Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
Из курса анализа (см., например, [10, т. I, 16.5]) извест-
на формула для вычисления длины элементарной дуги кривой
ds
dt
можно представить в виде
смотреть квадрат дифференциала дуги ds
=
r
³
dx
dt
´
2
+
´
³
2
dy
+
dt
´
³
2
dz
. Правую часть этого равенства
dt
r
´
³
2
d~r
или
dt
¯
¯
d~r
¯
¯
. Здесь удобнее рас-
¯
¯
dt
2
= d~r2= (~r1du+~r2dv)2.
Возведя в квадрат, получим выражение
2
ds
2
= ~r
du2+ 2~r1·~r2dudv + ~r
1
2
dv2.
2
Обозначим
2
′2
′2
E = ~r
F = ~r
G = ~r
= x
1
·~r2= x
1
2
= x
2
+ y
u
′
x
u
′2
+ y
v
u
′
v
′2
v
+ z
+ y
+ z
′2
,
u
′
′
′
+ z
′
z
,
u
v
y
u
v
′2
.
v
Коэффициенты E, F, G могут быть вычислены сразу по
уравнению поверхности ~r = ~r(u, v), при этом знания о кривой
~s = ~r(u(t), v(t)) не обязательны, они нужны лишь для вычисления
дифференциалов du и dv.
Определение 9. Линейным элементом поверхности на-
зывается квадрат дифференциала дуги линии, которая расположена на этой поверхности.
Определение 10. Выражение
I = ds
2
= d~r2= Edu2+ 2F dudv + Gdv
2
определяет дифференциал дуги любой кривой на поверхности и
называется первой квадратичной формой поверхности.
Поскольку расстояние, не обязательно кратчайшее, между
двумя произвольными точками на поверхности вычисляется как
длина дуги кривой, соединяющей эти точки, то первая квадратичная форма определяет метрику на поверхности.
31
Первая квадратичная форма как квадрат дифференциала
является положительно определенной. Значит, по свойству положительной определенности, кроме очевидных условий E > 0 и
G >0, выполняется неравенство
EG−F
2
Нарушение этих
>0.
неравенств возможно только в особых точках параметризации,
которые мы условились исключать из рассмотрения.
Пример 9. Найти первую квадратичную форму прямого
геликоида.
Решение.
Запишем уравнение прямого геликоида:
~r = (ucos v, u sin v, av).
Вычислим производные
∂~r
= (cosv, sinv, 0),
∂u
∂~r
= (−usin v, u cos v, a).
∂v
Теперь определим коэффициенты
E =
F =
G =
∂~r
∂u
∂~r
∂u
∂~r
∂v
·
∂u
∂~r
·
∂v
∂~r
·
∂v
2
= cos
v + sin2v = 1,
= −usin v cos v + u sin v cos v = 0,
2
= u
sin2v + u2cos2v + a2= u2+ a2.
∂~r
Искомая первая квадратичная форма имеет вид
2
I = du
+ (u2+ a2)dv2.
Пример 10. Найти первую квадратичную форму катеноида.
Решение.
Запишем уравнение катеноида
~r =³a ch
u
cos v, a ch
a
u
a
sin v, u
´
и вычислим производные:
32
∂~r
=³sh
∂u
∂~r
=³− a ch
∂v
u
cos v, sh
a
u
a
u
sin v, 1´,
a
sin v, a ch
u
cos v, 0´.
a
Теперь определим коэффициенты, учитывая, что ch
2
x−sh2x = 1.
u
E = sh
2
a
F = −a ch
2ch2
G = a
cos
u
a
u
a
2
v + sh
sh
sin
u
a
2
u
2
2
sin
a
v + 1 = sh
sin v cos v + a ch
u
2
v + a2ch
cos
a
u
sh
a
2
v = a2ch
u
2
+ 1 = ch
a
u
sin v cos v = 0,
a
u
2
.
a
u
2
,
a
Первая квадратичная форма катеноида
I = ch
u
2
2
+ a2ch
du
a
u
2
2
.
dv
a
Ее можно оставить в таком виде, но для рассмотрения следу-
ющих геометрических аналогий преобразуем первую квадратичную форму катеноида с помощью замены ch
что w = a sh
u
2ch2
дим a
a
u
a
= w
и тогда w
2+a2
. Итак, окончательно первую квадратичную
2
= a2sh
u
2
= a
a
u
du = dw. Очевидно,
a
¡
u
2
2
ch
−1¢, откуда нахо-
a
форму катеноида запишем в виде
I = dw
2
+ (w2+ a2)dv2.
Первые квадратичные формы геликоида и катеноида совпадают, хотя при этом поверхности имеют визуально разную форму
(см. рис. 1.13 и рис. 1.15). Такое совпадение первых квадратичных
форм приводит к следующим рассуждениям.
Обычно фигуры, рассматриваемые в геометрии, наделяют
свойствами твердых тел. Это выражается в том, что при перемещении в пространстве сохраняются длины, углы, площади и
33
объемы частей перемещаемой фигуры. С такой точки зрения поверхности можно рассматривать как твердые оболочки. Если же
наделить поверхности свойствами гибкой, но нерастяжимой пленки, то возникает вопрос, какие свойства поверхности сохранятся
при деформациях, не связанных с растяжениями. Деформации
без растяжения и сжатия будем называть изгибаниями. Две поверхности, которые можно совместить всеми точками, подвергая
одну из них изгибанию, будем называть наложимыми. В таком
определении присутствует неопределенность, связанная со сложностью самого процесса изгибания. Поэтому с математической
точки зрения удобнее использовать
Определение 11. Две поверхности называют наложи-
мыми, если между их точками можно установить такое вза-
имно однозначное соответствие, при котором длины соответствующих дуг линий, расположенных на этих поверхностях, равны между собой.
Это определение согласуется с представлением об изгибании
поверхности как нерастяжимой пленки, поскольку после совмещения длины дуг кривых на поверхностях не изменились, так как
сжатия и растяжения при изгибании исключены. Длины соответствующих дуг геликоида и катеноида из примеров 9 и 10 одинаковы в силу равенства их первых квадратичных форм. Это означает, что геликоид без растяжений и сжатий можно "намотать"
на катеноид бесконечное число раз.
Свойство. Для того чтобы две поверхности были нало-
жимыми, необходимо, чтобы эти поверхности допускали такую
параметризацию, при которой в точках с одинаковыми криволинейными координатами соответствующие коэффициенты их
первых квадратичных форм были равны между собой.
Согласно классификации, введенной Гауссом, свойства поверхностей и их частей принято разделять на две группы. К первой группе относятся все те свойства, которые сохраняются при
изгибании поверхности. Они являются внутренними свойствами
34
поверхности и образуют ее внутреннюю геометрию.
Ко второй группе относятся свойства, которые существенно
зависят от формы, принимаемой поверхностью во внешнем пространстве. Эта группа свойств образует
внешнюю геометрию
по-
верхности.
Поскольку первая квадратичная форма не изменяется при
изгибании поверхности, то свойства, которые выражаются через
коэффициенты первой квадратичной формы и их производные,
относятся к внутренней геометрии поверхности.
Пример 11. Найти первую квадратичную форму плоскости
в декартовой и полярной системах координат.
Решение.
стеме координат имеет вид ~r = r
Уравнение плоскости (рис. 1.1) в декартовой си-
+ u~e + v~f, где ~e,~f, постоянные
0
неколлинеарные векторы.
E = ~r
∂~r
=
~r
1
2
= |~e|2, F = ~r1·~r2= ~e ·~f, G = ~r
1
= ~e, ~r
∂u
∂~r
=~f,
=
2
∂v
2
= |~f|2.
2
Первая квадратичная форма плоскости, заданной в декартовой системе координат, запишется так
I = |~e|
2du2
+ 2~e ·~fdudv + |~f|2dv2.
Если векторы ~e и~f единичные и ортогональные, тогда первая
квадратичная форма плоскости упрощается I = du
2
+ dv2.
Уравнение плоскости в полярной системе координат имеет
вид ~r = (ρcos ϕ, ρ sin ϕ, c), где ρ, ϕ — полярные радиус и угол, c —
некоторая постоянная.
∂~r
= (cosϕ, sin ϕ, 0),
∂ρ
E = ρ
∂~r
= (−ρsin ϕ, ρ cos ϕ, 0),
∂ϕ
2
(sin2ϕ + cos2ϕ) = ρ2, F = ρ2(−sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ) = 0,
2
G = cos
ϕ + sin2ϕ = 1.
Значит, в полярной системе координат первая квадратичная
2dϕ2
форма плоскости имеет вид I = ρ
+ dρ2.
35
Пример 12. Найти первую квадратичную форму половины
цилиндра ~r =¡sin u, cos u, v
Решение.
Коэффициенты первой квадратичной формы:
¢
2
.
E = ~r
∂~r
~r
1
2
= cos2u + sin2u = 1, F = ~r1·~r2= 0, G = ~r
1
= (cosu, −sin u, 0), ~r
=
∂u
∂~r
= (0,0, 2v),
=
2
∂v
Таким образом, первая квадратичная форма имеет вид
I = du
2
+ 4v2dv2.
Пример 13. Найти первую квадратичную форму косого ге-
ликоида ~r = (u cos v, u sin v, u + v).
Решение.
~r
=
1
E = cos
∂~r
∂u
2
Коэффициенты первой квадратичной формы:
∂~r
= (cosv, sinv, 1), ~r
v + sin2v + 1 = 2, G = u
=
2
2
= (−usin v, u cos v, 1),
∂v
¡
2
sin
v + cos2v¢+ 1 = u2+ 1,
F = −u sin v cos v + usin v cos v + 1 = 1.
Первая квадратичная форма имеет вид
2
I = 2du
+ 2dudv +¡u2+ 1¢dv2.
Задания для самостоятельного решения
2
= 4v2.
2
Найти первую квадратичную форму поверхностей:
2.1. ~r = (2 cos u cos v, 2 sin u cos v, 2 sinv);
2.2. ~r = (au ch v, bu sh v, u
2
);
2.3. ~r = (u cos v, u sin v, 4v);
³
2
u
2.4. ~r =
, u, v´;
2
2.5. ~r =¡7 chv, 7sh v, u¢.
36
2.2. Угол между линиями на поверхности.
T
U
G
&
U
&
G
Мера площади поверхности
Определение 12. Углом между двумя линиями, ко-
торые пересекаются в некоторой точке, называется угол между
касательными к этим линиям (рис. 1.25).
Пусть на поверхности
заданы две кривые. Обозначим символом d дифференцирование в направлении
первой кривой, а символом
δ — дифференцирование в
направлении второй кривой.
Касательные векторы этих
кривых (см. обозначения в п. 1.2) имеют вид
Рис. 1.25
d~r =
∂~r
∂u
du +
∂~r
dv, δ~r =
∂v
∂~r
∂u
δu +
∂~r
∂v
δv.
Тогда
cos θ =
∂~r
d~r · δ~r
|d~r||δ~r|
Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv
=
=
(
∂u
du +
dsδs
∂~r
∂v
dv) ·(
|d~r||δ~r|
∂~r
∂u
δu +
∂~r
∂v
δv)
=
,
√
где ds =
Edu2+ 2F dudv + Gdv2, δs =√Eδu2+ 2F δuδv + Gδv2.
Угол между двумя кривыми на поверхности выражается через коэффициенты E, F , G первой квадратичной формы, то есть
является свойством внутренней геометрии. Для нахождения угла
между двумя кривыми на поверхности необходимо знать уравнения этих кривых, чтобы вычислить дифференциалы (см. A.9) du,
dv и δu, δv. С другой стороны, для задания направления касательной к кривой достаточно знать отношение дифференциалов, которое будем обозначать (du : dv). Это утверждение вытекает из кол-
линеарности векторов
d~r
= ~r1du+~r2dv и λ
dt
d~r
= ~r1(λdu)+~r2(λdv).
dt
37
Отношение дифференциалов (du : dv), (δu : δv) также применимо
u
uu∆
+
v
vv∆
+
к нахождению угла между кривыми.
Найдем угол ω между координатными линиями на поверхности. Дляu–линий имеемv= const,значитdv= 0.Отношение
дифференциалов таково (du : dv) = (du : 0). Для v–линий имеем
u = const, тогда (δu : δv) = (0 : δv). Формула для нахождения
косинуса угла ω между координатными линиями упрощается:
cos ω =
√
F duδv
Edu
√
2
Gδv
2
=
√
F
EG
.
В случае F = 0 u–линии
и v–линии пересекаются под
прямым углом, и координатная сеть на поверхности ортогональна. Например, координатная сеть на прямом геликоиде (пример 9) ортогональ-
Рис. 1.26
на, а на косом геликоиде (пример 13) — нет. Координатная сеть на
плоскости (пример 11), заданной в полярной системе координат,
ортогональна и состоит из концентрических кругов (ρ = const) и
пучка прямых с центром в начале координат (ϕ = const). Координатная сеть на плоскости, заданной в декартовых координатах,
в общем случае не ортогональна.
Выберем на поверхности u–линию и v–линию и добавим к
ним линии u + ∆u и v + ∆v. Получим криволинейный четырехугольник (рис. 1.26), который при достаточно малых ∆u, ∆v можно приближенно считать параллелограммом. По известной формуле площадь dS элементарного параллелограмма можно вычислить как модуль векторного произведения векторов (см. A.10),
соответствующих u–линиям и v–линиям. Значит,
s
µ
∂~r
∂u
×
∂~r
∂v
¶
2
dudv.
dS =
¯
¯
∂~r
¯
¯
∂u
du ×
∂~r
∂v
dv
¯
¯
¯
¯
∂~r
¯
¯
=
¯
¯
∂u
×
∂~r
∂v
¯
¯
¯
dudv =
¯
38
Тогда площадь S поверхности определим как двойной интеграл по области, занимаемой поверхностью S, от элемента площади поверхности dS. Строгое доказательство справедливости предельного перехода и независимости интеграла от способа разбиения на криволинейные четырехугольники можно посмотреть, например, в [13].
Воспользуемся формулой (~a×~b)·(~c×~d) = (~a·~c)(~b·~d)−(~a·~d)(~b·~c).
Тогда
µ
∂~r
∂u
×
∂~r
∂v
¶
2
=
µ
∂~r
∂u
¶
¶
µ
2
∂~r
∂v
µ
2
∂~r
−
∂u
¶
2
∂~r
·
∂v
= EG − F2.
Таким образом, мера площади поверхности выражается так:
ZZ
p
S =
EG −F2dudv.
Из полученной формулы следует, что площадь относится к
элементам внутренней геометрии поверхности, поскольку вычисляется с помощью коэффициентов первой квадратичной формы.
Пример 14. Найти угол между координатными линиями
для половины цилиндра ~r =¡sin u, cos u, v
верхности, ограниченной значениями
Решение.
Тогда cos θ =
В примере 8 п. 2.1 найдено E = 1, G = 4v2, F = 0.
0
= 0. Это означает, что координатная сеть на
2v
¢
2
π
2
и площадь части по-
≤ u ≤ π, 1 ≤ v ≤ 2.
цилиндре ортогональна. Вычислим площадь части поверхности
π
S =
ZZ
p
EG −F2dudv =
Z
π
2
Площадь части поверхности половины цилиндра S =
du
2
Z
p
4v2− 0 dv = u
1
¯
¯
¯
¯
π
2
3π
¯
2
· v
=
¯
π
2
2
1
3π
.
2
Пример 15. Найти угол, под которым пересекаются линии
u + v = 0 и u − v = 0 на прямом геликоиде ~r = (u cos v, u sin v, av)
и вычислить площадь одного витка шириной 0 ≤ u ≤ a.
39
.
Решение. Коэффициенты первой квадратичной формы:
∂~r
=
~r
1
= (cosv, sinv, 0), ~r
∂u
E = ~r
G = ~r
F = ~r
2
2
·~r2= −usin v cos v + u sin v cos v + 0 = 0.
1
= u
¡
2
sin
2
= cos2v + sin2v = 1,
1
2
v + cos2v¢+ a2= u2+ a2,
∂~r
= (−usin v, u cos v, a),
=
2
∂v
Определим направления линий на поверхности:
v = −u ⇒ (du : dv) = (du : −du); v = u ⇒ (δu : δv) = (δu : δu);
¢
2
2
(−du)δu
cos θ =
q
duδu +¡u
du2+¡u2+ a
(1 − u
=
(1 + u2+ a2)duδu
2
− a2)duδu
+ a
¢
2
2
·qδu2+¡u2+ a
du
=
2
1 − u
− a
1 + u2+ a
=
¢
2
2
δu
2
.
2
Найдем координаты точки пересечения u + v = 0 и u −v = 0 :
½
u + v = 0,
u − v = 0.
Исследуемые линии пересекаются только в одной точке (0, 0) и
при u = 0 получаем cos θ
равен θ = arccos
1 − a
1 + a
¯
¯
¯
(0,0)
2
.
2
=
⇒
1 − a
1 + a
½
u = 0,
v = 0.
2
. Значит, искомый угол
2
Один виток геликоида можно получить, ограничив измене-
ние параметра v от 0 до 2π. Так как dS =√EG −F2dudv =
√
u2+ a2dudv, то
=
2π
Z
S =
0
p
+
= a
a
Z
p
dv
u2+ a
¡
2
π
u2+ a2du = v
0
´
¢
2
√
2 + ln(1 +√2)¢.
¯
a
¯
¯
0
= 2π
¯
³
p
2π
u
¯
¯
0
√
¡
1
2
a
2
2 + a2ln(a + a√2) − a2ln a¢=
u2+ a2+
2
2
a
2
ln¡u+
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]