Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1.1. Конус ~r = (4u,
1.2. Эллиптический цилиндр ~r = (132 cos v, u, 48 sin v).
1.3. Сфера ~r = (
1.4. Эллиптический параболоид ~r = (5u cos v, u2, 6u sin v).
√
1.5. x + y +
1.6. 2y − z −1 = 0,
√
1.7.
3x + y −2√3z − 12 = 0,
1.8. x − y = 0, x = −y =
1.9. x − 2y + 2 = 0, x − 2 =
1.10. Цилиндр (x + 1)
1.11. Конус (x −3)
1.12. Цилиндр (x − 2)
1.13. Конус x2+ (y −2)2=
2.1. I = 4 cos
2.2. I = (a
2(a2
+u
2.3. I = du
2.5. I = du
Указание
2
2
ch2v + b2sh2v + 4u2)du2+ 2(a2+ b2)u sh v ch vdudv+
sh2v + b2ch2v)dv2.
2
+ (u2+ 16)dv2. 2.4. I = (u2+ 1)du2+ dv2.
2
+ 49(sh2v + ch2v)dv2.
: в заданиях 2.6. и 2.7. необходимо воспользоваться фор-
мулой cos ω =
π
2.6. ω =
. 2.7. ω = arccos
2
1
u cos v, 5u sinv).
2
√
6 cos u cos v,√6 cos u sin v,√6 sin u).
2z − 4 = 0,
x
0
=
x − 1
√
y −1
2
y −1
√
=
2
z − 1
=
x −
√
−1
9√3
4
=
2
.
= y −
3
z − π
.
0
2
+ y2= 4.
2
+ (z −1)2=
2
+ (z + 5)2= 25.
1
8
y −2
−2
2
z
.
z − 2
=
0
4
2
y
.
5
vdu2+ 4dv2.
F
√
.
EG
√
³
´
65
. 2.8. θ =
39
.
z −
√
2
.
2
z +
9
=
4
−2√3
π
.
4
√
3
2
.
141
2.9. S =
√
1
2
+
4
ln(1 +
2
√
2). Указание: воспользоваться формулой
Z
p
x2+ a2dx =
x
2
2.10. S = 16π(√3 −√2).
3.1. II =
q
6sign(u)
9 + 4u2(ch2v + sh2v)
K
=
n
(4u2+9(ch2v+sh2v))du2+36u ch v sh vdudv+9u2(ch2v+sh2v)dv
3.2. II =
K
n
3.3. II =
K
n
3.4. II =
2
3.5. x
=
√
2
3.6.
5
3.7. ∆ = LN − M
6sign(u)(9+4u2(ch2v+sh2v))
2sign(u)
5
√
=
dv(u
=
√
√
x
2
1 + 4u
√
1 + 4u
√
√
1 + 2u
du
1 + u
3a2+ b
2ab
−
(du2+ u2dv2),
2
2sign(u)(du
¡
2
(1 + 4u
2
dv −2du)
1 + 2u
2
2
¡
2
2du(du + dv) + (1 + u
, Kn=
2
2
— пара параллельных прямых.
√
2
5
2
y
= 1 — равнобокая гипербола.
5
2
= 0, L 6= 0 — все точки параболические.
dv(u
p
x2+ a2+
2
+ u2dv2)
2
,
2
dv −2du)
√
2
a
ln(x +
2
2−u2dv2
(du
1
−
2
(du2−u2dv2)
)du2+ u2dv
¡
2
1 + u
(1 + u
p
x2+ a2) + C.
) (sign(u) — знак u,)
.
¢
2
.
¢
2
2
)dv
2
du
2
)du2+ dv
2
.
2
.
¢
3.8. ∆ = −1 — все точки гиперболические.
16
3.9. ∆ = −
16 + u
< 0 — все точки гиперболические.
2
3.10. ∆ = 0, L 6= 0 — все точки параболические.
142
1
3.11. Уравнение для определения линий:
√
1 + u
dudv = 0, его
2
решениями являются два семейства: u = const и v = const —
координатные линии.
4dx2
3.12. Уравнение y
разложение на множители (ydx − xdy)(y
ниями являются два семейства линий: y = C1x и
3.13. Уравнение: (1 + u
√
v +
1 + v2= C1(u +√1 + u2), v +p1 + v2=
3.14. Уравнение для определения линий:
− xy(x2+ y2)dxdy + x4dy2= 0 допускает
3
dx − x3dy2) = 0. Реше-
1
1
−
2
2
)dv2−(1 + v2)du2= 0. Линии кривизны:
y
C
u +√1 + u
3
|cos u|
a
sin u
dudv = 0. В си-
= C2.
2
x
2
.
2
лу параметризации u ∈ (0, π), поэтому sin u 6= 0. Линии кривизны:
3/2
π
2
.
— ребро
u = const или v = const — координатные линии, u =
возврата.
2)−2
1
1
, H = 0.
, H = ±
2
, H =
2
(ch2u + sh2u)
1 + u
(1 + 2u2)
2
u
ch
2
.
3/2
3.15. K = −(1 + u
3.16. K =
(ch2u + sh2u)
3.17. K = −
(1 + 2u2)
3.18. Указание: параметризовать поверхность в виде
2
)
.
3/2
2
u
)
~r = (ucos v, u sin v, u
2
), K =
4
(1 + 4u2)
, H = ±
2
2(1 + 2u
(1 + 4
4.1. Геодезическая кривизна координатных v-линий при u = const:
=
u2+ 4v
|u|
, координатных u-линий при v = const: kg= 0.
2
k
g
4.2. Геодезическая кривизна координатных v-линий при u = const:
k
=
g
1
|u|√4u2+ 1
, координатных u-линий при v = const : k
g
= 0.
p
4.3.∗Геодезические линии v =
c1sin2u − 1
sin u
+ c
.
2
143
s
4.4.∗Геодезические линии v =
5.1. а) S
≈ 17, 89π см2; б) Sα≈ 7, 29π см2; в) Sα≈ 0, 63π см2.
α
Z
2
u
th
− 1
a
c1− a th
2
u
a
du + c2.
5.2. а) l ≈ 1, 39R; б) l ≈ 2, 01R; в) l ≈ 0, 41R; г) l ≈ 2, 51R.
5.3. а) ϕ ≈ 33
в) ϕ ≈ 70
◦29′42′′
◦2′10′′
; б) ϕ ≈ 139◦4′16′′;
; г) ϕ ≈ 117◦34′48′′.
5.4. а) l ≈ 4768, 64 км; б) l ≈ 17795, 27 км;
в) l ≈ 9802, 15 км; г) l ≈ 11401, 46 км.
◦3′18′′
5.5. а) ϕ ≈ 32
в) ϕ ≈ 13
; б) ϕ ≈ 71◦23′7′′;
◦1′22′′
; г) ϕ = 40◦30′52′′.
5.6. а) l
≈ 1843, 07 км; б) lλ≈ 7956, 86 км.
λ
6.1. а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да. 6.2. S ≈ 1, 63 см
◦57′
6.3. r ≈ 8, 11 км. 6.4. a ≈ 155
6.6. c ≈ 114
6.9. γ ≈ 110
6.12.β ≈ 49
6.15. c ≈ 64
7.2. a ≈ 51
7.3. α = 90
7.4. α ≈ 64
7.5. a ≈ 115
7.6. c ≈ 107
7.7. a ≈ 69
7.8. c ≈ 89
7.9. b ≈ 72
◦45′
. 6.7. a ≈ 108◦26′. 6.8. β ≈ 125◦42′.
◦14′
. 6.10. α ≈ 149◦19′. 6.11. γ ≈ 138◦1′.
◦47′
. 6.13. a ≈ 102◦38′. 6.14. b ≈ 80◦5′.
◦7′
. 7.1. a ≈ 66◦43′, β ≈ 66◦7′, γ ≈ 48◦14′.
◦58′
, c ≈ 33◦8′, γ ≈ 43◦58′.
◦
, β ≈ 43◦25′, c ≈ 64◦53′.
◦22′
, β ≈ 98◦23′, γ ≈ 53◦20′.
◦56′
, b ≈ 79◦2′, c ≈ 133◦11′.
◦15′
, α ≈ 53◦17′, β ≈ 58◦13′.
◦4′
, b ≈ 95◦44′, γ ≈ 83◦13′.
◦26′
, β ≈ 42◦42′, γ ≈ 85◦38′.
◦40′
, c ≈ 15◦50′, γ ≈ 16◦1′.
. 6.5. b ≈ 109◦31′.
2
.
144
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология
кривых. — М.: Физматлит, 1987. — 160 с.
2. Болтянский В. Г. Огибающая. / Популярные лекции по математике. — Вып. 36. — М.: Физматлит, 1961. — 76 с.
3. Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — М.: Геодезиздат, 1948. — 154 с.
4. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.:
АСТ: Астрель, 2006. — 991 с.
5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математи-
ке. — М.: Наука, 1966. — 424 с.
6. Игнатьев Ю. Г. Дифференциальная геометрия кривых и по-
верхностей в евклидовом пространстве. Учебное пособие.
IV семестр. — Казань: Казанский университет. — 2013. —
204 с.
7. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. Ч. 1. — М.: Гос.
изд-во технико-теоретич. литературы, ОГИЗ. — Ленинград,
1947. — 512 с.
8. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. Ч. 2. — М.: Гос.
изд-во технико-теоретич. литературы, ОНТИ. — Ленинград,
1948. — 407 с.
9. Кранц П. Сферическая тригонометрия. — М.: Изд-во ЛКИ,
2007. — 96 с.
10. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высш.
школа, 1981. — Т. I (II). — 687 с. (584 с.)
11. Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные зада-
чи / Популярные лекции по математике. — Вып. 19. — М.:
Физматлит, 1955. — 103 с.
145
12. Матвиевская Г. П. Становление плоской и сферической три-
гонометрии (Из истории математических идей). — М.: Знание, 1982. — 64 с.
13. Норден А. П. Теория поверхностей. — М.: Гос. изд-во техникотеоретич. литературы, 1956. — 260 с.
14. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Физматлит, 1974. — 176 с.
15. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.:
Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1950. — 428 с.
16. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей. — М.: Физматлит, 2006.
— 304 с.
17. Сборник задач по дифференциальной геометрии / под ред.
Феденко А. С. — М.: Наука, 1979. — 272 с.
18. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.: Гостехиздат, 1948. — 154 с.
19. Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. — М., Л.: ОГИЗ,
1941. — 460 с.
20. Фиников С. П. Теория поверхностей. — М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, ОНТИ. — Ленинград, 1934. — 200 с.
21. Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии: учебное
пособие для вузов / Издание Башкирского университета. —
Уфа, 1996. — 211 с.
22. История математики с древнейших времен до начала
XIX столетия. Т. III / под ред. Юшкевича А. П. — М.:
Наука, 1972. — 496 с.
146
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . .. 3
ВВЕДЕНИЕ . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . . . . .. . . 4
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Раздел 1. Поверхность и ее касательная . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. 8
1.1. Поверхность. Способы задания поверхностей. Уравнения
некоторых поверхностей . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . 8
1.2. Касательная прямая и касательная плоскость поверхности 22
1.3. Огибающая семейства поверхностей. Развертывающиеся
поверхности . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. .26
Раздел 2. Первая квадратичная форма поверхности . .. . . 30
2.1. Местная система координат. Линейный элемент поверхности.
Наложение поверхностей . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . .. . .. 30
2.2. Угол между линиями на поверхности. Мера площади
поверхности . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. .37
2.3. Конформное отображение . .. . . . . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. 42
Раздел 3. Вторая квадратичная форма поверхности . . . . . 44
3.1. Краткие сведения из теории кривых. Сопровождающий
трехгранник Френе . . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . . 44
3.2. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма
поверхности . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. .49
3.3. Классификация точек поверхности . . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . . 54
3.4. Асимптотические линии. Сопряженные направления.
Главные направления. Линии кривизны . .. . .. . . .. . .. . .. . .63
3.5. Полная и средняя кривизны поверхности . . .. . .. . . . . . .. . .. 70
3.6. Деривационные формулы . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . .. . .75
Раздел 4. Геодезическая кривизна и геодезические линии.
Теорема Гаусса–Бонне. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . . 80
4.1. Геодезическая кривизна и геодезические линии . .. . .. . .. . . 80
4.2. Теорема Гаусса–Бонне . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . . . . .. 92
147
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
Раздел 5. Основные понятия сферической
тригонометрии . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. 94
5.1. Точки и дуги на поверхности сферы. Сферический угол,
двуугольник . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . .. 94
5.2. Географическая сферическая система координат . . .. . . .. 100
Раздел 6. Понятие сферического треугольника .. . . . . . .. . 102
6.1. Сферический треугольник и его элементы . . .. . .. . .. . .. . . 102
6.2. Соотношения между элементами сферического
треугольника . . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . . 104
6.3. Теорема косинусов для сторон сферического треугольника 109
6.4. Теорема синусов для сферического треугольника . . .. . .. . 115
6.5. Теорема косинусов для углов . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . . . 117
6.6. Формулы пяти элементов . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. 119
6.7. Формулы четырех элементов . . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . . 121
Раздел 7. Решение сферических треугольников . . . . . . .. 122
7.1. Решение прямоугольных сферических треугольников . . ..122
7.2. Формулы Даламбера и аналогии Непера . .. . . . . . .. . .. . .. . 127
7.3. Основной ход решения сферических треугольников . . . . . .128
7.4. Малые сферические треугольники. Теорема Лежандра . . 139
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ . . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . . 141
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . .. . .. . .. 145
ПРИЛОЖЕНИЕ . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . .. 149
148
ПРИЛОЖЕНИЕ
A.1. Совокупность точек трехмерного пространства, для которых
определено расстояние согласно формуле
p
ρ(A, B) =
(x1− x2)2+ (y1− y2)2+ (z1− z2)2,
в которой использованы точки A(x
, y1, z1), B(x2, y2, z2), на-
1
зывается трехмерным евклидовым пространством [10, т. I]
3
и обозначается через R
.
A.2. Три взаимно перпендикулярные прямые Ox, Oy и Oz об-
разуют в трехмерном пространстве прямоугольную систему
координат Oxyz, которую называют декартовой [5]. Такая
система позволяет однозначно определить любую точку в R
с помощью тройки числовых координат.
A.3. Под выражением "вектор-функция дифференцирума по всем
своим переменным" следует понимать, что существуют частные производные по всем аргументам этой функции (см.,
напр., [10, т. I]). Если существуют, например, все частные
производные второго порядка, то функцию называют дважды дифференцируемой.
A.4. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или одной и
той же прямой), называются коллинеарными [4].
Условие коллинеарности: Если векторы ~v
~v
= {x2, y2, z2} коллинеарны, то их соответствующие коор-
2
динаты пропорциональны
y
x
1
=
x
2
z
1
1
=
y
z
2
2
= {x1, y1, z1} и
1
и наоборот.
3
A.5. Три (или более) вектора называются компланарными [4], ес-
ли они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
149
A.6. Целое число r ≥ 0 называется рангом матрицы, если суще-
ствует хотя бы один определитель r–го порядка данной матрицы, который не равен нулю, но все определители (r +1)–го
порядка равны нулю (см., напр., [19]).
A.7. Прямая в пространстве, проходящая через точку (x
, y0, z0) и
0
имеющая направляющий (коллинеарный) вектор ~v = {m,n, p},
представляется уравнением
x − x
m
y −y
0
=
n
z − z
0
=
p
0
, кото-
рое называется каноническим уравнением прямой.
A.8. Базисом пространства R
3
называются векторы ~e1, ~e2, ~e3, ко-
торые удовлетворяют условиям:
1) векторы ~e
2) для каждого ~x ∈ R
что x = λ
, ~e2, ~e3линейно независимы;
1
3
существуют такие числа λ1, λ2, λ3,
+ λ2~e2+ λ3~e3(см., напр., [10, т. II]).
1~e1
A.9. Дифференциал функции (см., напр., [10, т. I]) y = f(x) равен
′
произведению производной этой функции f
ной x и дифференциала этой переменной dx: dy = f
(x) по перемен-
′
(x)dx.
A.10. Геометрический смысл векторного произведения: (см., напр.,
[5]) модуль векторного произведения векторов ~a и~b численно равен площади параллелограмма, построенного на этих
векторах: S
= |~a ×~b|.
~a,~b
A.11. Общая декартова или аффинная система координат на плос-
кости определяется заданием начала координат и двух независимых между собой векторов ~e
, ~e2, которые называются
1
масштабными. Любой вектор ~a можно разложить по мас-
штабным векторам системы в виде линейной комбинации:
~a = a
1~e1+a2~e2
. Коэффициенты a1, a2такого разложения вектора ~a называются координатами этого вектора (см., напр.,
[13, §6]).
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]