Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
где c1, c2— постоянные интегрирования.
Замечание. Строго говоря, реализация геодезическими линиями кратчайшего расстояния между двумя точками требует существенного уточнения, которое интересующийся читатель может
найти в [13, 14, 20]. В качестве примеров необходимости такого
уточнения рассмотрим два случая.
Выберем на сфере в качестве соединяемых точек полюсы.
Эти две точки соединяет бесчисленное множество геодезических
линий — меридианы и все они одинаковой длины.
Две близкие точки на круговом цилиндре, не лежащие на
одной образующей, можно соединить двумя геодезическими винтовыми линиями, одна из которых достигает конечной точки за
неполный оборот, а вторая может сделать несколько витков прежде, чем достигнет конечной точки.
Из этих примеров следует, что необходимо дополнительно
вводить ограничения, которые бы позволили выделять области
на поверхности, в которых любые две точки были бы однозначно
соединены единственной геодезической линией. Здесь эти вопросы
рассматриваться не будут.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить геодезическую кривизну координатных линий
u = const и v = const на поверхностях
2
4.1. ~r = (u cos v, u sin v, v
4.2. ~r = (u cos v, u sin v, u
);
2
).
Определить уравнения геодезических линий на поверхностях
∗
4.3
~r =³a sin u cos v, a sin u sin v, a¡ln tg
4.4
∗
~r =³a ch
u
cos v, a ch
a
u
sin v, u´.
a
u
+ cos u
2
91
´
¢
;
4.2. Теорема Гаусса–Бонне
T
¦
*
Рассмотрим на поверхности область Σ. Границей
области является замкнутый
контур Γ, (рис. 1.33) состоящий из конечного числа дуг
Γ
= M1M2, Γ2= M2M3, ...,
1
Γ
= MnM1. Зададим на-
n
правление на этом контуре
таким образом, чтобы при обходе контура Γ с той стороны поверхности, куда направлена нормаль, область Σ оставалась
справа. Предполагаем, что при движении текущей точки по каждой дуге Γ
непрерывно. В точках M
касательная и геодезическая кривизна изменяются
i
углы между касательными в конце
i
предыдущей кривой и начале следующей кривой равны θ
личны от нуля и имеют положительный или отрицательный знак
в зависимости от того в каком направлении относительно обхода
кривой Γ они отсчитываются. Символом k
чена геодезическая кривизна. Тогда справедлива
Теорема Гаусса–Бонне
X
i
Z
Γ
i
kgds +
X
θi+
i
ZZ
Kdσ = 2π,
Σ
T
0
Q
T
0
0
Q
Рис. 1.33
, от-
i
, как и ранее, обозна-
g
где K — полная кривизна поверхности.
Доказательство этой теоремы здесь не приводим. Сформу-
лируем только несколько следствий из этой теоремы.
Если контур Γ состоит из одной дважды дифференцируемой
кривой, то
I
kgds = 2π −
Γ
ZZ
Kdσ.
Σ
Если область Σ ограничена тремя дугами геодезических кри-
92
вых, то такая фигура называется геодезическим треугольником
J
D
E
T
T
T
(рис. 1.34).
Теорема Гаусса–Бонне применительно к геодезическому
треугольнику имеет вид
ZZ
θ1+ θ2+ θ3+
Kdσ = 2π.
Σ
Обозначим α, β, γ —
внутренние углы треугольни-
Рис. 1.34
ка. Тогда
ZZ
π−α+π −β +π −γ = 2π−
Если гауссова кривизна поверхности постоянна, то интеграл
ZZ
Kdσ, ⇒ α +β +γ = π+
Σ
ZZ
Kdσ.
Σ
Kdσ пропорционален площади треугольника. Значит, сум-
Σ
ма углов геодезического треугольника на поверхности постоянной
положительной гауссовой кривизны строго больше π и отклонение тем больше, чем больше площадь этого треугольника. На поверхностях постоянной отрицательной гауссовой кривизны сумма
углов строго меньше π и, наконец, на поверхностях нулевой кривизны (плоскость и развертывающиеся поверхности) равна π.
93
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
D
1
6
5
U
2
5. Основные понятия сферической
тригонометрии
5.1. Точки и дуги на поверхности сферы.
Сферический угол, двуугольник
Сферическая тригонометрия изучает геометрические свойства
фигур, расположенных на поверхности шара.
Рассмотрим шар
радиуса R, который рассекается плос-
костью α (рис. 2.1).
В сечении получается окружность
радиуса r. Отрезок N S — диаметр шара, перпендикулярный плоскости α.
Определение 27. Круги, плоскости которых проходят через центр O шара, называются большими кругами. Все другие
круги шара называются малыми кругами, а точки N и S —
полюсами.
Рис. 2.1
В предыдущем разделе было показано, что геометрия на
поверхностях постоянной ненулевой полной кривизны и нулевой
полной кривизны различна. В этом разделе рассматриваются геометрические построения только на сферической поверхности и на
плоскости в их схожести и различии.
Точка и прямая являются простейшими элементами фигур
на плоскости. На сфере эти роли выполняют точка и дуга большого круга как единственный представитель геодезических линий
— аналог прямой в пространстве. Через две точки на плоскости
94
(и пространстве) можно провести прямую и притом только одну.
Аналогично на сфере имеет место
Теорема. Через две точки на сфере, не лежащие на концах одного и того же диаметра, можно провести дугу большого
круга и притом только одну.
Условие в теореме, что точки не лежат на концах одного
диаметра, налагается, чтобы обеспечить однозначность кратчайшего расстояния между двумя точками на сфере (см. Замечание
в п. 4.1).
Наименьшее количество
сторон плоского многоугольника — три. На сфере же возможна фигура с двумя сторонами.
Определение 28. Сферическим двуугольником
(рис. 2.2) называют часть
поверхности сферы, ограниченную двумя большими кругами. Углом сферическо-
Рис. 2.2
го двуугольника называется линейный угол двугранного угла α между плоскостями больших кругов, образующих этот двуугольник.
Теорема. Площадь сферического двуугольника с углом α на
сфере радиуса R равна S
= 2R2α. Здесь угол α измеряется в
α
радианах.
Доказательство.
Разделим площадь поверхности сферы на
360 равных частей. Каждая часть равна площади двуугольника,
угол которого 1
Площадь поверхности сферы S
◦
.
пов.сф.
4πR
◦
S
=
1
360
= 4πR2, тогда
2
2πR
=
180
2
.
95
Площадь двуугольника с углом α◦: S
◦
α
= S
◦
1
α◦=
2πR
писывая значение α в радианах, получим формулу: S
Теорема доказана.
180
α
2
α◦. За-
◦
= 2R2α.
Пример 40. Вычислить площадь двуугольника, который
является четвертинкой поверхности сферы (рис. 2.3).
Решение. Угол данного двуугольни-
◦
ка равен 90
равно
= πR
π
2
2
. Отметим, что полученная пло-
. В радианах это значение
π
. Тогда площадь S
2
= 2R
π
2
·
=
2
щадь двуугольника равна площади большого круга данной сферы.
π
S
Ответ:
= πR2.
2
Рис. 2.3
Пример 41. Угол двуугольника на сфере, радиус которой
R = 4, 5 см, равен α = 38
◦14′
. Вычислить площадь этого двуу-
гольника.
Решение.
α = 38
Тогда площадь двуугольника S
≈ 8, 51π (см
Ответ:
Переведем значение угла α в радианы:
◦14′
2
).
=³38 +
14
60
≈ 38, 233◦=
38, 233
180
= 2R2α = 2 ·4, 52· 0, 21π ≈
α
´
◦
Sα≈ 8, 51π см2.
◦
π
◦
≈ 0, 21π.
Из курса школьной геометрии известна формула l = Rα, где
l — длина дуги окружности радиуса R, а центральный угол α
задан в радианах. Следовательно, измерение расстояний дугами
больших кругов на поверхности сферы известного радиуса сводится к измерению углов. Это позволяет в сферической тригонометрии сравнивать между собой длины линий и углы и выражать
96
расстояния на сфере не в единицах длины, а в градусах или радианах.
Для представления градусов, минут и секунд в виде деся-
◦
Γ
тичной дроби (
Γ◦M′C′′=³Γ +
) будем использовать формулу:
десят.
´
M
60
+
C
3600
◦
= Γ
◦
десят.
,
где Γ — градусы, M — минуты, C — секунды.
Пример 42. Координаты некоторой точки города Макеев-
◦2′52′′
ки: 48
писать их в виде десятичной дроби.
Решение.
Долгота: 37
северной широты и 37◦55′32′′восточной долготы. За-
´
◦
52
2
32
3600
+
60
3600
´
◦
≈ 37, 9256◦.
≈ 48, 0478◦.
Широта: 48◦2′52′′=³48 +
◦55′32′′
=³37 +
55
60
+
Ответ:
48, 0478◦с.ш., 37, 9256◦в.д.
Все электронные навигационные системы используют для
указания координат запись в виде десятичной дроби или в форме
◦
M′C′′. Рассмотренный пример показывает, что записать широту
Γ
◦2′52′′
48
в виде 48, 252 будет неправильно. Поэтому важно знать,
какой формат используется в той или иной навигационной системе или оборудовании.
Обозначим длину сферического расстояния (расстояния на
поверхности сферы) между двумя точками в градусном измерении через ϕ и то же самое расстояние в радиальном измерении (в
единицах радиуса) через l. Тогда соотношение, которое их связывает, имеет вид:
πR
l =
180
◦
ϕ .
Пример 43. Выразить в линейной мере сферическое расстояние, которое измерено в градусах ϕ = 83
◦42′5′′
.
97
Решение. Запишем значение ϕ:
ϕ = 83
◦42′5′′
³
=
83 +
42
60
+
5
3600
´
◦
≈ 83, 7014◦.
Тогда l =
Ответ:
πR
180
3, 14R
ϕ ≈
◦
180
l ≈ 1, 46R.
· 83, 7014◦≈ 1, 46R.
◦
Пример 44. Выразить в градусной мере сферическое рас-
стояние, которое измерено в единицах радиуса l = 1, 25013R.
Решение.
180
ϕ =
πR
Из формулы l =
◦
l =
◦
180
· 1, 25013R ≈
πR
πR
ϕ выразим ϕ =
◦
180
◦
180
· 1, 25013 ≈ 71, 6635
3, 14
180
πR
◦
l. Тогда
Преобразуем значение ϕ так:
ϕ = 71, 6635
≈³71 +
2389
3600
◦
=³71 +
´
◦
=³71 +
´
6635
10000
◦
=³71 +
39 · 60 + 49
3600
´
◦
=³71 +
6635 · 3600
10000 · 3600
39
60
+
´
◦
49
3600
≈
= 71◦39′49′′.
Ответ:
ϕ ≈ 71◦39′49′′.
Пример 45. Найти дугу большого круга земного шара ра-
диуса 6370 км, на которую опирается угол ϕ = 95
Решение.
Запишем значение ϕ:
ϕ = 95◦41′13′′=³95 +
41
60
+
13
3600
´
◦
≈ 95, 687◦.
◦41′13′′
.
◦
.
´
◦
=
Тогда l =
Ответ:
πR
180
◦
ϕ ≈
3, 14 · 6370
◦
180
дуга l ≈ 10632, 85 км.
· 95, 687◦≈ 10632, 85 (км).
98
Пример 46. Длина дуги большого круга земного шара равна 5017,3 км, радиус шара 6370 км. Найти центральный угол, опирающийся на эту дугу.
Решение. Т. к. l =
◦
180
ϕ =
πR
180
l ≈
3, 14 · 6370
πR
◦
180
ϕ, то
◦
· 5017, 3 ≈ 45, 15164
◦
.
Преобразуем значение ϕ так:
ϕ = 45, 15164
◦
=³45 +
15164
100000
´
◦
=³45 +
15164 · 3600
100000 · 3600
´
◦
≈
Ответ:
≈³45 +
546
3600
=³45 +
ϕ ≈ 45◦9′6′′.
´
9
60
◦
=³45 +
6
+
3600
9 · 60 + 6
3600
´
◦
= 45◦9′6′′.
´
◦
=
Задания для самостоятельного решения
5.1. Угол двуугольника на сфере, радиус которого R, равен
α. Вычислить площадь этого двуугольника.
а) R = 7, 5 см, α = 28
б) R = 3, 1 см, α = 68
◦14′
;
;
в) R = 1, 1 м, α = 46
◦37′
5.2. Выразить в линейной мере сферическое расстояние,
которое измерено в градусах:
а) ϕ = 79
б) ϕ = 115
◦47′8′′
◦10′48′′
;
;
в) ϕ = 23◦15′23′′;
г) ϕ = 144
◦5′52′′
5.3. Выразить в градусной мере сферическое расстояние,
которое измерено в единицах радиуса:
◦52′
.
.
99
а) l = 0, 58430R;
б) l = 2, 42602R;
в) l = 1, 22174R;
г) l = 2, 05112R.
5.4. Вычислить длину дуги большого круга земного шара
радиуса 6370 км, на которую опирается угол ϕ:
а) ϕ = 42
б) ϕ = 160
◦54′50′′
◦8′35′′
;
;
в) ϕ = 88
г) ϕ = 102
◦12′41′′
◦36′14′′
;
.
5.5. Длина дуги большого круга земного шара равна l км,
радиус шара 6370 км. Вычислить величину центрального угла,
опирающегося на эту дугу.
а) l = 3562 км;
б) l = 7932, 4 км;
в) l = 1469, 8 км;
г) l = 4502 км.
5.2. Географическая сферическая система коорди-
нат
Рассмотрим земной шар с полюсами N и S. Через диаметр
NS проведем большие круги. Полуокружности этих кругов называют меридианами. Проведем большой круг перпендикулярно к диаметру N S. Окружность, ограничивающую этот круг, называют эква-
тором. Все остальные окружности,
параллельные экватору, называют
параллелями.
Рис. 2.4
Определение 29. Под географической широтой места
понимают угол между радиусом шара, проведенного к данной
точке B, и плоскостью экватора (∠BOA = ϕ). Широта изменя-
◦
ется от 0
до 90◦. Различают северную и южную широту.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]