Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
Пример 16. Составить первую квадратичную форму сферы
и найти площадь ее поверхности.
Решение. Параметрическое уравнение сферы имеет вид
= (Rcosucos
~r
принадлежат промежуткам u ∈h−
производные
∂~r
∂u
∂~r
∂v
v, R
cosusin
sinu),при этом параметрыuи
v, R
i
π
π
, v ∈ [0, 2π). Вычислим
,
2
2
= (−R sin u cos v, −R sin u sin v, R cos u),
= (−R cos u sin v, R cos u cos v, 0).
Определим коэффициенты первой квадратичной формы:
¡
2
E = R
F = R
G = R
2
sin
u¡cos2v + sin2v¢+ cos2u¢= R2,
2
(sin u cos u sin v cos v − sin u cos u sinv cos v) = 0,
2
cos2u¡sin2v + cos2v¢= R2cos2u.
v
Первая квадратичная форма сферы I = R
2du2+R2
cos2udv2.
Поскольку коэффициент F = 0, то координатная сеть, образованная меридианами и параллелями, ортогональна. Чтобы вычислить площадь поверхности сферы найдем
p
dS =
EG −F2dudv = R2|cos u|dudv.
Угол u изменяется в первой и четвертой координатных четвертях, в которых косинус принимает положительные значения,
значит площадь поверхности сферы
π
2π
Z
S =
0
2
Z
dv
R2cos udu = v
π
−
2
¯
2π
¯
R2sin u
¯
0
π
¯
2
¯
= 2πR2(1 + 1) = 4πR2.
¯
π
−
2
41
Задания для самостоятельного решения
Вычислить угол между координатными линиями на поверх-
ностях:
2.6. ~r = (ch u cos v, ch u sin v, sh u);
2.7. ~r = (2u cos v, 3u sin v, u
2
) при u0= 2, v0=
π
;
4
2.8. Определить угол, под которым на цилиндре, задан-
ном параметрическим уравнением ~r = (cos u, sin u, v), пересека-
ются линии
Указание
~
(t) =
l
1
: на первой кривой параметры u = const, v = t,
√
³
3
1
,
2
, t´и~l
2
(t) = (cos t, sin t, t).
2
соответственно направление (0 : dt), а на второй кривой u = v = t
и направление (δt : δt).
Вычислить площадь частей поверхностей:
1
√
2.9. ~r = (u cos v, u sin v, u + v), 0 ≤ u <
2.10. ~r =³4 sin u cos v, 4 sin u sin v, 4¡ln tg
π
4
≤ u ≤
π
, 0 ≤ v < 2π.
3
, 0 ≤ v ≤ 1;
2
u
+ cos u
2
¢
´
,
2.3. Конформное отображение
Рассмотрим две поверхности S
формами I
+G
dv2. Ранее отмечалось, что для налагающихся поверхностей
2
= E1du2+ 2F1dudv + G1dv2и I2= E2du2+ 2F2dudv+
1
, S2с первыми квадратичными
1
должно выполняться равенство коэффициентов их первых квадратичных форм. Положим теперь, что эти коэффициенты не рав-
F
ны, а пропорциональны
E
E
2
=
1
G
2
F
1
=
2
= λ2. Коэффициент про-
G
1
порциональности должен быть положительным, чтобы сохранилась положительная определенность первой квадратичной формы. Тогда
I
= E1du2+ 2F1dudv + G1dv2,
= λ2I1= λ
I
2
1
¡
2
E
du2+ 2F1dudv + G1dv
1
¢
2
.
42
Очевидно, что длины и площади на поверхностях S1, S2будут отличаться, но углы между кривыми на одной поверхности
и соответствующими кривыми на другой поверхности останутся
равными поскольку
=
cos θ
2
E
duδu + F2(duδv + δudv) + G2dvδv
=
p
2
=
(E2du2+ 2F2dudv + G2dv2)(E2δu2+ 2F2δuδv + G2δv2)
2
λ
=
p
2
λ
(E1du2+ 2F1dudv + G1dv2)(E1δu2+ 2F1δuδv + G1δv2)
(E1duδu + F1(duδv + δudv) + G1dvδv)
= cosθ
.
1
=
На основании свойства сохранения углов сформулируем
Определение 13. Если между точками двух поверхностей установлено соответствие так, что угол между двумя кривыми на одной поверхности равен углу между соответствующими кривыми на другой поверхности, тогда такое соответствие
называется конформным.
Наложимость поверхностей дает пример конформного соответствия, но установить сответствие (u
ками поверхностей S
E
= E2, F1= F2, G1= G2сложнее, чем удовлетворить двум
1
равенствам
E
E
2
=
1
и S2так, чтобы выполнялось три равенства
1
F
G
2
2
=
F
1
. Поэтому класс поверхностей, налага-
G
1
, v1) → (u2, v2) между точ-
1
ющихся на данную поверхность, является особым классом.
Приведем пример конформного отображения поверхностей.
Рассмотрим поверхность вращения в общем виде
~r = (ρcos ϕ, ρ sinϕ, f(ρ)).
Первая квадратичная форма имеет вид
³
I =¡1 + f
′2
(ρ)¢dρ2+ ρ2dϕ2= ρ
2
1 + f
ρ
43
′2
(ρ)
2
dρ2+ dϕ
´
2
.
p
Выполним замену dw =
1 + f′2(ρ)
ρ
dρ. Тогда I = ρ
2
(dw2+ dϕ2).
В примере 11 была найдена первая квадратичная форма
плоскости в прямоугольной декартовой системе координат I =
2
= dx
+ dy2. Первые квадратичные формы плоскости и поверхно-
сти вращения подобны, значит, можно указать конформное отображение поверхности вращения на плоскость. Для этого положим
y = ϕ, x = w =
p
Z
1 + f′2(ρ)
ρ
dρ. Поскольку соответствие кон-
формное, то кривая, которая пересекает все меридианы ϕ = const
на поверхности под одним углом, пересечет все прямые y на плоскости под тем же самым углом.
Если воспользоваться первой квадратичной формой плоско-
2
сти, заданной полярными координатами, I = d˜ρ
вести ее к виду I = ˜ρ
формное соответствие ln ˜ρ =
верхностью вращения и плоскостью.
¡
2
(d ln ˜ρ)
2
Z
+ d ˜ϕ
p
¢
2
, то установим другое кон-
1 + f′2(ρ)
ρ
+ ˜ρ2d ˜ϕ2и при-
dρ, ˜ϕ = ϕ между по-
Применяя это соответствие к сфере получим стереографическую проекцию сферы на плоскость, которую используют в картографии. Геометрически такое соответствие можно получить, проектируя сферу из полюса на плоскость экватора.
3. Вторая квадратичная форма поверхности
3.1. Краткие сведения из теории кривых.
Сопровождающий трехгранник Френе
Рассмотрим пространственную кривую, заданную в декарто-
вой прямоугольной системе координат (см. A.2) уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
где t — параметр. Будем использовать запись уравнения кривой с
помощью вектор–функции ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Предполагаем,
44
что указанная функция дифференцируема столько раз, сколько
это необходимо для справедливости рассуждений (см. A.3).
В курсе дифференциальной геометрии показывается, что параметризация кривой существенно зависит от используемой системы координат. Поэтому есть необходимость в отыскании инвариантного, зависящего только от кривой, а не от системы координат, параметра. В качестве такого параметра выступает длина
s дуги кривой, отложенная от некоторой начальной точки. Параметр s называется натуральным, а параметризация кривой с его
помощью — натуральной.
Если не оговорено другое, то производные по параметру t
будем обозначать точкой, например˙~r, ˙x, а штрихом будем обо-
значать производные по параметру s.
Длина ds элементарной дуги кривой вычисляется по форму-
p
ле ds =
помощью интеграла s =
dx2+ dy2+ dz2. Тогда длина дуги кривой находится с
t
p
R
( ˙x)2+ ( ˙y)2+ ( ˙z)2dt, который, как из-
t
0
вестно, не зависит от выбора переменной интегрирования, то есть
не зависит от способа параметризации кривой. Запишем ds = |˙~r|dt
или ds
2
= d~r2. Следовательно,
µ
¶
2
d~r
= (~r′)2= 1. Обозначим
ds
~r′= ~τ — единичный вектор, который является, как уже отмеча-
лось, направляющим вектором касательной к данной кривой.
2
Продифференцируем по s очевидное равенство ~τ
′
ем 2~τ · ~τ
= 2~r′· ~r′′= 0, откуда при ~τ′6=~0 вытекает, что век-
= 1. Име-
тор второй производной ортогонален вектору касательной. Обо-
1
значим |~r
′′
~r
=
′′
| =
и введем новый вектор ~ν с помощью соотношения
ρ
~ν
. Очевидно, что
ρ
1
|~r
⇒
ρ
|~ν|
′′
| =
|~ν|
=
ρ
⇒ |~ν| = 1.
ρ
Единичный вектор ~ν в силу своей ортогональности к каса-
45
тельной называется главной нормалью кривой.
0
W
&
Q
&
&
В случае ~τ′= ~r′′=~0 вектор главной нормали кривой не
определен. Интегрируя равенство ~r′′=~0, получим ~r = ~r1s + ~r2,
, ~r2— постоянные векторы. Это параметрическое уравнение
~r
где
1
прямой в пространстве. Значит, главная нормаль не определена
для прямой линии.
В случае произвольной кривой, отличной от прямой линии,
✁ ✄ ✌ ✝ ✡ ☞✍✝ ✠
✍
✂ ✡ ✁ ✆ ✁ ☛ ☞
✁ ✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✝ ✞ ✟ ✝ ✠ ✠
✡ ✁ ✆ ✁ ☛ ☞
✂
единичные ортогональные векторы ~τ , ~ν лег-
ко дополняются до пространственной системы
E
✂ ✄ ✠ ✌ ✡ ✠ ✞ ✟ ✝ ✠
✂ ✡ ✁ ✆ ✁ ☛ ☞
векторов путем введения третьего вектора
~
β = ~τ × ~ν — вектора бинормали, который также единичный и
Рис. 1.27
ортогональный векторам ~τ, ~ν.
Определение 14. Базисом Френе в любой точке кривой
~r = ~r(t) называется ортонормированный базис (~τ, ~ν,~β), где ~τ —
единичный вектор касательной, ~ν — единичный вектор главной
нормали,~β = ~τ × ~ν — единичный вектор бинормали.
Векторы (~τ , ~ν,~β) образуют три плоскости (рис. 1.27). Плоскость (~τ ,~ν) называется соприкасающейся, плоскость (~ν,~β) — нор-
мальной, плоскость (~β, ~τ ) — спрямляющей. Базис Френе (~τ , ~ν,~β)
еще называют сопровождающим трехгранником Френе, соответствующим точке M, поскольку при движении точки M по кривой
он движется вместе с ней как твердое тело, причем к этому движению применимы формулы кинематики твердого тела. А именно,
скорость сложного движения трехгранника Френе можно представить в виде суммы скорости движения вершины M и скорости
вращательного движения относительно вершины, для определения которой понадобятся скорости изменения направления векторов ~τ, ~ν,~β. Найдем эти скорости в базисе ~τ , ~ν,~β.
46
По определению ~r′′= ~τ′= k~ν. Из очевидного равенства
s
M
O
(~β2)′= 2~β ·~β′= 0, вытекает, что вектор~β′ортогонален~β. А
поскольку~β = ~τ ×~ν, то~β′= ~τ′×~ν + ~τ × ~ν′. Но векторы ~τ′и ~ν
коллинеарны, поэтому~β
′
=~τ×
′
~ν
что означает, что вектор
,
~
β
ортогонален и вектору ~τ как результирующий вектор векторного
′
произведения. Так как вектор~β
новременно, то он коллинеарен вектору ~ν, значит~β
ортогонален векторам~β и ~τ од-
′
= ±κ~ν. Знак
плюс в этой формуле берется при вращении вокруг касательной
в направлении от~β к ~ν. Наконец,
′
= (~β ×~τ )′=~β′×~τ +~β ×~τ′= κ~ν ×~τ +~β ×k~ν = −κ~β −k~τ.
~ν
Окончательно имеем систему равенств
′
~τ
= k~ν , ~ν′= −k~τ − κ~β,~β′= κ~ν,
которые носят название формул Серре–Френе.
Параметры k и κ в этих формулах имеют следующий смысл:
Определение 15. Кривизной k кривой называют модуль
скорости изменения единичного вектора касательной.
Определение 16. Кручением κ кривой называют модуль
скорости изменения единичного вектора бинормали.
′
Пусть ∆ϕ — угол между касательными на концах некоторой дуги ∆s (рис. 1.28). Поскольку длина вектора касательной постоянна,
то при переходе от точки M
к
0
M
0
точке M изменяться может только
направление касательного вектора.
Тогда кривизна как модуль скоро-
сти изменения угла ∆ϕ записывается в виде k = lim
Рис. 1.28
∆s→0
47
¯
¯
¯
¯
∆ϕ
∆s
¯
¯
¯
.
¯
Учитывая, что ~τ′= ~r′′, а вектор ~ν введен с помощью равен-
ства ~r
~ν
′′
=
, то k =
ρ
1
, а величина ρ =
ρ
1
называется радиусом
k
кривизны. Точка, отстоящая от кривой в сторону вогнутости на
расстоянии ρ =
1
, называется центром кривизны (рис. 1.28).
k
Кривизну можно понимать как скорость отклонения кривой
от касательной, а кручение — как скорость "вращения" кривой
относительно той же касательной.
Для любого способа задания кривой кривизна и кручение
вычисляются по формулам
...
k =
|˙~r ר~r|
(˙~r2)
, κ = −
3/2
(˙~r ר~r) ·
(˙~r ר~r)
~r
.
2
В случае натуральной параметризации кривизна k(s) и кручение κ(s), как функции натурального параметра s, определяют
кривую с точностью до положения в пространстве, что доказывается непосредственным интегрированием формул Серре–Френе,
и называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные
уравнения кривой однозначно задают форму кривой независимо
от используемой системы координат в пространстве.
Если вернуться к механической аналогии движения трехгранника Френе, то из формул Серре–Френе получим, что вращение относительно вершины происходит всегда таким образом,
что вектор угловой скорости лежит в спрямляющей плоскости.
Это важное свойство будет использовано позже для определения
геометрического смысла геодезической кривой на поверхности.
Пример 17. Найти кривизну эллипса ~r = (a cos t, b sin t) в
произвольной точке.
Решение
. Найдем производные
˙x = −a sin t, ˙y = b cos t, ¨x = −acos t, ¨y = −bsin t.
В случае плоской кривой имеем параметрическое уравнение
~r = (x(t),y(t), 0), тогда |˙~r ר~r| = |˙x¨y − ¨x ˙y|. Вычислим кривизну
48
k =
|˙x¨y − ¨x ˙y|
£
2
+ ˙y
˙x
¯
2
¯
ab sin
=
3
¤
2
¡
2
a
t + ab cos2t
2
sin2t + b2cos2t
¯
¯
=
3
¢
¡
2
2
a
ab
sin2t + b2cos2t
Пример 18. Найти кривизну и кручение пространственной
линии ~r = (t cos t, t sint, 6t2) в точке, соответствующей t = π.
Решение
. Найдем производные
˙x = cos t − t sin t, ˙y = sin t + t cos t, ˙z = 12t,
¨x = −2 sin t − t cos t, ¨y = 2cos t − t sin t, ¨z = 12,
...
x
= −3cos t + t sin t,
˙
~r(π) = (−1, −π, 12π),¨~r(π) = (π, −2, 12),
...
y
= −3sin t − t cos t,
...
z
= 0,
...
~r (π) = (3,π, 0).
Вычислим произведения и модули векторов
˙
~r ר~r = (12π, 12(π
2
+ 1), 2 + π2), (˙~r ר~r) ·
...
~r = 48π + 12π3,
p
|˙~r| =
1 + 145π2, |˙~r ר~r| =p145π4+ 436π2+ 148.
Определим кривизну и кручение
s
2
)
k =
145π4+ 436π2+ 148
(1 + 145π2)
3
, κ = −
12π(4 + π
145π4+ 436π2+ 148
.
3
¢
2
.
3.2. Нормальная кривизна и вторая квадратичная
форма поверхности
Рассмотрим поверхность ~r = ~r(u, v) и кривую на этой поверх-
ности ~r¡u(s), v(s)¢, заданную с помощью натурального параметра. Касательный вектор кривой при натуральной параметризации
+
+
+
∂~r
∂u
∂~r
∂vdvds
d
ds
∂~r
∂v
2
d
ds
u
+
2
2
v
2
. Тогда
=
обозначается ~τ и здесь имеет вид ~τ =
µ
d~τ
ds
=
+
∂
∂u
µ
2
~r
du
2
ds
2
∂
~r
2
∂v
+
dv
ds
2
∂
~r
∂u∂vduds
2
∂
~r
+
∂u∂vdvds
49
¶
∂~r
∂ududs
du
ds
¶
dv
ds
µ
¶
=
∂
∂u
2
~r
2
du
ds
2
По определению ~τ
∂
+ 2
∂u∂vdudsdvds
2
~r
′
+
= k~ν , где k — кривизна кривой, в данном
∂
∂v
µ
¶
dv
ds
2
+
∂~r
∂u
d
ds
2
u
+
2
∂~r
∂v
d
ds
2
v
.
2
2
~r
2
случае, лежащей на поверхности, ~ν — единичный вектор главной
нормали. Нормаль к поверхности была введена с помощью каса-
×~r
~r
1
тельных векторов координатных линий по формуле ~n =
где ~r
∂~r
, ~r
=
1
∂u
∂~r
=
2
и, учитывая обозначения первой квадра-
∂v
|~r1×~r2|
2
тичной формы поверхности, теперь может быть записана в виде
~r
×~r
1
√
~n =
ров ~n ⊥~r
2
. По определению векторного произведения векто-
EG −F
2
, ~n ⊥~r2или ~n ·
1
∂~r
∂u
= 0, ~n ·
∂~r
∂v
= 0.
Обозначим угол между нормалью поверхности ~n и вектором
главной нормали кривой на поверхности ~ν через θ. Следовательно,
d~τ
~n ·
= ~n · k~ν = k cos θ.
ds
С другой стороны,
¶
=
~n ·
+³~n ·
1
2
ds
µ
´
2
d~τ
=³~n ·
ds
2
∂
~r
2
∂v
·
³
∂
~n ·
∂u
∂
~r
2
∂u
¶
µ
´
2
~r
2
2
dv
+³~n ·
ds
´
2
du
+ 2³~n ·
du
ds
2
+ 2³~n ·
´
∂~r
∂u
2
~r
∂
∂u∂v
2
∂
∂u∂v
2
d
u
+³~n ·
2
ds
´
dudv +³~n ·
´
du
~r
∂~r
∂v
dsdvds
´
d
ds
2
∂
∂v
+
2
v
=
2
¸
´
~r
2
dv
2
.
,
Введем обозначения
L = ~n ·
∂
∂u
2
~r
2
=
(~r
√
′
u
′
×~r
) · ~r
v
EG −F
¯
′
′′
uu
=
2
√
EG −F
1
¯
¯
¯
¯
2
¯
′
x
x
u
v
′
′
y
y
u
v
′
′
z
z
u
v
¯
′′
¯
x
uu
¯
′′
¯
y
,
uu
¯
′′
¯
z
uu
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]