Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ"
Кафедра высшей математики и информатики
Г. А. КОТОВ, О. В. КОТОВА
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ
Учебное пособие
для студентов инженерных направлений
Макеевка
2019
УДК 514.752.4(075.8)+514.116.3(075.8)
ББК 22.151
К73
Утверждено к печати ученым советом Государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", протокол № 5 от 28.01.2019 г.
Рецензенты:
Г. В. Горр, д–р физ.–мат. наук, профессор, главный научный сотрудник Государственного учреждения "Институт прикладной математики и механики"
А. В. Мазнев, д–р физ.–мат. наук, доцент, профессор кафедры высшей математики и методики преподавания математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Донецкий
национальный университет"
В. Ф. Мущанов, д–р технич. наук, профессор, проректор по научной работе,
заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Донбасская национальная академия строительства и архитектуры"
К73 Котов Г. А. Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. [Учебное пособие] / Г. А. Котов, О. В. Котова. — Макеевка:
ГОУ ВПО "ДОННАСА", 2019. — 150 с.
Учебное издание ориентировано на первоначальное знакомство с некоторыми разделами геометрии поверхностей и сферической тригонометрии.
Материал целенаправленно изложен в форме, удобной для читателя, не владеющего тензорным исчислением. Сферическая тригонометрия представлена
в объеме достаточном для решения инженерных задач. Пособие содержит
большое количество разобранных примеров и задач для самостоятельного
решения с ответами и указаниями.
Рекомендовано для студентов инженерных направлений подготовки,
преподавателей, аспирантов, инженеров.
c
° ГОУ ВПО "ДОННАСА", 2019
c
° Котов Г. А., Котова О. В., 2019
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс дифференциальной геометрии не входит в программы подготовки студентов инженерных направлений. Это обусловлено малым количеством часов, отводимых на изучение высшей математики в целом.
Кроме того, изучение дифференциальной геометрии требует наличия
достаточно глубоких знаний по сразу нескольким разделам математики:
высшей алгебре, математическому анализу, топологии, дифференциальным уравнениям, и, как следствие, в учебных планах не может опережать указанные дисциплины или преподаваться с ними параллельно, что, естественно, предопределяет для дифференциальной геометрии
место в самом конце всего курса высшей математики для студентовинженеров. При этом некоторые специальные инженерные дисциплины: строительная механика, геодезия, картография, фотограмметрия и
дистанционное зондирование — предполагают использование в процессе изучения довольно обширных знаний по теории пространственных
кривых, теории поверхностей и сферической тригонометрии.
Данное пособие призвано, в первую очередь, дать студентам необходимые начальные сведения по сферической тригонометрии и некоторым разделам дифференциальной геометрии.
Пространственные кривые здесь рассмотрены кратко, наибольшее
внимание уделено теории поверхностей. Сферическая тригонометрия
изложена достаточно полно. Авторы в процессе работы над пособием
сознательно сделали уклон в сторону повествовательного изложения
материала, основанного на наглядных соображениях и рассуждениях,
а не на формальных математических выкладках. В пользу такого выбора выступает то обстоятельство, что изложение материала на основании
строгой математической теории требует от студентов либо слишком глубоких предварительных знаний, либо вынуждает авторов делать постоянные отсылки к соответствующим разделам той или иной дисциплины, введению нужных, но не используемых студентами в дальнейшем
понятий, названий, теорем и т. п.
Пособие содержит достаточное количество разобранных примеров
и задач для самостоятельного решения с ответами и указаниями. Определения некоторых важных понятий приведены в приложении.
Авторы надеются, что данное пособие пригодится как преподавателям для подготовки материала к занятиям, так и студентам, желающим приоткрыть дверь в мир дифференциальной геометрии.
3
ВВЕДЕНИЕ
Аналитическая геометрия построена на привлечении аппарата алгебры к изучению геометрических свойств объектов в пространстве. Использование такого подхода позволяет отвлечься от
построений и использовать абстрактные алгебраические преобразования с последующей трактовкой полученных результатов в
геометрические образы. Дифференциальная геометрия основана
на анализе бесконечно малых — дифференциальном исчислении.
В начале своего развития дифференциальная геометрия являлась частью дифференциального и интегрального исчисления,
возникшего в связи с потребностями естествознания и техники. В
XVII — XVIII вв. была построена теория плоских кривых.
Крупный сдвиг в этом направлении был произведен работами Леонарда Эйлера. В 1760 году он опубликовал работу, в которой были исследованы кривизны нормальных сечений поверхности в данной точке, введены главные направления на поверхности и дана формула, носящая и сейчас его имя. Эйлер исследовал
также и развертывающиеся поверхности, впервые рассматривая
криволинейные координаты на поверхности.
Дальнейший весомый вклад в развитие дифференциальной
геометрии в кон. XVIII — нач. XIX вв. внесен школой Гаспара
Монжа, крупного французского инженера и математика. К этому же периоду относятся и работы Жана Баптиста Мари Шарля
Менье и его ученика Симеона Пуассона.
Фундаментальные понятия кривизны и кручения пространственной кривой были явно сформулированы лишь в 1826 г. Формулы Френе получены в 1847 г. и имели координатную запись.
Векторное изложение вошло в использование лишь в XX веке.
Идеи внутренней геометрии принадлежат Карлу Гауссу, который пришел к ним, работая в области геодезии. Свои исследования он опубликовал в 1827 г. С этого времени дифференциальная
геометрия перестала быть приложением анализа и заняла свое
место в математике.
4
Открытие Николаем Ивановичем Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии,
в том числе и дифференциальной, несмотря на то, что его труды
были встречены современниками крайне недоброжелательно.
Фердинанд Миндинг, профессор университета в Дерпте (совр.
Тарту, Эстония), член-корреспондент Петербургской академии наук, рассмотрел геодезическую кривизну кривой на поверхности
и показал ее инвариантность при изгибании. Ученику Миндинга Карлу Михайловичу Петерсону принадлежит ряд крупных результатов в области дифференциальной геометрии, многие из которых были несправедливо приписаны иностранным ученым.
Также следует указать Дмитрия Федоровича Егорова, разностороннего математика, перу которого принадлежат работы по
триортогональным системам, Сергея Павловича Финикова, изучавшего специальные конструкции в трехмерном пространстве с
помощью внешних форм Картана.
В середине 20-х годов в Советском Союзе появилось и быстро развилось другое направление — тензорная дифференциальная геометрия. Ее отличительной особенностью является тензорный аппарат, позволяющий закономерно изучать геометрические
свойства пространства независимо от выбора криволинейных координат в нем. Наибольшее значение этот аппарат имеет в случае многомерных пространств, к которым большей частью и применяется. Широкое развитие тензорных методов было вызвано
потребностями физики, в первую очередь теорией относительности. Основателем школы тензорной дифференциальной геометрии в СССР являлся Вениамин Федорович Каган, продолжателями традиций — Петр Константинович Рашевский, Александр
Петрович Норден и другие.
С середины XX века в Москве оформилась дифференциально-геометрическая школа, основателем которой является Александр Данилович Александров.
5
Сферическая тригонометрия берет свое начало еще от античных ученых, поскольку ее развитие стимулировалось нуждами
астрономии. В греческой математике были хорошо разработаны
графические приемы для исследований на сфере и, в частности,
для решения сферических треугольников. Этими приемами пользовались Гиппарх и Птолемей.
Наибольшее внимание античных ученых привлекала сферика — наука, сочетавшая в себе практическую астрономию и геометрию на сфере. Она находила применение в географии и была
связана с теоретической механикой. Наиболее древнее из дошедших до нас сочинений о сферике — трактаты Аутолика из Питаны
(ок. 310 г. до н. э.). Сочинения о сферике были и у Евклида, Гипсикла и Менелая из Александрии. В трудах последнего впервые
введено понятие сферического треугольника и доказаны теоремы,
послужившие базой сферической тригонометрии.
Индийские ученые, решая задачи сферической тригонометрии, пользовались проективными методами, с помощью которых
любая задача сводилась к сравнению между собой плоских прямоугольных треугольников. Например, подобная астрономическая
задача была рассмотрена в сочинении Варахамихиры (V–VI вв.).
Важнейший период в развитии плоской и сферической тригонометрии связан с деятельностью ученых Ближнего и Среднего
Востока (с VIII в.) (подробнее см. [12]).
Среднеазиатские математики X–XI вв. Ибн Ирак, ал-Ходжанди и Абул-Вафа ал-Бузджани делят между собой огромную заслугу в истории тригонометрии. Сочинение Насир ад-Дина атТуси оказало большое влияние на развитие тригонометрии в Европе. Оно стало источником для работ Иоганна Региомонтана
(XV в.) и началом нового этапа развития этой науки.
В XVI–XVIII вв. существенный вклад в развитие сферической тригонометрии внесли работы Франсуа Виета, Р. И. Бошковича, Ф. Оппеля, Т. Симпсона и И. Г. Ламберта.
Так, например, югославский ученый Руджер Иосип Бошкович в 1737 г. привел более простое графическое решение всех ше-
6
сти задач по определению элементов сферического треугольника.
И здесь нужно отметить исследования Леонарда Эйлера, который исходил из того, что стороны сферических треугольников являются геодезическими на сфере. Вслед за Эйлером сферической тригонометрией занялись петербургские математики —
А. И. Лексель, Н. И. Фусс и Ф. И. Шуберт.
Андрей Иванович (Андерс Иоганн) Лексель, уроженец Финляндии, в 1769 г. был приглашен в Петербургскую академию профессором астрономии, где он изучал свойства сферических треугольников (подробнее см. [22, с. 209–215]).
Вслед за Лекселем исследованиями в области сферики занялся Николай Иванович Фусс, уроженец Швейцарии. Он оказывал Эйлеру, к тому времени потерявшему зрение, огромную помощь в написании более ста статей. И после смерти своего учителя
несколько десятков лет Фусс редактировал и издавал сочинения
Эйлера, не опубликованные при его жизни.
Немецкий ученый Федор Иванович (Фридрих Теодор) Шуберт был приглашен в Петербургскую академию в 1786 г. Стоит
упомянуть некоторые его значимые работы: о стереографической
проекции сфероида, о точках возврата плоской кривой, о свойствах локсодромы.
Развитие сферики не остановилось на работах Эйлера и его
петербургских учеников, оно было продолжено в XIX в. Я. Штейнером, Х. Гудерманом, М. Шалем и другими геометрами.
7
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Поверхность и ее касательная
1.1. Поверхность. Способы задания поверхностей.
Уравнения некоторых поверхностей
Рассмотрим трехмерное евклидово (см. A.1) пространство
3
и введем в нем прямоугольную декартову (см. A.2) систему
R
координат Oxyz. Равенство F (x, y, z) = 0 устанавливает зависимость между координатами точки M (x, y, z) ∈ R
всех точек M(x, y, z), удовлетворяющих этому уравнению, обра-
3
зует в пространстве R
некоторое геометрическое место точек.
Иногда удобнее связь между координатами точек поверхности записать системой трех уравнений x = x(u, v), y = y(u, v),
z = z(u, v), где u, v — независимые параметры, имеющие свои области изменения. Эту систему трех уравнений можно, в свою очередь, объединить в одно уравнение, используя для записи векторфункцию ~r(M ), или ~r(x, y, z), или ~r(u, v).
Чтобы избежать введения понятий и определений, выходящих за рамки курса высшей математики, изучаемого в технических вузах, предполагается, что вектор-функция ~r(u, v) диф-
ференцирума (см. A.3) по всем своим переменным столько раз,
сколько это необходимо для решения задач.
3
. Совокупность
Определение 1. Дифференциальная геометрия рассматривает поверхность как геометрическое место точек, которые определяются параметрическим уравнением ~r = ~r(u, v), где
~r — радиус-вектор текущей точки, или системой уравнений
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Приведем параметрические уравнения некоторых поверхностей.
1) Рассмотрим плоскость (рис. 1.1), которая проходит че-
рез точку M
, параллельную двум не коллинеарным (см. A.4)
0
8
заданным направляющим векторам ~e,~f. Если M — произвольная
0
&
&
&
U
&
FED
Q
&
[
]
\
5
точка этой плоскости, то вектор
−−−→
M = ~r −~r0компланарен (см.
M
0
A.5) векторам ~e,~f, и имеет место разложение
~r = ~r
+ u~e + v~f, u, v ∈ R.
0
Данное разложение представляет собой векторное параметрическое уравнение плоскости.
В декартовых координатах
H
уравнение плоскости имеет вид:
a(x −x
) + b(y −y0) + c(z −z0) = 0,
0
0
I
где ~n = (a, b, c) — нормальный век-
тор плоскости, (x
принадлежащая данной плоскости.
, y0, z0) — точка,
0
U
2) Векторное параметрическое уравнение сферы радиуса R
(рис. 1.2) с центром в начале координат O(0, 0, 0) имеет вид:
~r = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u), u ∈h−
В декартовых координа-
2
Рис. 1.1
π
,
2
i
π
, v ∈ [0, 2π).
2
тах уравнение сферы радиуса
R с центром в точке (0, 0, 0):
2
+ y2+ z2= R2.
x
3) Векторное параметрическое уравнение эллип-
соида (рис. 1.3) с центром в
точке (0, 0, 0) имеет вид:
~r = (acos u cos v, b cos u sin v, c sin u),
i
π
u ∈h−
π
,
, v ∈ [0, 2π).
2
2
Здесь a, b, c — полуоси эллипсоида.
Рис. 1.2
9
[
\
]
D
F
В декартовых координа-
[
\
]
D
F
тах уравнение эллипсоида с
центром в точке (0,0, 0) и полуосямиa,b,c:
2
2
x
y
+
2
a
b
2
z
+
2
= 1.
2
c
4) Векторное параметрическое уравнение конуса
(рис. 1.4) с центром в точке
(0, 0, 0) имеет вид:
~r = (aucos v, bu sin v, cu), u ∈ R, v ∈ [0, 2π).
В декартовых координатах уравнение конуса с центром в точке (0, 0, 0) и полуосями a, b, c:
2
2
x
y
+
2
a
b
2
z
=
2
.
2
c
При a=b конус называется
круговым.
E
Рис. 1.3
E
Определение 2. Поверхность, которая порождается движением прямой
линии (образующей), параллельной неподвижной пря-
Рис. 1.4
мой, называется цилиндрической. Всякая линия, которую образующая пересекает в любом своем положении, называется на-
правляющей.
Значит, уравнение, не содержащее координаты z и представляющее на плоскости Oxy некоторую линию L, является в пространстве цилиндрической поверхностью, у которой образующая
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]