Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория поверхностей. Элементы сферической тригонометрии. Учебное пособие
.pdf
По смыслу геодезические и асимптотические линии прямо проти-
&
&
Q
&
воположны: у первых соприкасающаяся плоскость содержит нормаль, а у вторых — ортогональна нормали. Только прямые линии
могут быть одновременно и асимптотическими и геодезическими.
Теперь, основываясь на механических соображениях, покажем, что геодезические линии реализуют кратчайшее расстояние
между двумя точками на поверхности. Пусть в двух фиксированных точках поверхности закреплена гибкая нить из упругого растянутого материала, кроме того полагаем, что поверхность
абсолютно гладкая, чтобы исключить влияние трения. Тогда очевидно, что упругие силы будут стремиться сократить нить до наименьшей длины и в отсутствие сил трения единственное, что им
препятствует, это сопротивление поверхности.
Нормальная реакция, характеризующая сопротивле-
ние поверхности, направлена
по нормали в любой точке
поверхности, а силы упруго-
)
F
)
F
сти направлены в любой точке нити по касательной, то
есть лежат в соприкасающейся плоскости (рис. 1.31). По-
Рис. 1.31
скольку нить заняла свое кратчайшее положение, то эти силы
уравновесили друг друга и теперь находятся в одной плоскости.
Значит, нормаль поверхности лежит в соприкасающейся плоскости кривой, то есть нить приняла форму геодезической кривой.
Отсюда делаем вывод, что кратчайшее расстояние между двумя
точками на поверхности реализуется на геодезической кривой.
Аналогичными рассуждениями можно показать, что материальная точка в отсутствии внешних сил будет двигаться по поверхности по геодезической траектории.
Мы показали, что геодезическая линия на поверхности обладает свойством постоянства направления и обеспечивает кратчайшее расстояние между двумя точками. Осталось показать, что
81
кривизна геодезической линии равна нулю.
Q
&
0
Q
&
M
Q
&
M
Если оттянуть уже рассмотренную нить из упругого
материала тем самым удлинив ее, то опыт подсказывает,
VLQ
что она вернется в такое положение, которое обеспечивает ей кратчайшую длину, то
есть примет форму геодези-
Рис. 1.32
ческой линии. На рисунке 1.32 рассмотрим дугу некоторой не геодезической кривой, форму которой придали, оттянув нить. Пусть
главная нормаль этой кривой расположена под углом ϕ к нормали поверхности. Уже упоминалось, что силы упругости лежат
в соприкасающейся плоскости, следовательно, сила, которую мы
прикладываем к точке M , чтобы растянуть нить, также лежит
в соприкасающейся плоскости и направлена по главной нормали
~ν. Разложим эту силу на две составляющие, одна из которых направлена по нормали поверхности и компенсируется реакцией поверхности, а вторая направлена по вектору ~ν sin ϕ и именно она за-
ставляет нить скользить по поверхности, заставляя нить покинуть
положение равновесия. После снятия внешнего воздействия нить
придет в движение, которое прекратится, когда величина ~ν sin ϕ
обратится в нуль, то есть угол между главной нормалью кривой
и нормалью поверхности будет равен 0 или π. А это означает, что
нормаль и главная нормаль лежат в одной плоскости, и кривая
стала геодезической. Следовательно, геодезическая кривая на поверхности обеспечивает для растянутой нити положение устойчивого равновесия. Теперь вспомним, что вектор главной нормали
единичный и сформулируем
Определение 25. Геодезической кривизной кривой на-
зывается величина k sin ϕ, которая является проекцией кривизны кривой, отложенной по главной нормали, на касательную
плоскость поверхности.
82
Для геодезической кривой геодезическая кривизна равна нулю. Все три свойства, характерные для прямых, присущи геодезическим линиям.
Определим формулу для вычисления геодезической кривизны. Из рисунка 1.32 видно, что вектор ~ν ×~n коллинеарен вектору
касательной, значит, угол α между векторами ~ν × ~n и ~τ равен 0
или π. Тогда в случае единичной нормали ~n поверхности и нату-
ральной параметризации кривой запишем
(~ν ×~n) ·~τ = |~ν ×~n||~τ | cos α = |~ν||~n|sin ϕ|~τ |cos α = ± sin ϕ.
′′
Учитывая, что k~ν = ~r
k sin ϕ = (k~ν ×~n) · ~τ = (~r
, ~τ = ~r′имеем с точностью до знака
′′
, ~r′, ~n).
В случае произвольной параметризации кривой и единичной нормали ~n формула для вычисления геодезической кривизны
принимает вид
k sin ϕ =
(¨~r,˙~r, ~n)
Обозначим геодезическую кривизну символом k
|˙~r|
.
3
и преобра-
g
зуем выражение для ее нахождения с помощью деривационных
формул
′′
~r
uu
= Γ
1
11
′
2
~r
+ Γ
u
′
~r
+ L~n, ~r
11
v
′′
~r
vv
= Γ
1
22
~r
′
u
+ Γ
′′
uv
2
22
= Γ
′
~r
v
1
~r
12
+ N~n.
′
u
+ Γ
2
12
′
~r
v
Рассмотрим на поверхности кривую ~r = (u(t), v(t)). Тогда
касательный вектор имеет вид˙~r = ~r
′
u
˙u + ~r
′
˙v. Найдем вторую
v
производную
′′
¨
~r = ~r
= (Γ
+ (Γ
1
22
1
11
uu
~r
˙u2+ 2~r
~r
= (A + ¨u)~r
′
u
′
u
′′
uv
2
+ Γ
11
2
+ Γ
~r
22
′
+ (B + ¨v)~r
u
˙u ˙v + ~r
′
~r
v
′
v
′′
vv
+ L~n) ˙u2+ 2(Γ
+ N~n) ˙v2+ ~r
′
v
˙v2+ ~r
+ C~n,
′
u
1
12
′
¨u + ~r
u
¨u + ~r
′
~r
u
′
v
+ Γ
′
¨v =
v
¨v =
2
12
′
~r
+ M~n) ˙u ˙v+
v
83
+ M~n,
где введены обозначения
1
A = Γ
˙u2+ 2Γ
11
Тогда, с учетом ~n =
(¨~r,˙~r, ~n) =¡(A + ¨u)~r
=¡(A + ¨u)~r
=¡(A + ¨u)~r
+¡(B + ¨v)~r
= ˙v(A + ¨u)¡~r
=h˙v(A + ¨u)¡~r
= (¨u ˙v − ¨v ˙u + A ˙v − B ˙u)
= |~r
Поскольку
′
v
p
| =
EG −F2, |˙~r|3= (˙~r2)
′
×~r
|~r
u
1
˙u ˙v + Γ
12
C = L ˙u
~r
|~r
′
, ~r
u
′
, ~r
v
′
u
′
u
1
˙v2, B = Γ
22
2
+ 2M ˙u ˙v + N ˙v2.
′
′
×~r
u
v
′
u
′
u
′
u
, ~r
, получим
′
×~r
|
v
′
+ (B + ¨v)~r
u
+ (B + ¨v)~r
′
˙u, ~n¢+¡(A + ¨u)~r
u
′
˙u, ~n¢+¡(B + ¨v)~r
u
′
, ~n¢+ ˙u(B + ¨v)¡~r
v
¢
′
×~r
v
′
, ~r
v
+ ˙u(B + ¨v)¡~r
(~r
′
×~r
|(¨u ˙v −¨v ˙u + A ˙v −B ˙u).
v
2
˙u2+ 2Γ
11
′
v
′
˙u + ~r
u
′
×~r
u
′
|~r
×~r
u
3
2
= (E ˙u2+ 2F ˙u ˙v + G ˙v2)
′
v
′
v
′
u
, ~r
′
v
×~r
′
v
′
˙v, ~n¢=
v
′
, ~r
v
′
v
, ~r
′
u
2
)
′
|
v
2
˙u ˙v + Γ
12
˙
~r, ~n¢=
˙v, ~n¢+
˙v, ~n¢=
′
, ~n¢=
u
i
¢
·~n =
=
2
22
˙v2,
3
2
,
то окончательно формулу для вычисления геодезической кривизны запишем так
√
k
EG −F2(¨u ˙v −¨v ˙u + A ˙v −B ˙u)
=
g
(E ˙u2+ 2F ˙u ˙v + G ˙v2)
3
2
.
Символы Кристоффеля, входящие в обозначения A и B в
формуле для вычисления геодезической кривизны, выражаются
через коэффициенты E, F, G и их производные. Следовательно,
геодезическая кривизна кривой на поверхности принадлежит к
внутренней геометрии.
84
Пример 36. Вычислить геодезическую кривизну винтовых
линий u = const, лежащих на прямом геликоиде
~r = (ucos v, u sin v, av).
Решение.
Проведем необходимые предварительные вычисле-
ния
′′
= (0,0, 0), ~r
~r
uu
1
Γ
11
′
~r
= (cosv, sinv, 0), ~r
u
′′
uv
E = 1, F = 0, G = u
L = 0, M = −
= Γ
2
11
= Γ
1
12
= (−sin v, cos v, 0), ~r
= 0, Γ
2
12
′
= (−usin v, u cos v, a),
√
=
v
u2+ a
u
u2+ a
a
2
′′
= (−ucos v, u sin v, 0),
vv
2
+ a2,
, N = 0,
2
1
, Γ
22
= −u, Γ
Подставляя полученные значения в формулу для вычисле-
ния кривизны, получим
2u ˙u ˙v
u2+ a
3
2
,
2
−
3
¢
2
2u ˙u2˙v
u2+a
´
2
.
kg=
A = −u ˙v
√
u2+ a
2
, B =
³
2
¨u ˙v − ¨v ˙u − u ˙v
¡
2
+ (u2+ a2) ˙v
˙u
Вычислим геодезическую кривизну винтовых линий
√
u2+ a2(−u ˙v3)
=
k
g
¡
2
+ a2) ˙v
(u
=
3
¢
2
2
(u2+ a2)|˙v|
−u ˙v
3
3
=
|u|
u2+ a
2
= 0.
22
.
2
Модуль в данном ответе возникает в связи с тем, что кри-
визна кривой есть величина неотрицательная по определению.
Пример 37. Вычислить геодезическую кривизну круга ра-
диуса r, лежащего на сфере ~r = (R cos u cos v, R cos u sin v, Rsinu).
Решение.
E = R
′
E
u
2
= 0, E
В примере 35 были найдены значения
, F = 0, G = R2cos2u, L = R, M = 0, N = Rcos2u,
′
= 0, F
v
′
= 0, F
u
′
= 0, G
v
′
= −R2sin 2u, G
u
′
v
= 0.
85
Тогда
Γ
1
= 0, Γ
11
2
= 0, Γ
11
A =
cos u(¨u ˙v −¨v ˙u +
=
k
g
1
12
1
2
= 0, Γ
2
= −tg u, Γ
12
2
˙v
sin 2u, B = −˙u ˙v tg u,
1
˙v3sin 2u + ˙u2˙v tg u))
2
R( ˙u2+ ˙v2cos2u)
1
22
3
2
=
1
2
sin 2u, Γ
.
2
22
= 0,
Окружность, лежащая на сфере, задается однопараметрическим уравнением ~r(t) = (R cos u cos t, R cos u sint, R sin u). Сле-
довательно, радиус r этой окружности связан с радиусом сферы
R зависимостью r = R cos u откуда получаем cos u =
r
. Значит,
R
параметры u = const, v = t. Искомая кривизна имеет вид
1
sin 2u cos u
2
k
=
g
R cos3u
=
R cos u
sin u
=©sin u =
√
R2− r
R
√
2
ª
=
R2− r
rR
2
.
Из последней формулы вытекает, что геодезическая кривизна обратится в ноль, когда радиус окружности совпадет с радиусом сферы. Это означает, что круг, ограниченный окружностью
радиуса R, проходит через центр сферы, то есть является большим кругом. Значит, на любой дуге большого круга геодезическая
кривизна равна нулю.
Введем следующее
Определение 26. Кривая на поверхности называется гео-
дезической, если ее геодезическая кривизна равна нулю во всех
точках.
Выше на основании механических соображений мы показали, что у геодезических линий главная нормаль совпадает с нормалью поверхности. Приведем без доказательства две теоремы.
Теорема Для того чтобы кривая была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадала с нормалью к поверхности, на которой эта линия расположена.
86
Теорема Через каждую точку дважды непрерывно дифференцируемой поверхности в любом направлении можно провести
и при том единственную геодезическую.
На основании этих двух теорем можно определить, какие
кривые являются геодезическими, например, на сфере. Так дуги больших кругов (кругов, проходящих через центр) являются
геодезическими по первой теореме, а в силу второй теоремы, поскольку из любой точки можно провести дугу большого круга
в любом направлении, ими же исчерпываются все геодезические
линии на сфере. Таким образом, дуги больших кругов и только
они являются геодезическими линиями на сфере, а значит, кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере реализуется
только на дугах больших кругов.
Уравнение для отыскания геодезических линий на поверхности сразу же следует из определения и формулы для геодезической кривизны
√
EG −F2(¨u ˙v −¨v ˙u + A ˙v −B ˙u)
=
k
g
(E ˙u2+ 2F ˙u ˙v + G ˙v2)
3
2
= 0 ⇒
⇒ ¨u ˙v − ¨v ˙u + A ˙v −B ˙u = 0.
В этом дифференциальном уравнении две переменных. Поэтому часто на поверхности вводят полугеодезическую парамет-
ризацию: одно семейство координатных линий состоит из геодезических кривых, найденных с помощью указанного дифференциального уравнения при одной из переменных равной константе,
а второе семейство координатных линий строится ортогонально
первому.
Пример 38. Определить геодезические линии на прямом
геликоиде
~r = (ucos v, u sin v, av).
Решение.
В примере 36 была получена формула для вы-
числения геодезической кривизны, то есть можем сразу записать
87
дифференциальное уравнение в виде
2
2u ˙u
¨u ˙v − ¨v ˙u − u ˙v
3
−
u2+ a
˙v
2
= 0.
При значениях параметра v = const на геликоиде получаем прямые линии, которые являются геодезическими, то есть v =
const — тривиальное решение данного дифференциального уравнения. Положим v 6= const и проведем преобразования.
¨u ˙v − ¨v ˙u
3
˙v
−
(u2+ a2) ˙v
2u ˙u
2
− u = 0.
2
Заметим, что
!
Ã
¨u ˙v − ¨v ˙u
1
˙v
³
´
.
˙u
1
=
2
˙v
˙v
˙v
=
dt
dvddt
du
dt
dv
dt
=
d
dv
³
´
=
d
dv
2
u
.
2
du
dv
Следовательно, обозначая дифференцирование по v штрихом,
d
dv
2
u
−
2
u2+ a
2u
³
2
du
2
− u = 0 ⇔ u′′−
dv
2u
u2+ a
u′2− u = 0.
2
´
Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка, не содержащее явно переменной v. Понизим порядок с
помощью замены u
′
= p(u). Тогда u′′= p(u)p′(u).
2u
′
−
pp
где w(u) = p
u2+ a
2
p2− u = 0 ⇔
2
. Получили линейное дифференциальное уравнение,
общий интеграл которого
w = (u
2
+ a2)
¡
2
−
c
1
Возвращаясь к исходным переменным
du
dv
= (u
2+a2
)rc1−
1
u2+ a
, ⇒ v =
2
u2+ a
88
1
w
2
1
′
2
−
¢
, c
2u
u2+ a
1
du
dv
Z
(u2+ a2)qc1−
w − u = 0,
2
∈ R.
= p =
du
√
w, имеем
1
2
u2+a
+c2,
где c1, c2— постоянные интегрирования.
Пример 39. Найти уравнение геодезических кривых на эл-
липсоиде вращения
~r = (acos u cos v, a cos u sin v, b sin u).
Решение.
Выполним необходимые предварительные вычис-
ления.
′
~r
= (−asin u cos v, −a sinu sin v, b cos u),
u
′
= (−acos u sin v, a cosu cos v, 0),
~r
v
′′
= (−acos u cos v, −a cosu sin v, −b sin u),
~r
uu
′′
~r
= (asin u sin v, −a sinu cos v, 0),
uv
′′
= (−acos u cos v, −a cosu sin v, 0),
~r
vv
2
L =
E = a
p
a2sin2u + b2cos2u
Γ
2
Γ
12
A =
sin2u + b2cos2u, F = 0, G = a2cos2u,
ab
2
− b2) sin u cos u
(a
1
=
11
a2sin2u + b2cos2u
= −tg u, Γ
sin u cos u¡(a
, M = 0, N =
, Γ
2
a
1
=
22
2
− b2) ˙u2+ b2˙v
sin u cos u
a2sin2u + b2cos2u
2
11
¢
2
p
= 0, Γ
, B =
a2sin2u + b2cos2u
ab cos
a2sin2u + b2cos2u
1
= 0,
12
2
, Γ
22
−2 ˙u ˙v sin u
cos u
Запишем уравнение для отыскания геодезических линий на
эллипсоиде
2
= 0,
u
,
.
¨u ˙v − ¨v ˙u +
˙v sin u cos u
a2sin2u + b2cos2u
¡
2
− b2) ˙u2+ b2˙v
(a
¢
2 sin u
2
+
cos u
2
˙u
˙v = 0.
Тривиальным решением этого уравнения является v = const.
Этому решению на поверхности соответствуют эллипсы–меридианы. Например, в плоскости x = 0 уравнение меридиана имеет вид
~r = (0, a cos u, b sin u), который, в силу ограничения u ∈h−
i
π
π
,
2
2
89
,
2
2
z
является половиной эллипса
y
+
2
a
= 1. Рассматриваемый эл-
2
b
липсоид образован вращением половины указанного эллипса при
y ≥ 0 вокруг оси Oz. Следовательно, первым семейством геодезических линий эллипсоида вращения являются все меридианы. В
качестве упражнения для читателя предлагаем показать, что на
любой поверхности вращения меридианы являются геодезическими.
Пусть v 6= const. Проведем преобразования
¨u ˙v − ¨v ˙u
3
˙v
+
´
2
˙u
˙v
tg u£2 +
2
2
− b
a
a2tg2u + b
¤
+
2
2
b
tg u
a2tg2u + b
= 0
2
³
и перейдем к дифференцированию по v
³
2
d
u
+
2
dv
Понизим порядок этого уравнения с помощью замены u
′′
= p(u)p′(u)
u
1
2)′
(p
2
´
2
du
tg u£2 +
dv
+ p2tg u£2 +
2
a
− b
a2tg2u + b
2
2
− b
a
a2tg2u + b
2
¤
+
2
¤
+
2
2
b
tg u
a2tg2u + b
2
tg u
b
a2tg2u + b
2
2
= 0.
= 0.
′
= p(u),
Общим интегралом этого уравнения является
2
p
(u) =
cos2u − a
c
1
a2tg2u + b
2
,
2
где c
— постоянная интегрирования. Возвращаясь к исходным
1
переменным, получим
s
du
dv
c1cos2u − a
=
a2tg2u + b
2
.
2
Окончательно уравнение, задающее второе семейство геоде-
зических линий на эллипсоиде вращения, имеет вид
s
v =
Z
a2tg2u + b
c1cos2u − a
2
du + c2,
2
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]