Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
их в формулу sin a cos γ = sin b cos c−cos b sin c cos α из предыдущей
теоремы
k sin α cosγ = k sin β cos c −k cos b sin γ cosα,
sin β cos c = sin α cosγ + cos α sin γ cos b.
Остальные соотношения получаются аналогично. Теорема
доказана.
записать для других сторон и углов с помощью круговой перестановки букв. Таких формул для каждого случая будет 6.
6.7. Формулы четырех элементов сферического
треугольника
Следующие формулы связывают между собой четыре элемента сферического треугольника: две стороны, угол между ними и
один из противолежащих углов. Имеют место следующие формулы (см. рис. 2.13)
Теорема (Формулы с котангенсами)
sin c ctg a − sin β ctg α = cos c cos β;
sin b ctg a
cos b cos γ
По рисунку 2.13 понятно, что кроме комбинации αcβa, можно получить еще пять различных комбинаций из элементов двух
углов и двух сторон:
гонометрии позволяет выявить зависимости и взаимосвязь между
элементами сферического треугольника. Нет необходимости заучивать их наизусть, достаточно понимать, как они получены и
где их можно применить.
sin γ ctg α
−
cos b cos γ
βaγb γbαc aγbα bαcβ cβaγ
= 1;
121
ctg a
ctg b
·
cos γ
1
−
ctg α
ctg γ
·
cos b
1
= 1.
7. Решение сферических треугольников
Решение сферических треугольников, являясь предметом сферической тригонометрии, находит применение в астрономии, картографии, навигации, геодезии, кристаллографии, фотограмметрии.
7.1. Решение прямоугольных сферических
треугольников
Сферический треугольник называется прямоугольным, если
один из его углов прямой. Сторону, противолежащую прямому
углу, называют гипотенузой, а две другие — катетами. Но, в отличие от плоского случая, углы, прилежащие к гипотенузе, могут
быть прямыми или даже тупыми.
Сферический треугольник определяется по трем его элементам. Так как в прямоугольном сферическом треугольнике один
угол — прямой — известен, то остается задать еще два элемента.
Оставшиеся элементы треугольника можно найти по формулам,
приведенным в предыдущих пунктах.
В теореме косинусов (a — гипотенуза) при α = 90
упрощается и имеет место следующая
Теорема 1 (Сферическая теорема Пифагора) Косинус гипотенузы некоторого сферического прямоугольного треугольника
равен произведению косинусов его катетов:
◦
формула
cos a = cos b cosc ,
где a — гипотенуза, b, c — катеты сферического треугольника.
Рассмотрим теорему синусов при α = 90
=
sin b
следует sin a =
sin β
sin b
и имеет место следующая
sin β
◦
sin a
sin α
Теорема 2 Синус каждого из катетов равен синусу гипо-
122
=
тенузы, умноженного на синус противолежащего угла:
sin b = sin a sin β ,
где a — гипотенуза, b — катет, β — противолежащий угол к b.
Теорема 3 Тангенс каждого из катетов равен произведе-
нию тангенса гипотенузы на косинус угла, прилежащего к нему:
tg c = tg a cos β ,
где a — гипотенуза, c — катет, а β — угол между ними.
Доказательство.
Формулы синуса стороны на косинус при-
лежащего угла (см. п. 6.4) имеет вид
sin b cos α = sin c cos a − cos c sin a cos β.
Для прямоугольного треугольника с гипотенузой a имеем
при cos α = 0 равенство 0 = sin c cos a − cos c sin a cos β из которого определим sin c cos a = cos c sin a cos β. Разделив обе части
последнего равенства на произведение sin a cos c, получим следующее: tg c ctg a = cos β или tg c = tg a cos β. Теорема доказана.
Теорема 4 Тангенс одного из катетов равен произведению
синуса второго катета на тангенс противолежащего угла:
tg b = sin c tg β .
Доказательство.
Из формул с котангенсами (см. п. 6.5) с помощью круговой подстановки запишем такую формулу, в которой
есть синус и косинус α:
sin c ctg b − sin α ctg β = cos c cos α.
◦
Полагая α = 90
, т. е. sin α = 1, cos α = 0, получим равенство
sin c ctg b − ctg β = 0, из которого следует формула в теореме
tg b = sin c tg β. Теорема доказана.
123
сферическом треугольнике катет и противолежащий ему угол находятся всегда в одной четверти. Это следует из предположения,
что все стороны и углы в треугольнике меньше
180
◦
. Тогда
sin
всегда положителен, а tg b и tg β должны иметь одинаковые знаки.
Теорема 5 Произведение котангенсов углов, прилежащих
к гипотенузе, равно косинусу гипотенузы:
Доказательство.
Рассмотрим основную формулу косинуса
ctg βctg γ = cos a .
угла (см. п. 6.5) cos α = −cos β cos γ + sin β sin γ cos a. Из нее при
cos α = 0 получим выражение cos β cos γ = sin β sin γ cos a. Разде-
лим обе части равенства на произведение sin β sin γ. Окончательно: cos a = ctg β ctg γ. Теорема доказана.
Теорема 6 Косинус одного из углов равен произведению ко-
синуса противолежащей стороны на синус второго угла:
cos β = sin γ cos b ; cos γ = sin β cos c .
c
Доказательство.
Рассмотрим основные формулы косинуса
угла (см. п. 6.5), применяя круговую подстановку:
cos β = − cos α cos γ + sin α sin γ cos b,
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c.
При cos α = 0, sin α = 1 формулы примут вид:
cos β = sin γ cos b; cos γ = sinβ cos c.
Теорема доказана.
получить аналогично, используя круговую перестановку элементов (см. рис. 2.12).
Возможны шесть разных случаев решения прямоугольных
треугольников при условии, что заданы:
1) гипотенуза и катет;
124
2) два катета;
3) гипотенуза и прилегающий к ней угол;
4) катет и прилегающей к нему угол;
5) два угла;
6) катет и противоположный ему угол.
Для решения рекомендуется использовать формулы теорем
1–6 (п. 7.1), при этом необходимо проводить контроль правильности расчетов и следить за тем, чтобы значения элементов соответствовали условиям существования сферического треугольника.
Пример 56. Катеты прямоугольного сферического треуголь-
◦37′
ника равны b = 63
, c = 71◦15′. Найти гипотенузу a и углы,
которые лежат напротив катетов.
Решение.
1) Чтобы найти гипотенузу, применим сфериче-
скую теорему Пифагора (теорема 1): cos a = cos b cos c.
´
◦
´
◦
≈³81 +
37
60
15
60
´
≈ 63, 62◦,
◦
= 71,25◦,
47, 4
60
´
◦
= 81◦47, 4′.
b = 63
c = 71
cos a ≈ cos 63, 62
◦
a ≈ 81, 79
=³81 +
◦37′
=³63 +
◦15′
=³71 +
◦
· cos 71, 25◦≈ 0, 4443 · 0, 3214 ≈ 0, 1428,
79
100
2) Чтобы найти угол β, воспользуемся теоремой 2:
´
◦
≈³64 +
◦
◦
0, 8959
≈
0, 9898
50, 4
60
≈ 0, 9051,
´
◦
= 64◦50, 4′.
sin β =
β ≈ 64, 84
sin b
sin a
◦
=³64 +
sin 63, 62
=
sin 81, 79
84
100
3) Угол γ можно найти несколькими способами. Здесь вос-
пользуемся теоремой 6:
cos γ = sin β cos c =
= sin64, 84
◦
cos 71, 25◦≈ 0, 9051 · 0, 3214 ≈ 0, 2909,
γ ≈ 73, 09◦=³73 +
9
100
´
◦
≈³73 +
125
5, 4
60
´
◦
= 73◦5, 4′.
Ответ: гипотенуза a ≈ 81◦47, 4′, угол β ≈ 64◦50, 4′, угол
γ ≈ 73◦5, 4′.
Пример 57. Катет прямоугольного сферического треуголь-
◦11′
ника равенb= 46
, противолежащий уголβ= 59◦55′. Найти
гипотенузу, второй катет и угол, лежащий напротив него.
Решение.
мой 2.
a ≈ 56, 49
1) Чтобы найти гипотенузу, воспользуемся теоре-
´
◦
´
◦
≈³56 +
◦
◦
11
60
55
60
=
≈ 46, 18◦,
´
◦
≈ 59, 92◦,
0, 7215
0, 8653
29, 4
60
≈ 0, 8338,
´
◦
= 56◦29, 4′.
sin a =
b = 46
β = 59
sin b
sin β
◦
=³56 +
◦11′
◦55′
≈
=³46 +
=³59 +
sin 46, 18
sin 59, 92
49
100
2) Чтобы найти второй катет c, воспользуемся, например,
теоремой 3:
◦
tg c = tg a cos β ≈ tg 56, 49
◦
тогда c ≈ 37, 13
=³37 +
cos 59, 92◦≈ 1, 5103 · 0, 5012 ≈ 0, 757,
13
100
´
◦
≈³37 +
7, 8
60
´
◦
= 37◦7, 8′.
3) Чтобы найти угол γ, лежащий напротив катета c, восполь-
зуемся, например, теоремой 6:
◦
cos γ = sin β cos c ≈ sin 59, 92
тогда γ ≈ 46, 38
Ответ:
γ = 46
◦
22, 8′.
◦
=³46 +
гипотенуза a = 56◦29, 4′, катет c = 37◦7, 8′, угол
cos 37, 13◦≈ 0, 8653·0, 7973 ≈ 0, 6899,
38
100
´
◦
≈³46 +
22, 8
60
´
◦
= 46◦22, 8′.
Пример 58. В прямоугольном сферическом треугольнике
◦
гипотенуза a = 60
Решение.
, катет b = 30◦. Найти углы α, β и катет c.
1) В данном треугольнике угол α лежит напротив
гипотенузы a, значит, он является прямым, т. е. α = 90
126
◦
.
2) Чтобы найти угол β, воспользуемся теоремой 2.
◦
sin β =
sin b
sin a
=
sin 30
sin 60
0, 5
≈
◦
0, 866
≈ 0, 5774,
тогда β ≈ 35, 27
◦
=³35 +
27
100
´
◦
≈³35 +
16, 2
60
´
◦
= 35◦16, 2′.
3) Чтобы найти катет c, воспользуемся, например, теоре-
мой 3:
◦
tg c = tg a cos β ≈ tg 60
◦
тогда c ≈ 54, 73
Ответ:
=³54 +
угол α = 90◦, угол β = 35◦16, 2′, катет c = 54◦43, 8′.
cos 35, 27◦≈ 1, 7321 · 0, 8164 ≈ 1, 4141,
73
100
´
◦
≈³54 +
43, 8
60
´
◦
= 54◦43, 8′.
Задания для самостоятельного решения
7.1. Катеты прямоугольного сферического треугольника
◦8′
b = 57
, c = 43◦15′. Найти гипотенузу и углы, которые лежат
напротив катетов.
7.2. Катет прямоугольного треугольника равен b = 42
◦37′
противолежащий угол β = 59◦17′. Найти гипотенузу, второй катет
и угол, лежащий напротив него.
7.3. В прямоугольном сферическом треугольнике гипотену-
◦12′
за a = 71
, катет b = 40◦35′. Найти углы α и β и катет c.
,
7.2. Формулы Даламбера и аналогии Непера
Для произвольных сферических треугольников приведем без
доказательств еще несколько формул, необходимых для решения
треугольников.
Формулы Даламбера представляют собой зависимость меж-
ду шестью элементами сферического треугольника:
127
sin
cos
α + β
2
α + β
2
=
=
cos
cos
cos
cos
a−b
2
c
2
a+b
2
2
γ
cos
; sin
2
γ
; cos
cos
c
2
α − β
2
α − β
2
=
=
sin
sin
sin
sin
a−b
2
c
2
a+b
γ
cos
;
2
cos
γ
.
2
2
c
2
Непосредственно из формул Даламбера выводятся следующие формулы. Для определения двух углов сферического треугольника по третьему углу и прилежащих к ним сторонам используют аналогии Непера:
tg
α + β
2
=
cos
cos
a−b
2
a+b
2
· ctg
γ
; tg
2
α − β
2
=
sin
sin
a−b
2
a+b
2
· ctg
γ
.
2
Если даны два угла и сторона между ними используют другую пару аналогий Непера:
tg
a + b
2
=
cos
cos
α−β
2
α+β
2
· tg
c
; tg
2
a − b
2
=
sin
sin
α−β
2
α+β
2
· tg
c
.
2
Получить подобные зависимости для других элементов сферического треугольника можно с помощью круговой подстановки
(рис. 2.12).
7.3. Основной ход решения сферических
треугольников
Если три элемента сферического треугольника известны, то
можно найти три остальные его элемента, то есть полностью определить или, как еще говорят — решить, треугольник. В прямоугольном треугольнике один угол всегда известен, поэтому для
решения достаточно знать два элемента из оставшихся пяти.
В сферической тригонометрии различают шесть различных
случаев решения треугольников.
128
Первая группа. Решить треугольник по трем однородным
элементам.
Задача 1. Даны стороны a, b, c.
Задача 2.
Даны углыα,β,γ.
Эти задачи можно решить с помощью сферической теоремы
косинусов.
рему косинусов связана с тем, что по знаку косинуса легко определить является ли угол острым или тупым. Тогда сферическую
теорему синусов можно использовать для контроля вычислений.
Вторая группа. Решить треугольник по двум однородным
элементам и элементу, лежащему между ними.
Задача 3.
Задача 4.
Даны стороны a, b и угол γ.
Даны углы α, β и сторона c.
Эти задачи решаются с помощью Неперовых аналогий.
Третья группа. Решить треугольник по двум однородным
элементам и элементу, лежащему напротив одного из них.
Задача 5.
Задача 6.
Даны стороны a, b и угол α.
Даны углы α, β и сторона a.
Эти задачи решаются с помощью сферической теоремы си-
нусов и аналогий Непера.
правильности расчетов и следить, чтобы значения элементов удовлетворяли условиям существования сферического треугольника.
Рассмотрим решение задач каждого типа.
Пример 59. Даны три стороны сферического треугольника
a = 48
◦4′
, b = 63◦15′, c = 75◦21′. Найти его углы α, β, γ.
Решение.
Переведем в десятичные дроби значения сторон.
´
◦
◦4′
a = 48
=³48 +
b = 63◦15′=³63 +
4
60
15
60
≈ 48, 07◦,
´
◦
≈ 63, 25◦,
129
´
◦
c = 75◦21′=³75 +
21
60
≈ 75, 35◦.
Углы найдем по формуле косинуса искомого угла, а в конце
сделаем проверку с помощью сферической теоремы синусов.
1) Найдем угол α.
cos α =
cos a − cos b cos c
sin b sin c
0, 6682 − 0, 4501 · 0, 2529
≈
0, 893 · 0, 9675
α = arccos 0, 6416 ≈ 50, 09
cos 48, 07
=
◦
=³50+
◦
− cos 63, 25◦cos 75, 35
sin 63, 25◦sin 75, 35
≈ 0, 6416,
´
9
100
◦
=³50+
5, 4
´
60
2) Найдем угол β.
◦
− cos 75, 35◦cos 48, 07
sin 75, 35◦sin 48, 07
≈ 0, 3907,
◦
.
cos β =
≈
cos b − cos c cos a
sin c sin a
cos 63, 25
=
0, 4501 − 0, 2527 · 0, 6682
0, 9675 · 0, 744
β = arccos0, 3907 ≈ 67
3) Найдем угол γ.
cos γ =
cos c − cos a cos b
sin a sin b
0, 2529 − 0, 6682 · 0, 4501
≈
0, 744 · 0, 893
γ = π−arccos 0, 072 ≈ 94, 13
cos 75, 35
=
◦
=³94+
◦
− cos 48, 07◦cos 63, 25
sin 48, 07◦sin 63, 25
≈ −0, 072,
´
◦
13
100
=³94+
7, 8
60
Сделаем проверку. По сферической теореме синусов должно
выполняться тождество:
sin 48, 07
sin 50, 09
◦
◦
sin a
sin α
≈
sin b
=
sin β
sin 63, 25
sin 67
◦
=
◦
≈
sin c
. В нашем случае:
sin γ
sin 75, 35
sin 94, 13
◦
,
◦
◦
◦
= 50◦5, 4′.
◦
◦
´
◦
= 94◦7, 8′.
◦
≈
◦
≈
◦
≈
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]