Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Доказательство некоторых свойств
ᇣ
ᇣ
ᇣ
ᇣ
1) Обобщенный закон ассоциативности. Индукцией по числу сомножителей
докажем, что произведение с любой расстановкой скобок равно левонорми-
рованному произведению, то есть такому, в котором скобки расставлены
так:
ሺǥሺሺ
ܽ
ଵכܽଶ
ሻ
ሻכǥሻ
כܽ
ଷ
כܽ
.
(Сомножители приписываются по одному справа.)
Действительно, для ݊ൌ͵ наше утверждение примет вид
ܽ
൫
ଵ
כሺܽଶכܽ
ଷ
ሻ
൯
ൌሺሺܽ
ଵכܽଶ
ሻ
ሻ
כܽ
. А это есть закон ассоциативности. Пусть
ଷ
утверждение доказано для случая ݊ൌ݇. Проверим его справедливость для слу-
чая ݊ൌ݇ͳ.
Рассмотрим произвольное произведение с ݇ͳ сомножителем. Такой элемент
можно записать как произведение двух сомножителей:
ሻכሺ
ݔൌሺݔ
כǤǤǤכݔ
ଵ
ݔ
ାଵ
тать, что произведения ݔ
כǤǤǤכݔ
ଵ
ሻ
. По предположению индукции можно счи-
ାଵ
כǤǤǤכݔ и ݔ
ାଵ
כǤǤǤכݔ
левонормированы.
ାଵ
Рассмотрим два случая.
а. В произведении ݔ
ାଵ
כǤǤǤכݔ
имеется один сомножитель, тогда все до-
ାଵ
казано.
б. В произведении ݔ
ାଵ
כǤǤǤכݔ
имеется более одного сомножителя. Тогда,
ାଵ
используя обычный закон ассоциативности ܽכሺܾכܿሻൌሺܽכܾሻכܿ, мо-
жем записать:
൭
ݔ
ଵ
כǥכݔ
ୀ
൱ή൭
ݔ
ାଵ
כǥכݔ
כୀݔ
ถ
ାଵ
ୀ
ൌ
൱
ൌ൭ݔ
ଵ
כǤǤǤכݔ
ୀ
כݔ
כǤǤǤכݔ
ୀ
൱
ାଵ
כݔ
ถ
ାଵ
ୀ
.
61
Записав произведение ݔଵכǤǤǤכݔ
ᇣ
ᇣ
ୀ
כݔ
ାଵ
כǤǤǤכݔ
левонормированным образом, а
ୀ
это возможно по предположению индукции, получим требуемое представление.
2) Свойство 3в. Покажем, что
рить, что если ן
полняться равенства ן
ିଵ
есть обратный элемент для элемента ן, то должны вы-
ିଵ
Аналогично проверяется, что
ିଵൌ݄ିଵכ݃ିଵ
ሺ
݃כ݄
ሻ
.
ିଵൌ݄ିଵכ݃ିଵ
ሺ
ሻ
݃כ݄
. Для этого нужно прове-
כןൌ݄ିଵכሺ݃ିଵכ݃ሻכ݄ ൌ݁.
ሺ
݃כ݄ሻכሺ݄
ିଵכ݃ିଵ
ሻ
ൌ݁. Поэтому
3) Свойство 4. Заметим, что если ܽכݔൌܾ, то умножив обе части равенства на
элемент ܽ
ିଵ
ܽ
ния. Подставив ݔൌܽ
ܽכሺܽ
4) Свойство 6а. Проверим, что
ିଵ
, который существует в любой группе, получим
כܽכݔൌܽିଵכܾ֞ݔൌܽିଵכܾ, что доказывает единственность реше-
ିଵ
כܾ в уравнениеܽכݔൌܾ, получим верное равенство
ିଵ
כܾሻൌܾ, поэтому ݔൌܽିଵכܾ является решением и все доказано.
ିଵሻൌ݃ି
ሺ
݃
ିଵ
݃
ିଵሻ
ሺ
ൌ
݃
ቐ
ሺ
݃
ൌ
כǥכ݃ିଵሺ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇Ͳǡ
ିଵሻିଵ
כǥכሺ݃
ିଵ
כǥכ݃ିଵሺ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇ͲǢ
݃
ቐ
ିଵሻିଵ
݁ǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǢ
. По определению степени
݁ǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǡ
ሺെ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
݃כǥכ݃ሺെ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
С другой стороны,
ିଵ
݃
ି
ൌ
݃
כǥכ݃ିଵሺെሺെ݇ሻ˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇ͲǢ
ቐ
݁ǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǢ
݃כǥכ݃ሺെ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
ିଵ
݃
כǥכ݃ିଵሺ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇ͲǢ
ൌ
ቐ
݁ǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǢ
݃כǥכ݃ሺെ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
Сравнив все строчки, видим, что
Проверьте, что ݃
62
ି
ൌሺ݃
ሻିଵ
.
ିଵሻൌ݃ି
ሺ
݃
.
5) Свойство 6б: ݃כ݃ൌ݃
ᇣ
ᇣ
ᇣ
ା
.
Если хотя бы одно из чисел ݇ǡ݈ нулевое, то свойство верно.
Если ݈݇ൌͲ, то ݇ൌെ݈ и ݃
כ݃ൌ݃ା
֞ ݃ିכ݃ൌ݃Ǥ
Последнее равенство есть следствие свойства 6а.
Если ݈݇Ͳи числа ݇ǡ݈ ненулевые, то возможны следующие случаи:
а) ݇ǡ݈Ͳ,
б) ݈൏Ͳ,
в) ݇൏Ͳ.
В случае а) получаем
כ݃ൌ݃ା
݃
֞ ݃כǥכ݃
˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌ
כ ݃כǥכ݃
˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌ
ൌ ݃כǥכ݃
ା˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌ
.
Последнее равенство очевидно верно.
В случае б) можем записать ݇ൌሺ݈݇ሻሺെ݈
ሺ
݈݇ሻሺെ݈ሻ двух положительных слагаемых ݈݇ и ൫Ȃ݈
ሻ
, то есть имеется сумма
.
൯
Поэтому согласно доказанному случаю а) можем записать:
ሺ
ൌ݃
݃
כ݃ൌ݃ାכ݃ିכ݃ିൌ݃ା
݃
ାሻାሺି
ሻ
ൌ݃
ାכ݃ି
и тогда
.
Случай в) доказывается аналогично случаю б).
Остается случай ݈݇൏Ͳ. Тогда Ȃሺ݈݇
ሻ
െሺ݈݇ሻൌሺെ݈ሻሺെ݇ሻ֜݃
ିሺା
ሻ
> 0, и по случаю б) получим
ൌ݃ିכ݃
ି
.
Перейдем к обратным элементам:
ାൌ݃כ݃
֞݃
ା
݃
ൌሺ݃ିכ݃
.
ିሻିଵ
֞݃
ା
ൌሺ݃
ିሻିଵ
כሺ݃
ିሻିଵ
Задача. Оставшиеся свойства проверьте самостоятельно.
Заметим, что в аддитивной форме определение и свойства выглядят так:
݃ڮ݃ሺ݇˔ˎ˃ˆ˃ˈˏ˞˘ሻǡ ˈ˔ˎˋ݇ͲǢ
݇ή݃ൌ
൝
ሺെ݃ሻ
ڮሺെ݃ሻሺെ݇˔ˎ˃ˆ˃ˈˏ˞˘ሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
Ͳǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǢ
63
Свойства степеней тогда запишутся так:
а)
ሺെ݇ሻ
ή݃ൌ݇ήሺെ݃ሻൌെሺ݇ή݃
ሻ
,
б) ݇ή݈݃ή݃ൌሺ݈݇ሻή݃,
в) ݇ή݈݃ή݃ൌ݈ή݃݇ή݃,
г) ݇ήሺ݈ή݃ሻൌሺ݇ή݈ሻή݃.
Задача. Движением называется отображение плоскости (пространства) в себя,
сохраняющее расстояние между точками. Докажите, что множество всех дви-
жений образует группу относительно операции композиции и перехода к об-
ратному отображению.
Симметрические группы
Важнейшим примером неабелевых групп являются симметрические группы.
Биекции множества ܯൌሼͳǡʹǡǥǡ݊
композиции биекций. Ее обозначают ܵ
ሽ
образуют группу относительно операции
и называют группой подстановок или
симметрической группой. Элементы группы называют перестановками или
подстановками.
Их записывают в виде таблицы с двумя строками и ݊ столбцами:
ߪאܵ
֜ߪൌ
ͳ ʹ
ቀ
ߪሺͳሻߪሺʹሻڮߪሺ݊
ڮ ݊
.
ቁ
ሻ
Такую запись будем называть канонической записью перестановки ߪ.
Задача 1. Вычислите количество элементов в группе ܵ
и покажите, что оно
равно ݊Ǩ.
Кроме канонической формы записи имеется произвольная форма записи. Она
получается, если столбцы этой подстановки переставить местами. Перестановка
столбцов соответствует применению произвольной подстановки ߬ группы ܵ
Произвольная запись имеет вид
64
.
ߪൌ
߬ሺͳሻ ߬ሺʹ
ቆ
ߪ൫߬ሺͳ
ሻ
൯ߪ൫
߬ሺʹ
ሻ
ሻ
൯
ڮ ߬ሺ݊ሻ
ڮߪ൫߬ሺ݊
.
ቇ
ሻ
൯
ିଵ
.
ቁ
и ߬
ͳʹ͵
ቀ
͵ͳʹ
ͳʹ͵
ቀ
͵ͳʹ
ିଵ
.
и одну из произ-
ቁ
и
ቁ
Например, при ݊ൌ͵ имеем каноническую запись
вольных записей этой же подстановки
Задача 2. Выпишите все элементы группы ܵ
͵ʹͳ
ቀ
ʹͳ͵
.
ଷ
Задача 3. Вычислите произведения подстановок ߪൌ
ͳʹ͵
߬ൌ
ቀ
ͳ͵ʹ
и убедитесь в том, что ߪ്߬߬ߪ.
ቁ
Задача 4. Вычислите (обратные) подстановки ߪ
Кольца. Подкольца
Определение. Множество ܯ, замкнутое относительно двух бинарных опера-
ций, называемых обычно операциями сложения и умножения, называется
кольцом, если
1) относительно сложения это абелева группа;
2) операция умножения ассоциативна;
3) операция умножения двояко дистрибутивна относительно сложения, то
есть выполняются тождества
ܽሺܾܿሻൌܾܾܽܿǡሺܾܽሻܿൌܽܿܽܿ.
Если операция умножения коммутативна, то и кольцо называют коммута-
тивным. Если у операции умножения есть единичный элемент, то кольцо
называется кольцом с единицей.
Пример (вырожденное кольцо). Множество из одного элемента 0, сложение и
умножение действуют одинаково:
65
ͲͲൌͲǡͲήͲൌͲ. В этом кольце есть нейтральные элементы относительно
сложения и умножения, то есть 0 и 1, но при этом оказывается, что ноль равен
единице. Если в кольце ноль и единица не совпадают, то это эквивалентно то-
му, что в кольце больше одного элемента. (Проверьте это!)
Задача. Для следующих операций, заданных на множестве Թ, докажите, что
а) операция ݉ܽݔሺܽǡܾሻ дистрибутивна относительно операции ݉݅݊ሺܽǡܾ
ሻ
б) операция ݉݅݊ሺܽǡܾሻ дистрибутивна относительно операции ݉ܽݔሺܽǡܾሻǢ
в) операция ݉݅݊ሺܽǡܾ
ሻ
дистрибутивна относительно себя;
г) операция ܽלܾൌܾܽെܾܽ дистрибутивна относительно себя.
Приведем решение для задания пункта а. Нужно проверить, что операция כ
дистрибутивна относительно операции ל, то есть ܽכሺܾלܿሻൌሺܽכܾሻלሺܽכܿ
где ܽכܾൌ݉ܽݔሺܽǡܾሻ, ܽלܾൌ݉݅݊ሺܽǡܾ
ሺכሻ
݉ܽݔ
ܽǡ݉݅݊ሺܾǡܿ
൫
Поскольку ݉ܽݔሺܽǡܾሻൌቂ
ሻ
ൌ݉݅݊൫݉ܽݔሺܽǡܾሻǡ݉ܽݔሺܽǡܿ
൯
ܽ
и ݉ܽݔሺܽǡܿሻൌቂ
ܾ
ሻ
. Таким образом, нужно проверить, что
ሻ
.
൯
ܽ
,
ܿ
возможны только следующие четыре случая:
݉ܽݔሺܽǡܾሻൌܽ
ͳሻ
൜
݉ܽݔሺܽǡܿሻൌܽ
݉ܽݔሺܽǡܾሻൌܾ
3ሻ
൜
݉ܽݔሺܽǡܿሻൌܽ
Для случая 1) имеем
݉݅݊൫݉ܽݔሺܽǡܾሻǡ݉ܽݔሺܽǡܿ
݉ܽݔሺܽǡܾሻൌܽ
ʹሻ
൜
݉ܽݔሺܽǡܿሻൌܿ
݉ܽݔሺܽǡܾሻൌܾ
Ͷሻ
൜
ܾܽ
ቄ
ܿܽ
,
݉ܽݔሺܽǡܿሻൌܿ
.
. Тогда ݉ܽݔ൫ܽǡ݉݅݊ሺܾǡܿ
ሻ
ൌ݉݅݊ሺܽǡܽሻൌܽǤ Равенство ሺכ
൯
ሻ
൯
ൌܽ и
ሻ
установлено.
;
ሻ
,
Для случая 2) имеем
݉ܽݔ൫ܽǡ݉݅݊ሺܾǡܿ
ܾܽ
ቄ
ܽܿ
ሻ
ൌ݉ܽݔሺܽǡܾሻൌܽ,
൯
݉݅݊൫݉ܽݔሺܽǡܾሻǡ݉ܽݔሺܽǡܿ
66
или ܾܽܿ. Тогда
ሻ
ൌ݉݅݊ሺܽǡܿሻൌܽ.
൯
Для случая 3) имеем
ܾܽ
ܾ֞ܿܽ. Тогда
ቄ
ܿܽ
݉ܽݔ൫ܽǡ݉݅݊ሺܾǡܿ
݉݅݊൫݉ܽݔሺܽǡܾሻǡ݉ܽݔሺܽǡܿ
Для случая 4) имеем
݉݅݊൫݉ܽݔሺܽǡܾሻǡ݉ܽݔሺܽǡܿ
ሻ
ൌ݉ܽݔሺܽǡܿሻൌܽ,
൯
ሻ
ൌ݉݅݊ሺܾǡܽሻൌܽ.
൯
ܾܽ
. Тогда ݉ܽݔ൫ܽǡ݉݅݊ሺܾǡܿ
ቄ
ܽܿ
ሻ
ൌ݉݅݊ሺܾǡܿ
൯
ሻ
ൌ݉݅݊ሺܾǡܿ
൯
ሻ
.
ሻ
,
Таким образом, в любом из возможных случаев левая и правая части равенства
ሺכሻ
одинаковы.
Задача. Покажите, что в кольце с единицей коммутативность сложения
вытекает из остальных аксиом кольца.
Решение. Раскроем скобки в выражении
ሺ
ܾܽሻሺ݁݁ሻൌ
ሺ
ܾܽሻ݁ሺܾܽሻ݁ൌܾܾܽܽ.
ሺ
ܾܽሻሺ݁݁
ሻ
двумя способами:
С другой стороны,
ሺ
ܾܽሻሺ݁݁ሻൌܽሺ݁݁ሻܾሺ݁݁ሻൌܾܾܽܽ, то есть
ܾܾܽܽൌܾܾܽܽǤ Значит, ܾܽൌܾܽ.
Определение подкольца
Пусть ܣ – кольцо, ܤ – его непустое подмножество.
Множество ܤ – подкольцо кольца ܣ, если оно является
1) подгруппой относительно сложения;
2) замкнуто относительно умножения.
Критерий подкольца. Непустое подмножество кольца является подкольцом
тогда и только тогда, когда
1) разность и
67
2) произведение
любых элементов подмножества принадлежит этому подмножеству.
Примеры колец.
1. Множество Ժ целых чисел относительно обычных операций умножения и
сложения является, как нетрудно проверить, кольцом.
2. Множество всех четных чисел является кольцом. Это подкольцо кольца
целых чисел.
Основные свойства колец
1. Справедливы все групповые свойства для операции сложения:
а) в кольце есть единственный 0;
б) у каждого элемента имеется единственный противоположный
элемент;
в) сумма любого числа слагаемых определена однозначно (обобщен-
ный закон ассоциативности сложения);
г) െሺെܽሻൌܽ для любого элемента ܽאܣ, െሺܾܽሻൌെܽሺെܾ
ሻ
;
д) для любых элементов ܽǡܾאܣ существует единственное решение
уравнения ܽݔൌܾ. Оно обозначается ܾെܽ и очевидно равно
ܾሺെܽ
ሻ
.
2. Умножение на нулевой элемент:
для любых элементов ܽǡܾǡܿאܣ справедливы равенства
ܽήͲൌͲ иͲήܽൌͲ
.
3. Правило знаков:
ሺെܽሻ
ήܾൌെሺܽήܾሻǡܽήሺെܾሻൌെሺܽήܾሻǡሺെܽሻήሺെܾሻൌܾܽ.
4. Дистрибутивность операции умножения относительно вычитания:
ܿሺܽെܾሻൌܿܽെܾܿ,ሺܽെܾሻܿൌܽܿെܾܿ.
5. В кольце произведение конечного числа элементов определено однозначно
(обобщенный закон ассоциативности для умножения).
68
6. Законы дистрибутивности справедливы для любого числа слагаемых.
Доказательство свойства 1.
ͲͲൌͲ֜ሺͲͲሻήܽൌͲήܽ֜ͲήܽͲήܽൌͲήܽ֜ͲήܽൌͲ.
Доказательство свойства 2.
െܽܽൌͲ֜ሺെܽܽሻήܾൌͲήܾ֜ሺെܽሻήܾܽήܾൌͲǤ
Следовательно, элемент
ܽήܾ, то есть ሺെܽሻήܾൌെሺܾܽ
ሺെܽሻ
ήܾ есть элемент, противоположный к элементу
ሻ
.
Еще одним интересным примером колец являются кольца вычетов.
Кольца вычетов
Пусть ݊ – натуральное число, большее 1. Зададим следующее отношение
сравнимости по модулю ݊ на множестве целых чисел.
Два целых числа ܽ и ܾ сравнимы по модулю݊, если при делении на число ݊
они дают одинаковые остатки.
Задача. Проверьте, что указанное отношение является отношением эквива-
лентности.
Задача. Покажите, что числа ܽ и ܾ сравнимы по модулю݊
тогда и только тогда,
когда ܽൌܾ݊݇ǡ݇אԺ.
Как и всякое отношение эквивалентности, отношение сравнимости задает раз-
биение множества целых чисел на классы эквивалентности. В частности, класс
эквивалентности ܥ
элемента ܽאԺ состоит из целых чисел, имеющих такой же
остаток при делении на число ݊, что и число ܽ.
69
Классы эквивалентности данного отношения эквивалентности называют клас-
сами вычетов по модулю ݊. Класс эквивалентности ܥ
ܽ݊݇ǡ݇אԺ. По-другому, ܥ
ൌܽ݊Ժ.
состоит из чисел вида
Замечание. Класс эквивалентности ܥ
ሺ
ܽെ݊ሻ݊Ժ и т.д.
можно также записать как
ሺ
ܽ݊ሻ݊Ժ,
Обозначения.
x Классы эквивалентности ܥ
элемента ܽ обозначают ሾܽ
ሿ
, если рассматри-
вают вычеты по разным модулям, или ܽത, если рассматривают классы вы-
четов при одном и том же ݊.
x Отношение сравнимости принято записывать так: ܽؠܾ݉݀݊.
x Множество классов вычетов (или фактормножество отношения сравни-
мости по модулю ݊) обозначают Ժ
На фактормножестве Ժ
можно задать операции сложения и умножения клас-
.
сов следующим образом.
Сложение классов вычетов: ܽ
ܾൌܾܽ. Умножение классов:ܽήܾൌܽήܾ.
Данные равенства словами можно сформулировать так:
x сумма двух чисел имеет такой же остаток, как и сумма остатков;
x произведение двух чисел имеет такой же остаток, как и произведение
остатков.
Поскольку порождающий элемент класса вычетов определяется неоднозначно,
нужно проверить, что результат операций сложения и умножения классов вы-
четов определен однозначно, то есть не зависит от выбора представителя этого
класса.
ᇲ
ൌܥ
Пусть ܥ
и ܥൌܥ
Нужно проверить, что ܾܽ
70
ᇲ
.
ൌܽᇱܾᇱ и ܾܽൌܽᇱܾ
ᇱ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]