Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
Окончательно получим
D
E
F
$
$
%
&
D
F
E
D
E
J
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.
Обобщим эту формулу
на случай, когда треугольник
◦
имеет стороны больше 90
Пусть, например, b > 90
◦
(остальные случаи анало-
90
◦
, c >
.
гично). Продолжим стороны
сферического треугольника b
и c до их пересечения в точке A
В сферическом треугольнике A
◦
ку ABC) стороны (180
− b) < 90◦и (180◦− c) < 90◦. К этому
′
(рис. 2.11).
′
BC (смежном к треугольни-
Рис. 2.11
треугольнику применяем формулу, доказанную выше:
◦
cos a = cos(180
− b) cos(180◦− b) + sin(180◦− b) sin(180◦− b) cos α,
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.
Эта формула совпадает с уже полученной. Теорема доказана.
$
$
Замечание. Для того
чтобы записать теорему ко-
E
синусов для других сторон и
угла, применяют метод круговой перестановки элементов (см. рис. 2.12). Например,
формула cos b = cos c cos a +
sin c sin a cos β получена заме-
ной a на b, b на c, c на a, α на
D
F
Рис. 2.12
β.
Косинус угла сферического треугольника выражается из тео-
ремы косинусов:
cos α =
cos a − cos b cos c
sin b sin c
.
111
Пример 51. Заданы стороны сферического треугольника
◦53′
a = 34
, b = 46◦15′и угол γ = 57◦24′между ними. Найти
третью сторону.
Решение.
Воспользуемся формулой из теоремы косинусов для
стороны c сферического треугольника:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ.
´
◦
Преобразуем a = 34
´
◦
15
+
= 46,25◦, γ = 57◦24′=³57 +
60
◦53′
=³34 +
53
≈ 34, 88◦, b = 46◦15′=³46+
60
24
60
´
◦
= 57,4
◦
и вычислим значение выражения:
◦
cos c = cos 34, 88
cos 46, 25◦+ sin 34, 88◦sin 46, 25◦cos 57, 4◦=
= 0,8204 · 0, 6915 + 0, 5719 · 0, 7224 · 0, 5388 ≈ 0, 7899.
Тогда
´
c =arccos 0, 7899 ≈ 37, 82◦=³37 +
´
◦
=³37 +
49, 2
60
= 37◦49, 2′.
82
100
◦
=³37 +
82 · 60
100 · 60
´
◦
=
Ответ:
c ≈ 37◦49, 2′.
Пример 52. Стороны сферического треугольника равны
◦32′
a = 112
, b = 103◦2′, c = 99◦56′. Найти угол α, который ле-
жит напротив стороны a.
Решение.
Воспользуемся формулой cos α =
´
◦
2
60
56
60
32
60
´
´
≈ 112, 53◦,
◦
≈ 103, 03◦,
◦
≈ 99, 93◦.
◦32′
a = 112
b = 103
=³112 +
◦2′
=³103 +
c = 99◦56′=³99 +
cos a − cos b cos c
sin b sin c
112
.
Вычислим значение выражения:
cos α =
≈
cos a − cos b cos c
sin b sin c
−0, 3832 − (−0, 2255) · (−0, 1724)
0, 9743 · 0, 985
cos 112, 53
=
Тогда угол α = π −arccos 0, 4398 ≈ 116, 09
=³116 +
Ответ:
9 · 60
´
100 · 60
α ≈ 116◦5, 4′.
◦
=³116 +
5, 4
60
´
◦
◦
− cos 103, 03◦cos 99, 93
sin 103, 03◦sin 99, 93
≈ −0, 4398.
◦
=³116+
= 116◦5, 4′.
◦
9
100
◦
≈
´
◦
=
Для наглядного применения сферической теоремы косинусов для стороны сферического треугольника рассмотрим прикладную задачу.
Пример 53. Два города, лежащие на разной восточной долготе, лежат на ϕ
= 32◦45′и ϕ2= 45◦30′северной широты. Крат-
1
чайшее расстояние между ними a = 5134, 36 км. Который час по
местному времени в городе, который лежит восточнее, если в западном 10 ч 20 мин.?
Решение.
Рассмотрим на рис. 2.5 сферический треугольник
ABC . Будем считать, что точка A — это северный полюс, точка B
— город, лежащий восточнее, а точка C — западнее. Кратчайшее
расстояние a равно расстоянию BC на большом круге.
Расстояние a дает значение центрального угла, который соответствует дуге BC. Длина большой окружности Земли равна
40000 км, центральному углу в 1
дуга длиной в 111 км. В нашем случае a =
= 46,26
◦
.
◦
соответствует, таким образом,
5134, 36 км · 1
111 км
◦
=
´
◦
45
= 32◦45′=³32 +
ϕ
1
= 32,75◦, ϕ2= 45◦30′= 45,5◦.
60
Воспользуемся теоремой косинусов для стороны a этого тре-
113
угольника:
cos a = cos(90
+ sin(90◦− ϕ1) sin(90◦− ϕ2) cos(λ2− λ1).
Отсюда разность долгот:
◦
− ϕ1) cos(90◦− ϕ2)+
cos 46, 26
=
cos(λ
◦
− sin 32, 75◦· sin 45, 5
− λ1) =
2
cos 32, 75◦· cos 45, 5
≈ 0, 5182, ⇒ λ
cos a − sin ϕ
cos ϕ1cos ϕ
◦
◦
− λ1= arccos0, 5182 ≈ 58, 79◦.
2
=
sin ϕ
1
2
=
2
0, 6914 − 0, 541 · 0, 7133
0, 841 · 0, 701
≈
Каждому градусу разности долгот соответствует разница во
времени 4 минуты потому, что за 24 часа Земля вращается на
◦
. В восточном городе время должно быть больше, поэтому
360
к 10 ч 20 мин. (время западного города) необходимо добавить
58, 79
·
Ответ:
≈ 235 мин., т. е. 3 ч 55 мин.
◦
1
в восточном городе 14 ч 15 мин.
4 мин.
◦
Задания для самостоятельного решения
Заданы стороны сферического треугольника и угол между
ними. Найти третью сторону треугольника.
6.4. b = 108
6.5. a = 69
6.6. a = 77
6.7. b = 98
◦27′
, c = 88◦13′, α = 162◦19′, a =?
◦43′
, c = 100◦18′, β = 107◦9′, b =?
◦56′
, b = 124◦46′, γ = 111◦53′, c =?
◦15′
, c = 140◦48′, α = 133◦6′, a =?
Даны три стороны сферического треугольника. Найти ука-
занный угол.
◦12′
6.8. a = 86
6.9. a = 137
, b = 125◦44′, c = 101◦22′, β =?
◦1′
, b = 85◦41′, c = 106◦52′, γ =?
6.10. a = 116◦, b = 97◦13′, c = 141◦4′, α =?
114
6.4. Теорема синусов для сферического
треугольника
Формулы, выражающие зависимость между двумя сторонами
сферического треугольника и двумя противолежащими им углами, называют теоремой синусов.
Теорема синусов (рис. 2.6) Синусы сторон сферического
треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов:
sin a
sin α
=
sin b
sin β
=
sin c
sin γ
.
Доказательство.
2
cos
α =
Возведем формулу для cos α в квадрат:
2
a − 2 cos a cos b cos c + cos2b cos2c
cos
.
sin2b sin2c
2
Запишем выражение для 1 −cos
2
cos
1 − cos
2
α = 1 −
a − 2 cos a cos b cos c + cos2b cos2c
α:
,
sin2b sin2c
2
b sin2c − cos2a + 2 cos a cos b cos c − cos2b cos2c
sin
2
sin
α =
.
sin2b sin2c
Вместо синусов в числителе правой части запишем соответствующие косинусы, а затем разделим обе части равенства на
2
sin
a:
2
sin
α =
2
(1 − cos
=
b)(1 − cos2c) − cos2a + 2 cos a cos b cos c − cos2b cos2c
sin2b sin2c
2
sin
sin2a
α
=
1 − cos
2
b − cos2c − cos2a + 2 cos a cos b cos c
sin2a sin2b sin2c
.
Заметим, что выражение в правой части симметрично относительно a, b и c, то есть при круговой перестановке букв не
,
115
изменит своего значения. Положим, что это значение равно неко-
2
sin
α
торому числу k, тогда
2
sin
sin2b
β
= k и
2
sin
sin2c
γ
= k. Теорема доказана.
sin2a
= k. Аналогично доказываем для
Пример 54. Две стороны сферического треугольника равны
◦14′
a = 75
, b = 64◦15′и угол α = 83◦27′. Найти угол β.
Решение.
Воспользуемся сферической теоремой синусов:
sin a
sin b
Т. к.
=
a = 75
b = 64
α = 83
sin α
sin β
◦14′
◦15′
◦27′
⇔ sin β =
=³75 +
=³64 +
=³83 +
14
60
15
60
27
60
sin α sin b
´
◦
≈ 75, 23◦,
´
◦
≈ 64, 25◦,
´
◦
≈ 83, 45◦,
sin a
.
то
sin β =
Ответ:
sin 83, 45
◦
· sin 64, 25
sin 75, 23
β = arcsin0, 9254 ≈ 67, 73
=³67 +
β = 67◦43, 8′.
◦
43, 8
60
◦
0, 9935 · 0, 9007
≈
◦
=³67 +
´
◦
= 67◦43, 8′.
0, 967
73
100
≈ 0, 9254,
´
◦
=
Задания для самостоятельного решения
Даны две стороны сферического треугольника и угол. Найти другой угол.
6.11. a = 96
◦42′
, c = 107◦16′, α = 135◦55′, γ =?;
6.12. b = 77◦50′, c = 99◦15′, γ = 129◦33′, β =?
116
6.5. Теорема косинусов для углов сферического
треугольника
Формулы, обратные к сферической теореме косинусов для сторон, определяют зависимость между тремя углами и одной стороной сферического треугольника и называются теоремой коси-
нусов для углов.
Теорема (Формула косинуса угла)
cos α = −cos β cos γ + sin β sinγ cos a.
Доказательство.
Запишем сферическую теорему косинусов
для трех сторон, применяя круговую перестановку элементов (см.
рис. 2.12):
cos a = cos b cosc + sin b sin c cos α,
cos b = cos c cosa + sin c sin a cos β,
cos c = cos a cosb + sin a sin b cos γ.
Подставим значение cos c из третьего равенства в первые два.
Получим
cos a = cos b(cos a cos b + sin a sin b cos γ) + sinb sin c cos α,
cos b = (cos a cos b + sin a sin b cos γ) cos a + sin c sin a cosβ.
Рассмотрим первое из полученных уравнений. Раскроем скоб-
ки и выполним некоторые элементарные преобразования:
cos a
= cosa cos2b + sin asin b cos b cos γ + sin b sin c cos α,
2
cos a¡1 − cos
b¢= sinb(sin a cos b cos γ + sin c cos α),
разделим обе части равенства на sin b 6= 0:
cos a sin
2
✁
✘
✘
✘
b =
sin b(sin a cos b cos γ + sin c cos α),
cos a sin b = sin a cos b cosγ + sin c cos α.
117
Выполняя аналогичные преобразования во втором равенстве,
получим:
cos b sin a = sin b cos a cosγ + sin c cos β.
В силу сферической теоремы синусов можно записать равен-
ства sin a = = k sin α, sin b = k sin β, sin c = k sin γ. Тогда
k cos a sinβ = k sin α cos b cos γ + k sin γ cos α,
k cos b sinα = k sin β cos a cos γ + k sin γ cos β.
Сократим на k, а затем в первом равенстве вместо выражения cos b sin α подставим второе равенство и выполним преобразования:
cos a sin β = (sin β cos a cos γ + sin γ cos β) cos γ + sin γ cos α,
cos a sin β
= sinβ cos a cos2γ + sin γ cosγ cos β + sin γ cos α,
cos a sin β¡1 − cos2γ¢= sinγ cos γ cos β + sin γ cos α,
разделим обе части равенства на sin γ 6= 0:
cos a sin β sin
2
✁
γ =
✟
✟
sin γ cos γ cos β +
✟
✟
✟
sin γ cos α.
✟
Окончательно: cos α = −cos γ cosβ + cos a sinβ sin γ. Теорема
доказана.
С помощью этой формулы можно находить стороны сферического треугольника, если известны его углы:
cos a =
cos α + cos β cos γ
sin β sin γ
.
Для остальных сторон аналогичные формулы можно записать, применяя круговую перестановку элементов (см. рис. 2.12).
Пример 55. Заданы углы сферического треугольника α =
◦17′
= 120
, β = 67◦25′, γ = 84◦5′. Найти сторону b.
118
Решение. Воспользуемся формулой для косинуса стороны
сферического треугольника cos b =
´
◦
α = 120
≈ 67, 42
◦17′
=³120 +
◦
, γ = 84◦5′=³84+
17
≈ 120, 28◦, β = 67◦25′=³67 +
60
´
◦
5
≈ 84, 08◦. Проведем вычисления:
60
cos β + cosγ cos α
sin γ sin α
.
25
60
´
◦
≈
cos b =
cos β + cosγ cos α
sin γ sin α
0, 384 + 0, 1031 · (−0, 5042)
≈
0, 9947 · 0, 8636
b = arccos 0, 3865 ≈ 67, 26
Ответ:
b = 67◦15, 6′.
cos 67, 42
=
◦
=³67 +
= 67
◦
+ cos 84, 08◦cos 120, 28
sin 84, 08◦sin 120, 28
≈ 0, 3865.
´
◦
26
=³67 +
◦
15, 6′.
100
15, 6
60
Задания для самостоятельного решения
Даны три угла сферического треугольника. Найти указан-
ную сторону.
6.13. α = 100
6.14. α = 77
6.15. α = 112
◦6′
, β = 59◦14′, γ = 91◦24′, a =?
◦30′
, β = 81◦15′, γ = 89◦23′, b =?
◦43′
, β = 96◦18′, γ = 69◦2′, c =?
6.6. Формулы пяти элементов сферического
треугольника
◦
◦
≈
´
◦
=
Следующие формулы связывают между собой пять элементов
сферического треугольника: три стороны и два угла или три угла
и две стороны. Имеют место следующие теоремы (см. рис. 2.13).
119
D
E
J
D
E
F
Теорема (формула синуса стороны на
косинус угла)
sin a cos γ = sin b cos c − cos b sin c cos α.
Доказательство.
Применим теоре-
му косинусов для сторон a и c:
cos c = cos b cosa + sin b sin a cos γ,
cos a = cos b cosc + sin b sin c cos α.
Рис. 2.13
Исключим cos a из первой формулы, используя вторую:
cos c = cos b(cos b cos c + sin b sin c cos α) + sin b sin a cos γ,
cos c = cos2b cos c + cos b sin b sin c cos α + sin b sin a cos γ,
cos c = (1 − sin
0 = −sin
2
2
b) cos c + cos b sin b sin c cos α + sin b sin a cos γ,
b cos c + cos b sin b sin c cos α + sin b sin a cos γ.
Разделим обе части равенства на sin b 6= 0 и приведем фор-
мулу к искомому виду:
0 = −sin b cos c + cos b sin c cos α + sin a cos γ,
sin a cos γ = sin b cos c − cos b sin c cos α.
Чтобы получить формулу для sin c cos α, необходимо исклю-
чить cos c из первых двух выражений. Если брать другие пары
формул теоремы косинусов, получим выражения для оставшихся
сторон и углов. Теорема доказана.
Теорема (Формула синуса угла на косинус стороны)
sin β cos c = sin α cosγ + cos α sin γ cos b.
Доказательство.
На основании теоремы синусов запишем
равенства sin a = k sin α, sin b = k sin β, sin c = k sin γ и подставим
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]