Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Министерств
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
«Московский педагогический государственный университет»
о образования и науки Российской Федерации
высшего образования
. Шеина
Г. В
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
Часть 2
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное
электронное
МПГУ
Москва • 2024
УДК 512
ББК 22.14я73
Ш395
Рецензенты:
В. А. Артамонов, доктор физико-математических наук,
профессор кафедры высшей алгебры, Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова
А. В. Жмулева, кандидат педагогических наук, профессор кафедры
теории чисел, Московский педагогический государственный университет
Шеина, Галина Валентиновна.
Ш395 Теория и практика решения задач по алгебре. Часть 2 : Учебное
пособие / Г. В
. Шеина. – 2-е изд., стер. электрон. – Москва: МПГУ,
2024. – 120 с. – Текст: электронный.
ISBN 978-5-4263-0218-1
Учебное пособие подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и адресова-
но студентам математических факультетов педагогических вузов. В нем рассматриваются не только необходимые теоретические основы начальных глав
курса алгебры, но и приводится большое количество задач разного уровня
сложности для того, чтобы их можно было использовать и школьному учителю, работающему, например, в классах с углубленным изучением математики
или ведущему факультативные занятия. Ответы и указания к решению задач
помогут читателю в его самостоятельной работе.
УДК 512
ББК 22.14я73
ISBN 978-5-4263-0218-1 © МПГУ, 2015
© Шеина Г. В., 2015
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
П
АВЕНСТВО МНОЖЕСТВ. ПОДМНОЖЕСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Р
БЪЕДИНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
О
СНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ . . . . . . . . . 13
О
АЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ И ЕЕ СВОЙСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Р
НИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО. ДОПОЛНЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
У
ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Р
ПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
У
ГЛАВА 2. ОТНОШЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
РЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
П
ИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Б
ИДЫ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
В
РЕДСТАВЛЕНИЕ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ ГРАФАМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
П
ТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. РАЗБИЕНИЯ . . . . 27
О
Свойства классов эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Теорема о разбиениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Фактормножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ТОБРАЖЕНИЯ (ФУНКЦИИ). РАВЕНСТВО ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
О
ОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ И ЕЕ СВОЙСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
К
ИПЫ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Т
ОМПОЗИЦИЯ ИНЪЕКТИВНЫХ, СЮРЪЕКТИВНЫХ И БИЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . . 38
К
Композиция сюръективных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Композиция инъективных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Композиция биекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
БРАТИМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
О
Условие обратимости отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Односторонние обратные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ГЛАВА 3. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ И ОСНОВНЫЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ОНЯТИЕ БИНАРНОЙ ОПЕРАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
П
Виды бинарных операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Свойства нейтральных и нейтрализующих элементов . . . . . . 56
ЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
А
РУППЫ. ПОДГРУППЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Г
Определение подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Критерий подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3
Основные свойства группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Доказательство некоторых свойств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Симметрические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ОЛЬЦА. ПОДКОЛЬЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
К
Определение подкольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Основные свойства колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ЫЧИСЛЕНИЯ В КОЛЬЦАХ ВЫЧЕТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
В
ОЛЯ. ПОДПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
П
Основные свойства полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ГЛАВА 4. КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
БЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
О
УММИРОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
С
ВОЙСТВА СУММИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
С
ОСТРОЕНИЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ НАД ЦЕЛЫМ КОЛЬЦОМ . . . . . . . . . . . . . . 82
П
Сложение многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Умножение многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ДЕЛИТЕЛЯХ НУЛЯ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
О
ЕРЕХОД К СТАНДАРТНОЙ ЗАПИСИ МНОГОЧЛЕНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
П
Примеры вычислений коэффициентов многочлена . . . . . . . . . . 89
ТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕНА И ЕЕ СВОЙСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
С
ЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА С ОСТАТКОМ НА НЕНУЛЕВОЙ МНОГОЧЛЕН . . . . . . . . . . 92
Д
ХЕМА ГОРНЕРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
С
УНКЦИИ, ЗАДАВАЕМЫЕ МНОГОЧЛЕНАМИ, И ИХ СВОЙСТВА . . . . . . . . . . . . . . . 99
Ф
ЕОРЕМА БЕЗУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Т
РИМЕНЕНИЕ СХЕМЫ ГОРНЕРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
П
ЕОРЕМА О НАИБОЛЬШЕМ ВОЗМОЖНОМ ЧИСЛЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
Т
НАД ЦЕЛЫМ КОЛЬЦОМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ЛГЕБРАИЧЕСКОЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ РАВЕНСТВО МНОГОЧЛЕНОВ . . . . . . . . 105
А
АИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМ . . . . . . . . 107
Н
Свойства наибольших общих делителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
ЛГОРИТМ ЕВКЛИДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
А
ЫРАЖЕНИЕ НОД МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕРЕЗ ИСХОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ . . . . . . . 111
В
ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ МНОГОЧЛЕНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Р
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ . . . . . 115
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Введение
Настоящее издание является продолжением работы автора с тем же названием.
В ней были рассмотрены натуральные числа, математическая индукция и тео-
рия делимости целых чисел, комплексные числа и их применение, а также ре-
шение уравнений третьей и четвертой степени. Отметим, что тема натуральные
числа достаточно полно рассматривается в школьной программе. Натуральные
числа, рассматриваемые в самом начале школьного обучения, относительно
операции сложения не образуют группу, а образуют полугруппу. Невозмож-
ность решения уравнений ܽݔൌܾ для натуральных чисел приводит к отрица-
тельным числам. Введение отрицательных чисел приводит к абелевой группе
по сложению, но также и к введению бинарной операции вычитания на множе-
стве целых чисел. Вычитание, однако, не только не является ассоциативной
операцией, но даже не обладает свойством ассоциативности для степеней, то
есть, вообще говоря,
ሺ
ܽכܽሻכ്ܽܽכሺܽכܽ
ሻ
, в то время как в полугруппе
предполагается ассоциативность бинарной операции.
В том возрасте, когда изучается вычитание целых чисел, у детей еще не утра-
чивается способность к подражанию и действию по указанному образцу. Это
приводит к тому, что, привыкнув (ведь в процессе обучения вырабатывается
навык или привычка у детей) к тому, что при выполнении операции сложения и
умножения можно расставлять скобки как угодно, учащиеся продолжают дей-
ствовать по закону ассоциативности и для операции вычитания. Это является
источником ошибок при решении школьных алгебраических задач. Если учи-
тель вовремя проводит с учащимися внимательное сопоставление операций
сложения и вычитания, не навязывая готовый вывод относительно новой опе-
рации в виде запрета некоторых действий с отрицательными числами, это,
с моей точки зрения, является наиболее действенным в плане борьбы с ошиб-
ками. После появления неассоциативности как определенного рода экзотики по
сравнению с ассоциативностью, нужно еще потратить долгое время на отуче-
ние от старой привычки.
5
Точно так же, как появление делителей нуля в кольцах вычетов, например, не
сразу приводит к тому, что нельзя рассуждать по схеме: если ܾܽൌͲ , то ܽൌͲ
или ܾൌͲ. Поэтому проблема смены привычек работы с математическими объ-
ектами существует также и для студентов.
Еще хуже обстоит дело с операцией деления, которая не является бинарной
операцией, поскольку делить на ноль «нельзя». Надо отметить, что при изуче-
нии темы «Бинарные операции» мы обращаем внимание студентов на то, поче-
му делить на ноль «нельзя». «Операции» деления и вычитания возникают при
решении уравнения ܽכݔൌܾ для ассоциативной операции כ. В случае если
операция כ – это сложение целых чисел, мы имеем дело с группой, решение
имеется всегда и записывается в виде ݔൌሺെܽሻܾൌെܾܽ. В случае умно-
כܾൌ
, если
жения имеем уравнение ܽݔൌܾ, решение имеет похожий вид: ܽ
ିଵ
существует. Проблема «деления на ноль» возникает, когдаܽൌͲǤ В этом
ܽ
ିଵ
случае нам придется решать уравнение Ͳήݔൌܾ, которое может не иметь ре-
шения, если ്ܾͲ, или иметь бесконечное число решений (для случая ܾൌͲ).
Выражаясь алгебраическим языком, операция деления не задана для пары
ܽൌͲǡ്ܾͲ, а для пары ܽൌͲǡܾൌͲ результат не определен однозначно. Отме-
тим, что хотя в первом семестре вопрос о том, почему «нельзя» делить на ноль
обсуждается со студентами, однако только в четвертом семестре, при изучении
темы расширения полей, этот вопрос возвращается, на сей раз вопрос приходит
вновь от самих студентов. Думаю, что сказанного достаточно для того, чтобы
осознать, что неассоциативность осязаемым образом живет не только в теории
алгебр Ли или других разделах высокой науки, но присутствует самым непо-
средственным образом в школьной программе.
Несколько слов о содержании работы по главам. В первой главе обсуждаются
множества. Переход на язык теории множеств в математике произошел доволь-
но давно. Он показал, что этот язык удобен для всех ее областей. Постепенно
этот язык проник и в школу. Надо отметить, что неосознанно переход к множе-
6
ствам происходит в самом начале школьного обучения. Ведь сложить два ябло-
ка и три груши невозможно. В таком виде бинарная операция сложения не за-
дана. Для того чтобы она стала выполнимой, нужно образовать множество
фруктов, на котором уже операция сложения определена. В начале обучения
такие переходы далеко не всем учащимся покажутся нужными или полезными,
а потому легкими.
Вторая глава посвящена бинарным операциям и основным алгебраическим
структурам, для чего необходимо введение понятие прямого произведения
множеств. Затем изучаются группы и их свойства. Надо отметить, что доказа-
тельство свойств степеней для группы ничем не отличается от доказательства
свойств целых степеней действительных чисел, то есть данная тема имеет пря-
мое отношение к школьной программе. В первой части мы уже отмечали, что
не очень хорошо, когда учитель также не умеет их доказывать. Я убеждаю сво-
их студентов в необходимости тщательно выучить эти доказательства для
групп. Надеюсь, что приводимые мною доказательства, с одной стороны, рас-
сматривают все случаи, а с другой стороны, делают это экономно. В этой же
главе рассматриваются также понятия подгруппы, кольца и подкольца, поля и
подполя. Отметим также, что действия со степенями с рациональными и дей-
ствительными показателями относятся больше к математическому анализу.
В третьей главе обсуждаются отношения, в частности отношение эквивалент-
ности, введение которых необходимо для изучения колец вычетов. Они помо-
гают, например, решать задачи: «На какие две или три цифры оканчивается
число ʹ
ଵ
ǫǽ Такого рода задачи, иногда более простые, встречаются среди за-
дач ЕГЭ.
Последняя глава посвящена кольцам многочленов над целым кольцом и над
полем.
7
Глава 1. Элементы теории множеств
Прежде чем обсуждать множества и действия с ними, приведем следующую
цитату из книги Н. Я. Виленкина [1]: «…понятию множества – нельзя дать
строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это сово-
купность, собрание, …, семейство, класс и т. д. Однако все это было бы не ма-
тематическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством
русского языка. Для того чтобы определить понятие, нужно указать, частным
случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества
сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в
математике нет».
Понятие множества
Под множеством понимают совокупность объектов или понятий, которую рас-
сматривают как одно целое. Так, можно говорить о множестве букв на данной
странице или множестве корней определенного уравнения. Можно говорить
также о множестве натуральных чисел, о множестве рациональных или дей-
ствительных чисел.
В самом употреблении слова множество в математике содержится некоторое
«лингвистическое противоречие», поскольку слово множество в обычной речи
связано со словом много. А много – это сколько? Например, в слове многобо-
жие (в противовес единобожию) много – это больше одного.
Другой пример. Один, два, много… Говорят, что именно так считали древние
люди – за «много» скрывался весь бесконечный ряд чисел после числа 2. А в
применении к семьям и сегодня употребляют этот метод счета: когда в семье
больше двух детей, ее называют многодетной.
8
Однако в математике множество может содержать один или два элемента и да-
же ноль элементов. Последнее множество, как все знают со школы, называется
пустым множеством и обозначается символом . Эти множества являются при-
мерами конечных множеств. Множество натуральных чисел бесконечно.
Свойства конечных и бесконечных множеств отличаются. В основном этими
отличиями в программе подготовки школьного учителя занимаются другие ма-
тематические дисциплины. Мы же уделим некоторое внимание алгебре мно-
жеств.
Объект, входящий в данное множество, называют элементом множества. Обо-
значение ܽאܣ читают так: элемент ܽ принадлежит множеству ܣ или объект ܽ
есть элемент множества ܣǤЗапись ܽבܣ читают так: элемент ܽ не принадлежит
множеству ܣ.
Для того чтобы пользоваться понятием множества, необходимо остановиться
на том, как мы будем задавать множества и как определять, равны ли два мно-
жества.
Если множество конечно и число его элементов не слишком велико, можно
пользоваться списком элементов данного множества, заключая их в фигурные
скобки. Например, множество, состоящее из чисел 1, 2, 3, мы будем записывать
ሼ
так:
ͳǢʹǢ͵
ሽ
. Запись
ሼ
ሽ
ʹǢ͵
будем читать так: множество, состоящее из элемен-
тов 2 и 3.
Другие примеры записи множества через его элементы:
ሼ
1.
2.
ǡǥǡܽǡǥ
ܽ
ଵǡܽଶ
ሼ
͵ǡͳǡʹǡ͵ሽൌሼͳǡʹǡ͵ሽǤ
ሽ
;
В таком способе записи множества имеется следующая особенность. Одно и то
же множество можно задавать в виде списка его элементов не одним способом.
ሼ
Например, множество
ሽ
ͳǢʹǢ͵
можно записать еще пятью способами
9
ሼ
ʹǢͳǢ͵ሽ,ሼͳǢ͵Ǣʹ
ሽ, ሼ
ʹǢ͵Ǣͳሽ,ሼ͵ǢʹǢͳሽǡሼ͵ǢͳǢʹ
ሽ
, то есть имеется как бы 5 «списков-
двойников» данного множества.
В случае, когда число элементов множества равно ݊, число списков равно ݊Ǩ.
Для бесконечных множеств и для конечных множеств с большим количеством
элементов задание списком не подходит. В этом случае пользуются свойствами
элементов множества, выделяющими его из большего множества. Например,
множество положительных действительных чисел записывают так:
ା
Թ
ൌሼݔאԹȁݔͲ
ሽ
. Можно также говорить о множестве действительных чи-
сел, являющихся решениями уравнения ݔൌͲ. В этом случае для записи
множества снова используют фигурные скобки, и выглядит это так:
ሼ
ݔאԹȁݔൌͲ
ሽ
.
В случае произвольного свойства ܣ, выделяющего элементы из некоторого
множества ܯ, подмножество, состоящее из тех и только тех элементов, которые
обладает свойством ܣ, записывается так: ൛݉אܯหܣሺ݉ሻȂˋ˔˕ˋːːˑ
.
ൟ
Множество может задаваться в результате процедуры, вычисляющей его эле-
менты, или в результате выполнения операций с другими множествами. Эти
вопросы будут рассмотрены ниже.
Равенство множеств. Подмножества
В случае задания множества конечным списком при наличии двух неодинако-
вых списков возникает задача определения того, задают ли они одно и то же
множество или, по-другому, равны ли множества, ими задаваемые. Конечно,
если элементы множества занумерованы и количество элементов в списках раз-
лично, то нет нужды сверять списки. Ясно, что множества различны.
Представим себе, что мы имеем два разных и довольно длинных списка студен-
тов (расположенных, например, не по алфавиту) и хотим определить, задают ли
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]