Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
i
\
[
]
M
T
0
π
θ ∈h−
π
. Координаты ϕ, θ называются сферическими.
,
2
2
Уравнение сферы радиуса a с центром в точке
(0, 0, 0) в сферических коор-
динатах имеет вид:
x = a cos ϕ cos θ,
y = a sin ϕ cos θ,
z = a sin θ.
В декартовых координатах уравнение сферы:
2
+ y2+ z2= a2.
x
Рис. 1.19
Координатную сеть на сфере образуют меридианы и параллели, известные всем, кто хотя бы раз видел глобус. Эта сеть правильная на всей сфере кроме полюсов, где нарушается требование
о непересечении двух одноименных координатных линий. Для доказательства этого утверждения составим матрицу:
µ
−a sin ϕ cos θ a cos ϕ cos θ 0
−a cos ϕ sin θ −a sin ϕ sinθ a cos θ
¶
.
Эта матрица имеет ранг 2 во всех точках, то есть координатная сеть правильна всюду кроме особых точек θ = ±
π
— полюсов.
2
В этих точках матрица принимает вид
µ
0 0 0
∓a cos ϕ ∓a sin ϕ 0
¶
.
Так как ненулевая строка одна, то ранг матрицы равен 1. Значит,
полюсы являются особыми точками параметризации.
21
Задания для самостоятельного решения
Параметризовать поверхности:
1.1.
1.2.
2
x
16
x
121
− 4y
2
+
z
16
2
2
2
z
−
25
= 144;
= 0;
1.3.
1.4.
x
x
25
2
2
y
+
3
2
z
+
36
2
z
+
3
2
= 2;
3
= y.
1.2. Касательная прямая и касательная плоскость
поверхности
Определение 4. Прямая называется касательной к по-
верхности в данной точке, если она касается в этой точке некоторой кривой, которая принадлежит поверхности и проходит
через эту точку.
Пусть поверхность задана параметрически ~r = ~r(u, v). Если
ввести параметр t так, чтобы выполнялись зависимости u = u(t),
v = v(t), тогда, по определению, получим параметрическое уравнение кривой. Значит, уравнение ~r = ~r¡u(t), v(t)¢задает кривую
на поверхности, к которой можно проводить касательную. Направляющий вектор касательной к кривой, а значит и к поверхности, имеет вид:
∂~r
d~r
=
dt
∂ududt
Для сокращения записи буквы u и v заменяют на, например,
u
и u2. Обозначим через
1
∂~r
= ~r
,
∂u
1
координатные векторы поверхности. Теперь направляющий вектор прямой может быть записан в сокращенной форме:
d~r
dt
= ~r
du
1
dt
du
1
+ ~r
2
2
dt
+
или
∂~r
∂vdvdt
∂~r
∂v
= ~r
d~r
dt
.
2
2
X
du
=
i=1
i
.
~r
i
dt
22
Q
&
&
&
GW
&
d~r
Перепишем вектор
du
dt
d~r
= α~r
dt
, β =
+ β~r2, где
1
dv
— скаляр-
dt
в виде
α =
ные величины. Данная запись означает, что касатель-
ный вектор
d~r
любой кри-
dt
dt
U
UG
U
вой (рис. 1.20), которая проходит через данную точку
Рис. 1.20
поверхности, является линейной комбинацией независимых в неособых точках векторов ~r
(в особых точках координатные линии u и v могут касаться и
~r
2
тогда ~r
||~r2). Следовательно, три вектора
1
d~r
dt
, ~r
и ~r2лежат в од-
1
1
ной плоскости. Таким образом, все касательные к поверхности в
неособой точке лежат в одной плоскости, которую называют ка-
сательной плоскостью поверхности. Для нахождения уравнения
касательной плоскости необходимо знать ее нормальный вектор.
и
Определение 5. Вектор ~n = ~r
× ~r2(нормальный вектор
1
касательной плоскости) называется нормальным вектором
поверхности.
Если обозначить ~r
— радиус-вектор точки M поверхности,
M
~ρ — радиус-вектор текущей точки, тогда уравнение касательной
плоскости записывается равенством ~n ·(~ρ −~r
) = 0, а уравнение
M
нормали (прямой, которая проходит через данную точку M по-
верхности в направлении нормального вектора поверхности) имеет вид ~n × (~ρ −~r
M
) =~0.
Пример 5. Составить уравнения касательной плоскости и
2
нормали половины поверхности цилиндра ~r = (sin u, cos u, v
точке M = ~r(u
Решение.
, v0) = ~r
0
Вычислим координаты точки, которая соответству-
³
π
, 1´.
2
) в
23
π
, cos
, v
= 1.
0
2
π
, 1´= M(1, 0, 1) = ~r
2
M
.
M
ет значениям параметров u0=
³
π
, 1´=³sin
~r
2
π
2
Радиус-вектор текущей точки ~ρ = (x, y, z). Тогда ~ρ − ~r
= (x −1, y, z − 1).
Определим координаты нормали ~n. Вначале найдем произ-
водные
∂~r
~r
1
Подставляя теперь u =
|M= (0,0, 2). Очевидно, что эти векторы не коллинеарны, зна-
~r
2
чит точка M (1, 0, 1) не является особой. Тогда вектор нормали
¯
¯
~i~
j~k
¯
¯
~n =
0 −1 0
¯
¯
0 0 2
кости ~n ·(~ρ −~r
= (cosu, −sin u, 0), ~r
=
∂u
π
, v = 1, имеем ~r
2
¯
¯
¯
¯
= −2~i = (−2, 0, 0), и уравнение касательной плос-
¯
¯
) = 0 имеет вид
M
∂~r
= (0,0, 2v).
=
2
∂v
|M= (0,−1, 0),
1
−2(x − 1) + 0y + 0(z − 1) = 0 или x = 1.
=
Уравнение нормали ~n × (~ρ − ~r
линеарности (см. A.4) векторов ~n и ~ρ − ~r
) =~0 есть суть условие кол-
M
. Значит, уравнение
M
нормали составим с помощью канонического уравнения прямой
(см. A.7):
y
x − 1
=
−2
Пример 6. Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к тору ~r =¡(3+
в точке с координатами (2
Решение.
Определим значения параметров u0и v0, которым
√
2 cos u) cos v, (3+√2 cos u) sin v,√2 sin u
√
2, 2√2, 1).
z − 1
=
0
.
0
соответствует заданная точка.
√
2
2 = (3 +√2 cos u0) cos v0,
√
2 = (3 +√2 cos u0) sin v0,
2
√
1 =
2 sin u0.
⇒
√
2 = (3 + 1) cos v0,
2
√
2
2 = (3 + 1) sin v0,
π
u
=
0
4
.
24
¢
π
Значит, u0= v0=
значениях u
~r
=¡−√2 sin u cos v, −√2 sin u sin v,√2 cos u¢,
1
³
~r
1
=¡− (3 +√2 cos u) sin v, (3 +√2 cos u) cos v, 0¢,
~r
2
³
~r
2
0
π
4
π
4
, v0:
π
,
4
π
,
4
´=³
´
=¡− 2
. Вычислим производные при указанных
4
√
−
√
2
2
, −
2
2
, 1´;
√
2, 2√2, 0¢.
Найдем координаты нормали поверхности:
¯
¯
~
k
¯
¯
2
2
=¡− 2
¯
1
¯
¯
√
2, −2√2, −4¢.
~n =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−2
~
i
√
2
√
~
j
√
2
−
2 2√2 0
Следовательно, уравнение касательной плоскости можно за-
писать в виде:
√
2(x − 2√2) +√2(y −2√2) + 2(z − 1) = 0
или, выполнив преобразования,
√
x + y +
2z − 5√2 = 0;
а уравнение нормали:
x − 2
√
√
2
=
2
y −2
√
√
z − 1
2
=
2
.
2
Задания для самостоятельного решения
Составить уравнения касательной плоскости и нормали поверхности ~r = ~r(u, v) в точке, соответствующей значениям пара-
метров u
, v0:
0
1.5. ~r = (2 cos u cos v, 2 sin u cos v, 2 sinv), u
= v0=
0
π
;
4
25
1.6. ~r =¡u cos v, u sinv, u
2
¢
, u
= 1, v0=
0
π
;
2
1.7. ~r =¡(4 + cos u) cos v, (4 + cosu) sin v, sin u¢,
u
0
, v
3
π
= −
1.8. ~r = (u cos v, u sin v, 4v), u
³
2
1.9. ~r =
u
, u, v´, u
2
π
=
;
0
6
π
;
4
= v0= 2.
0
= 0, v0=
0
1.3. Огибающая семейства поверхностей.
Развертывающиеся поверхности
Семейство поверхностей, которые зависят от одного параметра, задается уравнением F(x, y, z, c) = 0. При фиксированном значении c уравнение определяет одну из поверхностей семейства, а
замена значения c соответствует переходу к другим поверхностям.
Определение 6. Если существует поверхность, которая
касается в каждой своей точке некоторой поверхности данного
семейства, то она называется огибающей.
Координаты точек огибающей удовлетворяют уравнениям:
F (x, y, z, c) = 0,
∂F (x, y, z, c)
∂c
= 0,
поэтому уравнение огибающей ϕ(x, y, z) = 0 можно получить из
этой системы после исключения параметра c (см., напр., [2, IV]).
Если поверхность образована движением прямой линии, то
ее называют линейчатой.
Определение 7. Линейчатую поверхность называют раз-
вертывающейся (рис. 1.21), если касательные плоскости к по-
верхности в точках, расположенных на одной и той же образующей, совпадают между собой.
26
Q
&
Q
&
Q
&
Q
&
Существует три типа развертываю-
щихся поверхностей:
1. Поверхность, образованная касательными к пространственной кривой (поверхность касательных) (рис. 1.22 а).
2. Конические поверхности (рис. 1.22 б).
3. Цилиндрические (рис. 1.22 в).
Первый случай — основной, а два
других считаются исключительными.
✁ ✂ ✁ ✄ ✁
Рис. 1.22
Таким образом, приведем следующее утверждение:
всякая развертывающаяся поверхность является или конической,
или цилиндрической, или геометрическим местом касательных
к некоторой пространственной кривой.
Верно и обратное утверждение.
Развертывающиеся поверхности обладают следующим свой-
ством: всякую развертывающуюся поверхность (в окрестности
любой обыкновенной точки) можно с помощью непрерывной деформации, сохраняющей неизменными длины всех кривых на поверхности, развернуть на плоскость.
Это следует понимать так: изгибая кусок развертывающейся
поверхности без растяжений и сжатий, его можно сделать куском
плоскости (свернуть из листа бумаги цилиндр и развернуть обратно). Поэтому поверхности и называют "развертывающимися".
Другие поверхности такого свойства не имеют. Например, если
Рис. 1.21
27
взять некоторый кусок поверхности сферы, то без применения
растяжений и сжатий его невозможно развернуть на плоскость.
Этот факт хорошо иллюстрируется на примере апельсина. Все попытки выровнять кожуру с дольки апельсина приводят к разрыву
или к выпячиванию середины, то есть к деформациям растяжения и сжатия.
Понятие огибающей и развертывающиеся поверхности свя-
заны следующим образом: для того чтобы поверхность была раз-
вертывающейся, необходимо и достаточно, чтобы она была огибающей семейства плоскостей от одного параметра.
Развертывающиеся поверхности интересны своим специальным геометрическим свойством ("развертывания") и имеют различные применения в общей теории поверхностей.
Рассмотрим некоторые примеры нахождения огибающих.
Пример 7. Найти огибающую для семейства сфер
2
(x − c)
+ y2+ z2= 16, где c — параметр.
Решение.
Семейство этих поверхностей представляет собой
сферы одинакового радиуса, центры которых смещаются вдоль
оси Ox. Найдем производную
F (x, y, z, c) = (x − c)
∂F (x, y, z, c)
∂c
∂F (x, y, z, c)
∂c
2
+ y2+ z2− 16 = 0,
= −2(x −c).
(т. е. F
′
(x, y, z, c)):
c
Для нахождения уравнения огибающей, составим систему:
½
(x − c)
2
+ y2+ z2− 16 = 0,
−2(x − c) = 0.
или окончательно
½
(c − c)
2
+ y2+ z2− 16 = 0,
x = c.
28
Таким образом, y2+z2=
= 16 — огибающая семейства
сфер. Это уравнение задает
круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Ox. Такое семейство сфер с огибающей можно себе представить,
как шарик (рис. 1.23), который катится в трубе (труба —
это огибающая).
Пример 8. Найти огибающую семейства сфер
2
(x − 2c)
+ y2+ z2= c2.
Решение. Семейство поверхностей представляет собой сферы, центры которых
смещаются вдоль оси Ox вместе с увеличением (уменьшением) радиуса. Найдем про-
изводную
∂F (x, y, z, c)
∂c
=
= 2(x −2c)(−2) − 2c.
Для нахождения огибающей, составим систему:
Рис. 1.23
Рис. 1.24
½
(x − 2c)
2
+ y2+ z2− c2= 0,
−4(x − 2c) −2c = 0.
Решением является поверхность −
⇔
³
x −
x =
2
x
2
+ z2= 0. Значит, иско-
+ y
3
´
2
4
x
+ y2+ z2= 0,
3
3
c.
2
мой огибающей является конус с центром в начале координат и
осью, совпадающей с осью Ox.
29
Задания для самостоятельного решения
Найти огибающую семейства сфер (c — параметр):
2
1.10. (x + 1)
1.11. (x −3)
1.12. (x −2)
1.13. x
2
+ y2+ (z + c)2= 4;
2
+ (y −3c)2+ (z −1)2= 4c2;
2
+ (y −4c)2+ (z + 5)2= 25;
+ (y −2)2+ (z + 3c)2= c2.
2. Первая квадратичная форма поверхности
2.1. Местная система координат. Линейный элемент
поверхности. Наложение поверхностей
Рассмотрим поверхность или ее часть, заданную уравнением
~r = ~r(u, v) и не содержащую особых точек параметризации. Как
отмечалось ранее, координатную сеть на поверхности образуют
линии u = const и v = const, координатные векторы ~r
∂~r
в силу отсутствия особых точек не коллинеарны. Значит,
=
~r
2
∂v
векторы ~r
, ~r2составляют базис (см. A.8) на плоскости.
1
Определение 8. Координатные векторы ~r
и ~r2поверхно-
1
сти независимы между собой и определяют в касательной плоскости аффинную (см. A.11) систему координат, называемой
местной, которая соответствует точке касания этой плоскости к поверхности.
∂~r
=
1
∂u
,
Местная система координат является плоской. Она может
быть дополнена до пространственной системы добавлением еди-
×~r
~r
1
2
ничного нормального вектора поверхности ~n =
|~r1×~r2|
. Направ-
ление вектора нормали зависит от того, какой координатный вектор мы считаем первым. Поэтому условимся считать внешней стороной поверхности ту ее часть, куда направлена нормаль касательной плоскости.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]