Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
A
x
3. Разность векторов
Определение 3. Разностью векторов a и b называется такой
вектор
.
cba
, который в сумме с вектором
bac
С помощью параллело-
дает вектор
b
D
грамма можно дать интерпретацию разности векторов
b
ba
(рис. 2.6). Направленный отрезок
C изображает сумму ba
резок
DB представляет разность
. Таким образом, чтобы
ba
получить разность
привести векторы
и
a
сти из конца вычитаемого
. От-
A
, нужно
ba
к единому началу и направить вектор разно-
b
в конец уменьшаемого
b
a
Рис. 2.6
a
B
(см. рис. 2.6).
Замечание. Разность векторов выражается через операции сло-
жения и умножения вектора на число:
.
baba )1(
4. Орт вектора
Определение 4. Ортом вектора a называется вектор 0a , кол-
линеарный вектору
a , если его длина 1||
дает с направлением вектора
Вектор
|| aaa .
0
и его орт
a
.
a
связаны следующим соотношением
a
0
a и направление совпа-
0
§ 3. Векторы в декартовой системе координат
Пусть в пространстве введена правая декартова система коор-
динат и декартов базис
правление единичных векторов
декартовых осей координат
чим проекции вектора
тогда вектор
a однозначно представляется в виде
a на координатные оси через
),,( kji , изображенные на рис. 2.7. На-
kji ,, совпадает с направлением
O
, Oy, Oz соответственно. Обозна-
a
kajaiaa
. (1)
zyx
a
a и za ,
,
y
x
, т. е.
C
41
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
z
z
k
j
O
y
i
x
Рис. 2.7
Декартов базис позволяет установить взаимно однозначное
соответствие между векторами
Представление вектора
),,(
aaaa считаем эквивалентными. Числа
zyx
a в виде kajaiaa
ваются координатами вектора
a и тройками чисел ),,(
a ,
a в базисе ),,( kji .
и в виде
zyx
a и za назы-
y
x
Если даны координаты векторов
и число
),,(
bbbb
zyx
, то операции сложения и умножения век-
тора на число примут вид
),,,(
babababa
zzyyxx
(2)
).,,(
aaaa
zyx
Если даны координаты начала ),,(
),,(
zyxM вектора a , то координаты вектора a вычисляются
2222
zyxM и конца
1111
по формулам:
,
xxa
y
x
12
yya
и .
12
zza
12
(3)
aaa .
zyx
),,(
aaaa
zyx
,
42
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
§ 4. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению длин этих векторов на
и
b
косинус угла
между ними. Скалярное произведение двух векторов
a и b будем обозначать символом ),( ba , тогда по определению
.cos||||),( baba (1)
Свойства скалярного произведения:
скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю или векторы перпендикулярны;
скалярное произведение самого вектора на себя равно квад-
2
рату длины вектора
скалярное произведение коммутативно, т. е.
||),( aaa ;
),(),( abba ;
справедлив распределительный (дистрибутивный) закон
скалярного умножения относительно операции сложения:
),(),(),( cabacba ;
скалярный множитель можно выносить за знак скалярного
произведения:
.),(),( baba
Имеет место следующее утверждение.
Утверждение. Если ),,(
aaaa и ),,(
zyx
bbbb , то
zyx
.),(
babababa (2)
zzyyxx
Формулы (1) и (2) позволяют найти длину вектора
a
43
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
S
x
z
),(
222
aaaaaa (3)
zyx
и косинус угла между двумя ненулевыми векторами
cos
Замечание. Если векторы
то угол
, 0cos
ba
),(
ba
и b перпендикулярны
a
и скалярное произведение этих векторов
bababa
zzyyxx
(4)
.
222222
bbbaaa
zyxzyx
)( ba
2
равно нулю:
.0),(
babababa (5)
zzyyxx
§ 5. Векторное произведение векторов
Напомним, что в трехмерном векторном пространстве выбран
правый ортонормированный базис
),,( kji , изображенный
на рис. 2.7 и 2.8. Выбор базиса, который по определению считается
правым, равносилен ориентации пространства. Будем говорить, что
векторы
образуют правую тройку.
),,( kji
Определение векторного произведения двух векторов включа-
ет в себя выбор ориентации пространства.
Определение. Векторным произведением двух упорядоченных
векторов
и b называется новый вектор c, удовлетворяющий
a
следующим условиям:
вектор c перпендикулярен векторам a и b ;
направление вектора c выбирается так, чтобы тройка век-
торов
длина вектора c численно равна площади
грамма, построенного на векторах
началу. Пусть
образовывала правую тройку;
),,( cba
a и b , приведенных к общему
– угол между векторами
a
параллело-
и b, тогда
,
44
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
z
.sin|||||| baSc
Векторное произведение будем обозначать символом
k
j
i
O
y
a
.
cba ],[
],[ bac
b
|| cS
Рис. 2.8
Для определения направления вектора
менять также правило «правой руки»: если векторы
ведены к общему началу, то вектор
c должен быть направлен так,
],[ bac удобно при-
и c при-
a, b
как направлен средний палец правой руки, большой палец которой
направлен по первому сомножителю (т. е. вектору
ный – по второму сомножителю (т. е. вектору
ще всего используется для определения направления вектора
a ), а указатель-
). Это правило ча-
b
c .
Свойства векторного произведения:
векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны;
векторное произведение антикоммутативно, т. е.
;],[],[ abba
скалярный множитель можно выносить за знак векторного
произведения:
;],[],[ baba
45
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
A
B
A
A
A
S
справедлив распределительный (дистрибутивный) закон
векторного умножения относительно операции сложения:
.],[],[],[ cabacba
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение. Если известны координаты векторов
kajaiaa
и kbjbibb
zyx
, то координаты век-
zyx
торного произведения этих векторов определяются по формуле
(1)
.)()()(],[ kbabajbabaibababa
xyyxzxxzyzzy
Для вычисления координат векторного произведения удобно
использовать определитель
kji
ba ],[
aaa
zyx
bbb
zyx
aa
zy
i
j
bb
zy
aa
zx
k
bb
zx
aa
yx
bb
yx
.)()()( kbabajbabaibaba
xyyxxzzxyzzy
Если векторы
ние
ba ||
), то
a и b коллинеарны (введем для них обозначе-
. Иногда коллинеарные векторы называют
0],[ ba
параллельными. В координатной форме условие коллинеарности
векторов
a и b выглядит так:
a
x
b
x
a
a
y
z
,
(2)
b
b
z
y
т. е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Задача. Даны три точки )4;2;1(
Найти: 1) скалярное произведение
, )5;0;3(
и )2;4;1(
C .
; 2) векторное
),2( ACACAB
46
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
A
A
A
S
произведение
го на векторах
Решение
B
; 3) площадь параллелограмма, построенно-
],[ ACAB
и
.
C
1. Найдем координаты векторов
AB
и
, используя фор-
C
мулу (3) § 3:
,)9;2;2()45;20;13( AB
.)6;6;2()42;24;11( AC
Используя формулы (2) § 3, сначала находим координаты вектора
.
)12;2;6(
Скалярное произведение векторов
, затем координаты вектора
)18;4;4(2 AB
ACAB 2 и AC вычисля-
ем по формуле (2) § 4:
2.
Векторное произведение векторов
3.
находим по формуле (1) § 5:
)6;6;2(
.163042))2(262(
kjik
Таким образом, получаем, что
4.
Из определения векторного произведения следует, что пло-
щадь
параллелограмма, построенного на векторах AB и AC ,
.
)16;30;42(],[ cba
равна длине векторного произведения, т. е.
Для определения длины вектора
воспользуемся
cba ],[
формулой (3) § 4 :
222
cbaS
Ответ:
48),2( ACACAB ;
1)
)16;30;42(],[ ba ;
2)
ACAB2
.48)6()12(6)2()2(6),2( ACACAB
и
)9;2;2( AB
))6(2)2()9(()6)9()6(2(],[
jibac
AC
|||],[| cbaS .
.04,542920163042|||],[|
47
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
r
r
z
yxM
3) площадь S параллелограмма, построенного на векторах
AB и AC , равна .04,542920|||],[| cbaS
§ 6. Радиус-вектор
1. Радиус-вектор точки
Пусть в пространстве заданы декартова система координат
xOy и декартов базис
Тогда свободный вектор
ком
OM , называется радиус-вектором точки М.
, а М – произвольная точка (рис. 2.9).
),,( kji
, представляемый направленным отрез-
В дальнейшем будем предполагать, что начало радиус-вектора
совпадает с началом декартовой системы координат.
Если точка М имеет координаты (x, y, z), то радиус-вектор
точки М в базисе
),,( kji представим в виде
.),,( zyxkzjyixr
2. Расстояние между двумя точками
и
Пусть
),,(
zyxr – радиус-вектор точки ),,(
2222
– радиус-вектор точки
),,(
zyxr
1111
zyxM .
2222
),,(
zyxM
1111
),,( zyxM
k
i
O
j
x
Рис. 2.9
48
),,( zyxr
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
yxM
Тогда расстояние между двумя точками ),,(
и ),,(
zyxM равно
2222
),(||||
rrrrrrMM
12121221
или в координатной форме
2
1221
2
12
2
.)()()(||
zzyyxxMM (1)
12
3. Деление отрезка прямой в данном отношении
Пусть точка M(x, y, z) принадлежит отрезку прямой 21MM
и делит его в отношении
MM
||
1
MM
.
||
2
Если
),,( zyxr
векторы точек ),,( z
,
, ),,(
и
),,(
zyxr
1111
zyxM и ),,(
1111
– радиус-
),,(
zyxr
2222
zyxM , то
2222
1
(2)
1
)(
rrr
21
или в координатной форме
21
xxx ,
,
yyy .
1
21
zzz
1
21
1
Следствие. Радиус-вектор середины отрезка прямой
равен (в этом случае = 1)
1
2
)(
rrr (3)
21
или
xx
21
,
x
,
.
y
2
yy
21
z
2
zz
21
2
§ 7. Уравнение плоскости
Пусть в пространстве заданы декартова система координат
xOy и декартов базис
),,( kji . Плоскость в пространстве вполне
zyxM
1111
MM
21
49
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
M
x
M
x
Ax
определяется точкой
и вектором
),,( CBAN , перпендикулярным к ней. Вектор N на-
, расположенной на плоскости,
),,(
zyxM
0000
зывается вектором нормали плоскости (рис. 2.10) .
z
),,( CBAN
r
O
),,( zyxM
rr
0
),,(
zyxM
0000
r
0
,
y
x
Рис. 2.10
Выведем уравнение плоскости. Для этого возьмем произвольную точку
радиус-векторы
и ),,( zy
. Вектор разности этих векторов имеет координаты
, принадлежащую плоскости, и рассмотрим
),,( zy
),,(
zyxr и ),,( zyxr точек ),,(
0000
),,(
zzyyxxrr
0000
и перпендикулярен вектору нормали
этому их скалярное произведение равно нулю.
В результате получаем уравнение плоскости в векторной форме
(1)
.0),(
Nrr
0
Если уравнение (1) нормировать, выбрав в качестве нормали
орт
вектора N, направленный от начала координат к плоскости,
n
то получим нормальное уравнение плоскости
),,( CBAN плоскости, по-
zyxM
0000
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]