Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
M
2. Эллипс
Определение. Эллипсом называется геометрическое место то-
чек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек
и
есть величина постоянная. Эта величина обозначается
F
2
Точки
ми обозначается
называется большой полуосью эллипса, середина О отрезка
F , 2F называются фокусами эллипса, расстояние между ни-
1
c2 и называется фокусным расстоянием. Число а
F –
1F2
центром эллипса.
y
Получим уравнение
эллипса. Введем прямо-
aMFMF 2
21
угольную систему координат. Ось Оx проведем через
фокусы
(рис. 1.11) – через центр О.
извольная точка эллипса.
По определению эллипса
F и 2F , ось Oy
1
Пусть );( y
– про-
2121
)0;(1cF )0;(2cF
и, следовательно,
cFFMFMFa 22
O
Рис. 1.11
ca , так как сумма
расстояний произвольной точки М от двух фиксированных точек
и
F не может быть меньше расстояния между точками 1F и 2F .
2
cF
В такой системе координат назовем )0;(
а )0;(
cF правым фокусом. Тогда имеем:
2
1
левым фокусом,
22
;)(
1
ycxMF .)(
2
22
ycxMF
Эти расстояния
и MF2) называются фокальными радиусами точки М.
MF
1
и
MFr
11
(так же, как и отрезки
MFr
22
Итак, для точек эллипса выполняется условие
,221aMFMF
или
2222
.2)()(
aycxycx
x
F
a2
);( yxM
F
1
.
1
21
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
M
M
Оставим первый квадратный корень в левой части уравне-
ния, а второй корень перенесем в правую часть. После этого обе
части уравнения возведем в квадрат. В результате в новом уравнении останется только второй квадратный корень, который уединим
в левой части уравнения, и вновь обе части уравнения возведем
в квадрат. В процессе
вычислений введем новую величину
22
(3)
.
cab
После несложных вычислений получим уравнение
2
2
y
x
2
a
,1
(4)
2
b
B
b
1
A
F
1
1
a a
c
O
F
2
c
A
2
которое называется
ническим уравнением эл-
.
липса
Следует запомнить
соотношение между ве-
x
личинами
a, b, c:
B
b
2
Рис. 1.12
Сам эллипс изобра-
жен на рис. 1.12.
Отметим характерные элементы эллипса:
)0;(
);0(
aOAOA
aA и )0;(2aA – левая и правая вершины;
1
1
1
bB и );0(2bB
)0;(
cF
21
и
aAA 2
и
21
– верхняя и нижняя вершины;
– левый и правый фокусы;
)0;(
cF
2
– большая и малая оси;
bBB 2
21
и bOBOB
– большие и малые
21
полуоси.
Для характеристики формы кривых второго порядка служит
число, называемое
эксцентриситетом.
222
cab
кано-
(5)
.
22
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
M
M
Определение. Число
называется эксцентриситетом кривой.
c
a
Для эллипса
в том и только в том случае, когда
дают
и радиусом а. Более знакомо следующее уравнение та-
. Тогда эллипс превращается в окружность с центром
FF
21
FFO
21
, так как ac. Эксцентриситет
10
0
c , т. е. когда фокусы совпа-
кой окружности:
222
ayx
.
Если обе части равенства (3) разделим на
a , то получим
b
.12
a
Из этого равенства следует, что при малом значении
а и b почти равны между собой, т. е. форма эллипса близка к
оси
форме окружности. При
больше
b, и эллипс более вытянут вдоль оси Ох.
, близком к 1, величина а значительно
полу-
Задача 2. Эллипс проходит через точку
триситет равен 6,0
. Найти каноническое уравнение эллипса.
, и его эксцен-
)1;1(
Решение. Составим систему из двух уравнений с двумя неиз-
2
2
и
вестными
a
.
b
1. По условию задачи эксцентриситет эллипса равен 6,0 ,
c
3
отсюда
связаны соотношением
c
и, следовательно,
5
a
3
. Так как параметры
ac
5
222
cab
, то получаем первое уравне-
ние системы:
9
25
222
и
baa
16
25
22
.
ab
Точка
2.
принадлежит эллипсу и, следовательно, ее
)1;1(
координаты удовлетворяют уравнению эллипса (4).
В результате имеем систему уравнений
0
a, b,
23
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
M
относительно неизвестных
11
,1
22
ba
16
22
ab
25
2
2
и
a
Решив ее, получим
.
b
2
a
41
16
и
.
b
41
2
25
Ответ.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
2
2
y
x
2
b
a
где
,1
2
41
2
a и
16
41
2
.
b
25
3. Гипербола
Определение. Гиперболой называется геометрическое место
точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых
до двух фиксированных точек
ное число. Это число обозначается через 2
кусами
нием. Середина
обозначается 2с, оно называется фокусным расстоя-
FF
21
О отрезка 21FF называется центром гиперболы.
F и 2F (фокусов) есть положитель-
1
а. Расстояние между фо-
Вывод канонического уравнения гиперболы аналогичен выво-
ду уравнения эллипса, однако в этом случае
.
ac
Вновь введем прямоугольную систему координат так, что ось
Ох проходит через фокусы 1F и 2F , а центр гиперболы совпадает
с началом системы координат (рис. 1.13).
y
);( yxM
aMFMF 2
21
x
)0;(1cF )0;(2cF
O
Рис. 1.13
24
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
M
Пусть ),( y
– произвольная точка гиперболы. Тогда для
всех точек гиперболы по определению выполняется равенство
.221aMFMF
Из рис. 1.13 видно, что
этому
.
ac
2121
,22
aMFMFcFF и по-
Раскрывая модуль
aMFMF 2
21
и используя формулу для расстояния между двумя точками, получим следующее уравнение:
2222
.2)()(
aycxycx
Оставим первый квадратный корень в левой части уравнения,
а второй корень перенесем в правую часть. После этого обе части
уравнения возведем в квадрат. В результате в новом уравнении останется только второй квадратный корень, который уединим в левой части уравнения, и вновь обе части уравнения возведем
в квадрат. В
процессе вычислений введем новую величину
.22acb (6)
После несложных вычислений получим уравнение
2
2
y
x
2
b
a
(7)
,1
2
которое называется каноническим уравнением гиперболы.
Следует запомнить соотношение между величинами a, b, c:
222
(8)
acb
.
Сама гипербола изображена на рис. 1.14.
25
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
y
x
x
x
y
F
b
x
a
1
c
A
1
a
B
1
b
A
2
a
O
b
B
2
y
b
x
a
F
2
c
Рис. 1.14
Отметим характерные элементы гиперболы:
)0;(
aA и )0;(2aA – левая и правая действительные вер-
1
шины;
);0(
)0;(
bB и );0(2bB
1
cF и )0;(2cF – левый и правый фокусы;
1
– верхняя и нижняя мнимые вершины;
aAA 221 и bBB 221 – действительная и мнимая оси;
и
aOAOA
21
– действительная и мни-
bOBOB
21
мая полуоси.
Построение гиперболы начинают с построения характеристического прямоугольника гиперболы, стороны которого лежат на
прямых
,
a
и
a
,
by
.
by
Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы,
которые имеют следующие уравнения
b
y
x
и .x
a
Эксцентриситет гиперболы
b
y
(9)
a
c
1
характеризует ее форму,
a
это видно из соотношения
b
2
.1
a
Рассмотрим частные уравнения гиперболы.
Если ba
1.
сторонней
222
. Такая гипербола называется равнобочной или равно-
ayx
, ее асимптотами являются биссектрисы координатных
, то уравнение гиперболы принимает вид
26
x
углов
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
, которые взаимно перпендикулярны. В данном случае
характеристический прямоугольник гиперболы есть квадрат.
Если при выводе уравнения гиперболы введем прямоуголь-
ную систему координат так, что ось
F , а центр гиперболы совпадает с началом системы координат, то
2
Оу проходит через фокусы 1F и
уравнение гиперболы примет вид
2
2
y
x
2
b
a
(10)
.1
2
Две гиперболы, которые определяются уравнениями (7) и (10)
в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях параметров
a и b, называются сопряженными друг другу.
Задача 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если
ее эксцентриситет
22
липса
yx
равен 2, а фокусы ее совпадают с фокусами эл-
.1
925
Решение. Пусть a, b, c – параметры гиперболы, а
,
и
a
b
э
–
c
э
э
параметры эллипса.
1.
По условию задачи эксцентриситет гиперболы
c
a
и, следовательно,
Рассмотрим уравнение эллипса и найдем его фокусы. Для
2.
эллипса параметры
2
э
как
э
3.
Для гиперболы
ac
bac
, т. е.
э
42
, то
2
2
соотношением
.
ac 2
,
a
э
2
э
. Для гиперболы параметры a, b, c связаны
2
a
acb
и
b
э
16925
c
4
cc
э
222
, поэтому
связаны соотношением
c
э
и так как
0эc
, то
. Найдем ее параметры a и b. Так
2
b
.
12416
.
4эc
Таким образом, задача имеет следующий ответ.
Ответ. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
22
yx
.1
124
2
27
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
M
M
4. Парабола
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Введем систему координат следующим образом (рис. 1.15).
y
),( yxM
( y
N
d
p
);
2
)0;2(pF
p
2
2
x
pxy 2
:pxd
O
p
2
2
d
Рис. 1.15
Проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d ось
Ох с положительным направлением от директрисы к фокусу. Начало координат О поместим в середине между фокусом F и директрисой d. Тогда ось Оу пройдет параллельно директрисе d. Расстояние от фокуса F до прямой d обозначим через р (
0p ). Во введен-
ной выше системе координат получим уравнение директрисы
p
x и координаты фокуса
2
Пусть точка
– произвольная точка параболы. Тогда по
),( y
определению параболы точка
. Используя формулу для расстояния между двумя точ-
MFMN
p
0,
F .
2
удовлетворяет условию
ками, получаем
p
xMN и
2
2
p
xMF
2
y
2
или
28
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
p
x
2
p
2
x
22
.
y
Возведем обе части уравнения в квадрат, и, упростив резуль-
тат, получим уравнение
2
(11)
,2
pxy
которое называется
каноническим уравнением параболы.
Построенная парабола (см. рис. 1.15) симметрична относительно оси абсцисс, и направление ее ветвей совпадает с положительным направлением оси
Ox.
Возможны другие частные случаи. Во всех рассматриваемых
ниже случаях вершина параболы совпадает с началом выбранной
декартовой системы.
p
1.
Парабола
имеет фокус
pxy 22
F
p
x
. Она симметрична относительно оси абсцисс и направление
и директрису
0;
2
2
ее ветвей совпадает с отрицательным направлением оси
p
F
;0
2
y
Парабола pyx 2
2.
p
. Она симметрична относительно оси ординат и направле-
2
имеет фокус
Ox.
и директрису
2
ние ее ветвей совпадает с положительным направлением оси
p
Парабола pyx 2
3.
2
имеет фокус
F
p
y
. Она симметрична относительно оси ординат и направление
и директрису
;0
2
Oу.
2
ее ветвей совпадает с отрицательным направлением оси
Oу.
Задача 4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале
системы координат, если известно, что ее фокус совпадает с центром окружности
22
.
04
yyx
29
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
F
Решение
1. Найдем координаты центра окружности 04
22
yyx .
Преобразуем заданное уравнение к каноническому виду (2). Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменную
лучим
22
Затем дополним выражение, стоящее
.0)4(
yyx
y, по-
в скобках, до полного квадрата, используя бином Ньютона
222
)(2 bababa , сохраняя значения числовых коэффициен-
тов в слагаемых, содержащих переменную
y, в результате получим
2222
02)222(
yyx
или
222
.2)2(
yx
Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением
окружности (2), находим центр окружности
2.
Таким образом, фокус параболы имеет координаты
M
.
)2;0(
0
,
)2;0(
F
ее вершина совпадает с началом декартовой системы координат
и ветви направлены вверх в положительном направлении оси
Следовательно, уравнение параболы имеет вид
значение параметра
p. Сравнивая )2;0(
p
,2
4p и .8
с
F
2
yx
2
pyx
p
, получаем
;0
2
Оу.
Найдем
.2
2
Ответ. Каноническое уравнение параболы имеет вид
2
.8
yx
Задача 5. Найти уравнение прямой, проходящей через центр
окружности 0346
няющей фокус параболы
22
yx
.1
22
yxyx , параллельно прямой, соеди-
yx 42 и левый фокус гиперболы
3664
Решение
1. Преобразуем заданное уравнение к каноническому виду (2).
Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменные
и
y, получим 03)4()6(
22
yyxx . Затем дополним выраже-
x
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]