Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория планирования многофакторных экспериментов. Учебное пособие
.pdf
41
Продолжение прил. 2
Введение
1. Описание эксперимента
Исследовалась зависимость производительности процесса и износа
электрода-инструмента при электроэрозионной прошивке отверстий
Ø0,5мм от энергии импульсов тока и частоты следования импульсов.
Прошивка отверстий производилась на электроэрозионном станке модели
СЭП.МЕП-1-005[1]. В качестве электрода-инструмента использовались
трубчатые латунные электроды, через которые под давлением до 20МПа
прокачивалась рабочая жидкость – деионизованная вода.
В качестве источника технологического тока использовался
транзисторный генератор импульсов, с помощью которого устанавливались
требуемые значения входных переменных параметров процесса –
факторов: энергии импульсов тока (Э) и частоты импульсов (f).
Выходными параметрами процесса являлись: производительность процесса
Q – линейная скорость прошивки отверстий в мм/мин, и относительный
линейный износ электрода-инструмента γ в %. Скорость прошивки
измерялась с помощью секундомера и отсчётных устройств перемещения
прошивочной головки станка. Относительный линейный износ электродаинструмента определялся путём измерения глубины полученного
отверстия и величины укорочения электрода после каждого опыта с
помощью указанных отсчётных устройств. Уровни факторов Э и f и
интервалы их варьирования выбраны по результатам предварительных
поисковых экспериментов. Остальные факторы: давление прокачки воды,
настройка следящего привода подачи, скважность импульсов тока,
оставались в эксперименте неизменными.
2. Исходные данные и результаты измерений в эксперименте
Таблица 1
Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов
Обозначение
факторов
Уровни факторов
Интервалы
варьирования
факторов
Верхний
Основной
Нижний
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
Э,мДж
x1
18
+1
13 0 8
-1
5
f,кГц
x2
88
+1
66 0 44
-1
22
42
Продолжение прил. 2
Таблица 2
Матрица плана первого порядка типа 22 и результаты опытов
№ опыта
x0 x1 x2
Выходные параметры
Производительность
yQ, мм/мин
Износ электрода
yγ, %
1 + + + 9
67
2 + − + 21
59
3 + + − 31
31
4 + − − 59
23
Таблица 3
Результаты опытов в центре плана
№ опыта
x0
x1
x2
y
Q
y
γ
1 + 0 0 21,3
41,5 2 + 0 0
23,5
38,2 3 + 0 0
19,8
40,1 4 + 0 0
16,4
43,3 5 + 0 0
19
37
Таблица 4
Результаты опытов в «звёздных» точках плана
№ опыта
x0
x1
x2
x
1
2
x
2
2
y
Q
y
γ
1
+
+1,41 0 2 0 17,9
45,64 2 +
−1,41 0 2 0 46,1
34,36 3 + 0 +1,41 0 2
6,85
75,38 4 + 0 −1,41 0 2
49,15
24,62
Для графоаналитических исследований поверхности отклика
принять ограничительный параметр по износу электрода-инструмента 50%.
Принять достоверность статистической оценки результатов
эксперимента 95%.
3. Задачи эксперимента и работы
3.1. Обработать результаты эксперимента первого порядка типа 22 для
обеих выходных параметров Q и γ, в том числе:
а) Вычислить коэффициенты линейного уравнения регрессии вида
y=b0+b1x1+ b2x2;
б) Определить значимость коэффициентов;
в) Проверить адекватность математической модели.
3.2. Обработать результаты опытов центрального композиционного
рототабельного униформ-планирования второго порядка для
выходных параметров, в т.ч.:
43
Продолжение прил. 2
а) составить полный план эксперимента и уравнение регрессии в
общем виде;
б) вычислить коэффициенты квадратичной математической
модели;
в) определить значимость коэффициентов уравнения регрессии и
уточнить исходную модель;
г) проверить адекватность математической модели;
д) раскодировать уравнение регрессии.
3.3. Используя графоаналитический метод двумерных совмещённых
сечений поверхностей отклика [2], найти наибольшее и наименьшее
значение производительности процесса электроэрозионной прошивки
отверстий и соответствующие им режимы обработки, при которых
износ электрода-инструмента составляет 50%.
3.4. Используя компьютерную программу Math CAD и полученные
квадратичные математические модели построить трёхмерные графики
зависимости Q=F1(Э,f); γ=F2(Э,f). На графиках выделить факторное
пространство. По виду графиков сделать выводы, в т.ч.:
а) наличие экстремумов функций в факторном пространстве и за
его пределами;
б) выделить точки наибольших и наименьших значений выходных
параметров в факторном пространстве
в) выделить точки экстремумов на поверхности отклика
44
Продолжение прил. 2
Основная часть
1. Обработка результатов эксперимента первого порядка
В соответствии с заданием на первом этапе исследования был
поставлен полный факторный эксперимент типа 22. Уровни факторов и
интервалы их варьирования даны в табл.1. Матрица плана эксперимента и
результаты измерений выходных параметров yQ и yγ в соответствии с
условиями задачи (табл.2) представлены ниже в табл.5.
Таблица 5
№ опыта
x0
x1
x2
y
Q
y
γ
1 + + + 9
67 2 + − +
21
59 3 + + −
31
31 4 + − −
59
23
В качестве математической модели выбираем линейное уравнение
регрессии вида: y=b0+b1x1+b2x2.
Определяем коэффициенты уравнения регрессии для параметра yQ:
После подстановки значений коэффициентов уравнение регрессии yQ
приобретает вид: yQ =30-10x1-15x2.
Для определения значимости коэффициентов используем результаты
пяти параллельных опытов в центре плана (см. табл.3 исходных данных).
При этом необходимые расчеты производим в следующей
последовательности:
1) определяем среднеарифметическое значение параметра
Где n0=5 – число параллельных опытов в центре плана;
- значение выходных параметров в u – том параллельном опыте.
2) определяем дисперсию выходного параметра y
Q
:
3) определяем среднеквадратичную ошибку в определении
коэффициентов уравнения регрессии для yQ:
45
Продолжение прил. 2
где N=4 – число основных опытов (число строк матрицы ПФЭ 22см. табл.2)
4) Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения
регрессии для yQ:
где t=2,78 – табличное значение t – критерия Стьюдента при 5%ном уровне значимости и числе степеней свободы, с которым
определялась дисперсия выходного параметра yQ: f=n0-1=5-1=4;
(см. прил.3)
5) так как коэффициенты b0,b1,b2 по абсолютной величине больше
доверительного интервала , то все они являются
статистически значимыми.
Для проверки адекватности математической модели
yQ=30-10x1-15x2 находим дисперсию адекватности:
где - экспериментальные значения параметра
в j-том опыте,
– расчетное значение параметра, вычисленное по полученному
уравнению регрессии; f – число степеней свободы: f=N-k’=4-3=1,
где k’=3-число значимых коэффициентов уравнения регрессии.
Для расчёта дисперсии адекватности составим вспомогательную
табл. 6.
Таблица 6
№ опыта
x1
x2
Эксп.
Расчёт
1 + +
9
16
2 − +
21
16
3 + −
31
16
4 − −
59
16
Тогда:
Проверку гипотезы адекватности модели производим по F – критерию
Фишера. Для этого находим расчётное значение критерия:
При 5% - ном уровне значимости и числах степеней свободы для
числителя, имеющего большую дисперсию, f1=N-k’=4-3=1 и для
знаменателя с меньшей дисперсией – f2=n0-1=5-1=4, табличное значение
критерия Fт=7,7 (см. прил. 4). Так как Fр> Fт, то полученная модель в виде
46
Продолжение прил. 2
линейного полинома неадекватна и не может быть с достаточной
точностью представлять исследуемую зависимость.
Аналогичные расчёты производим для параметра y
γ
.
В соответствии с данными табл.5 определяем коэффициенты
уравнения регрессии для параметра yγ:
Откуда уравнение регрессии для y
γ
будет иметь вид: y
γ
=45+4x1+18x2.
По n0=5 параллельным опытам в центре плана (табл.3) определяем
среднеарифметическое значение параметра:
Определяем дисперсию параметра
:
Определяем среднеквадратичную ошибку в определении
коэффициентов уравнения регрессии для yγ:
Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения
регрессии для yγ:
Все коэффициенты b0,b1,b2 больше доверительного интервала,
следовательно их можно признать статистически значимыми.
Для расчёта дисперсии адекватности для
составим вспомогательную
табл. 7.
Таблица 7
№ опыта
x1
x2
Эксп.
Расчёт
1 + +
67
0
2 - +
59
0
3 + -
31
0
4 - -
23
0
Следовательно, дисперсия адекватности
Соответственно расчётное значение F – критерия Фишера:
47
Продолжение прил. 2
При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для
большей дисперсии (знаменатель) f1=n0-1=5-1=4 и для меньшей дисперсии
(числитель) f2=N-k’=4-3=1, табличное значение критерия Fт=224,6 (см.
прил. 4). Так как Fр<< Fт, то полученная модель адекватна. Для проверки
точности модели в других точках факторного пространства используем
центр плана: x1=x2=0. Расчётное значение выходного параметра в центре
плана:
Экспериментальное значение параметра
в центре плана равно
среднеарифметическому значению параметра по результатам пяти
параллельных опытов в центре плана
. Тогда разность между
b
0
и значением в центре плана:
, то есть
полученная модель не высокой точности. Таким образом, для параметра
получили адекватную по F – критерию математическую модель, но не
высокой точности в точках факторного пространства близких к центру
плана.
2. Обработка результатов опытов центрального композиционного
рототабельного униформ-планирования второго порядка.
Для получения адекватных моделей высокой точности во всех точках
факторного пространства функции отклика и
аппроксимируем
полиномами второго порядка вида: y=b0+b1x1+ b2x2+b12 x1x2+ b11 x
1
2
+ b22 x
2
2
С этой целью поставили эксперимент по программе центрального
композиционного рототабельного плана второго порядка. Величина
«звёздного» плеча для числа факторов k=2 равна α=1,414. Реализованные 4
опыта ПФЭ типа 22 были дополнены четырьмя опытами в «звёздных»
точках nα=2k=2·2=4 (см. табл. 4 задания) и пятью опытами в центре плана
(табл. 3 задания). Тогда матрица рототабельного униформ-планирования
будет иметь следующий вид:
Таблица 8
№
опыта
x0
x1
x2
x1 x2
x
1
2
x
2
2
yQ
yγ
Содержание плана
1
2
3
4
+
+
+
+
+
−
+
−
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
9
21
31
59
67
59
31
23
Ядро плана-
-ПФЭ 22
5
6
7
8
+
+
+
+
+1,414
−1,414
0
0
0
0
+1,414
−1,414
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
17,9
46,1
6,85
49,15
45,64
34,36
75,38
24,62
Опыт в «звёздных»
точках с плечом
α=1,414
9
10
11
12
13
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21,3
23,5
19,8
16,4
19
41,5
38,2
40,1
43,3
37
Опыт в нулевой точке (в
центре плана)
48
Продолжение прил. 2
2.1. Вычисления для параметра
- производительность процесса
Определяем коэффициенты квадратичного полинома b0, b1, b
2, b12
, b11,
b22 :
Свободный член уравнения регрессии:
Здесь A, λ, с – константы, табличные значения которых для k=2 и «ядра»
плана в виде ПФЭ 22 имеют значения: А=0,492; λ=0,8125; с=1,625 [2]. N=13
– общее число опытов; - экспериментальные значения параметра
по
всем 13 опытам;
- значения элементов столбцов x
1
2
и x
2
2
. После
подстановки числовых значений имеем:
[2·0,81252·4·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+
+19)-2·0,8125·1,625·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1+9+21+31+59+
+2·6,85+2·49,15)]=19,9875
Коэффициенты при линейных членах:
Коэффициенты при парных взаимодействиях:
Коэффициенты при квадратичных членах:
{C2[(k+2)λ-k]
+ C2(1-λ)
-2λC·
}=
{1,6252[(2+2)·0,8125-2]·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1)+
+1,6252·(1-0,8125)·
·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1+9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)-
-2·0,8125·1,625·
·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+19)}=5,996
{C2[(k+2)λ-k]
+ C2(1-λ)
-2λC·
}=
{1,6252[(2+2)·0,8125-2]·(9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)+
+1,6252·(1-0,8125)·
·(9+21+31+59+2*17,9+2·46,1+9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)-
-2·0,8125·1,625·
·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+19)}=3,9975
Дисперсия выходного параметра
была определена по
результатам 5 опытов N№ 9…13 в центре плана и составила =6,985
(см. подраздел 1). Определяем дисперсии коэффициентов уравнения
регрессии для параметра
:
49
Продолжение прил. 2
Дисперсия свободного члена:
Дисперсия коэффициентов при линейных членах:
Дисперсия коэффициентов при парных взаимодействиях:
Дисперсия коэффициентов при квадратичных членах:
=1,003
Среднеквадратичные ошибки в определении коэффициентов уравнения
регрессии для
:
Определяем доверительные интервалы для коэффициентов:
где t=2,78 – табличное значение - критерия Стьюдента при 5%-ном
уровне значимости и числе степеней свободы f=n0-1=5-1=4 [2]. Так как все
коэффициенты уравнения регрессии по абсолютной величине больше
своих доверительных интервалов:
то они значимы и уравнение регрессии, полученное в результате
рототабельного планирования второго порядка примет вид:
Адекватность полученной модели проверяем с помощью F-критерия:
где
-дисперсия адекватности;
- дисперсия выходного параметра
(см. подраздел 1)
50
Продолжение прил. 2
Дисперсию адекватности определяем по выражению
, где
число степеней свободы f=N-k’-(n0-1)=13-6-(5-1)=3;
k’=6 – число значимых коэффициентов модели;
N=13 – общее число опытов; n0=5 – число опытов в центре плана.
- сумма квадратов отклонений экспериментальных
значений параметра
от среднеарифметического
по результатам 5
опытов в центре плана (см. подраздел 1)
- сумма квадратов отклонений расчётных значений
функций отклика от экспериментальных
во всех точках плана. Для
расчёта
составим вспомогательную табл. 9.
Таблица 9
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9
21
31
59
17,9
46,1
6,85
49,1
21,3
23,5
19,8
16,4
19
0,0037
0
0,00152
0,0098
0,0005
0,0039
0,0028
0,0077
1,723
12,3377
0,0352
12,8702
0,9752
Тогда
Расчётное значение
- критерия:
Табличное значение
- критерия при 5%-ном уровне значимости и числе
степеней свободы для большей дисперсии
для меньшей дисперсии
равно =9,1 (см. прил. 4). Так как
, полученная модель адекватна.
Раскодируем уравнение регрессии для
через формулы перехода:
где
- кодированные значения факторов;
,
– натуральные переменные значения факторов основного уровня (см.
табл. 1);
, - интервалы варьирования факторов (см. табл. 1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]