Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
Определение 30. Под географической долготой места
понимают угол, образованный плоскостью меридиана этого места с плоскостью начального меридиана (∠GO1B = λ). Долгота
изменяется от
◦
0
до
◦
180
. Различают западную и восточную
долготу.
По договоренности начальным или нулевым меридианом считают меридиан Гринвича, предместья Лондона.
Географическую долготу определяют с помощью часов, которые показывают Гринвичское время. Земля вращается с постоянной скоростью с запада на восток и совершает за 24 часа один
оборот вокруг своей оси в 360
◦
, т. е. в час 15◦или в одну минуту 15′. Этот принцип используют, например, для определения
времени заката или восхода солнца в конкретной местности. Для
получения высокоточных спутниковых координат в современных
навигационных системах требуется максимально возможная синхронизация часов на спутнике и приемнике на земле.
Пример 47. Определить в линейной мере длину параллели
земного шара, которая содержит λ = 42
◦15′7′′
через точку, которая находится на широте ϕ = 37
Решение.
На рис. 2.4 рассмотрим ∆OO1B. Здесь OB = R
градусов и проходит
◦24′10′′
.
— радиус земного шара, который равен 6370 км. Поскольку углы
∠OBO
и ϕ равны как внутренние накрестлежащие, то O1B =
1
= r = R cos ϕ. Для нахождения линейной меры длины восполь-
зуемся формулой l
πr
=
λ
λ. Получим: lλ=
◦
180
πR cos ϕ
◦
180
λ. Запишем
значения λ и ϕ десятичной дробью:
´
◦
10
3600
7
≈ 37, 4028◦,
´
◦
≈ 42, 2519◦,
◦
)
·42, 2519◦≈ 3729, 7 (км).
l
λ
πR cos ϕ
=
ϕ = 37
λ = 42
180
180
15
60
24
+
60
+
3600
◦
◦24′10′′
◦15′7′′
λ ≈
◦
=³37 +
=³42 +
3, 14 · 6370 ·cos(37, 4028
Ответ: lλ≈ 3729, 7 км.
101
Задания для самостоятельного решения
5.6. Определить в линейной мере длину параллели земно-
го шара, которая содержит λ градусов и проходит через точку,
которая находится на широте ϕ.
◦35′4′′
а) λ = 24
б) λ = 79
, ϕ = 47◦34′20′′;
◦12′34′′
, ϕ = 25◦18′40′′.
6. Понятие сферического треугольника
6.1. Сферический треугольник и его элементы
При рассмотрении следствий из теоремы Гаусса–Бонне (см.
п. 4.2.) упоминался геодезический треугольник — фигура на поверхности, образованная тремя пересекающимися дугами геодезических кривых. Роль геодезических линий на сфере выполняют
дуги больших кругов. Поэтому применительно к сфере используют следующее
Определение 31. Сферическим треугольником назы-
вается фигура, лежащая на сфере и ограниченая дугами трех
больших кругов (рис. 2.5, ∆ABC).
В этом определении отсутствует слово "пересекающиеся" поскольку, если не ограничивать длины, любые два больших круга пересекаются.
Определение 32. Под угла-
ми сферического треугольника понимают линейные углы дву-
гранных углов, образованные плоскостями, дающими в пересечении
со сферой сферический треугольник.
102
Рис. 2.5
Понятие сторон сферического треугольника вводится несколько непривычно. Было бы естественным понимать под этим
термином длины дуг больших кругов, соединяющих вершины треугольника. Длину дуги можно найти непосредственно, измерив ее
или выразив через длину радиуса сферы и центральный угол. Но
сферический треугольник используют главным образом в астрономии или в геодезии и навигации. Измерение длины дуг здесь
невозможно или затруднительно, а применение формулы для вычисления через радиус и центральный угол тоже исключено ввиду
неопределенности в некоторых задачах величины радиуса. Именно этим и обусловлено
Определение 33. Под стороной сферического треуголь-
ника понимают центральный угол, образованный двумя радиусами, идущими в вершины треугольника.
Обозначим углы сферического треугольника α, β, γ, а стороны — a, b, c. Далее будем рассматривать сферические треугольники, все углы и стороны которых меньше 180
◦
. Такие треугольники
называют эйлеровыми. Если у сферического треугольника какая-
◦
либо сторона больше 180
дополняющей эту сторону до 360
, то ее можно заменить другой дугой,
◦
и треугольник, полученный по-
сле такой замены, будет эйлеровым.
На рис. 2.6
изображен трехгранный угол OABC ,
соответствующий
сферическому треугольнику ABC.
Он содержит три
плоских угла, составленных его ребрами (∠AOB, ∠AOC,
∠COB), и три дву-
гранных угла, со-
Рис. 2.6
103
ставленных его гранями (например, угол между плоскостями
AOB и AOC равен α).
6.2. Соотношения между элементами
сферического треугольника
Сформулируем связь между элементами сферического тре-
угольника ABC и трехгранного угла OABC (рис. 2.6).
Теорема.
1) Плоские углы трехгранного угла равны соответствующим
сторонам сферического треугольника (∠BOC = a, ∠AOC = b,
∠AOB = c).
2) Двугранные углы равны соответствующим сферическим уг-
лам треугольника ABC (∠(AOB, AOC) = α, ∠(BOA, BOC) = β,
∠(COA, COB) = γ).
Доказательство этой теоремы, равно как и следующих ниже
свойств, здесь не приводим (см. подробнее в [3]).
Свойства сторон и углов сферического треугольника
1. Сумма любых двух сторон сферического треугольника больше
третьей его стороны.
2. Разность любых двух сторон сферического треугольника мень-
ше третьей его стороны.
3. Сумма сторон сферического треугольника 0 < a+ b + c < 360
4. Сумма углов сферического треугольника
◦
.
◦
180
< α + β + γ < 540◦.
5. Сумма двух углов сферического треугольника без третьего уг-
◦
ла всегда меньше 180
.
Первые два свойства имеют место и для плоских треугольников, а свойства 3, 4 и 5 присущи только сферическим. Свойство
4 непосредственно следует из теоремы Гаусса–Бонне и подводит
к следующему важному понятию.
104
Определение 34. Сумма углов сферического треугольника
D
E
J
D
E
J
D
E
J
D
E
J
◦
всегда больше 180
на некоторую величину, которая называется
сферическим избытком или эксцессом и обозначается бук-
◦
войε:
α+β+γ
= 180
+
ε.
Для эксцесса всегда выполняется условие 0 < ε < 360
◦
.
Определение 35. Равными называются такие сфериче-
ские треугольники, которые при наложении совпадают.
Очевидно, что у равных треугольников все соответствующие элементы равны (рис. 2.7). Обратное утверждение неверно.
Несмотря на то, что на рис. 2.8 все элементы одного треугольника
равны соответственно всем элементам другого треугольника, эти
треугольники не равны, т. к. при наложении они не совпадают.
Такие треугольники называют симметричными.
E
E
D
F
Рис. 2.7
D
F
E
D
F
F
E
D
Рис. 2.8
Условия равенства сферических треугольников
Сферические треугольники на одной и той же сфере равны
друг другу при условии, что три данные равные части расположены в треугольниках одинаково
и треугольники имеют соответ-
ственно по:
1) две равные стороны и угол между ними;
2) равную сторону и два угла, прилежащих к ней;
3) три равные стороны;
4) три равных угла.
105
Соотношения между углами и сторонами
В любом сферическом треугольнике выполняются соотноше-
ния:
1) если две стороны равны между собой, тогда равны и углы,
противолежащие к ним;
2) напротив равных углов лежат равные стороны;
3) напротив большего угла лежит большая сторона;
4) напротив большей стороны лежит больший угол.
Доказательство см., напр., в [18].
Сферические треугольники бывают прямоугольные (хотя бы
один угол равен 90◦), прямосторонние (хотя бы одна сторона рав-
◦
) и косоугольные (остальные). Как и для плоских треуголь-
на 90
ников в сферической геометрии используют понятия: равнобедренные и равносторонние треугольники. Сферические треугольники могут быть прямоугольными и прямосторонними одновременно. В отличие от плоских треугольников существуют сферические треугольники с двумя или тремя прямыми или тупыми
углами.
С помощью выражения для площади сферического двуугольника выводится фомула для площади сферического треугольника (см., напр., [9]).
Теорема. Площадь сферического треугольника на сфере радиуса r, определяется формулой
2
S = r
ε, где α, β, γ — углы треугольника в радианах, ε — эксцесс.
S = r2(α + β + γ −π) или
Доказательство этой теоремы может быть получено и из теоремы Гаусса–Бонне. Полная кривизна сферы радиуса r постоянна
1
и равна
. Интеграл преобразуется
2
r
ZZ
сф. тр.
Kdσ =
1
2
r
сф. тр.
106
ZZ
1dudv =
S
,
2
r
где S — площадь сферического треугольника. Тогда
S
α + β + γ = π +
⇒ S = r2(α + β + γ −π).
2
r
Наибольшим треугольником на сфере радиуса r считается
2
такой, площадь которого равна 2πr
. Для такого треугольника
эксцесс ε = 2π, а сумма углов α + β + γ = 3π.
Пример 48. Найти площадь сферического треугольника,
образованного тремя взаимно перпендикулярными большими кругами (рис. 2.9).
Решение. Данный сферический треугольник содержит три
прямых угла, т. е. сумма внутрен-
3π
◦
них углов равна 270
= r2(α + β + γ − π) =
S
△
³
3π
2
= r
− π´=
2
или
1
2
πr
.
2
. Тогда
2
Другой способ. Площадь поверхности сферы равна S
2
= 4πr
. Тогда
сферы равна S
1
2
=
.
πr
2
Ответ:
1
часть поверхности
8
1
пов.
8
S△=
1
=
· 4πr
8
1
2
πr
.
2
пов.
=
2
=
Рис. 2.9
Сферический треугольник, как и в плоском случае, существует при некоторых ограничениях на элементы. Следующий
пример иллюстрирует, как, зная углы сферического треугольника, проверить его существование.
Пример 49. Может ли сферический треугольник быть за-
◦58′
дан следующими элементами: α = 14
, β = 95◦6′, γ = 101◦12′?
107
Решение. Запишем углы так:
◦58′
◦6′
=³95 +
◦12′
=³14 +
=³101 +
α = 14
β = 95
γ = 101
58
60
6
60
´
◦
´
◦
= 95,1◦,
´
12
60
≈ 14, 97◦,
◦
= 101,2◦.
По свойствам углов должны выполняться следующие соот-
◦
ношения: 180
третьего меньше 180
α + β + γ = 14, 97
α + β − γ = 14, 97
α − β + γ = 14, 97
− α + β + γ = −14, 97
Ответ:
< α + β + γ < 540◦и сумма любых двух углов без
◦
. В нашем случае
◦
+ 95, 1◦+ 101, 2◦= 211,27◦;
◦
+ 95, 1◦− 101, 2◦= 8,87◦< 180◦;
◦
− 95, 1◦+ 101, 2◦= 21,07◦< 180◦;
◦
+ 95, 1◦+ 101, 2◦= 181,33◦> 180◦.
последнее соотношение не выполняется, поэтому та-
кого сферического треугольника не существует.
Пример 50. Углы сферического треугольника, расположен-
ного на сфере радиуса r = 7, 5 см, равны α = 87
◦
= 120
Переведем ε в радианы:
23, 5′, γ = 98◦53, 7′. Найти площадь треугольника.
Решение.
ε = α + β + γ − π = (87 + 120 + 98 − 180)
+ 53, 7)
Сферический избыток этого треугольника
◦
′
= 125◦+ 122, 6′= 127◦2, 6′=³127 +
πε
180
3, 14 · 127, 043
≈
◦
180
◦
+ (45, 4 + 23, 5+
2, 6
◦
◦
´
◦
≈ 127, 043◦.
60
≈ 2, 2162 (рад.)
45, 4′, β =
Площадь искомого треугольника S
2
≈ 124, 66 (см
Ответ:
).
S△≈ 124, 66 см2.
108
= r2ε = 7, 52· 2, 2162 ≈
△
Задания для самостоятельного решения
6.1. Проверить, может ли сферический треугольник быть
задан следующими элементами:
◦35′
а)α= 58
б) α = 38
в) α = 172
г) α = 105
,β= 71◦28′,γ= 82◦31′;
◦21′
, β = 50◦15′, γ = 75◦12′;
◦15′
, β = 150◦30′, γ = 87◦20′;
◦12′
, β = 45◦8′, γ = 65◦45′;
д) α = 115◦30′, β = 130◦20′, γ = 114◦10′?
6.2. Найти площадь сферического треугольника, располо-
женного на сфере радиуса r = 3, 4 см, если его углы α = 58
◦18′
β = 53
, γ = 76◦12′.
◦35′
6.3. Найти радиус сферы, на которой расположен сфериче-
ский треугольник площадью S = 100 км
◦12′
α = 92
, β = 70◦5′, γ = 104◦50′.
2
, если заданы его углы
6.3. Теорема косинусов для сторон сферического
треугольника
Формулы, выражающие зависимость между тремя сторонами сферического треугольника и одним из
его углов, называют теоремой ко-
синусов.
Теорема косинусов (рис. 2.10) Ко-
синус одной стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его
Рис. 2.10
,
109
сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус
угла между ними: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.
Доказательство.
Рассмотрим сферический треугольник
ABC , вершины которого соединены с центром сферы O. Будем
считать, что стороны b и c сферического треугольника меньше
◦
. Проведем из точки A касательные AK и AL к сторонам b и
90
c. В силу указанного ограничения на стороны, касательные пересекутся в точках K и L с продолжениями радиусов сферы OB и
OC. Соединяя точки K и L, получаем плоский треугольник AK L.
Применим теорему косинусов для плоских треугольников
AKL и OKL:
KL2= AK2+ AL2− 2AK ·AL cos α,
2
= OK2+ OL2− 2OK · OL cos a.
KL
Приравняем правые части равенств и преобразуем выраже-
ние:
2
+ AL2− 2AK ·AL cos α = OK2+ OL2− 2OK · OL cos a,
AK
2
2OK ·OL cos a = OK
+ OL2− AK2− AL2+ 2AK ·AL cos α.
Т. к. AK , AL — касательные, то AK и AL перпендикулярны
радиусу сферы OA. Тогда из прямоугольных треугольников OAL
и OAK по теореме Пифагора следует OA
2
= OL
− AL2. После подстановки получим:
2OK ·OL cos a = 2OA
OK ·OL cos a = OA
2
2
+ AK ·AL cos α.
2
= OK2−AK2и OA2=
+ 2AK ·AL cos α,
Разделим обе части на произведение OK ·OL:
cos a =
OA
OL
·
OA
OK
+
AK
OK
·
AL
OL
cos α.
По рис. 2.10 определяем, что
OA
OL
= cosb,
OA
OK
= cosc,
AK
OK
= sinc,
AL
OL
110
= sinb.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]