Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
x
A
x
где
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
),(0nrp – расстояние начала координат до плоскости.
(2)
,),( pnr
Уравнение (1) в координатной форме имеет вид
(3)
0)()()(
zzCyyBxxA
000
и называется уравнением плоскости, проходящей через точку
),,(
zyxM и имеющей нормальный вектор ),,( CBAN .
0000
Если в уравнении (3) раскрыть скобки, перегруппировать чле-
ны и ввести обозначение
zCyBxAD
, то получим урав-
000
нение
,0
DzCyB
(4)
которое называется общим уравнением плоскости.
Обращаем ваше внимание, что координаты вектора нормали
являются коэффициентами при переменных
),,( CBAN
, y и z
в общем уравнении плоскости (4).
Расстояние точки ),,(
zyxM до плоскости (4) вычисляется
1111
по формуле
DCzByAx
||
d
111
.
222
CBA
Угол между двумя плоскостями
0),(
Nrr и 0),(
11
равен углу между нормалями
и
N
1
и определяется
N
2
Nrr (5)
22
cos
NN
),(
21
NN
||||
21
2
1
2
2
1
1
CCBBAA
212121
2
2
2
2
.
2
CBACBA
2
51
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
A
B
A
C
x
Условие параллельности двух плоскостей (5)
A
или
,0],[
NN
21
или
,21NN
1
B
A
2
1
1
2
C
2
(6)
.
C
B
Условие перпендикулярности двух плоскостей (5)
,0),(
NN или .0
21
CCBBAA (7)
212121
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через
три точки )3;1;1(
M , )2;0;1(
1
M и
2
.
M
3
)0;3;2(
Решение 1. Эти точки не принадлежат одной прямой, поэтому
искомая плоскость определена однозначно. Ее уравнение будем искать в виде (4)
,0
DzCyB
и так как данные три точки лежат на рассматриваемой плоскости,
то их координаты удовлетворяют данному уравнению:
,03
DC
,02
DCA
DBA
.032
Мы получили три линейных уравнения, связывающие четыре
неизвестных A, B, C и D. В этом находит отражение то обстоятельство, что, умножая все коэффициенты уравнения (4) на одно и то
же число
, мы получим уравнение, равносильное исходному
0
уравнению. Попытаемся выразить три неизвестных А, В, С через D.
Умножим первое уравнение на 3 и прибавим к нему второе
и третье уравнения, в результате получим:
0511
D
или .
5
DC
11
Из второго уравнения находим
11
1
.
2 DDDDCA
10
11
Первое уравнение позволяет найти коэффициент В:
52
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
zyx
3 DDDDDCAB
1
11
15
11
3
11
.
Подставляя значения коэффициентов А, В, С в уравнение (4),
получаем
1
11
3
11
5
11
DzDyDxD
.0
Умножим это уравнение на 11 и разделим на D, окончательно получим искомое уравнение плоскости
.01153
Решение 2. Будем искать уравнение плоскости в виде (3)
,0)()()(
zzCyyBxxA (8)
111
в виде уравнения плоскости, проходящей через точку ),,(
и имеющей нормальный вектор
. Координаты вектора
),,( CBAN
zyxM
111
нормали определяются с точностью до постоянного множителя, не
равного нулю (рис. 2.11).
],[),,(
rrrrCBAN
1312
M
3
M
2
M
rr
13
1
rr
12
Рис. 2.11
В качестве вектора нормали можно взять векторное произве-
дение векторов
и
),,(
zzyyxxrr
12121212
53
,
),,(
zzyyxxrr
13131313
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
A
B
x
x
x
xMx
M
s
t
l
где
zyxr
1111
векторы точек ),,(
,
),,(
zyxM , ),,(
111
и
),,(
zyxr
2222
zyxM и ),,(
2222
суть радиус-
),,(
zyxr
3333
Таким образом, сначала находим координаты векторов
)1;1;2(
12
rr и )3;4;3(
13
rr , а затем вычисляем их век-
торное произведение
kji
11
rrrrN
1312
112],[
343
34
12
kji
33
zyxM .
3333
12
43
Подставляя значения коэффициентов
и координаты точки )3;1;1(
Ответ. 01153
M в уравнение (8), получаем
1
zy
zy
0)3(5)1(3)1(
или .01153
zy
– уравнение искомой плоскости.
§ 8. Прямая линия в пространстве
),,(
Пусть точка
параллельна вектору
zyxM принадлежит прямой L и прямая
0000
),,( nmls . Вектор s будем называть на-
правляющим вектором прямой (рис. 2.12).
z
rr
0
),,(
zyxM
0000
r
r
0
1
, 3
, 5
.),,(5;3;153)38()36()43( CBAkjikji
C
),,( zyxM
L
),,( nmls
O
x
Рис. 2.12
54
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
M
x
M
s
t
l
Выведем уравнения прямой. Для этого возьмем произвольную
точку
векторы
и
и он коллинеарен направляющему вектору прямой
, принадлежащую прямой, и рассмотрим радиус-
),,( zy
и
),,(
zyxr
0000
. Вектор разности этих векторов имеет координаты
),,( zy
точек
),,( zyxr
),,(
zzyyxxrr
0000
zyxM
0000
.
),,( nmls
Различные формы записи условия коллинеарности двух век-
приводят к различным формам уравнений прямой.
торов
и
rr
0
1. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулю, т. е.
.0],[
srr (1)
0
Это уравнение называется векторным уравнением прямой.
2. Записывая условие коллинеарности векторов в векторно-
параметрической форме
strr
или ,0strr (2)
0
получим векторно-параметрическое уравнение прямой. Здесь параметр
.
),(
3. Переписывая уравнение (2) в координатной форме, получим
параметрические уравнения прямой
tlxx
,
0
tmyy
,
0
tnzz
.
0
t
(3)
.
4. Исключая из уравнений (3) параметр t, получим канониче-
ские уравнения прямой
xx
yy
m
zz
000
(4)
.
n
Из уравнений (4) видно, что прямая в пространстве может
быть задана как линия пресечения двух плоскостей
),,(
55
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
PLP
P
P
LLLLL
BAl
B
A
L
DzCyBxA
,0
1111
DzCyBxA
.0
2222
Если прямая проходит через две заданные точки ),,(
и ),,(
zyxM , то в качестве направляющего вектора следует
2222
zyxM
1111
взять
,),,(
zzyyxxrrs
12121222
что позволяет написать ее уравнения в любой из форм (1)–(4).
Например, канонические уравнения прямой (4) принимают вид
xx
1
xx
12
yy
1
yy
12
zz
1
.
zz
12
Они называются каноническими уравнениями прямой, проходящей
через две заданные точки ),,(
Рассмотрим две прямые
),,(
и
nmls – их направляющие векторы. Тогда угол между
2222
zyxM и ),,(
1111
L и 2L . Пусть
1
zyxM.
2222
nmls
1111
двумя прямыми можно найти как угол между их направляющими
векторами
cos
ss
),(
21
ss
21
2
||||
1
2
2
1
1
nnmmll
212121
2
2
2
2
.
2
nmlnml
2
Если прямые
торы
Если прямые
векторы
L и 2L параллельны, то их направляющие век-
1
),,(
nmls и ),,(
1111
или
ss
21
L и 2L перпендикулярны, то их направляющие
1
и
),,(
nmls
1111
nmls коллинеарны и, следовательно,
2222
n
m
l
1
m
l
2
nmls
2222
1
1
2
тоже перпендикулярны
),,(
.
n
2
и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т. е.
или .0
,0),(
ss
21
nnmmll
212121
),,(
56
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
P
L
P
L
L
BmA
l
BmA
L
§ 9. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Рассмотрим прямую L с направляющим вектором
и плоскость
),,( nmls
Тогда прямая
бо пересекает
Если
секает
, либо параллельна L, либо L и 1L не лежат в одной плоско-
в одной точке, либо параллельна P.
и 1L – две прямые, то либо 1L совпадает с L, либо пере-
сти, в этом случае прямые
с вектором нормали
.
),,( CBAN
либо целиком содержится в плоскости P, ли-
L и
L называются скрещивающимися.
1
1. Если прямая параллельна плоскости, то направляющий век-
тор
и вектор нормали
),,( nmls
взаимно перпенди-
),,( CBAN
кулярны и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
0),( Ns или
.0
Cn
2. Если прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий
вектор
),,( nmls и вектор нормали ),,( CBAN коллинеарны и,
следовательно, их координаты пропорциональны:
l
n
.
C
3. Угол между прямой и плоскостью (рис. 2.13). Пусть угол
угол между прямой
угол между направляющим вектором
и ее проекцией L на плоскость, и угол –
),,( nmls и вектором нор-
–
мали
),,( CBAN
.
2
Следовательно,
),(
cos(cos
sin)
2
Ns
||||
Ns
и
57
CnBmAl
.arcsin
222222
CBAnml
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
P
x
ttt
t
x
x
x
x
L
),,( nmls
),,( CBAN
2
L
Рис. 2.13
P
4. Покажем на примерах, как аналитически распознают взаим-
ное расположение прямых и плоскостей.
Пример 1. Даны прямая
:L ,32 t
,6 ty tz 21
(1)
и плоскость
:
(2)
.0523 zy
Каково их взаимное расположение?
Решение. Выясним, какие точки прямой (1) лежат в плоскости
(2). Для этого подставим в уравнение (2) вместо x, y, z их выраже-
ния (1). В результате получим
,05)21(2)6()32(3
или
1
.0
t
2
Последнее равенство выполняется при 5,0
. Следовательно,
прямая (1) пересекает плоскость (2) в точке с координатами
5,3)5,0(32
, 5,5)5,0(6
в точке
y , 0)5,0(21
.
)0;5,5;5,3(
z , т. е.
58
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
zyx
x
x
Пример 2. Определить взаимное расположение прямой (1)
и плоскостей
(3)
052133
и
(4)
zy
.0822133
Решение. Подставим выражения (1) в уравнение (3), получим
равенство 77 = 0. Так как оно неверно, то прямая (1) и плоскость (3)
не пересекаются – они параллельны.
Подставляя выражения (1) в уравнение (4), получим тождество 0 = 0 (оно не содержит параметр t). Следовательно, прямая (1)
принадлежит плоскости (4) – все ее точки являются также точками
плоскости (4).
Пример 3. Определить взаимное расположение прямой (1)
и прямой
,2
y
,61
В качестве параметра прямой (5) используем новую букву
. (5)
44z
.
Решение. Выясним сначала, будут ли эти прямые иметь об-
щую точку. Если такая точка существует, то ей соответствует такое
значение параметра t и такое значение
, при которых получаются
одни и те же значения x, y, z. Следовательно, мы должны иметь
t
t
t
,6132
,26
.4421
Эти уравнения не удовлетворяются ни при каких значениях t и
так как из первого уравнения следует
время в силу второго уравнения
t
t или 12 t , в то
363
. Следовательно, наши
62
,
прямые не пересекаются, т. е. либо они параллельны, если лежат
в одной плоскости, либо скрещиваются.
Рассмотрим направляющие векторы прямых (1) и (5)
)2;1,3(
1
s и )4;2;6(2s . Так как векторы коллинеарны (коор-
динаты векторов пропорциональны), то прямые (1) и (5) параллельны.
59
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
P
x
P
yx
P
ttt
t
Xx
xf
Xfx
f
NX
x
f
x
Задача. Найти проекцию точки )3;1;2(
.
01032 zy
на плоскость
Решение
1. Сделаем схематический рисунок (рис. 2.14).
2. Пусть точка Q является
);1;32(–P
ортогональной проекцией
точки P на плоскость. Уравнение плоскости
, следовательно,
010
z
ее вектор нормали есть вектор
)1;3;2( N , который
можно рассматривать как направляющий вектор прямой,
перпендикулярно плоскости.
32
);3;–12(N
)1,3,2( N
Q
Рис. 2.14
проходящей через точку )3;1;2(
)3,1,2(
Напишем параметрические уравнения этой прямой (см. формулу
(3) § 7):
,
tx22
,
ty 31
.3 tz
3. Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого
подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости
ttt
010)3()31(3)22(2
и решим последнее уравнение относительно параметра t:
, или 1414
01039344
и .1
t
Подставив 1
t в параметрические уравнения прямой, найдем
координаты проекции точки P на плоскость:
,
x
Q
0122
y
Q
,
4131
z
Q
.213
Ответ. Проекцией точки P на плоскость является точка
)2;4;0(Q .
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]