Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория планирования многофакторных экспериментов. Учебное пособие
.pdf
51
Продолжение прил. 2
и - натуральные переменные значения факторов. После подстановки
значений , , , имеем:
Подставим формулы перехода
в уравнение регрессии:
Правильность раскодирования проверяем путём подстановки
натуральных значений факторов в полученное уравнение. Например,
опыт№1:
;
Расчётное значение совпадает с экспериментальным
,
следовательно раскодированное уравнение верно.
2.2. Вычисления для параметра yγ – относительного линейного износа
электрода-инструмента
Определяем коэффициенты квадратичной модели b0, b1, b
2, b12
, b11, b22 ,
используя данные матрицы (табл. 8) подраздела 2.1:
*[2·0,81252·(2+2)(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+
+38,2+40,1+43,3+37)-2·0,8125·1,625·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+
+2·75,38+2·24,62)]=39,995
{C2[(k+2)λ-k]
+ C2(1-λ)
-2λC·
}=
{1,6252[(2+2)·0,8125-2]·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36)+
+1,6252(1-0,8125)·
·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+2·75,38+2·24,62)-
-2·0,8125·1,625·
52
Продолжение прил. 2
·(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+38,2+40,1+43,3+37)}=
=-0,00999;
{C2[(k+2)λ-k]
+ C2(1-λ)
-2λC·
}=
{1,6252[(2+2)·0,8125-2]·(67+59+31+23+2·75,38+2·24,92)+
+1,6252·(1-0,8125)·
·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+2·75,38+2·24,62)-
-2·0,8125·1,625·
·(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+38,2+40,1+43,3+37)}=5,062.
Дисперсия выходного параметра
была определена по результатам
5 опытов N№ 9…13 в центре плана и составила =6,3475 (см.
подраздел 1). Определяем дисперсии коэффициентов уравнения регрессии
для параметра
Дисперсия свободного члена:
=
·6,3475=1,269
=
– дисперсия коэффициентов при
линейных членах.
Дисперсия коэффициентов при парных взаимодействиях:
=
Дисперсия коэффициентов при квадратичных членах:
=
=0,9119
Среднеквадратичные ошибки в определении коэффициентов уравнения
регрессии для
:
Определяем доверительные интервалы для коэффициентов:
Здесь t=2,78 – табличное значение - критерия Стьюдента при 5%-ном
уровне значимости и числе степеней свободы f=n0-1=5-1=4.
Из расчётов видно, что коэффициенты b12 и b
11
по абсолютной
величине меньше соответствующих доверительных интервалов:
b
12
=0<
=3,502;
=0,00999<
=2,655
53
Продолжение прил. 2
Их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения
регрессии. Тогда уравнение примет вид:
=b0+b1x1+ b2x2+ b22 x
2
2
Так как незначимым оказался коэффициент при квадратичном члене (b11),
все остальные коэффициенты пересчитываем с использованием метода
наименьших квадратов. Для этого используем упрощённую систему
нормальных уравнений для k=2 (см. лекции р.8.3) [3].
Отмеченные уравнение и столбец исключаются из системы, т.к. исключены
коэффициенты и столбец матрицы
. Тогда система уравнений примет
вид:
Откуда
=4,9914.
Тогда уравнение регрессии примет вид:
Адекватность полученной модели проверяем с помощью F-критерия:
где =6,3475-дисперсия выходного параметра
(см. подраздел 1).
Дисперсию адекватности определяем по выражению
,
где f-число степеней свободы определяется: f=N-k’-(n0-1)=13-4-(5-1)=5
(k’=4-число значимых коэффициентов модели).
Сумма квадратов
,
где
– экспериментальные,
-среднеарифметическое значение параметра
в 5 параллельных опытах в центре плана (см. подраздел 1).
где
- сумма квадратов отклонений расчётных
значений функций отклика от экспериментальных
во всех точках плана.
Для расчёта
составим вспомогательную табл. 10.
54
Продолжение прил. 2
Таблица 10
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
67
59
31
23
45,64
34,36
75,38
24,62
41,5
38,2
40,1
43,3
37
0,003795
0,001414
0,002153
0,004956
0,000015
0,000895
0,006455
0,005175
2,211169
3,286969
0,007569
10,804369
9,078169
Тогда
Расчётное значение
- критерия:
Табличное значение
- критерия при 5%-ном уровне значимости и числе
степеней свободы для большей дисперсии
для меньшей дисперсии
равно =5,2 (см. прил. 4). Так как
, полученная модель адекватна.
Раскодируем уравнение регрессии для
через формулы перехода:
Подставим формулы перехода
в уравнение регрессии:
Проверяем правильность раскодирования, используя данные опыта 1:
;
Раскодирование верно.
55
Продолжение прил. 2
3. Поиск и исследование области оптимума с помощью
графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений
поверхностей отклика.
В результате рототабельного планирования второго порядка были
получены адекватные математические модели зависимости двух выходных
параметров: производительности процесса Q=yQ и относительного
линейного износа электрода-инструмента γ=yγ от двух факторов: энергии
импульсов тока Э (кодированное обозначение x1) и частоты импульсов f
(кодированное обозначение x2)
yQ=20-10x1-15x2+4x1x2+6x
1
2
+4x
2
2
yγ=40+4x1+18x2+5x
2
2
Значения коэффициентов в уравнениях регрессии незначительно
округлены.
В соответствии с заданием необходимо найти наибольшее и
наименьшее значения производительности процесса электроэрозионной
прошивки отверстий и соответствующие им режимы обработки, при
которых износ электрода инструмента составляет 50%.
На первом этапе первое уравнение
, содержащее два квадратных
члена и член с эффектом взаимодействия, приводим к канонической форме.
Для этого дифференцируем уравнение по независимым переменным x1, x2 и
приравниваем частные производные к нулю:
Составим систему уравнений:
Вычислим определитель системы:
Определитель не равен нулю, следовательно, исследуемая поверхность
отклика имеет центр.
Находим координаты центра S: и
где и
- частные определители.
56
Продолжение прил. 2
Подставляя и
в уравнение регрессии, находим значение
выходного параметра в центре
Уравнение регрессии принимает канонический вид, если координатные
оси -
параллельно перенести в новую координатную систему с
центром S с координатами ,
и повернуть оси координат на угол α:
Тогда в новой системе координат уравнение регрессии принимает
стандартный канонический вид:
где ,
- значение координат в новой системе после переноса и поворота
старой системы координат;
,
- новые коэффициенты в каноническом уравнении определяются
из характеристического уравнения:
Решая квадратное уравнение, находим корни:
При этом, большее значение
должно соответствовать большему
значению
и наоборот.
Правильность вычислений коэффициентов проверяем сравнением сумм
коэффициентов при квадратичных членах в исходном и каноническом
уравнениях:
Вычисление верно. Тогда уравнение регрессии в канонической форме
имеет вид:
Так как и
одного знака и больше нуля, то поверхность отклика,
описываемая уравнением, представляет собой эллиптический параболоид с
вершиной в центре фигуры S, являющимся минимумом функции и
имеющим координаты
.
Второе уравнение регрессии
,
содержащее только один квадратичный член, к канонической форме не
приводим из-за его простоты.
57
Продолжение прил. 2
Рис. 2. Двумерное факторное пространство
На рисунке 2 показано двумерное факторное пространство
исследуемых зависимостей и в кодированных -
и натуральных
Э-f координатах. Показан центр S геометрической фигуры, являющейся
эллиптическим параболоидом и новые координатные оси -
после
переноса в центр S и поворота на угол α=31,7° исходной системы
координат -
. Все величины показанные на графике выполнены в
одном масштабе: кодированная единица равна 25 мм. Тогда координаты
центра S в мм определяем из пропорций:
Соответственно координата
58
Продолжение прил. 2
По условию задания необходимо определить максимальную и
минимальную производительность процесса и соответствующие им
режимы обработки, при которых износ электрода-инструмента составляет
γ=50%. Подставляя это значение в уравнение регрессии
,
геометрическим образом которого является возрастающее вдоль оси
параболическое понижение, получаем линию равного отклика
Уравнение приводим к уравнению параболы:
Таким образом, сечение поверхности отклика функции
плоскостью
есть парабола с осью параллельной оси
и ветвями,
направленными в сторону отрицательного направления оси
, т.е. влево,
т.к. коэффициент при квадратичном члене отрицателен (-1,25).
Построим на графике отрезок параболы, пересекающей факторное
пространство. Для этого находим точки пересечения параболы с
вертикальными линиями факторного пространства 0; -1.
1)
.
Откуда
Здесь только точка принадлежит факторному пространству.
Для нанесения точки на график, кодированное значение координаты x2
пересчитываем в мм:
После отложения координат получили первую точку параболы – А1.
2)
.
Здесь только точка принадлежит факторному пространству.
Значение координаты в мм:
На графике получили вторую точку параболы-А2.
3)
.
Только точка находится в факторном пространстве.
Значение координаты в мм:
Получили третью точку параболы-А3.
Через точки А1, А2, А3 проводим плавную кривую, представляющую
собой отрезок параболы и являющейся сечением поверхности отклика
функции плоскостью .
59
Продолжение прил. 2
Было получено уравнение регрессии в канонической форме для
параметра
:
Так как геометрическим образом функции отклика для параметра
является эллиптический параболоид, то линии равного отклика,
полученные в сечениях поверхности отклика плоскостями ,
представляют собой эллипсы. Размеры эллипсов определяются его
полуосями a и b:
Видно, что с увеличением
(производительности процесса) размеры
эллипсов увеличиваются. Наибольшей производительности
при
соблюдении требования по износу соответствует случай, когда
линия равного отклика функции
будет представлена наибольшим по
размеру эллипсом. Но при этом на графике совмещённых двумерных
сечений поверхностей отклика обеих параметров с общими факторами
и
, должна быть хотя бы одна общая точка в факторном пространстве.
Очевидно этим требованиям удовлетворяет точка А3 с координатами:
Подставим эти координаты в исходное уравнение
регрессии параметра и найдём
при :
Правильность нахождения координат точки оптимума А3 с
наибольшим значением производительности
проверяем
аналитическим граничным методом, который используется в случае
нахождения точки оптимума на границе факторного пространства, в нашем
случае на одной из сторон факторного квадрата.
Рис. 2. Факторный квадрат
60
Продолжение прил. 2
На рис. 2 показана схема факторного пространства, где цифрами 1 – 4
указана нумерация сторон факторного квадрата.
Таблица 11
Варианты возможных сочетаний значений факторов
№ стороны факторного
квадрата
Значения факторов
x1 x2 1 +1
–1…+1
2
–1
–1…+1
3
–1…+1
+1
4
–1…+1
–1
В таблице 11 даны все варианты (по числу сторон факторного
квадрата) возможных сочетаний значений факторов, необходимых для
поиска координат точки оптимума. В нашем случае для нахождения второй
координаты точки оптимума, принимающей значение (–1…+1), используем
уравнение ограничительного параметра
откуда получаем квадратное уравнение:
Используя его, находим вычислительные формулы второго
(неизвестного) фактора и по ним рассчитываем их:
‒ для стороны 1 факторного квадрата (x1=+1):
откуда
;
‒ для стороны 2 факторного квадрата (x1=–1):
откуда
;
‒ для стороны 3 факторного квадрата (x2=+1):
откуда ;
‒ для стороны 4 факторного квадрата (x2=–1):
‒ откуда .
Видно, что в факторном пространстве находятся только две точки
возможных оптимальных значений факторов:
‒ точка на стороне 1: x1=+1; x2=0,31;
‒ точка на стороне 2: x1=–1; x2=0,66.
Соответственно значения параметра оптимизации yQ в этих точках
равны:
‒ в точке на стороне 1:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]