Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
0, 744
0, 7671
≈
0, 893
0, 9205
≈
0, 9675
0, 9974
или 0, 9699 ≈ 0, 9701 ≈ 0, 97.
Проверка показывает, что углы найдены правильно.
Ответ:
углы α ≈ 50◦5, 4′, β ≈ 67◦, γ ≈ 94◦7, 8′.
Пример 60. Заданы три угла сферического треугольника
α = 66
◦
12′, β = 84◦25′, γ = 118◦3′. Найти его стороны a, b, c.
Решение.
Переведем в десятичные дроби значения сторон.
´
◦
25
60
3
60
12
60
´
´
= 66,2◦,
◦
≈ 84, 42◦,
◦
= 118,05◦.
α = 66
β = 84
γ = 118
◦12′
◦25′
◦3′
=³118 +
=³66 +
=³84 +
Находить стороны будем по теореме косинусов для угла, а в
конце сделаем проверку с помощью сферической теоремы синусов.
1) Найдем сторону a.
cos a =
cos α + cos β cos γ
sin β sin γ
0, 4035 + 0, 0972 · (−0, 4702)
≈
Тогда a ≈ 65, 96
2) Найдем сторону b.
cos b =
cos β + cosγ cos α
sin γ sin α
0, 0972 + (−0, 4702) · 0, 4035
≈
=
0, 9953 · 0, 8825
◦
=³65 +
96
100
=
0, 8825 · 0, 915
cos 66, 2
◦
+ cos 84, 42◦cos 118, 05
sin 84, 42◦sin 118, 05
≈ 0, 4073.
´
◦
=³65 +
cos 84, 42
◦
+ cos 118, 05◦cos 66, 2
sin 118, 05◦sin 66, 2
≈ −0, 1146,
131
57, 6
60
´
◦
= 65◦57, 6′.
◦
◦
◦
≈
◦
≈
´
◦
b = π −arccos 0, 1146 ≈ 96, 58◦=³96 +
´
◦
=³96 +
34, 8
60
= 96◦34, 8′.
58
100
3) Найдем сторону c.
cos c =
cos γ + cosα cos β
sin α sin β
−0, 4702 + 0, 4035 · 0, 0972
≈
0, 915 · 0, 9953
c = π −arccos 0, 4732 ≈ 118, 24
´
◦
=³118 +
14, 4
60
= 118◦14, 4′.
cos 118, 05
=
◦
+ cos 66, 2◦cos 84, 42
sin 66, 2◦sin 84, 42
≈ −0, 4732,
◦
=³118 +
24
100
◦
´
◦
=
Сделаем проверку. По сферической теореме синусов должно
выполняться тождество:
sin 65, 96
sin 66, 2
◦
sin a
sin α
◦
≈
sin 96, 58
sin 84, 42
=
sin b
sin β
◦
◦
sin c
=
sin γ
sin 118, 24
≈
sin 118, 05
. В нашем случае:
◦
,
◦
=
◦
≈
0, 9133
0, 915
≈
0, 9934
0, 9953
≈
0, 881
0, 8825
или 0, 9981 ≈ 0, 9981 ≈ 0, 9983.
Проверка показывает, что стороны найдены правильно.
Ответ:
стороны a ≈ 65◦57, 6′, b ≈ 96◦34, 8′, c ≈ 118◦14, 4′.
Пример 61. Даны две стороны сферического треугольника
a = 73
◦14′
, b = 59◦33′и угол между ними γ = 102◦40′. Найти
сторону c и углы α, β.
Решение.
Для нахождения углов α и β применим аналогии
Непера. Преобразуем углы в десятичную запись
´
◦
a = 73
◦14′
=³73 +
14
60
≈ 73, 23◦,
132
´
◦
b = 59◦33′=³59 +
◦40′
γ = 102
=³102 +
33
60
40
60
= 59,55◦,
´
◦
≈ 102, 67◦.
Теперь
a−b
cos
cos
2
a+b
2
=
0, 9929
0, 4005
a−b
sin
sin
2
a+b
2
=
0, 1191
0, 9163
α − β
◦
,
2
γ
· ctg
=
2
· 0, 8 ≈ 1, 9833,
γ
· ctg
=
2
· 0, 8 ≈ 0, 1040.
≈ 5, 94
◦
.
=
=
Значит,
cos 6, 84
cos 66, 39
sin 6, 84
sin 66, 39
α + β
2
α + β
tg
2
◦
· ctg 51, 34◦≈
◦
α − β
tg
2
◦
· ctg 51, 34◦≈
◦
≈ 63, 24
Решая систему, найдем значения α и β:
½
α + β = 126, 48
α − β = 11, 88
α = 69, 18
β = 57,3
◦
,
◦
.
◦
=³69 +
◦
=³57 +
⇔
½
2α = 138, 36
α − β = 11, 88
´
◦
18
´
◦
=³57 +
=³69 +
100
3
100
◦
,
10, 8
1, 8
60
◦
60
.
´
´
◦
½
⇔
α = 69, 18
β = 57,3
◦
= 69◦10, 8′,
= 57◦1, 8′.
Сторону c найдем, например, по теореме косинусов для стороны
◦
,
◦
.
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ =
◦
= cos73, 23
cos 59, 55◦+ sin 73, 23◦sin 59, 55◦cos 102, 67◦≈
≈ 0, 2885 · 0, 5068 + 0, 9575 · 0, 8621 · (−0, 2193) = −0, 0348,
тогда c = π − arccos 0, 0348 ≈ 180◦− 88◦= 92◦.
133
Сделаем проверку. По сферической теореме синусов должно
выполняться тождество:
sin a
sin α
=
sin b
sin β
=
sin c
. В нашем случае:
sin γ
0, 9575
0, 9347
≈
sin 73, 23
sin 69, 18
0, 8621
0, 839
≈
◦
sin 59, 55
≈
◦
sin 57, 03
0, 9994
0, 9756
◦
≈
◦
sin 102, 67
sin 92
◦
,
◦
или 1, 0244 ≈ 1, 0275 ≈ 1, 0244.
Проверка показывает, что искомые значения найдены пра-
вильно с некоторой допустимой погрешностью вычислений.
Ответ:
сторона c ≈ 92◦, углы α ≈ 69◦10, 8′, β ≈ 57◦1, 8′.
Пример 62. Даны два угла сферического треугольника α =
◦6′
= 92
, β = 87◦39′и прилежащая к ним сторона c = 71◦50′. Найти
две его стороны a, b и угол γ.
Решение.
Для нахождения сторон a и b применим вторую
пару аналогий Непера.
´
◦
α = 92
β = 87
c = 71
◦6′
◦39′
◦50′
=³92 +
=³87 +
=³71 +
6
60
39
60
50
60
= 92,1◦,
´
◦
= 87,65◦,
´
◦
≈ 71, 83◦,
tg
tg
a + b
2
a − b
2
=
=
cos
cos
≈
sin
sin
≈
α−β
2
α+β
2
0, 9992
0, 0021
α−β
2
α+β
2
0, 0389
1
cos 2, 23
c
≈
· tg
2
cos 89, 88
· 0, 7244 ≈ 344, 68,
c
=
2
sin 2, 23
sin 89, 88
· tg
· 0, 7244 ≈ 0, 0282.
134
◦
· tg 35, 92◦≈
◦
◦
· tg 35, 92◦≈
◦
Значит,
a + b
2
≈ 89, 83
a − b
◦
,
2
≈ 1, 62
Решая систему, найдем значения a и b:
⇔
½
2a = 182, 9
a − b = 3,24
½
a + b = 179,66
a − b = 3,24
◦
,
◦
.
◦
.
⇔
½
a = 91, 45
b = 88, 21
◦
,
◦
.
◦
,
◦
.
a = 91, 45
b = 88, 21
◦
=³91 +
◦
=³88 +
45
100
21
100
´
◦
=³91 +
´
◦
=³88 +
27
60
12, 6
60
´
◦
= 91◦27′,
´
◦
= 88◦12, 6′.
Угол γ найдем, например, по теореме косинусов для угла
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c =
◦
= −cos 92, 1
cos 87, 65◦+ sin 92, 1◦sin 87, 65◦cos 71, 83◦≈
≈ 0, 0366 · 0, 041 + 0, 9992 · 0, 9992 · 0, 3118 ≈ 0, 3128,
тогда γ ≈ 71, 77
◦
=³71 +
77
100
´
◦
=³71 +
46, 2
60
´
◦
= 71◦46, 2′.
Сделаем проверку. По сферической теореме синусов должно
выполняться тождество:
sin 91, 45
sin 92, 1
0, 9997
0, 9993
≈
0, 9995
0, 9992
≈
0, 9501
0, 9498
◦
sin a
sin α
◦
≈
sin b
=
sin β
sin 88, 21
sin 87, 65
=
◦
≈
◦
sin c
. В нашем случае:
sin γ
sin 71, 83
sin 71, 77
◦
,
◦
или 1, 0004 ≈ 1, 0003 ≈ 1, 0003.
Проверка показывает, что искомые значения найдены правильно.
Ответ:
стороны a = 91◦27′, b = 88◦12, 6′, угол γ = 71◦46, 2′.
Пример 63. Даны две стороны сферического треугольника
◦55′
a = 65
, b = 52◦16′и угол α = 80◦5′. Найти его сторону c и
углы β, γ.
135
Решение. Для нахождения угла β воспользуемся сфериче-
ской теоремой синусов.
´
◦
55
60
16
60
5
60
sin 52, 27
◦
´
◦
=³58 +
≈ 65, 92◦,
´
◦
≈ 52, 27◦,
´
◦
≈80,
◦
0, 985 · 0, 7909
≈
34, 2
60
◦
08
,
0, 913
´
◦
= 58◦34, 2′.
sin β =
sin α sin b
sin a
β ≈ 58, 57
a = 65
b = 52
= 80
α
sin 80, 08
=
◦
=³58 +
◦55′
◦16′
◦5′
=³80 +
sin 65, 92
=³65 +
=³52 +
◦
57
100
Воспользуемся аналогиями Непера
tg
α + β
2
=
cos
cos
a−b
2
a+b
2
· ctg
γ
; tg
2
a + b
2
=
cos
cos
α−β
2
α+β
2
Найдем угол γ.
a+b
ctg
Т. к.
= tg
α + β
γ
2
≈ 2, 6506 ·
γ
= arcctg 1, 3708 ≈ 36, 11
2
cos
2
·
2
cos
= tg 69, 33◦·
a−b
2
0, 5135
0, 9929
◦
≈ 1, 3708.
, то
cos 59, 1
cos 6, 83
≈ 0, 8533,
c
· tg
2
◦
≈
◦
.
γ = 72,22
◦
=³72 +
Найдем сторону c.
= tg
a + b
2
tg
c
2
≈ 1, 6709 ·
´
◦
22
100
cos
·
cos
=³72 +
α+β
2
= tg 59, 1◦·
α−β
2
0, 353
0, 9824
≈ 0, 6004.
13, 2
60
´
◦
= 72◦13, 2′.
cos 69, 33
cos 10, 76
◦
≈
◦
136
c
Т. к.
2
c = 61, 96
= arctg 0, 6004 ≈ 30, 98
◦
=³61 +
96
100
´
◦
=³61 +
◦
, то
57, 6
60
´
◦
= 61◦57, 6′.
Проверим правильность нахождения стороны c и угла γ с
помощью сферической теоремы синусов:
случае:
sin 65, 92
sin 80, 08
◦
≈
◦
sin 61, 96
sin 72, 22
◦
◦
⇒
0, 913
0, 985
≈
0, 8826
0, 9522
sin a
sin α
или 0, 9269 ≈ 0, 9269.
=
sin c
sin γ
Проверка показывает, что искомые значения найдены пра-
вильно.
Ответ:
сторона c = 61◦57, 6′, углы β = 58◦34, 2′, γ = 72◦13, 2′.
Пример 64. Даны два угла сферического треугольника α =
◦10′
= 101
, β = 68◦24′и сторона a = 70◦18′. Найти две стороны b,
c и угол γ.
Решение.
Чтобы найти сторону b, применим сферическую
теорему синусов.
´
◦
sin b =
α = 101
sin a sin β
sin α
b ≈ 63, 16
β = 68
a = 70
sin 70, 3
=
◦
=³63 +
◦10′
=³101 +
◦24′
=³68 +
◦18′
=³70 +
◦
sin 101, 17
16
100
sin 68, 4
◦
´
◦
=³63 +
10
≈ 101, 17◦,
60
´
◦
24
= 68,4◦,
60
´
◦
18
= 70,3◦,
60
◦
0, 9415 · 0, 9298
≈
9, 6
60
0, 9811
´
◦
= 63◦9, 6′.
Воспользуемся аналогиями Непера
tg
α + β
2
=
cos
cos
a−b
2
a+b
2
· ctg
γ
; tg
2
a + b
2
=
cos
cos
α−β
2
α+β
2
. В нашем
≈ 0, 8923,
c
· tg
.
2
137
Найдем угол γ.
= tg
α + β
ctg
γ
2
≈ 10, 9669 ·
γ
Т. к.
= arcctg 4, 3413 ≈ 12, 97
2
a+b
cos
2
·
2
cos
= tg 84, 79◦·
a−b
2
0, 3951
0, 9981
≈ 4, 3413.
◦
, то
cos 66, 73
cos 3, 57
◦
≈
◦
γ = 25,94
◦
=³25 +
94
100
´
◦
=³25 +
56, 4
60
´
◦
= 25◦56, 4′.
Найдем сторону c.
c
tg
2
c
Т. к.
2
c = 24, 82
= tg
a + b
cos
·
2
cos
≈ 2, 3253 ·
2
= tg 66, 73◦·
α−β
2
0, 0908
0, 9594
= arctg 0, 2201 ≈ 12, 41
´
◦
◦
=³24 +
82
100
=³24 +
≈ 0, 2201.
◦
, то
49, 2
60
cos 84, 79
cos 16, 39
´
◦
= 24◦49, 2′.
α+β
Проверим правильность нахождения стороны c и угла γ с
⇒
=
sin c
sin γ
помощью сферической теоремы синусов:
случае:
◦
sin 24, 82
≈
◦
sin 25, 94
или 0, 9596 ≈ 0, 9598.
⇒
sin 70, 3
sin 101, 17
0, 9415
0, 9811
≈
0, 4198
0, 4374
sin a
sin α
◦
◦
◦
≈
◦
. В нашем
Проверка показывает, что искомые значения найдены пра-
вильно.
Ответ:
стороны b = 63◦9, 6′, c = 24◦49, 2′, угол γ = 25◦56, 4′.
138
Задания для самостоятельного решения (см. рис. 2.13)
D
E
F
D
E
J
D
E
J
7.4. Решить сферический треугольник, если известны три
◦12′
его стороны a = 64
, b = 81◦4′, c = 53◦14′.
7.5. Решить сферический треугольник, если известны три
◦24′
его угла α = 115
, β = 99◦34′, γ = 132◦55′.
7.6. Решить сферический треугольник, если известны две
его стороны a = 63
◦25′
, b = 71◦30′и угол γ = 121◦8′.
7.7. Решить сферический треугольник, если известны два
◦58′
его угла α = 68
, β = 97◦45′и сторона c = 85◦41′.
7.8. Решить сферический треугольник, если известны две
его стороны a = 93
◦17′
, b = 42◦51′и угол α = 95◦26′.
7.9. Решить сферический треугольник, если известны два
его угла α = 100
◦52′
, β = 74◦49′и сторона a = 76◦16′.
7.4. Малые сферические треугольники.
Теорема Лежандра
Сферический треугольник считается малым, если его стороны
малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.
Рассмотрим малый сферический треугольник (рис. 2.14) со
сторонами a, b, c на сфере радиуса R.
D
E
F
Рис. 2.14
Теорема Лежандра. Если построить плоский треугольник (рис. 2.14), у которого все три стороны соответственно
равны трем выпрямленным сторонам сферического, то его углы
с весьма малой погрешностью, порядка
´
³
4
1
, можно принять
R
139
соответственно равными углам данного сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка (эксцесса):
α
= α −
1
ε
, β
3
= β −
1
ε
, γ
3
= γ −
1
ε
.
3
Из условия теоремы нетрудно сформулировать следующие
равенства, связывающие стороны сферического и плоского треугольников:
a =
a
1
, b =
R
b
1
, c =
R
c
1
.
R
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [3, §32].
Следствие 1. Малый сферический треугольник можно с
весьма большой точностью заменить, не изменяя длины его сторон, плоским треугольником с углами, уменьшенными на одну
треть эксцесса.
Следствие 2. Треугольники, изображенные на рис. 2.14, с
той же самой степенью точности можно рассматривать как
равновеликие.
Следует отметить, что применение формулы Лежандра для
треугольников со сторонами до 200 км на сфере земной поверхности дают точность вычисления углов до 0, 01
′′
. Если сферический
треугольник на земной поверхности имеет стороны, которые не
превышают по длине 7 км, то избыток его совсем не принимается
′′
в расчет, поскольку его значение не превышает 0, 01
. Однако, с
определенной степенью точности можно рассматривать в качестве
малых сферические треугольники со сторонами до 600 км.
С современным уровнем развития информационных технологий нет особой необходимости использовать понятие малых сферических треугольников, т. к. решение любого сферического треугольника не составляет большого труда с помощью даже самых
простых компьютерных программ. Но, несмотря на это, применение теоремы Лежандра до сих пор актуально.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]