Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие

M = ~n ·

N = ~n ·

2

∂

∂u∂v

2

~r

∂

2

∂v

¯

′

(~r

~r

=

√

u

×~r

EG −F

′

×~r

(~r

u

v

√

=

EG −F

v

) · ~r

2

′′

vv

′′

uv

=

2

√

=

√

EG −F

1

EG −F

¯

2

¯

′

¯

x

u

¯

′

¯

y

u

¯

2

′

¯

z

u

′

x

u

v

′

y

u

v

′

z

u

v

′

x

v

′

y

v

′

z

v

¯

′′

¯

x

uv

¯

′′

¯

y

,

uv

¯

′′

¯

z

uv

¯

′′

¯

x

vv

¯

′′

¯

y

.

vv

¯

′′

¯

z

vv

Тогда

d~τ

ds

=

~n ·

но квадрат дифференциала дуги ds

2

+ 2M dudv + Ndv

Ldu

2

ds

2

является первой квадратич-

,

ной формой, и формула для нахождения кривизны кривой на поверхности имеет вид

k cos θ =

2

Ldu

+ 2M dudv + Ndv

Edu2+ 2F dudv + Gdv

2

.

2

Исходя из полученной формулы, введем

Определение 17. Проекция вектора кривизны линии на

нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной кривизной этой кривой и обозначается K

.

n

Определение 18. Квадратичная форма

II = ~n · d

2

~r = Ldu2+ 2M dudv + Ndv

2

называется второй квадратичной формой поверхности.

Пример 19. Найти вторую квадратичную форму и нор-

мальную кривизну для половины цилиндра ~r =¡sin u, cos u, v

Решение.

E = 1, G = 4v

В примере 8 п. 2.1 для этой поверхности найдено

2

, F = 0. Найдем коэффициенты второй квадратич-

¢

2

.

ной формы.

51

L =

M =

N =

√

EG −F

1

=

2v

√

EG −F

√

EG −F

1

(−2v)

1

¯

′

¯

2

¯

2

¯

2

¯

′

x

u

v

′

y

u

v

′

z

u

v

cos u − sin u

−sin u −cos u

′

x

u

v

′

y

v

u

′

z

u

v

′

x

u

v

′

y

u

v

′

z

u

v

¯

′′

¯

x

uu

¯

′′

¯

y

uu

¯

′′

¯

z

uu

¯

′′

¯

x

uv

¯

′′

¯

y

uv

¯

′′

¯

z

uv

¯

′′

¯

x

vv

¯

′′

¯

y

vv

¯

′′

¯

z

vv

¯

1

¯

=

¯

2v

¯

= −¡− cos

¯

1

¯

=

¯

2v

¯

1

¯

−sin u 0 0

=

¯

2v

¯

cos u 0 −sin u

−sin u 0 − cos u

0 2v 0

2

u − sin2u¢= 1;

cos u 0 0

−sin u 0 0 0 2v 0

cos u 0 0

0 2v 2

¯

= 0;

= 0.

¯

=

¯

Вторая квадратичная форма половины цилиндра имеет вид

2

II = du

2

. Нормальная кривизна Kn=

II

=

I

du

du2+ 4v2dv

Пример 20. Найти вторую квадратичную форму и нор-

мальную кривизну псевдосферы

u

~r =³sin u cos v, sinu sin v, ln tg

Решение.

′

~r

u

′

~r

v

′′

~r

uu

′′

~r

uv

′′

~r

vv

Найдем производные

=³cos u cos v, cosu sin v,

= (−sin u sin v, sin u cos v, 0),

=³− sin u cos v, −sin u sin v, −

= (−cos u sin v, cos u cos v, 0),

= (−sin u cos v, −sinu sin v, 0).

cos

sin u

2

´

u

,

cos u(sin

+ cos u´.

2

u + 1)

sin2u

Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы

52

.

2

´

,

4

cos sin2u

u

=

F = ~r

E = (~r

′

·~r

u

′

)2= cos2u(cos2v + sin2v) +

u

2

= cos

′

= −sin u sin v cos u cos v + sin u sin v cos u cos v = 0,

v

G = (~r

′

v

u(1 + ctg2u) = ctg2u,

)2= sin2u(sin2v + cos2v) = sin2u.

Для нахождения коэффициентов второй квадратичной фор-

мы необходимо вычислить

p

EG −F2=qctg2u · sin2u =√cos2u = |cos u|.

Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы:

L =

M =

N =

1

|cos u|

1

|cos u|

1

|cos u|

¯

cos u cos v −sin u sin v −sin u cos v

¯

cos u sin v sin u cos v −sin u sin v

¯

2

¯

cos

¯

u

sin u

¯

cos u cos v −sin u sin v − cos u sin v

¯

cos u sin v sin u cosv cos u cos v

¯

2

u

cos

¯

sin u

¯

cos u cos v −sin u sin v − sin u cos v

¯

cos u sin v sin u cos v −sin u sin v

¯

2

u

cos

¯

sin u

0 −

0 0

cos u(sin

2

sin2u

u + 1)

¯

= −

¯

= 0,

¯

= sinu|cos u|.

¯

|cos u|

sin u

Вторая квадратичная форма псевдосферы и нормальная кри-

визна:

II =

|cos u|

sin u

2

(−du

+sin2udv2), Kn=

|cos u|

sin u

2

−du

·

+ sin2udv

ctg2udu2+ sin2udv

2

Стоит отметить в качестве замечания, что псевдосфера является поверхностью вращения, а ранее было показано, что между поверхностью вращения и плоскостью можно установить конформное соответствие. Здесь укажем это соответствие. Первая

,

.

2

53

квадратичная форма плоскости в прямоугольных декартовых координатах имеет вид I = dx2+ dy2. Запишем первую квадратичную форму псевдосферы в виде:

I = ctg

+ sin

2

udu2+ sin2udv2=

2

udv2=©sin u = e

w

µ

ª

cos udu

sin u

µ

=

de

¶

2

+ sin2udv2=

¶

2

w

+ e2wdv2= dw2+ e2wdv2.

w

e

µ

d sin u

sin u

¶

2

+

Теперь можно указать преобразование координат, устанавливающее конформное соответствие между псевдосферой и плоскостью: dy = e

замену, y = −

−w

dw, dx = dv или, учитывая сделанную ранее

1

, x = v.

sin u

Это соответствие построено для рассмотренной в примере 20 псевдосферы единичного радиуса. Предполагается, что читателю не составит труда получить конформное соответствие для псевдосферы радиуса a.

Задания для самостоятельного решения

Найти вторую квадратичную форму и нормальную кривизну поверхностей:

2

3.1. ~r = (3u ch v, 3u sh v, u

3.2. ~r =¡u cos v, u sinv, u

);

¢

2

;

3.3. ~r = (u cos v, u sin v, u + v);

³

2

3.4. ~r =

u

2

, u, v´.

3.3. Классификация точек поверхности

Нормальная кривизна поверхности определяется коэффициентами первой и второй квадратичных форм и касательной к некоторой кривой, задаваемой с помощью отношения дифференциалов (du : dv).

54

J

Q

&

W

&

Q

&

Q

&

T



T



Это означает, что выбирая на поверхности кривые с одинаковыми касательными (du : dv) в неко-











торой точке поверхности (рис. 1.29) и рассекая таким образом поверхность плоскостью, в которой лежит выбранная кривая, мы будем изменять угол θ наклона главной нормали ~ν кривой к нормали ~n поверх-









Рис. 1.29

ности, заставляя тем самым вектор ~ν вращаться вокруг касатель- ной (du : dv). Когда секущая плоскость, содержащая кривую, пройдет через нормаль ~n поверхности, угол θ будет равен 0 или π в зависимости от того, совпала ли главная нормаль ~ν кривой с вектором нормали ~n поверхности или направлена в противопо- ложную сторону. Сечение поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, будем называть нормальным сечением. Кривизна

1

=

K

n

нормального сечения определяется по формуле

R

±

2

Ldu

+ 2M dudv + Ndv

Edu2+ 2F dudv + Gdv

R

1

=

2

,

2

где R — радиус кривизны нормального сечения.

Теперь в той же самой точке будем вращать касательную (du : dv) и проанализируем при этом изменение нормальной кривизны. Для наглядной демонстрации этого изменения Пьер Шарль Франсуа Дюпен предложил в касательной плоскости строить кривую, откладывая от точки касания в направлении касательной отрезок длины

p

|R|. Геометрическое место концов этих отрезков является кривой, которая называется индикатрисой Дюпена (ин- дикатрисой кривизны). Проведем ее построение.

Введем в касательной плоскости местную систему координат

Mxy с началом в точке M и направляющими векторами осей ~r

′

~r

(рис. 1.30). Пусть точка P (x, y) принадлежит индикатрисе и со-

v

′

и

u

ответствует направлению касательной (du : dv). По определению

55

′

0



3



~r

MP =p|R|

справедливо разложение

. С другой стороны, в местной системе координат

|~r′|

MP = x~r

x~r

′

u

+ y~r

′

=

v

Возведем обе части этого равенства в квадрат и воспользуемся обозначениями первой квадратичной формы, положительной определенностью первой квадратичной формы, формулой для нахождения радиуса кривизны нормального сечения, а также тем фактом, что направления (du : dv) и (x : y) совпадают по постановке задачи:

2~r′2

x

u

2

+ 2F xy + Gy2=

Ex

2

Ex

+ 2F xy + Gy2=

+ 2xy~r

′

·~r

+ y2~r

u

v

Edu

|Ldu2+ 2M dudv + Ndv2|

|Lx2+ 2M xy + Ny2|

′

u

p

Ex

′

+ y~r

. Значит,

v

′

~r

|R|

2

+ 2F dudv + Gdv

2

.

|~r′|



′2

= |R|

v

+ 2F xy + Gy

Рис. 1.30

′2

~r

,

2

|~r′|

2

,

.

Из последнего равенства следует условие

2

|Lx

+ 2M xy + Ny2| = 1,

и оно определяет уравнение индикатрисы Дюпена.

Положим, что радиус кривизны R положительный в случае, когда центр кривизны лежит внутри поверхности и отрицатель-

2

ный в противном случае. Тогда Lx

2

+ 2M xy + Ny2= 1 при R < 0.

и Lx

Уравнение Lx

2

+ 2Mxy + Ny2= ±1 содержит коэффици-

+2Mxy + N y2= −1 при R > 0

енты второй квадратичной формы и хорошо отражает свойства

56

поверхности в точке. Данное уравнение определяет центральную кривую второго порядка. Поэтому точки поверхности разделяют на три основных класса: эллиптические, гиперболические и пара-

болические

в зависимости от того, к какому из этих трех типов

принадлежит индикатриса Дюпена.

Чтобы определить, к какому типу относится данная точка поверхности, достаточно вычислить коэффициенты второй квадратичной формы в этой точке и составить дискриминант (малый

2

дискриминант линий второго порядка) ∆ = LN −M

, являющий-

ся одним из трех инвариантов кривых второго порядка относительно замены системы координат. С его помощью производится классификация линий второго порядка на три типа. Если ∆ > 0, то индикатриса представляет собой эллипс (в том числе мнимый эллипс, пару мнимых прямых) и точка поверхности называется эллиптической; если ∆ < 0, то индикатриса — гипербола (в том числе пара действительных пересекающихся прямых), а точка — гиперболическая; если ∆ = 0, то индикатриса — парабола (пара параллельных действительных или мнимых прямых, в частности, пара совпадающих прямых), а точка — параболическая.

Замечание. Кроме этих трех случаев есть четвертый. Если в данной точке все коэффициенты L, M и N равны нулю одновременно, тогда понятие индикатрисы Дюпена теряет смысл. Такие точки называют точками уплощения. В таком случае будем называть точку параболической только тогда, когда ∆ = 0, но среди коэффициентов второй квадратичной формы, соответствующих данной точке, есть отличные от нуля.

Пример 21. Составить уравнение индикатрисы Дюпена и выяснить ее геометрический образ для половины цилиндра

¢

2

~r =¡sin u, cos u, v

.

Решение.

В примере 19 было найдено L = 1, M = N = 0.

Уравнение индикатрисы Дюпена для этой поверхности имеет вид

2

+ 2M xy + Ny2= ±1 ⇔ x2= 1 ⇔ x = ±1.

Lx

57

Индикатриса Дюпена представляет собой пару параллельных прямых. Дискриминант ∆ = LN −M2= 0, но коэффициент L 6= 0, следовательно, все точки на цилиндре параболические.

Пример 22.

Составить уравнение индикатрисы Дюпена в точке, соответствующей криволинейным координатам u = v = 0, и выяснить ее геометрический образ для тора

~r =¡(4 + 3 cosu) cos v, (4 + 3 cos u) sin v, 3 sin u¢.

Решение.

′

F = ~r

G = ~r

′′

~r

uu

′′

~r

uv

′′

~r

vv

·~r

u

′2

v

= −3(cosu cos v, cos u sin v, sin u),

= 3(sinu sin v, −sinu cos v, 0),

=¡− (4 + 3cos u) cos v, −(4 + 3 cos u) sin v, 0¢.

Вычислим коэффициенты квадратичных форм:

′

~r

= (−3sin u cos v, −3 sinu sin v, 3 cos u),

u

′

~r

=¡− (4 + 3cos u) sin v, (4 + 3 cos u) cos v, 0¢,

v

E = ~r

′2

= 9(sin2u(cos2v + sin2v) + cos2u) = 9,

u

′

= 3(4 + 3 cos u)(sin u sin v cos v − sin u sinv cos v) = 0,

v

= (4 + 3 cos u)2(sin2v + cos2v) = (4 + 3 cos u)2,

Обозначим

p

Ω =

EG −F2=p9(4 + 3 cosu)2= 3(4 + 3 cos u).

Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы

¯

−3 sin u cos v −(4 + 3 cos u) sin v −3 cos u cos v

¯

1

¯

L =

M =

−3 sin u sin v (4 + 3 cosu) cos v −3 cos u sin v

¯

Ω

¯

3 cos u 0 −3 sin u

9(4 + 3 cosu)

=

3(4 + 3 cosu)

¯

−3 sin u cos v −(4 + 3 cos u) sin v 3 sin u sin v

¯

1

¯

−3 sin u sin v (4 + 3 cos u) cos v 3 sin u cos v

¯

Ω

¯

3 cos u 0 0

¯

sin u cos v −sin v cos u cos v

¯

sin u sin v cos v cos u sin v

¯

−cos u 0 sin u

¯

= 3,

¯

=

¯

= 0,

58

N =

¯

−3 sin u cos v −(4 + 3 cos u) sin v −(4 + 3 cos u) cos v

¯

1

¯

−3 sin u sin v (4 + 3 cosu) cos v −(4 + 3 cos u) sin v

¯

Ω

¯

3 cos u 0 0

¯

=

¯

= cosu(4 + 3cos u).

Коэффициенты L, M, N в точке с координатами u = 0, v = 0

имеют вид L = 3, M = 0, N = 7. Индикатриса Дюпена задается

2

уравнением 3x

Пример 23. Исследовать характер точек параболоида

вращения ~r =¡au cos v, au sinv, u

Решение.

+ 7y2= 1 и представляет собой эллипс.

¢

2

.

Вначале определим коэффициенты первой квадра-

тичной формы:

′

= (acos v, a sin v, 2u), ~r

~r

u

′2

E = ~r

G = ~r

F = ~r

= a2cos2v + a2sin2v + 4u2= a2+ 4u2,

u

′2

v

′

u

¡

2

a

= u

·~r

sin2v + a2cos2v¢= a2u2,

′

= −a2u sin v cos v + a2u sin v cos v + 0 = 0,

v

p

EG −F2=

a2u

¡

2

a

2

+ 4u

′

= (−ausin v, au cos v, 0),

v

= a|u|

p

a2+ 4u2.

¢

2

Теперь найдем коэффициенты второй квадратичной формы:

~r

L =

a|u|√a2+ 4u

=

a|u|√a2+ 4u

M =

=

′′

= (0,0, 2), ~r

uu

′′

~r

= (−aucos v, −au sin v, 0),

vv

1

2

1

a|u|√a2+ 4u

2u

a|u|√a2+ 4u

′′

= (−asin v, a cos v, 0),

uv

¯

a cos v −au sin v 0

¯

a sin v au cos v 0

¯

2u 0 2

¯

a cos v −au sin v

¯

a sin v au cos v

¯

a cos v −au sin v −a sin v

¯

a sin v au cos v a cos v

¯

2

¯

2u 0 0

¯

−au sin v −a sin v

¯

2

au cos v a cos v

¯

=

¯

=

2au

|u|√a2+ 4u

¯

=

¯

= 0,

¯

,

2

59

N =

1

a|u|√a2+ 4u

=

2u

a|u|√a2+ 4u

Дискриминант

∆ = LN − M

2

=

|u|√a2+ 4u

¯

a cos v −au sin v −au cos v

¯

a sin v au cos v −au sin v

¯

2u 0 0

¯

−au sin v −au cos v

¯

au cos v −au sin v

2au

·

2

|u|√a2+ 4u

2au

¯

=

¯

|u|√a2+ 4u

3

2

¯

2au

=

a2+ 4u

=

4a

3

2u2

.

2

.

2

В точке u = 0, соответствующей началу координат (0, 0, 0), дискриминант ∆ = LN − M параметризации. В других точках ∆ = LN −M

2

= 0, но эта точка — особая точка

2

> 0, поэтому все

точки поверхности, кроме точки (0, 0, 0), эллиптические.

Пример 24. Исследовать характер точек двуполостного гиперболоида вращения ~r = (a sh u cos v, a sh u sin v, c ch u).

Решение. Найдем производные и коэффициенты первой квадратичной формы:

′

~r

= (ach u cos v, a ch u sinv, c sh u),

u

′

~r

= (−ash u sin v, a shu cos v, 0),

v

′′

= (ash u cos v, a shu sin v, c chu),

~r

uu

′′

~r

= (−ach u sin v, a ch u cosv, 0),

uv

′′

~r

= (−ash u cos v, −a shu sin v, 0),

vv

2ch2

E = a

u + c2sh2u, F = 0, G = a2sh2u.

p

Ω =

EG −F2= a|sh u|pa2ch2u + c2sh2u.

Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы:

L =

=

¯

a chu cos v −a sh u sin v a sh u cos v

¯

1

¯

a chu sin v a sh u cos v a sh u sin v

¯

Ω

¯

c sh u 0 c ch u

ac sh u

,

¯

=

¯

|sh u|pa2ch2u + c2sh2u

60