Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
параллельна оси Oz, а направляющей служит линия L. Очевидно,
[
\
]
что эти рассуждения применимы в случае отсутствия не только
координаты z, а любой одной из координат.
5) Векторное парамет-
рическое уравнение эллиптического цилиндра с цен-
тром в точке (0, 0, 0) имеет
вид (рис. 1.5):
~r = (acos u, b sin u, v),
u ∈ [0, 2π), v ∈ R.
Если a=b, то цилиндр
называется круговым. В де-
картовых координатах уравнение эллиптического цилин-
дра с полуосями a, b:
2
x
a
2
y
+
2
= 1.
2
b
Рис. 1.5
Уравнение эллиптического цилиндра в декартовой системе
координат не содержит переменной z. В плоскости xOy эта кривая
представляет собой эллипс. Значит, образующей цилиндра служит прямая, параллельная оси Oz, а направляющей линией L —
2
2
y
x
+
эллипс
2
a
= 1. В данном случае эллиптический цилиндр —
2
b
это поверхность, образованная движением вертикальной прямой
по эллипсу, лежащему в горизонтальной плоскости.
Очевидно, что эллиптический цилиндр является бесконечной поверхностью. В параметрическом уравнении этот факт отражен в том, что область изменения параметра v — все действительные числа.
6) Векторное параметрическое уравнение параболического
цилиндра (рис. 1.6) с центром в точке (0, 0, 0) имеет вид:
³
2
u
~r =
, u, v´, u, v ∈ R.
2p
11
[
\
]
В декартовых координатах
[
\
]
уравнение параболического цилиндра с фокальным параметром p:
2
px.
= 2
y
Параболический цилиндр
— это поверхность, образованная
движением прямой по параболе.
7) Векторное параметрическое уравнение гиперболического
цилиндра (рис. 1.7) с центром в
точке (0, 0, 0) имеет вид:
~r = (ach u, b sh u, v), u, v ∈ R,
где chu, sh u — гиперболические функции
В декартовых ко-
1
Рис. 1.6
.
ординатах уравнение гиперболического цилиндра с центром в точке
(0, 0, 0) и полуосями a, b
2
2
y
−
2
= 1.
2
b
имеет вид
x
a
Гиперболический
цилиндр — это поверхность, которая образо-
Рис. 1.7
вана движением прямой по гиперболе. Направляющая (гипербола) — неограниченная кривая, образующая (прямая) — неограниченная линия. Таким образом, гиперболический цилиндр — неограниченная поверхность. Поэтому в параметрическом уравнении гиперболического цилиндра оба параметра u, v — произвольные действитель-
ные числа.
1
гиперболические косинус ch u =
ch2u − sh2u = 1, (ch u)′= shu, (sh u)′= ch u.
eu+ e
−u
и синус sh u =
2
eu− e
2
−u
,
12
[
\
]
8) Векторное параметрическое уравнение одноп´олостного
гиперболоида (рис. 1.8) с центром
в точке(0,0,0)и полуосямиa,b,
имеет вид:
c
~r = (ach u cos v, b ch u sin v, c sh u),
u ∈ R, v ∈ [0, 2π).
В декартовых координатах
уравнение однополостного гиперболоида с центром в точке (0, 0, 0) и
полуосями a, b, c:
Название "гиперболоид" ("гиперболовидный") появилось от
того, что среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Например, в сечении вертикальной плоскостью, проходящей через
начало координат, получается гипербола.
Эпитет "одноп´олостный" подчеркивает, что эта поверхность, в отличие от двуп´олостного гиперболоида, изображенного ниже, не разорвана на две "полости", а представляет
собой вытянутую вдоль оси Oz бесконечную цельную трубку.
9) Векторное параметрическое
уравнение двуп´олостного гипербо-
лоида (рис. 1.9) с центром в точке
(0, 0, 0) и полуосями a, b, c имеет вид:
2
2
x
+
2
a
2
y
z
−
2
b
= 1.
2
c
Рис. 1.8
~r = (ash u cos v, b sh u sin v, c chu),
u ∈ R, v ∈ [0, 2π).
В декартовых координатах уравнение двуполостного гипер-
13
Рис. 1.9
болоида с полуосями a, b, c имеет вид:
[
\
]
2
2
y
x
+
2
a
b
2
z
−
2
c
= −1.
2
В случае a = b оба гиперболоида называются гиперболоида-
ми вращения, поскольку однополостный гиперболоид можно по-
лучить вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, а двуполостный — вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.
10) Векторное параметриче-
ское уравнение эллиптического
параболоида (рис. 1.10) с центром
в (0, 0, 0) и полуосями a, b:
~r = (aucos v, bu sin v, u
2
),
u ∈ R, v ∈ [0, 2π).
В декартовых координатах
уравнение этой поверхности:
Рис. 1.10
z =
2
2
y
x
+
2
a
.
2
b
При a = b эллиптический параболоид называется параболо-
идом вращения, так как эта поверхность может быть получена
вращением параболы вокруг своей оси.
11) Векторное параметрическое уравнение гиперболическо-
го параболоида (рис. 1.11) с центром в (0, 0, 0), полуосями a, b:
2
~r = (auch v, bu sh v, u
В декартовых координатах уравнение этой поверхности
2
Строго говоря, указанное параметрическое уравнение гиперболического
параболоида не эквивалентно уравнению этого параболоида в декартовых координатах. Во-первых, гиперболические функции не параметризуют всю гиперболу. Во-вторых, при z = u2автоматически отсекается часть параболоида,
лежащая ниже плоскости xOy. Но поскольку дифференциальная геометрия
рассматривает поверхности в малых окрестностях, то для рассматриваемых
далее задач данная параметризация приемлема.
), u, v ∈ R.
2
:
14
2
]
\
[
[
\
]
[
\
]
2
y
x
−
z =
2
a
Гиперболический параболоид
ни при каких значениях a и b не
является поверхностью вращения.
.
2
b
12) Векторное параметрическое уравнение тора (рис. 1.12) с
расстоянием R от центра образующей окружности до оси вращения (R — радиус направляющей
Рис. 1.11
окружности) и с радиусом образующей окружности r имеет вид:
~r =¡(R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u¢, u, v ∈ [0, 2π).
Геометрически тор (тороид)
представляет собой поверхность,
которая заметается окружностью
радиуса r, при движении центра этой окружности по другой
окружности радиуса R.
Для определенности будем
считать, что R > r.
13) Векторное параметриче-
Рис. 1.12
ское уравнение катеноида (рис. 1.13) с параметром a:
~r =³a ch
u
cos v, a ch
a
u
sin v, u´,
a
u ∈ R, v ∈ [0, 2π).
Название "катеноид" происходит от латинского catena — цепь,
поскольку данная поверхность образована вращением цепной линии
y = a ch
товой системе координат Oxyz.
z
вокруг оси Oz в декар-
a
Рис. 1.13
15
Среди поверхностей вращения катеноид единственный яв-
[
\
]
[
\
]
ляется минимальной поверхностью, то есть обладает свойством:
любой ее кусок по площади меньше, чем кусок всякой другой поверхности, ограниченный тем же контуром. Наглядно это свойство можно представить следующим образом: если два кольца
совместить и окунуть в мыльный раствор, а затем развести на
некоторое расстояние, то мыльная пленка, натянутая между ними, примет форму катеноида.
14) Векторное параметрическое уравнение псевдосферы радиуса a (рис. 1.14):
u
~r =¡a sin u cos v, a sin u sin v, a¡ln tg
+ cos u¢¢,
2
u ∈ (0, π), v ∈ [0, 2π).
Эта поверхность названа так
потому, что между ней и поверхностью шара существует глубокая
аналогия (см., напр., [8, XII, §59]).
Псевдосфера — это поверх-
Рис. 1.14
ность, образованная вращением
трактрисы вокруг ее асимптоты. На рис. 1.14 асимптотой выступает ось Oz, а уравнение трактрисы в плоскости yOz:
n
z = a(cos u + ln tg
u
),
2
y = a sin u.
15) Векторное параметрическое уравнение прямого гелико-
ида (рис. 1.15):
~r = (ucos v, u sin v, av), u, v ∈ R.
Прямой геликоид часто называют винтовой поверхностью потому, что эта поверхность образована
Рис. 1.15
16
вращением прямой линии (образующей), которая, оставаясь все
[
\
]
]
U
D
время перпендикулярной вертикальной направляющей (здесь —
ось Oz), поднимается винтовым движением.
16) Векторное параметрическое уравнение косого геликоида
(рис. 1.16) имеет вид:
~r = (ucos v, u sin v, u+v), u, v ∈ R.
У косого геликоида образующая во все время движения составляет с направляющей острый угол.
Сфера, конус, гиперболоиды,
псевдосфера, катеноид и др. являются поверхностями вращения, то
есть могут быть получены вращением некоторой кривой вокруг оси.
В общем случае поверхности вращения можно параметризовать
следующим образом. Пусть осью вращения служит ось Oz. В
плоскости xOy декартовой системы координат Oxyz в качестве
параметров u и v выберем полярные координаты ρ, ϕ. Тогда уравнение профиля (кривой, которую вращают вокруг оси) имеет вид
z = f(ρ), а параметрическое уравнение поверхности вращения:
~r = (ρcos ϕ, ρ sin ϕ, f(ρ)).
Область изменения параметра ϕ — интервал [0, 2π). Область
изменения параметра ρ определяется уравнением профиля. Например, уравнение катеноида
´
~r =³a ch
u
cos v, a ch
a
u
a
sin v, u
Рис. 1.16
представляет собой вращение профиля
ρ = a ch
z
(рис. 1.17) вокруг оси Oz.
a
Рис. 1.17
17
Пример 1. Уравнение поверхности
x = 4v cos u,
y = 4v sin u,
z = v
0 ≤ u < 2π,
2
,
−∞ < v < ∞.
записать в виде неявной функции F (x, y, z) = 0.
Решение.
жения для координат x и y в квадрат: x
2
= 16v
2
v
sin2u и, складывая, получим x2+ y2= 16v2. С учетом
= z запишем явное уравнение поверхности z =
Вначале исключим параметр u. Возведем выра-
2
= 16v2cos2u, y2=
1
2
(x
16
+ y2).
Данная поверхность представляет собой параболоид вращения.
Пример 2. Составить параметрическое уравнение поверх-
2
ности, заданной равенством 14x
Решение.
В уравнении данной поверхности отсутствует пе-
+ 18z2= 1.
ременная y. Значит, поверхность цилиндрическая и образующая
цилиндра параллельна оси Oy. В плоскости xOz направляющей
является эллипс, который запишем в каноническом виде
2
x
14
+
´
2
1
q
³
2
z
18
= 1.
´
2
1
q
³
Имеем сумму квадратов двух слагаемых, которая равна еди-
нице. Такое равенство справедливо, в частности, для синуса и ко-
синуса некоторого угла, поэтому сделаем замену
q
q
x
1
14
z
1
18
= cosu,
= sinu.
Функции sin u, cos u должны "пробежать" все свои значения только один раз. Следовательно, 0 ≤ u < 2π. Обозначим y = v и, поскольку переменная y не имеет ограничений, то параметр v ∈ R.
Параметрическое уравнение цилиндра запишем с помощью вектор-
функции в виде ~r =
r
³
1
cos u, v,
14
r
1
sin u´, где u ∈ [0, 2π),
18
v ∈ R.
18
2
2
y
x
Пример 3. Параметризовать поверхность
Решение.
2
+ y2= z2соответствует параметризации ~r = (u cos v, u sin v, u),
x
Это уравнение конуса. Зная, что круговой конус
+
4
9
−2z
2
= 0.
будем подбирать коэффициенты так, чтобы выполнялось равен-
2
+
2
y
9
= 2z
2
.
u
√
, где
x
ство
4
Покажем, что при x = 2u cos v, y = 3u sin v и z =
2
параметры v ∈ [0, 2π), u ∈ R, тождество выполняется:
´
³
2
= 2
√
2
u
,
2
2
u
⇔ u
2
2
= u2.
4u
(2u cos v)
2
cos2v
4
4
+
9u
2
+
2
sin2v
9
(3u sin v)
9
= 2 ·
Значит, параметрическое уравнение поверхности имеет вид
´
u
√
~r =³2u cos v, 3u sinv,
.
2
Отметим, что при u = 0 в параметрическом уравнении конуса получим точку ~r = (0, 0, 0) — вершину конуса, причем в этой
точке параметр v является произвольным, т. е. вершина конуса
задается параметрами (u, v) неоднозначно. В связи с этим введем
Определение 3. Если в отдельных точках ранг (см. A.6)
матрицы
µ
∂x
∂u∂y∂u∂z∂u
∂x
∂v∂y∂v∂z∂v
¶
меньше двух, то эти точки называют особыми точками параметризации.
В случае конуса, рассмотренного в примере 3, в точке (0, 0, 0)
получим матрицу
преобразовывается в
Ã
2 cos v 3 sin v
−2u sin v 3u cos v 0
Ã
2 cos v 3 sin v
0 0 0
!
1
√
2
, которая при u = 0
¯
!
¯
1
√
¯
2
¯
¯
v∈[0,2π)
.
19
Ранг этой матрицы равен единице, поскольку из-за нулевой
Y
X
строки ни одного определителя второго порядка, отличного от нуля, составить невозможно. Значит, вершина конуса является особой точкой параметризации.
Легко проверить, что в примере 1 вершина параболоида так-
же является особой точкой параметризации.
Перед рассмотрением примера 4 введем следующие понятия.
Пусть точка M с коор-
динатами (u
, v0) принадле-
0
✁ ✂ ✄
✂ ✂
жит поверхности (рис. 1.18).
Через эту точку проходят две
☎☎ ✆
YX0
кривые (координатные линии) u = u
метры u и v называют кри-
и v = v0; пара-
0
✁ ✂ ✄ ✂ ✂
волинейными координатами.
Совокупность координатных
линий образует координат-
Рис. 1.18
ную сеть. Далее мы будем рассматривать ту часть поверхности,
где координатная сеть правильная: каждая линия u
линию v
только один раз; две линии u, также как и две линии v,
0
пересекает
0
не имеют общих точек (см. рис. 1.18).
Пример 4. Составить параметрическое уравнение сферы
радиуса a.
Параметризуем сферу с помощью ее географических координат: широты и долготы (рис. 1.19). Выберем в качестве начала
координат центр сферы. Зафиксируем полярную ось, т. е. один из
диаметров сферы. Будем называть долготой угол ϕ между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана. Угол ϕ должен определять всю экваториальную окружность, то есть угол ϕ ∈ [0, 2π). Широтой будем называть угол θ
между радиусом, который соединяет центр сферы с этой точкой, и
плоскостью экватора, причем при таком определении наибольшее
0
значение угла θ составляет 90
для точки, находящейся на север-
ном полюсе, и −900— для точки на южном полюсе. Поэтому угол
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]