Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория планирования многофакторных экспериментов. Учебное пособие
.pdf
61
Продолжение прил. 2
‒ в точке на стороне 2:
Видно, что оптимальным вариантом режимов обработки является
вариант 2: x1=–1; x2=0,66, который обеспечивает наибольшую
производительность 25,2 мм/мин при относительном линейном износе
электрода-инструмента 50%, что подтверждает правильность расчетов,
выполненных графоаналитическим методом.
Определяем натуральные значения режимов обработки,
соответствующие
при т.е. точке А
3
, через формулы
перехода.
Так как в точке А
3
, то натуральное значение энергии
импульсов соответствует нижнему уровню фактора
Натуральное значение частоты импульсов в точке А3 определяем через
формулу перехода (см. стр. 50):
Для построения линии равного отклика функции
, соответствующей
подставим это значение в каноническое уравнение
:
Приводим уравнение к канонической форме эллипса:
,
где полуоси эллипса a и b равны:
Кодированные значения полуосей переводим в мм:
Откладываем полуоси на координатных осях: - на оси ; - на оси
.
Проводим через точки А3 четвертинку эллипса, представляющего
собой линию равного отклика функции
, соответствующую наибольшей
производительности
, которая обеспечивается на режимах
при ограничении по износу электрода-
инструмента .
62
Продолжение прил. 2
Наименьшая производительность
при соблюдении требований по
износу соответствует случаю, когда линия равного отклика
функции
будет представлена наименьшим по размеру эллипсом, но
имеющим общую точку с построенной линией равного отклика для
(отрезок параболы А1, А2, А3) в пределах факторного пространства.
Очевидно, это будет точка касания эллипса и параболы в 1 квадранте
системы координат
. Для определения координат точки касания
графиков функций и
(см. стр. 55) дифференцируем их в частных
производных по и
:
а) Исходные уравнения:
б) После дифференцирования:
;
;
.
Для перевода и последующего анализа в факторное пространство
x1Ox2 исключаем дифференциалы ∂yQ и ∂yγ из полученных зависимостей
путем деления частных производных:
Приравниваем правые части производных
и освобождаемся от
знаменателей:
Приводим подобные:
Сократим на 20 и поменяем знак на обратный:
Получили уравнение линии точек касания эллипса и параболы
при различных сочетаниях конкретных ограничений по параметрам.
63
Продолжение прил. 2
Так как одна из точек касания принадлежит и параболе
, выразим через
:
Подставим
в полученное уравнение линии точек касания:
После упрощения получим:
Получили полное кубическое уравнение вида:
В нашем уравнении:
Определяем корень кубического уравнения по формулам Кардано [4].
Для этого вычислим коэффициенты Кардано p, q, Q:
Так как Q<0, то все 3 корня действительные числа и для их нахождения
определяем коэффициент
Далее определяем
Откуда φ=78,32859°. Тогда первый корень кубического уравнения и
первая координата точки касания эллипса и параболы равна:
Второй корень:
Третий корень:
64
Продолжение прил. 2
Представляет интерес только первый корень
, т.к.
второй и третий корни лежат за пределами факторного пространства
+1…-1.
Подставляя
в уравнение параболы находим вторую координату
точки касания:
Таким образом, искомые координаты точки касания искомого эллипса,
соответствующего случаю
при , и параболы,
представляющей линию равного отклика функции
имеют следующие значения:
На графике это точка “C”.
Подставляя найденные и в уравнение
, находим наименьшую
производительность при износе электрода-инструмента
Примечание: если коэффициент Кордано Q>0, то кубическое уравнение
имеет только один действительный корень и для его нахождения
определяют коэффициенты А и В:
Тогда действительный корень равен:
Для графического изображения двумерного сечения поверхности
отклика функции , соответствующего случаю
при ,
подставим это значение в каноническое уравнение
Приводим уравнение к канонической форме эллипса
Где полуоси эллипса a и b равны:
65
Продолжение прил. 2
Кодированное значение полуосей переводим в мм:
Откладываем полуоси на координатных осях: - на оси ;
- на
оси . Проводим через точки с
четвертинку эллипса,
представляющего собой линию равного отклика функции
,
соответствующую наименьшей производительности процесса
при .
Определяем натуральные значения режимов обработки,
соответствующие
при , т.е. точке С на графике, через
формулы перехода.
Для энергии импульсов тока:
Откуда
Для частоты импульсов используем ранее полученную формулу
перехода:
Таким образом, при требовании по оптимальному износу электродаинструмента 50% максимальная производительность электроэрозионной
прошивки отверстий обеспечивается на режимах: энергия импульсов тока
Э=8 мДж, частота импульсов f=80.52 кГц и составляет
.
Наименьшая производительность составляет
и
обеспечивается на режимах Э=15,78 мДж и f=75,33 кГц.
4. Построение и анализ графиков
Для построения трёхмерных графиков
и
Используем компьютерную программу Math CAD или др. Выберем
интервалы варьирования факторов и шаги вычислений таким образом,
чтобы центр S с координатами x1S=0,25 x2S=1,75 оказался в поле чертежа:
1) энергия импульсов изменяется в диапазоне:
66
Продолжение прил. 2
а) в кодированном выражении
б) в натуральном выражении Э=3…23 мДж шаг вычислений – 2
мДж
2) частота импульсов изменяется в диапазоне:
а) в кодированном выражении
б) в натуральном выражении f=22…110 мДж шаг
вычислений−8кГц.
Так как уравнение регрессии в канонической форме для параметра
имеет вид:
и коэффициенты при квадратичных членах одного знака и больше нуля, то
поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид с
раструбом, направленным вверх (см. рис. 3). Таким образом, вершина
параболоида является низшей точкой поверхности отклика, т.е.
минимумом, и находится за пределами факторного пространства, т.к.
координаты вершины (см. подраздел 3). Для
нахождения точки минимума на графике
кодированные
значения вершины и переведём в натуральные и
с помощью
формул перехода и используя данные табл.1:
Для фактора
:
откуда
Для фактора
:
откуда
В подразделе 3 было вычислено значение выходного параметра в
центре фигуры, являющегося точкой минимума:
Откладываем полученные значения координат на графике, получаем
искомую точку S вершины поверхности отклика, являющейся минимумом
выходного параметра Q – производительности (линейной скорости
прошивки отверстий)
Для параметра
уравнение регрессии имеет вид:
67
Продолжение прил. 2
Так как квадратичный член представлен только одним фактором
и
коэффициент при нем , то поверхность отклика представляет
собой параболическое понижение, т.е. раструб поверхности направлен
вверх (см. рис. 4). Понижение вытянуто вдоль оси другого фактора
. Так
как коэффициенты при , то поверхность отклика есть
возрастающая вдоль оси
параболическое понижение, которое не имеет
экстремумов.
Э:==3,5…23 мДж
f:=22,30…110 кГц
Yq(Э.f):=198,47-10,6298·Э-2,24243·f+0,03636·Э·f+0,23984·Э2+0,00826·f2
Yq(Э.f)=
125,803
109,981
96,077
84,093
74,026
65,879
59,65
55,34
52,949
52,476
53,922
а)
Рис. 3. Трехмерные графики функции Q=F1(Э,f):
а – объемный график; б – график с видом по оси Э;
в – график с видом по оси f
68
Продолжение прил. 2
б)
в)
69
Продолжение прил. 2
Yγ (Э.f):=20,7288+0,7976·Э-0,54557·f+0,010313·f2
Yγ (Э.f)=
16,111
17,706
19,301
20,896
22,491
24,087
25,682
27,277
28,872
30,467
32,063
а)
Рис. 4. Трехмерные графики функции γ=F2(Э,f):
а – объемный график; б – график с видом по оси Э;
в – график с видом по оси f
70
Продолжение прил. 2
б)
в)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]