесконечно малая функция в этой
x
0
точке.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем двух сла-
гаемых, общий случай доказывается аналогично. Пусть )(
и )(
x – бесконечно малые функции в точке
2
xx есть бесконечно малая функция в этой точке.
)()(
21
, докажем, что
x
0
Выберем сколь угодно малое положительное число
)(
x и )(2x есть бесконечно малые функции, то по определению
1
1
. Так как
x
найдутся положительные числа
в
-окрестности точки
1
Возьмем число
в -окрестности точки
x и
0
, равное наименьшему из чисел
x будут выполняться оба эти неравенства.
0
и 2 такие, что
1
x в
)(
2
2
-окрестности точки
2
1
и
x
)(
1
, тогда
2
2
x .
0
Рассмотрим
,
22
. Отсюда следует,
0
т. е.
что )()(
)()()()(
xxxx
2121
-окрестности точки
)()(
21
xx есть бесконечно малая функция в этой точке.
21
в
xx
x
Ч. и т. д.
74
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
x
f
N
N
x
fy
N
xy
N
N
xxf
Прежде чем сформулировать и доказать второе свойство, да-
дим определение локально ограниченной функции.
Определение 3. Пусть функция )(
y
определена на мно-
жестве X.
Функция
x , если найдутся такие числа
0
y
области определения X и из
неравенство
называется локально ограниченной в точке
)(
и 0)(
0
-окрестности точки
.
Nxf)(
, что для всех x из
выполнено
x
0
Теорема 2. Произведение функции, бесконечно малой в точке
на локально ограниченную функцию в этой точке, есть функция,
x
0
бесконечно малая в точке
Доказательство. Пусть
функция в точке
точки
, в которой будет выполнено неравенство
x
0
Пусть
x , тогда найдутся число 0
0
)(
для любого положительного числа
x .
0
– локально ограниченная
)(
и
-окрестность
1
– бесконечно малая функция в точке
найдется
-окрестность точ-
2
Nxf )(.
x , тогда
0
x , в которой будет выполнено неравенство
ки
0
Возьмем число
в
-окрестности точки
, равное наименьшему из чисел
будут выполняться оба этих неравенства.
x
0
x )(.
и 2 , тогда
1
Рассмотрим
,)()()()(
.
т. е.
)()( xxf
Отсюда следует, что
ция в точке
x .
0
-окрестности точки
в
Nxxfxxf
x
0
есть бесконечно малая функ-
)()(
Ч. и т. д.
Следствие 1. Так как из определения бесконечно малой функции следует ее локальная ограниченность, то произведение конечного числа функций, бесконечно малых в точке
малая функция в точке
x .
0
, есть бесконечно
x
0
Следствие 2. Поскольку постоянная величина является ограниченной функцией, то произведение постоянной величины на
75
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
xy
N
N
x
y
N
y
N
y
x
x
x
N
x
xf
x
f
функцию, бесконечно малую в точке
функция в точке
x .
0
, есть бесконечно малая
x
0
§ 4. Бесконечно большая функция и ее связь с бесконечно
малой
Определение 1. Пусть функция )(
рой окрестности точки
большой в точке
, если для любого сколь угодно большого по-
x
0
. Функция
x
0
ложительного числа N найдется такое положительное число
висящее от N, что для всех x из
ся неравенство
.
Nx )(
y определена в некото-
называется бесконечно
)(x
-окрестности точки
x
0
, за-
выполняет-
Приведем геометрическую трактовку этого определения
(рис. 3.19). Функция
будет бесконечно большой в точке
)(
x
0
если для произвольно заданного положительного числа N найдется
-окрестность точки
такая, что часть графика функции
x
0
)(
соответствующего этой окрестности, будет содержаться вне горизонтальной полосы, ограниченной прямыми
y
y
)(
и
y
.
,
,
N
x
x
0
–N
Рис. 3.19
0
x
0
x
76
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
N
x
x
fy
x
f
Другими словами, для всех значений x из -окрестности точки
x , т. е. достаточно мало отличающихся от 0x , соответствующие
0
значения функции
по абсолютной величине превосходят любое
)(
наперед заданное сколь угодно большое положительное число N.
Установим связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке
Теорема 1. Пусть
.
x
0
есть бесконечно малая функция в точке
)(
x , не принимающая значения нуль. Тогда
0
большая функция в точке
x .
0
есть бесконечно
)(1x
Доказательство. Возьмем сколь угодно большое положи-
тельное число N. Так как
в точке
, то найдется такая -окрестность точки
x
0
есть бесконечно малая функция
)(
, что для всех
x
0
значений x из этой окрестности выполняется неравенство
x1|)(|
, которое равносильно неравенству
1
. Это озна-
Nx
)(
чает, что функция
есть бесконечно большая функция в точке
)(1x
.
x
0
Ч. и т. д.
Теорема 2. Пусть
в точке
x , не принимающая значения нуль. Тогда
0
нечно малая функция в точке
есть бесконечно большая функция
)(
есть беско-
)(1x
x .
0
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
§ 5. Предел функции
1. Определение предела
Пусть функция )(
точки
(может быть, и в самой точке
x
0
определена в некоторой окрестности
).
x
0
Определение 1. Число А называется пределом функции
в точке
(или при
x
0
положительного числа
), если для любого сколь угодно малого
xx
0
найдется такое положительное число ,
)(
77
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
x
f
x
f
A
x
f
A
y
A
x x
A
x
f
x
f
A
A
x
f
C
x
f
x
f
x
f
AxfxAxfx
x
x
f
xAxfxx
зависящее от , что во всех точках -окрестности точки
няется неравенство
.)( Axf
y
в точке
)(
Axf
xx
0
)(
x
0
Если число А есть предел функции
Axfxx)(lim
0
Последний символ читается так:
щемся к
.
x
0
y
2
)(
А
или .)(
стремится к А при x, стремя-
)(
выпол-
x
0
, то пишут
O
x
x
0
0
Рис. 3.20
0x
y
Приведем геометрическую трактовку определения предела
(рис. 3.20).
Число А будет пределом функции
в точке
)(
произвольно заданного положительного числа
-окрестность точки
, соответствующего этой окрестности, будет содержаться
y
)(
такая, что часть графика функции
x
0
внутри горизонтальной полосы, ограниченной прямыми
y .
и
78
, если для
x
0
найдется
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
C
x
f
x
f
x
f
Axf
Axf
x
x
x
f
xAxf
x
x
Можно сказать и другими словами. Задание положительного
числа
для которой находим такую
эквивалентно заданию -окрестности точки А на оси Oy ,
-окрестность точки
, что для всех
x
0
значений x из этой окрестности соответствующие значения функции )(
удобно рассматривать как функцию )(
попадают в -окрестность точки А.
Замечание. Постоянную величину С (пишут
, у которой все значения
const
) иногда
одинаковы и равны С.
Пусть функция
точки
(может быть, и в самой точке
x
0
Тогда
)(lim
xx
0
Cxf
определена в некоторой окрестности
C
)(
).
x
0
или
lim
xx
0
, т. е. предел постоянной
CC
равен самой постоянной.
Это следует из определения 1, так как при любом 0 нера-
венство
из
-окрестности точки
выполняется тривиальным образом для всех x
Cxf )(
:
x
0
и
C
0)(
.
0
2. Связь понятия предела с бесконечно малой функцией
Обозначим в определении 1 разность
)()(
неравенство
-окрестности точки
)(
является бесконечно малой функцией в точке
, тогда вместо неравенства
)( x , которое выполняется во всех точках
. Это означает (см. § 3, определение 1), что
x
0
)(
через
Axf )(
x .
0
, т. е.
)(x
получаем
Из приведенных рассуждений следует второе определение
предела.
Определение 2. Число А называется пределом функции
в точке
где
, если ее можно представить в виде
x
0
,)()(
есть бесконечно малая функция в точке
)(
x .
0
Замечание. Если
, то ее предел равен нулю, т. е.
x
0
)(
есть бесконечно малая функция в точке
.
xxx
0
0)(lim
3. Односторонние пределы
Далее введем понятие односторонних пределов.
)(
79
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
x
f
x
f
x
f
x
y
xfy
x
fx
f
x
X
x
x
fx
fx
f
Определение 3. Число1A называется левым односторонним
пределом функции )(
в точке
x , если для любого сколь угодно
0
малого положительного числа найдется такое положительное
число
, зависящее от
, что для всех точек
),(
xxx
00
выпол-
няется неравенство
.)(
Axf
1
Если число
в точке
)(
Определение 4. Число
пределом функции
A есть левый односторонний предел функции
1
, то пишут
x
0
0
xx
0
A называется правым односторонним
2
в точке
)(
, если для любого сколь угодно
x
0
или
)(lim
Axf
1
xx
0
.)(lim
Axf
1
малого положительного числа найдется такое положительное
число
, зависящее от
, что для всех точек ),(
xxx выпол-
00
няется неравенство
.)(
Axf
2
Если число
в точке
)(
A есть правый односторонний предел функции
2
x , то пишут
0
0
)(lim
Axfxx или .)(lim
0
2
xx
0
Axf
2
Геометрическая интерпретация этих понятий представлена на
рис. 3.21.
Замечания
Если функция имеет левый и правый односторонние пре-
1.
делы в точке
ронний» предел в точке
Верно и обратное утверждение. Если функция имеет «дву-
2.
сторонний» предел в точке
односторонние пределы в точке
3.
Если же функция имеет левый и правый односторонние
пределы в точке
дела в точке
, которые совпадают, то она имеет тот же «двусто-
x
0
x
0
x нет.
0
x , т. е. )(lim
0
, то существуют ее левый и правый
x
0
x и они равны между собой.
0
и они не совпадают, то «двустороннего» пре-
xf
xx
в смысле определения 1.
0
Выше мы дали определение предела в конечной точке. Приве-
дем теперь определение предела в бесконечно удаленной точке.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]