Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория планирования многофакторных экспериментов. Учебное пособие
.pdf
11
Тогда матрица рототабельного униформ-планирования для числа
факторов k=2 будет иметь вид:
№
опыта
Х0 Х1 Х2 Х1
Х2
Х
1
2
Х
2
2
Y
1
2
3
4
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
-
-
+
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Y1
Y
2
Y
3
Y4
5
6
7
8
+
+
+
+
+1.4
1
-1.41
0
0
0
0
+1.4
1
-1.41
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
Y
5
Y
6
Y
7
Y8
9
10
11
12
13
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Y
9
Y
10
Y
11
Y
12
Y13
Здесь Х0=+1 – условный фактор при свободном члене уравнения
регрессии; Х1, Х2 – кодированные значения факторов; Y1, Y2… Y13 –
натуральные значения выходного параметра, полученные в 13-ти опытах.
В общем случае уравнение регрессии рототабельного плана
представляет собой квадратичную модель вида:
,
где y – натуральное значение выходного параметра;
xi, xl – кодированные значения факторов;
i и l – номера факторов;
k – число факторов;
b0 – свободный член уравнения регрессии;
bi – коэффициенты при линейных членах регрессии;
bil – коэффициенты при парных взаимодействиях;
bii – коэффициенты при квадратных членах.
Так как матрицы рототабельного планирования эксперимента не
ортогональны, то коэффициенты уравнения регрессии определяют по
формулам:
;
;
;
,
где j – номер опыта;
12
yj – натуральное значение выходного параметра в j-том опыте;
Х
ij
, Хlj – кодированные значения i-того и l-того факторов в j-том опыте.
Константы λ, А, С для числа факторов k=2 равны: λ=0,8125; А=0,492;
С=1,625.
После вычисления коэффициентов регрессии определяют их
значимость. Для этого находят дисперсии и доверительные интервалы
коэффициентов. Для рототабельных планов дисперсию коэффициентов
находят по формулам:
;
;
;
,
где σ
у
2
– дисперсия выходного параметра (дисперсия
воспроизводимости эксперимента); определяется по результатам
параллельных опытов в центре плана;
,
где n0 – число параллельных опытов в центре плана(для числа факторов
k=2 n0=5);
yu – значение выходного параметра в u-том опыте;
- среднее значение выходного параметра в n0 опытах;
u – номер параллельного опыта в центре плана.
Доверительные интервалы для коэффициентов находят по формулам:
Δ ;Δ ;Δ ;Δ ;
где – ошибка в определении коэффициента;
t – критерий Стьюдента, определяемый по таблице (прил. 3) для
принятой доверительной вероятности (обычно 0,95) и числа степеней
свободы t=n0-1.
Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше
его доверительного интервала:
. Исключив из уравнения регрессии
члены с незначительными коэффициентами, получают математическую
модель. Однако, если среди незначимых коэффициентов оказывались
коэффициенты при квадратных членах, то коэффициенты полученного
уравнения пересчитывают с использованием метода наименьших
квадратов. Методика пересчета подробно изложена в работе [2] и
практическая ее реализация дается в разделе 2 прил. 2 настоящего пособия.
После пересчета коэффициентов и корректировки математической
модели, проверяют адекватность модели по F – критерию Фишера.
Расчетное значение критерия:
ад
Дисперсия адекватности
ад
определяется по формуле:
ад
,
где f1=N-k`-(n0-1) – число степеней свободы (N – общее число опытов;
13
k` - число статистически значимых коэффициентов регрессии; n0 –
число опытов в центре плана);
S
R
– сумма квадратов отклонений расчетных
значений выходного
параметра от экспериментальных
:
SE – сумма квадратов отклонений экспериментальных значений
выходного параметра от его среднего значения
в n0 параллельных
опытах в центре плана (u – номер параллельного опыта):
- дисперсия выходного параметра, определяемая по результатам n0
опытов в центре плана:
,
где
= n
0
-1 – число степеней свободы при определении
.
Далее расчетное значение F-критерия FP сравнивают с табличным FT,
определяемому по числу степеней свободы, и
и выбранной
доверительной вероятности (обычно 0,95). Если FP< FT, то гипотеза
адекватности модели принимается. Если модель неадекватная (FP>FT), то
принимают следующие возможные решения:
– повторяют все опыты, сузив интервал варьирования;
– меняют основные (нулевые) уравнения факторов;
– применяют планирование третьего порядка.
В заключении полученную адекватную модель раскодируют по
формулам перехода:
,
где
– кодированное значение i-того фактора;
– натуральное значение i-того фактора;
– натуральные значения верхнего и нижнего уравнений i-
того фактора.
В пособии исследуется двухфакторный эксперимент с двумя
выходными параметрами. Исследовать оптимальные условия
многофакторного процесса с несколькими выходными параметрами
удобнее графоаналитическим методом с помощью совмещенных
двухмерных сечений нескольких поверхностей отклика. При этом в
сечениях получают два и более семейства контурных линий, являющихся
линиями равного отклика и каждая из которых соответствует
определенному значению соответствующего выходного параметра. Для
построения двухмерных сечений все факторы, кроме двух, стабилизируют
на определенных уровнях, близких к оптимальным, то есть дают им
14
числовые значения. И, таким образом, создают двухмерное факторное
пространство. Аналогичные двухмерные сечения можно построить для
каждой пары из числа исследуемых факторов. При исследовании процессов
с двумя выходными параметрами одни параметры ограничивают
определенным значением и для него строится соответствующая линия
равного отклика, а для другого параметра строится семейство линий
равного отклика. Из семейства линий выбирается такая линия, которая в
факторном пространстве касается первой линии или пересекает ее на
границе факторного пространства. При этом значение факторного
параметра, соответствующее касательной линии семейства или граничной
точки пересечения, и является оптимальным, то есть наибольшим или
наименьшим допустимым для принятого ограничения по первому
параметру. Таким образом, при оптимизации технологических процессов с
несколькими выходными параметрами решают компромиссные задачи:
находят условный оптимум для одного выходного параметра при
ограничениях, налагаемых другими выходными параметрами.
Для поиска исследования областей оптимума, в пособии использован
графо-аналитический метод, который часто применяют при числе факторов
k≤3. Метод отличается относительной простотой и наглядностью. При
числе факторов k>3 применяют метод «крутого восхождения» (метод
Уилсона-Бокса), а так же аналитический метод, в том числе линейное
программирование, метод неопределенных множителей Лагранжа.
В результате выполнения плана, эксперимент второго порядка,
описанного выше, исследователь получает полином второй степени,
адекватно описывающий область оптимума:
Уравнение второй степени в таком виде анализировать при поиске и
исследовании оптимума сложно, поэтому путем преобразований, его
приводят к канонической форме. Первым этапом канонического
преобразования является переменное начало координат в особую точку S –
центр поверхности отклика, являющийся центром геометрической фигуры,
которая при числе факторов k=2 может быть эллиптический или
гиперболический параболоид, параболоид вращения. В этом случае точка S
является экстремумом функции y. Для определения координат этой точки
исходное уравнение дифференцируют по каждой независимой переменной.
Приравнивая частные производные к нулю, получают систему уравнений:
;
…
.
При дифференцировании полинома по каждой независимой переменной
х1,х2…x
k
получают систему из «k» линейных уравнений. Вычисляют
определитель системы. Если определитель системы равен 0, то поверхность
отклика не имеет центра. В этом случае начало координат не переносят или
переносят иногда в точку с наилучшим значением выходного параметра.
15
Если определитель системы отличен от нуля, то поверхность отклика
имеет центр и тогда начало координат переносят в центр. Для этого
определяют координаты центра путем решения вышеуказанной системы
уравнений методом последовательного исключения переменных или
матричным методом:
,
где - определитель системы;
– частный определитель по i-тому фактору;
- координата центра S по i-тому фактору.
При параллельном переносе системы координат в центр S поверхности
в исходном квадратичном уравнении, исчезают члены с линейными
эффектами и изменяется свободный член: становится равным yS –
выходному параметру в центре фигуры. Коэффициенты при квадратичных
членах и эффектах взаимодействия (произведениях факторов) не
изменяются при переносе системы координат. Представляя найденные
значения
, координат центра S в исходное уравнение, определяют
значения yS выходного параметра в центре.
Вторым этапом канонического преобразования является поворот осей в
новом начале координат до совмещения их с главными осями
геометрической поверхности, соответствующей функцией отклика. При
повороте координатных осей, исчезают члены с эффектами взаимодействия
(произведениями факторов) и изменяются коэффициенты при вторых
степенях. Свободный член yS не изменяется. В результате поворота осей
получают стандартное каноническое уравнение:
,
где
– канонические переменные или значения
координат в новой перенесенной и повернутой системе, представляют
собой линейные функции факторов.
Для определения коэффициентов
необходимо решить
характеристическое уравнение с левой частью в виде квадратного
определителя:
Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами
регрессии в новой системе координат.
Для числа факторов k=2, когда факторное пространство будет плоским,
угол α поворота осей определяется по формуле:
16
При этом характеристическое уравнение для определения
коэффициентов
имеет вид:
Откуда получаем квадратное уравнение:
Решая уравнение находим его корни В
11
и В22. При этом следует знать,
что большему коэффициенту соответствует больший
тех же
индексов ii.
Правильность вычисления коэффициентов
осуществляется с
помощью равенства:
Для числа факторов k=2 вычисление является правильным, если
.
Уравнение в канонической форму из-за простоты удобно для анализа и
оптимизации, так как в него входят все факторы только в квадрате.
Величина y-y
s
зависит от знаков коэффициентов
и не зависит от
направления движения из центра по оси Хi.
К канонической форме рекомендуется проводить только такие
уравнения регрессии, которые:
– имеют число факторов k=2 или 3;
– имеют не менее двух квадратичных членов;
– или имеют один квадратичный член или несколько членов с
эффектами взаимодействия (произведения факторов);
– или не имеют квадратичных членов, но имеют один или несколько
членов с эффектом взаимодействия.
– не приводят к канонической форме и анализируют, в том числе
графически простые уравнения регрессии, которые:
– содержат только линейные члены и свободный член (при k=2
поверхность отклика такой регрессии является плоскость);
– содержит линейные члены и только один квадратный член (при
k=2 поверхность отклика такой регрессии является параболический
цилиндр).
Таким образом, при числе факторов k≤3 после канонического
преобразования уравнения регрессии легко определить к какому типу
относится геометрический образ функции отклика. Однако, решая
практические задачи поиска условного оптимума, возможно множество
17
вариантов сочетаний геометрических интерпретаций функций отклика. В
курсе лекций по дисциплине подробно изложены все остальные варианты
объемно-геометрических моделей функций отклика второго порядка, а так
же методы построения и анализа двумерных сечений поверхности отклика,
необходимых для отыскания условного оптимума.
В данном пособии на конкретном примере подробно дается методика
рототабельного планирования эксперимента и отыскания условного
оптимума, которая поможет студентам решить непростые задачи расчетнографического задания. От студента потребуется лишь недюжинные
способности пространственного мышления, строгая математическая
логика, сообразительность и удача.
18
Заключение
Изучая материалы пособия, студенты получают информацию о
современных методах планирования, обработки и оптимизации результатов
физических экспериментов, применяемых для исследования различных
технологических процессов в машиностроении и других областях
промышленности.
Пользуясь данным пособием, наряду с изучением другой научнотехнической и справочной литературы, студенты учатся самостоятельно
решать вопросы, связанные с планированием экстремальных
экспериментов, регрессионном анализе, моделировании и оптимизации
многофакторных процессов, применять методы поиска условного
оптимума при исследовании этих процессов. Данное учебное пособие
может быть полезно при выполнении практических и лабораторных работ
по техническим дисциплинам для студентов машиностроительных
специальностей, а также при выполнении курсовых проектов и дипломного
проектирования.
19
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Варианты заданий РГЗ
Вариант 1
Таблица 1
Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов
Обозначение
факторов
Уровни факторов
Интервалы
варьирова
ния
факторов
Верхний
Основной
Нижний
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
Э,мДж
x1
13
+1 8 0 3 -1
5
F,кГц
x2
83
+1
61 0 39
-1
22
Таблица 2
Матрица плана первого порядка типа 22 и результаты опытов
№
опыта
x0 x1 x2
Выходные параметры
Производительность
yQ, мм/мин
Износ электрода
yγ, %
1 + + + 9,5
57
2 + − + 22,4
65
3 + + − 32
17
4 + − − 64
25
Таблица 3
Результаты опытов в центре плана
№ опыта
x0
x1
x2
y
Q
y
γ
1 + 0 0 15,8
36
2 + 0 0 14,4
33 3 + 0 0
16,2
37,5
4 + 0 0 14,8
35,5
5 + 0 0 14,9
34
Таблица 4
Результаты опытов в «звёздных» точках плана
№ опыта
x0
x1
x2
x
1
2
x
2
2
y
Q
y
γ
1
+
+1,41 0 2 0 16,5
29 2 +
−1,41 0 2 0 47
40 3 + 0 +1,41 0 2
11
76
4 + 0
−1,41 0 2
55
18
Для графоаналитических исследований поверхности отклика
принять ограничительный параметр по износу электрода-инструмента 40%.
Принять достоверность статистической оценки результатов
эксперимента 95%.
20
Продолжение прил. 1
Вариант 2
Таблица 1
Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов
Обозначение
факторов
Уровни факторов
Интервалы
варьирования
факторов
Верхний
Основной
Нижний
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
натур.
значен.
кодир.
значен.
Э,мДж
x1
14
+1 9 0 4 -1 5 F,кГц
x2
84
+1
62 0 40
-1
22
Таблица 2
Матрица плана первого порядка типа 22 и результаты опытов
№
опыта
x0 x1 x2
Выходные параметры
Производительность
yQ, мм/мин
Износ
электрода yγ, %
1 + + + 22
34
2 + − + 30
19,7
3 + + − 49
60
4 + − − 75
46
Таблица 3
Результаты опытов в центре плана
№ опыта
x0
x1
x2
y
Q
y
γ
1 + 0 0 22,4
34,4 2 + 0 0
21,5
31,3 3 + 0 0
23,5
35,6 4 + 0 0
20,8
32 5 + 0 0
22,8
32,7
Таблица 4
Результаты опытов в «звёздных» точках плана
№ опыта
x0
x1
x2
x
1
2
x
2
2
y
Q
y
γ
1
+
+1,41 0 2 0 30
42,5 2 +
−1,41 0 2 0 54
23,5 3 + 0 +1,41 0 2
21
28 4 + 0 −1,41 0 2
71
66,5
Для графоаналитических исследований поверхности отклика
принять ограничительный параметр по износу электрода-инструмента 42%.
Принять достоверность статистической оценки результатов
эксперимента 95%.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]