Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
причем равенство достигается в самой точке (x01, y01). Значит,
частные производные по x, y от левой части этого неравенства в
точке (x01, y01) обращаются в нуль:
Lx
+ M y01− k1(Ex01+ F y01) = 0,
01
+ N y01− k1(F x01+ Gy01) = 0,
Mx
01
или
Исключив x
(L − k
(M − k
01
E)x01+ (M − k1F )y01= 0,
1
F )x01+ (N − k1G)y01= 0.
1
, y01, получим уравнение на k1:
¯
¯
L − k
¯
¯
M − k
E M − k1F
1
F N − k1G
1
¯
¯
¯
¯
= 0.
Аналогично в точке (x
чение кривизны k
(L−k
E)x02+(M −k2F )y02= 0, (M −k2F )x02+(N −k2G)y02= 0.
2
и система имеет вид:
2
Имеем уравнение на k
¯
¯
¯
¯
M − k
Уравнения для k
кривизны k
и k2есть решения одного и того же квадратного
1
:
2
L − k
1
, y02) достигается наименьшее зна-
02
¯
E M − k2F
2
F N − k2G
2
¯
¯
¯
= 0.
и k2одинаковые, следовательно, главные
уравнения
¯
¯
L − kE M − kF
¯
¯
M − kF N −kG
2
(EG −F2) − k(LG − 2MF + NE) + (LN − M2) = 0.
= k
¯
¯
¯
=
¯
Теперь введем определения
Определение 23. Средней кривизной H поверхности
называется полусумма главных кривизн.
71
Определение 24. Полной кривизной (гауссовой кри-
визной) K поверхности называется произведение главных кри-
визн.
По свойству корней квадратного уравнения имеем
2
.
2
H =
1
2
(k
1
+ k2) =
LG − 2M F + N E
1
2
EG −F
2
, K = k1k2=
LN − M
EG −F
Полная и средняя кривизны поверхности играют важную
роль в теории поверхностей. В частности, поверхности, у которых
полная кривизна равна нулю, обладают евклидовой геометрией,
а поверхности ненулевой гауссовой кривизны обладают своей собственной геометрией, отличной от геометрии плоскости (см. ниже
теорему Гаусса-Бонне). Поверхности, у которых средняя кривизна
равна нулю во всех точках, называются минимальными, то есть
площадь поверхности, ограниченная замкнутым контуром, у минимальных поверхностей наименьшая (см. катеноид, рис. 1.13).
Пример 30. Определить полную и среднюю кривизны сферы.
Решение. В примере 29 были найдены коэффициенты
2
E = R
, F = 0, G = R2cos2u, L = R, M = 0, N = Rcos2u.
Значит, полная и средняя кривизны сферы таковы
H =
LN − M
K =
EG −F
LG − 2M F + N E
1
2
EG −F
2
2
2
=
=
1
2
2
cos2u
R
R4cos2u
3
R
=
cos2u + R3cos2u
R4cos2u
R
1
,
2
1
=
.
R
Поскольку средняя кривизна не равна нулю, то сфера не является минимальной поверхностью. Полная кривизна сферы постоянна и положительна, значит, геометрия на сфере отличается
от геометрии на плоскости. Поверхности постоянной полной кривизны обладают интересными геометрическими свойствами, о чем
будет рассказано ниже.
72
Пример 31. Определить полную и среднюю кривизны ка-
теноида.
Решение. Коэффициенты первой и второй квадратичных
форм катеноида имеют вид
E = ch
u
2
, F = 0, G = a
a
2ch2
u
, L = −
a
1
, M = 0, N = a.
a
Значит, полная и средняя кривизны катеноида таковы
K =
−1
a2ch
, H =
u
4
a
−a ch
1
2
u
2
a
a2ch
+ a ch
4
u
2
a
u
= 0.
a
Ранее уже упоминалось, что катеноид — минимальная поверхность. Здесь мы убедились, что средняя кривизна катеноида
равна нулю. Полная кривизна катеноида отрицательна на всей
поверхности, но не является постоянной.
Пример 32. Определить полную и среднюю кривизны псевдосферы.
Решение.
В примере 20 были найдены коэффициенты первой
и второй квадратичных форм псевдосферы единичного радиуса.
В случае произвольного радиуса a коэффициенты запишем так
2
E = a
L = −
ctg2u, F = 0, G = a2sin2u,
a|cos u|
sin u
, M = 0, N = a sin u|cos u|.
Вычислим полную и среднюю кривизны псевдосферы
K =
LN − M
EG −F
−a
=
2
2
3
2
−a
=
cos2u
a4cos2u
sin u|cos u| + a
2a4cos2u
1
= −
, H =
2
a
cos2u|cos u|
3
sin u
1
LG − 2M F + N E
2
= ±
73
EG −F
1
ctg 2u.
a
2
=
Псевдосфера также не является минимальной поверхностью,
а ее полная кривизна постоянна и отрицательна. Геометрия на
псевдосфере является геометрией Лобачевского.
Пример 33.
Вычислить полную и среднюю кривизны одно-
полостного гиперболоида вращения
~r = (ach u cos v, a ch u sin v, c sh u).
Решение.
Вычислим необходимые производные
′
= (ash u cos v, a shu sin v, c chu),
~r
u
′
~r
= (−ach u sin v, a ch u cosv, 0),
v
′′
~r
= (ach u cos v, a ch u sinv, c sh u),
uu
′′
~r
= (−ash u sin v, a shu cos v, 0),
uv
′′
= (−ach u cos v, −a ch u sinv, 0).
~r
vv
Определим коэффициенты первой и второй квадратичных
форм
2sh2
E = a
u + c2ch2u, F = 0, G = a2ch2u,
p
EG −F2= ach upa2sh2u + c2ch2u,
L = −
p
ac
a2sh2u + c2ch2u
, M = 0, N =
ac ch
p
a2sh2u + c2ch2u
Вычислим полную и среднюю кривизны
2
+ c2) ch2u − 2a
c¡(a
a(a2sh2u + c2ch2u)
K = −
2
c
(a2sh2u + c2ch2u)
, H =
2
Пример 34. Определить полную и среднюю кривизны кругового конуса ~r = (au cos v, au sin v, cu).
Решение.
Вычислим необходимые производные и найдем ко-
эффициенты первой и второй квадратичных форм
′
~r
= (acos v, a sin v, c), ~r
u
′′
~r
= (0,0, 0), ~r
uu
′′
uv
′
= (−ausin v, au cos v, 0),
v
= (−asin v, a cos v, 0),
2
u
2
3/2
.
¢
.
74
′′
~r
= (−aucos v, −au sin v, 0),
vv
2
E = a
L = 0, M = 0, N =
Полная и средняя кривизны конуса: K = 0, H =
+ c2, F = 0, G = a2u2,pEG −F2= a|u|pa2+ c2,
ac|u|
√
a2+ c
.
2
c
2a|u|√a2+ c
.
2
Поскольку конус как развертывающаяся поверхность изо-
метричен плоскости, его полная кривизна ожидаемо равна нулю.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить полную и среднюю кривизны поверхностей
3.15. ~r = (u cos v, u sin v, v);
3.16. ~r = (sh u cos v, sh u sin v, ch u);
3.17. ~r = (u cos v, u sin v, u + v);
3.18. z = x
2
+ y2.
3.6. Деривационные формулы
В теории поверхностей существует аналог формул СерреФрене для кривых. Эти формулы позволяют выразить производные векторов ~r
первой и второй квадратичных форм и носят название дерива-
ционных формул. Поскольку векторы ~r
приняв их за базис, запишем разложения
′
′
, ~r
, ~n через сами эти векторы и коэффициенты
u
v
′
′
, ~r
, ~n независимы, то,
u
v
~r
~r
~r
~n
~n
где коэффициенты Γ
′′
uu
′′
uv
′′
vv
′
u
′
v
1
′
2
2
12
2
22
11
′
~r
v
′
~r
v
′
~r
+ λ22~n,
v
′
+ α10~n,
v
′
+ α20~n,
v
+ λ11~n,
+ λ12~n,
= Γ
~r
+ Γ
11
u
1
1
22
12
′
~r
u
′
~r
u
′
u
′
u
+ Γ
+ Γ
+ α12~r
+ α22~r
= Γ
= Γ
= α11~r
= α21~r
k
, λij, αijподлежат определению.
ij
75
Вначале найдем коэффициенты αij. Вектор нормали был
′
введен по формуле ~n =
′
′
×~r
~r
u
v
′
u
×~r
′
v
|~r
|
=
~r
√
EG −F
u
×~r
′
v
, следовательно,
2
∂
∂u
2
(~n
) = 2~n·~n
′
u
= 0,
∂
∂v
2
(~n
) = 2~n·~n
′
= 0, ~n·~r
v
′
= 0, ~n·~r
u
Тогда
′
·~n = α10~n2= 0, ~n
~n
u
Значит, коэффициенты α
′
′
·~r
~n
~n
= α11~r
u
u
′
′
·~r
= α11~r
u
v
, α20равны нулю. Далее
10
′2
+ α12~r
u
′
′
·~r
u
v
′
u
+ α12~r
′
·~n = α20~n2= 0.
v
′
= α11E + α12F,
·~r
v
′2
= α11F + α12G.
v
Напомним формулы для вычисления коэффициентов второй
квадратичной формы
′
′
L =
(~r
×~r
u
√
EG −F
v
) · ~r
′′
uu
2
, M =
(~r
√
′
×~r
u
EG −F
′
) · ~r
v
′′
uv
2
, N =
(~r
√
′
×~r
u
EG −F
Выполняя дифференцирование и упрощая выражение ~n
получим
µ
′
′
·~r
~n
−
=
u
u
′
(~r
×~r
u
Аналогично ~n
½
−L = α
−M = α
′
~r
u
√
EG −F
′
) · ~r
v
EG −F
′
·~r
u
11
′
u
×~r
(
′
v
11
¶
′
′
v
2
√
EG −F2)
2
′
·~r
u
u
′
u
=
=
(~r
(~r
′′
×~r
uu
′′
×~r
uu
√
EG −F
′
+ ~r
v
√
EG −F
′
) · ~r
v
′
u
′
u
2
= −M. Тогда из системы найдем
E + α12F,
F + α12G.
⇒
α
α
11
12
=
=
−LG + M F
EG −F
LF − M E
EG −F
′′
×~r
uv
2
= −L.
2
.
2
) · ~r
,
′
v
) · ~r
′
u
′
v
· ~r
′
u
= 0.
′′
vv
2
−
.
′
,
u
С помощью такого же подхода получим коэффициенты
NF − MG
=
α
21
EG −F
, α22=
2
−NE + MF
EG −F
2
.
76
Теперь определим параметры λ11, λ12, λ
22
L = ~n · ~r
M = ~n · ~r
N = ~n · ~r
′′
= ~n · (Γ
uu
′′
uv
′′
= ~n · (Γ
vv
= ~n · (Γ
1
11
1
22
1
12
′
2
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ λ11~n) = λ11,
11
v
2
′
~r
+ λ12~n) = λ12,
12
v
2
′
~r
+ λ22~n) = λ22.
22
v
Рассмотрим следующие равенства
′
2~r
2~r
~r
~r
′′
·~r
u
uu
′
′′
·~r
u
uv
′
′′
·~r
·~r
uu
′′
vv
+ ~r
+ ~r
v
′
u
= (~r
= (~r
′′
uv
′′
uv
′2
u
′2
u
·~r
·~r
′
u
′
v
′
u
′
v
= E
= E
= (~r
= (~r
′
, 2~r
u
′
, 2~r
v
′
·~r
u
′
·~r
u
)
)
′
′′
·~r
v
vv
′
′′
·~r
v
uv
′
′
u
′
v
= F
= F
′
u
′
v
)
v
′
)
v
= (~r
= (~r
⇒ ~r
⇒ ~r
′2
′
v
′
u
′
u
= G
= G
′
v
·~r
·~r
′′
vv
′′
uu
′
v
′
u
,
,
= F
= F
)
v
′2
)
v
С учетом указанных соотношений из разложений для векто-
′′
′′
uv
= ~r
= ~r
= ~r
= ~r
= ~r
= ~r
′′
, ~r
получим систему для нахождения коэффициентов
vv
′
1
′
2
′
v
′
u
′
v
′
u
′
v
u
· (Γ
· (Γ
· (Γ
· (Γ
· (Γ
· (Γ
1
22
1
11
1
12
1
22
1
12
11
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ Γ
u
′
~r
+ λ11~n) = Γ
11
v
2
′
~r
+ λ11~n) = Γ
11
v
2
′
~r
+ λ12~n) = Γ
12
v
2
′
~r
+ λ12~n) = Γ
12
v
2
′
~r
+ λ22~n) = Γ
22
v
2
′
~r
+ λ22~n) = Γ
22
v
1
E + Γ
11
1
F + Γ
11
1
E + Γ
12
1
F + Γ
12
1
E + Γ
22
1
F + Γ
22
2
F =
11
2
G = F
11
2
F =
12
2
G =
12
2
F = F
22
2
G =
22
ров ~r
Γ
~r
~r
~r
~r
~r
~r
, ~r
uu
k
, которые носят название символов Кристоффеля
ij
′
′′
·~r
u
uu
′
′′
·~r
v
uu
′
′′
·~r
u
uv
′
′′
·~r
v
uv
′
′′
·~r
u
vv
′
′′
·~r
v
vv
1
′
E
′
−
E
−
−
′
E
,
v
2
1
′
G
.
u
2
′
,
u
1
′
E
,
v
2
′
,
v
′
,
u
1
′
G
,
u
2
′
.
v
′
u
′
−
v
1
2
u
1
2
1
G
2
v
1
G
2
Решением этой системы являются шесть равенств для опре-
деления символов Кристоффеля
77
′
F (E
1
Γ
=
11
1
Γ
=
12
1
Γ
=
22
v
2(EG −F2)
′
GE
v
2(EG −F2)
G(2F
2(EG −F2)
− 2F
− F G
′
− G
v
′
) + GE
u
′
u
, Γ
′
) − F G
u
′
u
, Γ
′
v
, Γ
2
11
2
12
2
22
=
=
=
′
E(2F
u
− E
2(EG −F2)
′
EG
− F E
u
2(EG −F2)
′
− 2F
F (G
u
2(EG −F2)
′
) − F E
v
′
v
,
′
) + EG
v
Пример 35. Продемонстрируем применение деривационных
формул на примере сферы.
Решение.
Запишем коэффициенты первой и второй квадра-
тичных форм сферы и найдем необходимые производные.
E = R2, F = 0, G = R2cos2u, L = R, M = 0, N = Rcos2u,
E
′
u
= 0, E
′
= 0, F
v
′
= 0, F
u
′
= 0,G
v
′
= −R2sin 2u, G
u
′
v
= 0.
Вычислим коэффициенты
′
u
,
′
v
.
Γ
1
= 0, Γ
11
2
= 0, Γ
11
λ
= −
α
11
Разложения таковы
′′
~r
uu
′′
~r
uv
′′
~r
vv
~n
~n
= Γ
= Γ
= Γ
′
= α11~r
u
′
= α21~r
v
1
22
1
11
1
12
1
= 0, Γ
12
= R, λ12= 0, λ22= R cos2u,
11
1
, α
R
′
+ Γ
u
′
+ Γ
u
′
+ Γ
u
′
+ α12~r
u
′
+ α22~r
u
2
12
2
22
2
11
~r
~r
~r
2
= −tg u, Γ
12
= 0, α21= 0, α22= −
12
′
~r
+ λ11~n = R~n,
v
′
~r
+ λ12~n = −~r
v
′
~r
+ λ22~n =
v
′
+ α10~n = −
v
′
+ α20~n = −
v
′
tg u,
v
1
′
~r
sin 2u + R~n cos2u,
u
2
1
′
~r
u
R
1
′
~r
u
R
78
1
22
.
=
1
2
sin 2u, Γ
R
2
= 0,
22
1
.
,
В завершении этого раздела сформулируем без доказательства несколько утверждений. Интересующемуся читателю рекомендуем за подробной информацией по этой теме обратиться к
источникам [13, 14, 20]. Из очевидных равенств
′′
(~r
uu
′
)
v
− (~r
′′
uv
)
′
=~0, (~r
u
′′
vv
)
′
u
− (~r
′′
uv
′
)
v
=~0, (~n
′
′
)
u
v
− (~n
′
′
)
=~0
v
u
на основе деривационных формул выведены формулы Гаусса–Петерсона–Кодацци, с помощью которых доказано, что первая и вторая квадратичные формы поверхности не независимы. В частно-
2
, в которую
2
сти, выше была получена формула K =
LN − M
EG −F
входят коэффициенты обеих форм. Но с появлением деривационных формул была выяснена зависимость между этими коэффициентами. Тогда Карл Гаусс доказал теорему, которая гласит, что
полная кривизна поверхности зависит от коэффициентов первой
квадратичной формы и их производных. Значит, полная кривизна
поверхности принадлежит к свойствам внутренней геометрии! То
есть две поверхности, которые локально совпадают при изгибании
без растяжений (изометрии), имеют в соответствующих точках
одинаковую гауссову кривизну.
Равно как кривизна и кручение определяют кривую с точностью до положения в пространстве, являясь инвариантами кривой, для поверхностей также были получены инварианты. Имеет
место
Теорема Бонне. Пусть
2
+ 2F dudv + Gdv2,
Edu
2
Ldu
+ 2M dudv + Ndv
2
две любые квадратичные формы, из которых первая является
положительно определенной. Пусть для коэффициентов этих
форм выполняются условия Гаусса–Петерсона–Кодацци. Тогда существует и единственная с точностью до положения в пространстве поверхность, для которой эти формы являются первой и соответственно второй квадратичными формами.
79
4. Геодезическая кривизна и геодезические
линии. Теорема Гаусса–Бонне
4.1. Геодезическая кривизна и геодезические линии
Прямые линии в пространстве и на плоскости обладают двумя важными свойствами, каждое из которых может рассматриваться как определение прямой. Во-первых, прямые линии — пря-
мые, а значит их кривизна равна нулю, кроме того они сохраняют
неизменным свое направление. Во-вторых, отрезок прямой является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Всеми этими свойствами на поверхности обладают геодезические линии.
Вначале проясним геометрический смысл геодезической линии. Направление на кривой определяется касательным вектором, поэтому все доступные направления находятся в касательной
плоскости поверхности. Для того, чтобы кривая сохраняла постоянство направления необходимо, чтобы касательная при движении по кривой не поворачивалась в касательной плоскости. Ранее
в пункте 3.1 при рассмотрении движения трехгранника Френе было указано, что его движение происходит все время таким образом, что вращение вокруг главной нормали равно нулю, то есть
вектор угловой скорости принадлежит спрямляющей плоскости.
Отсюда очевидно, что если главная нормаль кривой совпадет с
нормалью поверхности, то при движении по такой кривой направление касательной будет постоянным. Геометрически геодезическая линия это такая кривая на поверхности, у которой во всех
точках главная нормаль совпадает с нормалью поверхности или,
что эквивалентно, соприкасающаяся плоскость которой содержит
нормаль поверхности.
Если поверхность содержит на себе прямые линии, то они являются геодезическими, поскольку хоть и соприкасающаяся плоскость прямой не определена (~τ
направление на прямой неизменно. Ранее было показано, что прямые на поверхности также являются асимптотическими линиями.
′
=~0), достаточно того факта, что
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]