Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
M =
N =
¯
¯
a chu cos v −a sh u sin v −a chu sin v
¯
1
¯
a chu sin v a sh u cos v a ch u cos v
¯
Ω
¯
c sh u 0 0
¯
¯
a chu cos v −a sh u sin v −a sh u cos v
¯
1
¯
a chu sin v a sh u cos v −a sh u sin v
¯
Ω
¯
c sh u 0 0
3
ac sh
=
u
.
|sh u|pa2ch2u + c2sh2u
2c2
a
Дискриминант ∆ = LN − M2=
sh2u
положи-
a2ch2u + c2sh2u
тельный для всех значений u. Все точки на двуполостном гиперболоиде эллиптические.
Пример 25. Исследовать характер точек однополостного
гиперболоида вращения ~r = (a ch u cosv, a ch u sin v, c sh u).
Решение.
Найдем производные и коэффициенты первой квад-
ратичной формы:
′
~r
= (ash u cos v, a shu sin v, c chu),
u
′
= (−ach u sin v, a ch u cosv, 0),
~r
v
′′
~r
= (ach u cos v, a ch u sinv, c sh u),
uu
′′
= (−ash u sin v, a shu cos v, 0),
~r
uv
′′
~r
= (−ach u cos v, −a ch u sinv, 0),
vv
2sh2
E = a
u + c2ch2u, F = 0, G = a2ch2u,
p
Ω =
EG −F2= ach upa2sh2u + c2ch2u.
Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы:
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
L =
¯
¯
a sh u cos v −a ch u sin v a chu cos v
¯
1
¯
a sh u sin v a ch u cos v a ch u sin v
¯
Ω
¯
c chu 0 c sh u
=
p
−ac
,
a2sh2u + c2ch2u
61
M =
¯
¯
a sh u cos v −a ch u sin v −a sh u sin v
¯
1
¯
a sh u sin v a ch u cos v a shu cos v
¯
Ω
¯
c chu 0 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
N =
=
¯
¯
a sh u cos v −a ch u sin v −a chu cos v
¯
1
¯
a sh u sin v a ch u cos v −a ch u sin v
¯
Ω
¯
c chu 0 0
2
u
ac ch
p
.
a2sh2u + c2ch2u
2c2
Дискриминант ∆ = LN − M
=
−a
2
ch2u
< 0 для
a2sh2u + c2ch2u
всех значений u. Все точки на однополостном гиперболоиде гиперболические.
Задания для самостоятельного решения
Составить уравнение индикатрисы Дюпена в точке (u0, v0) и
определить ее геометрический образ:
3.5. ~r = (a cos u, b sinu, v); u
2
3.6. ~r = (u ch v, u sh v, u
); u0= 1, v0= 0.
=
0
= −4;
0
3
π
, v
Классифицировать точки поверхности:
3.7. ~r = (a cos u, b sinu, v);
3.8. ~r = (ch u cos v, ch u sin v, u);
3.9. ~r = (u cos v, u sin v, 4v);
³
2
3.10. ~r =
u
, u, v´.
2
62
3.4. Асимптотические линии. Сопряженные направления. Главные направления. Линии кривизны
Индикатриса Дюпена позволяет не только классифицировать
точки поверхности, но и находить на поверхности ряд важных
кривых и направлений, связанных с характеристиками центральных кривых второго порядка.
Например, асимптотические направления на поверхности
можно ввести как направления, совпадающие с направлениями
асимптот индикатрисы, если они действительны (два асимптотических направления у гиперболы, одно у параболы и пара мнимых
у эллипса). Но здесь будет использоваться
Определение 19. Направление (du : dv) на поверхности
называется асимптотическим, если нормальная кривизна
вдоль этого направления равна нулю. Кривые на поверхности называют асимптотическими линиями, если в каждой точке
они имеют асимптотические направления.
Таким образом, направление (du : dv) будет асимптотическим тогда и только тогда, когда выполняется условие
= 0 ⇔ Ldu2+ 2M dudv + Ndv2= 0.
K
n
При фиксированных u, v это равенство представляет собой
квадратное уравнение для поиска асимптотических направлений.
Вместе с тем, его можно рассматривать как дифференциальное
уравнение относительно переменных u, v, которые определяют на
поверхности асимптотические линии.
Определение асимптотических направлений с помощью индикатрисы Дюпена согласуется с критерием Ldu2+ 2M dudv+
2
+Ndv
ражение Ldu
= 0. Если индикатриса представляет собой эллипс, то вы-
2
+2M dudv+N dv2положительно в любой декартовой
системе координат, вводимой в касательной плоскости поверхности, и, следовательно, не задает асимптотических направлений.
63
Аналогичными рассуждениями можно показать, что в гиперболической точке существует два асимптотических направления, в
параболической точке — одно направление, в точке уплощения
(L=
M=N
)— любое направление является асимптотиче-
= 0
ским.
В частности, в случае поверхности z = z(x, y) условие для
2
поиска асимптотических линий имеет вид d
z = 0.
В рассмотренных ранее примерах 24 и 25 было установлено,
что все точки двуполостного гиперболоида эллиптические и, значит, на нем нет асимптотических направлений, а все точки однополостного гиперболоида гиперболические, следовательно, в любой
точке существует два асимптотических направления. Известно,
что однополостный гиперболоид содержит на себе пару пересекающихся прямых, а двуполостной гиперболоид не содержит. Именно эти пересекающиеся прямые на однополостном гиперболоиде и
являются асимптотическими линиями, поскольку кривизна прямой равна нулю. На основании этого примера можно сформулировать очевидное
Утверждение. Если на поверхности расположена прямая,
то она будет асимптотической линией.
Координатная сеть u = const, v = const имеет направления
(0 : dv), (du : 0) и будет образована асимптотическими линиями
2
в силу равенств N dv
= 0 и Ldu2= 0 только при выполнении
условия L = N = 0.
Следующие важные направления, порожденные индикатрисой Дюпена, это сопряженные направления.
Определение 20. Пусть (du : dv), (δu : δv) — два направления в точке на поверхности. Направления (d) и (δ) называются сопряженными направлениями на поверхности, если
прямые, которые их содержат, Ldи Lδявляются сопряженными диаметрами индикатрисы Дюпена в этой точке.
Для того чтобы направления (d) и (δ) были сопряженными,
64
необходимо и достаточно выполнения условия
Lduδu + M (duδv + dvδu) + Ndvδv = 0.
Если координатная сеть u = const, v = const с направления-
ми (0 : dv), (δu : 0) является сопряженной, то
Lduδu + M (duδv + dvδu) + Ndvδv = Mδudv = 0.
Следовательно, в случае сопряженной координатной сети коэффициент M второй квадратичной формы поверхности равен нулю.
Определение 21. Направление (du : dv) на поверхности
называется главным, если нормальная кривизна поверхности в
этом направлении достигает экстремального значения.
Эти направления совпадают с направлениями осей индикатрисы Дюпена, а это означает, что в каждой точке поверхности в
общем случае имеется два главных направления. Оси индикатрисы Дюпена ортогональны и сопряжены, следовательно, главные
направления (d) и (δ) должны удовлетворять условиям ортогональности Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv = 0 и сопряженности
Lduδu + M(duδv + δudv) + N dvδv = 0. Исключая из этих уравненийδuиδv(см., напр., [14]), получим необходимое и достаточное
условие того, что направление (du : dv) является главным
¯
2
¯
−dudv du
dv
¯
¯
E F G
¯
¯
L M N
¯
2
¯
¯
¯
= 0. (*)
¯
¯
Как следует из указанного критерия, главные направления
не определены в точках уплощения (L = M = N = 0) и в точках,
где коэффициенты первой и второй квадратичных форм пропорциональны. В таких точках индикатриса Дюпена — окружность,
а сама точка называется шаровой или точкой округления.
Нормальные кривизны поверхности, соответствующие главным направлениям, называются главными кривизнами.
65
Определение 22. Линия на поверхности называется ли-
нией кривизны, если ее направление в каждой точке является
главным направлением.
Таким образом, уравнение (*) является дифференциальным
уравнением для отыскания линий кривизны.
Если координатные линии на поверхности являются линиями кривизны, то они должны быть ортогональными F = 0 и
сопряженными M = 0.
Пример 26. Найти асимптотические линии на поверхности
x
z = e
sin 2y.
Решение.
Частные производные имеют вид:
2
z
∂
= exsin 2y;
2
∂x
∂z
∂x
= e
x
sin 2y;
2
z
∂
∂x∂y
= 2e
∂z
∂y
x
cos 2y;
= 2e
x
cos 2y;
2
z
∂
= −4exsin 2y.
2
∂y
Тогда
2
z = exsin 2ydx2+ 4excos 2ydxdy − 4exsin 2ydy2,
d
2
z = 0 ⇔ exsin 2ydx2+ 4excos 2ydxdy − 4exsin 2ydy2= 0;
d
Имеем дифференциальное уравнение для отыскания асимптотических линий
sin 2ydx
2
+ 4 cos 2ydxdy − 4 sin 2ydy2= 0.
Проведем его исследование. Если dy = 0, то sin 2ydx
sin 2y = 0 ⇔ y =
делим выражение на sin 2ydy
kπ
, k ∈ {0, 1, 2, ...}. Пусть dy 6= 0, тогда раз-
2
´
³
dx
dy
2
2
+ 4ctg 2y
6= 0:
dx
dy
− 4 = 0.
2
= 0 ⇔
66
Корнями этого квадратного относительно
ляются
dx
dy
= 2tg y,
dx
dy
= −2ctg y.
dx
уравнения яв-
dy
Проинтегрируем последние уравнения
dx = 2tg ydy ⇔ x = −ln cos
dx = −2ctg ydy ⇔ x = −ln sin
2
y + C1, C1∈ R,
2
y + C2, C1∈ R.
Значит, проекции асимптотических линий на поверхности:
y =
kπ
, k ∈ {0, 1, 2, ...}, x = −ln cos
2
2
y+C1, x = − ln sin2y+C2.
Пример 27. На катеноиде ~r = (ch u cos v, ch u sin v, u) найти
асимптотические линии и проверить их на сопряженность.
Решение.
Для нахождения асимптотических линий необхо-
димо вычислить коэффициенты второй квадратичной формы:
∂~r
~r
1
~r
2
E = ~r
G = ~r
F = ~r
= (shu cos v, sh u sin v, 1),
=
∂u
∂~r
= (−ch u sin v, ch u cos v, 0),
=
∂v
2
= sh2u cos2v + sh2u sin2v + 1 = sh2u + 1 = ch2u,
1
2
= ch2u sin2v + ch2u cos2v = ch2u,
2
·~r2= −ch u sh u sin v cos v + ch u sh u sin v cos v + 0 = 0,
1
p
EG −F2=q(sh2u + 1) ch2u =pch4u = ch2u,
L =
M =
¯
¯
sh u cos v −chu sin v ch u cos v
¯
1
¯
sh u sin v ch u cos v ch u sin v
¯
ch2u
¯
1 0 0
¯
¯
sh u cos v −chu sin v −sh u sin v
¯
1
¯
sh u sin v ch u cos v sh u cos v
¯
ch2u
¯
1 0 0
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
−ch
¯
¯
¯
¯
= 0,
¯
¯
ch2u
2
u
= −1,
67
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
2
ch
ch2u
u
= 1.
N =
¯
¯
sh u cos v −chu sin v −ch u cos v
¯
1
¯
sh u sin v ch u cos v −ch u sin v
¯
ch2u
¯
1 0 0
Запишем уравнение для отыскания асимптотических линий:
2
Ldu
+ 2M dudv + Ndv2= 0 ⇔ −du2+ dv2= 0 ⇔
⇔ (du −dv)(du + dv) = 0.
Отсюда du = dv или du = −dv. После интегрирования получим уравнения семейств асимптотических линий на катеноиде:
u = v + C
, u = −v + C2, где C1и C2— константы.
1
Проверим, являются ли эти линии сопряженными. Имеем
два направления (du : du) и (δu : −δu). Сопряженные направления должны удовлетворять условию
Lduδu + M (duδv + dvδu) + Ndvδv = 0.
В данном случае получим −duδu + du(−δu) = −2duδu = 0. Равенство нулю в этом выражении возможно при du = 0 или δu = 0, а
в исследуемых асимптотических линиях u и v не являются тождественными константами. Асимптотические линии u = v + C
u = −v + C
на катеноиде не являются сопряженными.
2
1
Пример 28. Определить линии кривизны на прямом геликоиде.
Решение.
Запишем уравнение прямого геликоида
,
~r = (ucos v, u sin v, av).
В примере 9 было найдено
′
= (cosv, sinv, 0), ~r
~r
u
E = 1, F = 0, G = u
2
+ a2,
′
= (−usin v, u cos v, a),
v
p
EG −F2=pu2+ a2.
68
Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы
′′
= (0,0, 0), ~r
~r
uu
′′
r
= (−ucos v, −u sin v, 0),
vv
L = 0, M =
√
u2+ a
′′
= (−sin v, cos v, 0),
uv
−a
, N = 0.
2
Уравнение для определения линий кривизны запишем так
¯
2
¯
−dudv du
dv
¯
¯
E F G
¯
¯
L M N
=
¯
2
¯
¯
¯
¯
¯
2
+ a2)dv2− du
a¡(u
√
2
¯
dv
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
u2+ a
−dudv du
1 0 u2+ a
−a
√
0
2
u2+ a
¢
2
= 0.
2
2
0
¯
Имеем дифференциальное уравнение
p
2+a2
(u
)dv2−du2= 0 ⇒
Интегрируя уравнение dv =
линий кривизны v = ln |u +
¡
u2+ a2dv−du
du
√
u2+ a
√
u2+ a2| + C1.
2
Аналогично из уравнения dv = −
семейство линий кривизны v = −ln |u +
C
— некоторые постоянные.
2
p
¢¡
u2+ a2dv+du¢= 0.
, найдем первое семейство
du
√
u2+ a
√
получим второе
2
u2+ a2|+ C2. Здесь C1,
Пример 29. Определить линии кривизны на сфере.
Решение.
Запишем уравнение сферы и найдем все необходи-
мые производные.
¯
¯
¯
¯
2
¯
=
¯
¯
¯
~r = (R cos u cos v, R cosu sin v, R sin u),
′
~r
= (−R sin u cos v, −R sin u sin v, R cos u),
u
′
= (−R cos u sin v, R cos u cos v, 0),
~r
v
′′
~r
= (−R cos u cos v, −R cos u sin v, −R sin u),
uu
′′
~r
= (R sin u sin v, −R sin u cos v, 0),
uv
′′
~r
= (−R cos u cos v, −R cos u sin v, 0).
vv
69
Определим коэффициенты первой и второй квадратичных
форм
p
EG −F2= R2cos u,
2
u.
E = R
2
, F = 0, G = R2cos2u,
L = R, M = 0, N = R cos
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм пропорциональны. Значит, все точки на сфере являются шаровыми,
в таких точках главные направления не определены и, соответственно, составить уравнения линий кривизны не удастся.
Задания для самостоятельного решения
Найти асимптотические линии
3.11. на прямом геликоиде ~r = (u cos v, u sin v, v);
x
3.12. на поверхности z =
y
+
.
y
x
Найти линии кривизны
3.13. на поверхности ~r = (u, v, uv);
3.14. на псевдосфере
´
~r =³a sin u cos v, a sin u sin v, a¡ln tg
u
+ cos u
2
¢
.
3.5. Полная и средняя кривизны поверхности
Пусть k
ности k
шее, а k
Lx
1
2
2
+ 2M xy + Ny
Ex2+ 2F xy + Gy
(x
, y02), в которых эти значения достигаются.
02
Рассмотрим вначале окрестность точки (x
рестности для всех допустимых значений параметров x и y выполняется неравенство:
и k2— главные кривизны. Положим для определен-
1
≥ k2. При таком выборе по определению k1есть наиболь-
— наименьшее значения отношения квадратичных форм
2
. Кроме того, существуют точки (x01, y01) и
2
, y01). В этой ок-
01
2
Lx
+ 2M xy + Ny2− k1(Ex2+ 2F xy + Gy2) ≤ 0,
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]