Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория планирования многофакторных экспериментов. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В. Г. Шухова
А. Ф. Бойко, М. Н. Воронкова
Теория планирования
многофакторных экспериментов
Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия
для студентов направлений подготовки 15.03.05, 15.04.05 – Конструкторско-
технологическое обеспечение машиностроительных производств,
15.03.01 – Машиностроение и специальности 15.05.01 – Проектирование
технологических машин и комплексов
Белгород
2020
УДК 001.5:621
ББК 72.4
Б77
Рецензенты:
Кандидат технических наук, технический директор
ООО «Регион Ресурс» А.Д.Короп
Кандидат технических наук, доцент Белгородского государственного
технологического университета им. В.Г. Шухова Д.В. Карпачев
Б77
Бойко, А. Ф.
Теория планирования многофакторных экспериментов: учеб.
пособие / А. Ф. Бойко, М. Н. Воронкова. – Белгород: Изд-во
БГТУ, 2020. – 75 с.
В учебном пособии изложены сведения о регрессионном анализе, рототабельном
униформ-планировании эксперимента и графоаналитическом методе поиска условного
оптимума. Рассмотрены порядок и правила выполнения практических работ и расчетнографического задания, даны рекомендации по структуре и содержанию расчётнопояснительной записки и графической части работы, представлен пример выполнения
расчетно-графического задания, перечень вариантов заданий работ и необходимый
справочный материал.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки 15.03.05,
15.04.05 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных
производств, 15.03.01 – Машиностроение и специальности 15.05.01 – Проектирование
технологических машин и комплексов.
Издание публикуется в авторской редакции.
УДК 001.5:621
ББК 72.4
Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2020
3
Введение
Под экспериментом понимают совокупность операций совершаемых
над объектом исследования с целью получения информации о его
свойствах. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе
эксперимента информации является задача построения математической
модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и
при анализе процессов и при проектировании объектов. Другой задачей
обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача
оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых
переменных, при которой выбранный показатель оптимальности
принимает экстремальное значение.
Опыт – это отдельная экспериментальная часть.
План эксперимента – совокупность данных определяющих число,
условия и порядок проведения опытов.
Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента,
удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий
направленных на разработку стратегии экспериментирования (от
получения априорной информации до получения работоспособной
математической модели или определения оптимальных условий). Это
целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях
неполного знания механизма изучаемого явления.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также
формализации результатов в виде математической модели, возникают
погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных
данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет
определить погрешность математической модели и судить о ее
адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то
применение методов планирования эксперимента позволяет
модернизировать математическую модель с проведением дополнительных
опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил
проведения опытов при которых удается получить надежную и
достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а
также представить эту информацию в компактной и удобной форме с
количественной оценкой точности.
4
1. Цель расчетно-графического задания
Выполнение расчетно-графического задания является важным этапом
подготовки студентов к самостоятельной научно-исследовательской и
инженерной работе и имеет своей целью:
закрепить и углубить полученные студентом теоретические знания;
развить способность студентов правильно планировать, проводить
и обрабатывать результаты эксперимента с применением методов
математической статистики;
приобрести навык выбора уровней и интервалов варьирования
факторов, построения матриц планирования экспериментов
первого и второго порядка, составления уравнений регрессий
линейного и квадратичного типов, вычисления коэффициентов
математических моделей и определения их значимости, проверки
адекватности моделей, раскодирования уравнений регрессии;
показать умение применять полученные теоретические знания к
решению практических задач поиска условного оптимума на
примере двухфакторного процесса с двумя выходными
параметрами с использованием графоаналитического метода
двумерных совмещённых сечений поверхностей отклика;
показать способность построения поверхностей отклика, умение
выделить границы факторного пространства в кодированном и
натуральном виде, найти экстремальные точки на поверхности
отклика;
показать умение использовать техническую литературу,
нормативно-справочные материалы, компьютерные программы.
За принятые в РГЗ научно-технические решения, правильность и
обоснованность приводимых расчётов, оформление и содержание работы
несёт ответственность студент. На основании качества выполнения,
соблюдения установленных сроков, уровня защиты РГЗ, определяется его
оценка.
2. Структура и содержание составных частей РГЗ
РГЗ по дисциплине «Теория планирования многофакторынх
экспериментов» выполняется по индивидуальному заданию под
руководством преподавателя дисциплины. Варианты задания представлены
в прил. 1.
Тема РГЗ: «Рототабельное планирование второго порядка с
разработкой математических моделей и оптимизацией двухфакторного
процесса с двумя выходными параметрами». Объём работы 25-30 листов
рукописного или оформленного на компьютере текста. Текст наносится на
одной стороне листа белой бумаги формата А4 шрифтом 14 с полуторным
межстрочным интервалом (текстовый процессор Microsoft Word
2003(2007), шрифт Times New Roman). Размеры полей страниц: верхних и
5
нижних – 20 мм, правых – 10 мм, левых – 20-30 мм. Отбивка заголовка три
интервала.
Нумерация листов – сквозная. Первым листом является титульный
лист, но на нем номер листа не ставится. На следующем листе
«Содержание» проставляется цифра 2 и т.д., включая список литературы.
Всё оформление РГЗ должно соответствовать общим требованиям к
текстовым документам по ГОСТ 2.105-95.
РГЗ включает в себя:
титульный лист;
содержание;
введение;
основную часть;
список литературы.
Титульный лист оформляется по образцу, показанному на первом
листе прил. 2. Титульный лист подписывается руководителем по
окончании выполнения всего объема РГЗ, что даёт право на защиту работы.
В содержании последовательно перечисляют заголовки разделов и
указывают номера страниц, на которых они помещены. Пример
оформления содержания приведён на втором листе прил. 2.
Введение состоит из следующих подразделов:
описание эксперимента;
исходные данные и результаты измерений в эксперименте;
задачи эксперимента и работы.
При описании эксперимента (подраздел 1) указаны направления
исследований, используемые оборудование и инструменты, рабочая среда,
источник технологического тока, измерительные средства, входные и
выходные параметры процесса электроэрозионной прошивки отверстий и
методика их измерений.
Исходные данные и результаты измерений в эксперименте (подраздел
2) представлены в виде четырёх таблиц, взятых из прил. 1. При этом номер
варианта задания должен соответствовать номеру студента по журналу
посещаемости. Дублирование заданий не допускается. В этом же
подразделе даётся ограничительный параметр по износу электродаинструмента и достоверность (доверительная вероятность) статистической
оценки результатов эксперимента.
В подразделе 3 введения ставятся задачи эксперимента и работы в
целом, в том числе:
по обработке результатов эксперимента первого порядка;
по обработке результатов опыта центрального композиционного
рототабельного униформ-планирования второго порядка;
по отысканию условного оптимума по производительности
процесса при ограничении по второму выходному параметру –
износу электрода-инструмента;
6
по построению и анализу трёхмерных графиков зависимости
производительности электроэрозионной прошивки отверстий и
износа электрода-инструмента от энергии и частоты импульсов
тока.
Пример оформления введения даётся в прил. 2.
Основная часть РГЗ состоит из следующих подразделов:
обработка результатов эксперимента первого порядка;
обработка результатов опыта центрального композиционного
рототабельного униформ - планирования второго порядка;
поиск и исследование области оптимума с помощью
графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений
поверхности отклика;
построение и анализ графиков.
При обработке результатов эксперимента первого порядка для обоих
выходных параметров, определяются коэффициенты линейных уравнений
регрессии, их значимость, проверяется адекватность полученных
математических моделей.
При статистической обработке результатов рототабельных планов
второго порядка также для обоих выходных параметров
(производительность процесса и износ электрода-инструмента) определяют
для квадратичных математических моделей коэффициенты регрессий, их
значимость, проверяется адекватность полученных математических
моделей, производится раскодирование уравнений регрессии, проверяется
правильность раскодирования.
Поиск и исследование области оптимума выходного параметра –
производительности процесса, при ограничении по другому выходному
параметру – износу электрода-инструмента, производится с помощью
графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений
поверхности отклика. В литературе эту задачу иногда называют поиском
условного оптимума. Решение задачи осуществляется в следующей
последовательности. Уравнение регрессии, содержащее два квадратичных
члена и член с эффектом взаимодействия (в данной работе это модель
производительности процесса) приводят к канонической форме,
геометрическим образом которой является эллиптический параболоид.
Уравнение регрессии второго выходного параметра (износ электродаинструмента) к канонической форме не приводят из-за его простоты. В
найденные при каноническом преобразовании координаты центра
параболоида переносятся и поворачиваются на расчётный угол исходные
оси координат. Результаты алгебраических преобразований отображают
графически на рисунке (см. прил.2), в том числе изображают исходную
координатную систему с кодированными и натуральными размерными
осями, границу факторного пространства, показывают положение новой
системы координат. Затем рассчитывают и строят на графике линию
равного отклика, полученной из уравнения регрессии износа и заданного
7
условием задачи ограничения по износу электрода-инструмента. В
факторном пространстве эта линия представляет отрезок параболы. Далее,
в соответствии с методикой, изложенной в прил. 2 находят наибольшее и
наименьшее значение производительности, при которых износ электродаинструмента равен заданному. Для наглядности полученных результатов на
вышеописанном графике строят две линии равного отклика функции
производительности, соответствующие наибольшей и наименьшей
производительности. На графике эти линии представляют собой части
эллипса. Особое внимание следует обратить на тщательность вычислений
при определении координат точки касания малого эллипса и параболы, в
том числе при дифференцировании уравнений регрессии и вычислении
корней кубического уравнения по формулам Кордано.
В четвёртом подразделе производится построение и анализ
трёхмерных графиков функций производительности электроэрозионной
прошивки отверстий и износа электрода-инструмента. При этом функции
представляются в раскодированном (натуральном) виде, выбирают
интервалы варьирования факторов и шаги вычислений. Интервалы
варьирования выбирают такими, чтобы в расширенном факторном
пространстве оказалась вершина параболоида, представляющего собой
поверхность отклика, функции производительности. В прил.2 представлен
типичный анализ графиков, являющихся поверхностями откликов функций
выходных параметров производительности процесса и износа электродаинструмента.
Список литературы использованный в РГЗ составляют по правилам
библиографии: фамилия и инициалы автора, название источника, место и
год издания. Использованную литературу в списке следует располагать в
порядке появления ссылок в тексте или в алфавитном порядке. Ссылка в
тексте оформляется в виде квадратных скобок, в которых проставляется
порядковый номер источника по списку литературы.
3. Порядок выполнения и защиты РГЗ
Сроки начала и окончания РГЗ определяются учебным планом. Общий
срок выполнения работы планируется в пределах шестнадцати недель.
Контрольные сроки выполнения основных этапов работы и дата защиты
устанавливаются кафедрой (см. табл.1)
8
Таблица 1
Примерный график выполнения этапов РГЗ
№
п/п
Наименование работ
Объём
этапа,
в %
Неделя с
начала
семестра
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Анализ исходных данных, изучение
сущности эксперимента и поставленных
задач
Обработка результатов эксперимента
первого порядка
Обработка результатов опытов
рототабельного плана второго порядка
Поиск и исследование области оптимума
графоаналитическим методом
Построение и анализ графиков
Окончательное оформление работы
5
10
30
40
5
10
1 неделя
2-3 неделя
3-7 неделя
8-14
неделя
15 неделя
16 неделя
Успешное выполнение РГЗ обеспечивается систематической работой
студента, строгим соблюдением графика работы, регулярностью
консультаций у руководителя.
Законченная и подписанная студентом работа представляется для
просмотра и защиты руководителю. Если работа выполнена не в
соответствии с заданием или на низком уровне, руководитель имеет право
возвратить её студенту на доработку и производить приёмку работы только
после устранения всех недостатков.
При защите РГЗ студенту задаются вопросы как по существу
выполненной работы, так и по различным разделам курса, на базе которых
выполняется работа. При определении дифференцированной оценки за
работу учитывается:
1. Знание студентом особенностей планирования экспериментов
первого и второго порядка.
2. Умение строить матрицы планирования первого и второго
порядка.
3. Знание линейных и квадратичных математических моделей,
используемых при аппроксимации выходного параметра процесса.
4. Умение определять коэффициенты уравнений регрессии и
оценивать их значимость.
5. Умение производить статистическую оценку адекватности модели,
вычислять дисперсии выходного параметра.
6. Знание способов раскодирования уравнений регрессии.
7. Знание графоаналитического метода двумерных совмещённых
сечений поверхностей отклика для поиска условного оптимума.
8. Качество оформления РГЗ в соответствии с вышеизложенными
требованиями.
9
9. Своевременность получения задания, регулярность
консультирования и соблюдение графика выполнения работы.
4. Краткие сведения о регрессионном анализе, рототабельном
униформ-планировании эксперимента и графоаналитическом методе
поиска условного оптимума
В основе теории планирования многофакторного эксперимента,
используемой в данном пособии, лежат методы математической
статистики, важнейшим из которых является регрессивный анализ. Основы
метода были разработаны Лежандром и Гауссом. Регрессивный анализ
базируется на следующих положениях:
– совокупность измерений выходного параметра, полученная в
параллельных опытах при каждом сочетании значений факторов,
представляет собой статический ряд случайных величин с нормальным
законом распределения;
– дисперсия воспроизводимости опыта, как характеристика
нормального закона распределения случайной величины, не зависит от
абсолютного значения выходного параметра и не может существенно
отличаться в разных точках факторного пространства; проверяется это с
помощью критерия однородности дисперсий, полученных при каждом
сочетании значений факторов;
– значения факторов – неслучайные величины, так как установление
факторов на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем
определение зависимого переменного выходного параметра; тип уравнения
регрессии приближенно известен и может быть представлен или приведен
путем преобразования у виду: линейная функция или нелинейный полином
первой степени или квадратичная функция;
– наиболее точный и простой метод определения коэффициентов
уравнения регрессии – метод наименьших квадратов.
Таким образом, регрессивный анализ решает следующие основные
задачи:
– проверка однородности дисперсии, полученных в параллельных
опытах факторного пространства;
– определение коэффициентов математической модели,
представляющей собой искомое уравнение регрессии;
– проверка значимости коэффициентов модели;
– проверка гипотезы адекватности модели.
В данном пособии в качестве плана эксперимента используется
рототабельный центральный композиционный план второго порядка,
который часто используется в машиностроении для получения
высокоточных математических моделей взаимозависимости исследуемых
параметров процесса, а так же для отыскания их оптимальных, в том числе
экстремальных значений. Исследователь, начиная эксперимент, чаще всего
не знает какое направление будет представлять преимущественный
10
интерес. В этом случае, когда нет достоверной информации об ориентации
поверхности отклика (геометрического образа уравнения регрессии),
наиболее разумным является использование рототабельных центральных
композиционных планов, то есть планов, позволяющих получить модель,
способную предсказать (рассчитать) значение выходного параметра с
одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях
от центра плана.
Используемый в пособии двухфакторный рототабельный центральный
композиционный план может быть представлен следующей схемой
факторного пространства (рис. 1).
Рис. 1. Схема двухфакторного пространства рототабельного центрального
композиционного плана эксперимента (Х1 и Х2 – оси кодированных факторов;
α=1,41 – «звездные» точки)
Изображенная схема факторного пространства получается достройкой
схемы полифакторного эксперимента («ядра») типа 22 (точки 1, 2, 3, 4)
некоторым количеством опытов в центре плана (точка 9) и четырьмя
«звездными» точками 5, 6, 7, 8 с величиной «звездного» плеча
α=2
k/4=22/4
=1.41, где k=2 – числу факторов. Число опытов «ядра» nя =
2k=22=4. Число опытов в «звездных» точках nα=2k=2∙2=4. Число опытов
n0=5 в центре плана выбирается таким, что бы обеспечивалось так
называемое униформ-планирование, которое возможно, если некоторая
константа λ не превышает единицы (немного меньше ее):
,
где N= nя+ nα+ n0 – общее число опытов; в нашем случае N = 4+4+5=13.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]