Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
они одно и то же множество студентов. В этом случае нам придется «сверить»
списки, а именно каждого студента из первого списка нужно найти во втором
списке. Если это так, то может оказаться, что во втором списке окажутся отме-
ченными все студенты. Тогда мы можем говорить об одинаковости множества
студентов этих списков. В случае, когда число элементов списка велико, воз-
можны сбои (например, из-за усталости проверяющих или утомительности
процедуры проверки) и тогда неплохо удостовериться в том, все ли студенты
второго списка присутствуют в первом списке. Если для конечных множеств
допустимо ограничиться первой половиной описанной процедуры, то для бес-
конечных множеств необходимо выполнять обе части проверки.
Определение. Два множества называются равными, когда они содержат одни
и те же элементы.
По-другому, множества ܣ и ܤ равны в том и только том случае, когда
ݔאܣ֞ݔאܤ.
Определение. Множество ܤ называется подмножеством множества ܣ, если
любой элемент множества ܤ является элементом множества ܣ.
Обозначение: ܣكܤ. Если, кроме того, некоторый элемент множества ܤ не яв-
ляется элементом множества ܣ, то пишут так: ܣؿܤ.
Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента. Обо-
значается символом . Пустое множество является подмножеством любого
множества. Можно писать, например, كሼͳǡʹǡ͵
Пустое множество иногда является элементом множества, например, אሼ
ሽ
.
ሽ
Неверная запись: אሼͳǡʹǡ͵ሽ. Верная запись: בሼͳǡʹǡ͵ሽǤ
11
.
Свойства отношений , ,
1. Отношение ك обладает свойствами
x рефлексивности, то есть условие ܣكܣ верно для любого
множества ܣ;
ܣكܤ
x антисимметричности, то есть если
ܣكܤ
x транзитивности, то есть
2. Отношение ؿ транзитивно, но
x не симметрично, то есть ܣؿܤ֙ܤؿܣǢ
x не рефлексивно, то есть не всегда верно, что ܣؿܣ.
Более того, это всегда неверно.
3. Отношение א не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно,
поскольку, например, (ͳאԺǡԺאሼԺሽ, но ͳבሼԺ
Объединение, пересечение и разность множеств
ቄ
ܤكܥ
֜ܣكܥǤ
ቄ
ܤكܣ
, то ܣൌܤ.
ሽ
).
Определим операции объединения и пересечения множеств. Этими операция-
ми часто пользуются в школьной программе.
Напомним, что объединением
все элементы исходных множеств и только их. Для двух множеств ܣ и
единение записывают так: ܣڂܤ. Объединение по-английски есть union. Первая
буква этого слова входит в обозначение операции объединения.
Пересечением множеств называется множество, каждый элемент которого
принадлежит каждому из пересекаемых множеств.
Пересечение множеств ܣ и ܤ записывают так:ܣ ځܤ.
12
множеств называется множество, содержащее
ܤ объ-
Основные свойства операций объединения и пересечения
ܣܤ
ܤܣ
ܣ
ܤ
ܣתܤ
1. Идемпотентность объединения и пересечения:
ܣڂܣൌܣ; ܣځܣൌܣ.
2. Коммутативность объединения и пересечения:
ܣ ڂܤൌܤڂܣ; ܣ ځܤൌܤځܣ.
3. Ассоциативность объединения и пересечения:
ሺ
ܣڂܤ
ሻ
ܥൌܣڂሺܤڂܥ
ڂ
ሻ; ሺ
ܣځܤ
ሻ
ܥൌܣځሺܤځܥሻǤ
ځ
4. Дистрибутивность объединения относительно пересечения и пересечения
относительно объединения:
ሺ
ܣڂܤ
ሻ
ܥൌሺܣځܥ
ځ
ሻ
ڂ
ሺܤځܥ
ሻ, ሺ
ሻ
ܤ
ڂ
ܥൌሺܣڂܥ
ܣ
ځ
ሻ
ځ
ሺܤڂܥ
ሻ
.
Разность множеств и ее свойства
Пусть ܣ и ܤ – произвольные множества. Разностью множеств ܣ и ܤ называется
множество, состоящее из тех и только тех элементов множества ܣ, которые не
являются элементами множества ܤ. Разность множеств ܣ и ܤ обозначается
так:ܣךܤ.
Для графического изображения множеств и их свойств используют так называ-
емые диаграммы Эйлера – Венна. Множества при этом изображают в виде кру-
га, а элементы множества изображают точками внутри круга. Изобразим гра-
фически разность множеств:
13
Приведем пример задачи, которую можно решить с помощью операций с мно-
жествами.
Задача. Известно, что 70 из 100 дипломатов знают испанский язык, 75 – фран-
цузский, 80 – немецкий язык и 85 – английский язык. Каково минимальное чис-
ло дипломатов, знающих одновременно все четыре языка?
Пусть ܣ – множество дипломатов, знающих испанский язык, ܤ– знающих
французский язык, ܥ– знающих немецкий язык, ܦ– знающих английский
язык. Требуется оценить число элементов множества ܲൌ ܣתܤתܥתܦ. Мно-
жество всех дипломатов состоит из множества ܲൌܣתܤתܥתܦ, состоящего
из тех дипломатов, которые знают все четыре языка, и тех, кто не знает всех че-
тырех языков, то есть не знает хотя бы один из четырех языков. Человек не зна-
ет всех четырех языков, если он не знает
x испанский язык (обозначим ихܣ
x французский язык (обозначим ихܤ
x немецкий язык (обозначим ихܥ
x английский язык (обозначим ихܦ
По условию ܣ
состоит из 30 человек, ܤ – из 25 человек, ܥ – из 20 человек, ܦ –
), или
), или
), или
).
из 15 человек. Множество всех дипломатов есть множество
ܲܣܤܥܦ, в котором 100 элементов. Объединение ܣܤܥܦ не
пересекается с множеством ܲ. Если бы множества ܣ
объединениеܣ
ܤܥܦ содержало бы ͵ͲʹͷʹͲͳͷൌͻͲ элементов.
ǡܤǡܥǡܦ не пересекались, то
Однако эти множества могут пересекаться, то есть может оказаться, что дипло-
мат не знает, например, двух языков, испанского и французского, тогда
תܤ്. В этом случае число элементов множества ܣܤܥܦ будет
ܣ
меньше 90. Поэтому число элементов множества ܲ не меньше, чем
ͳͲͲെͻͲൌͳͲ.
Ответ: Не менее 10 дипломатов знают все 4 языка.
14
Свойства разности
1. Вычитание множества из самого себя дает пустое множество:
ܣךܣൌ.
2. Свойства разности, связанные с пустым множеством:
x ܣךൌܣǢ
x разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда
уменьшаемое содержится в вычитаемом:ܣךܤൌ֞ܣكܤ.
3. Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:ܣךܤكܣ.
4. ܣሺܤךܣሻൌܣܤ.
Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной
операцией для объединения (которое иногда называют также суммой
множеств).
5. ܣךܤൌܣךሺܣתܤ
ሻ
.
6. Разность не пересекается с вычитаемым:ܣתሺܤךܣሻൌ.
7. Еслиܣكܤ, то для любого множества ܥ выполняется ሺܥךܤሻكሺܥךܣ
ሻ
Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если ܾܽ, то для
любого ܿ справедливо неравенство: ܿെܾܿെܽ (вычтем меньше, полу-
чим больше).
.
Универсальное множество. Дополнение
Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие мно-
жества, которые являются подмножествами некоторого фиксированного мно-
жества, называемого универсальным множеством. Например, в геометрии рас-
сматривают в качестве универсального множества множество точек простран-
ства или плоскости. Универсальное множество обозначают символом ܷ. Раз-
ность универсального
множества и множества ܣ
множеству ܣ и обозначается ܣ
. Итак, по определению ܣൌܷܣ.
называется дополнением к
15
1.
ൌܷǡܷൌ .
2. ܣ ڂܷൌܷ; ܣځܷൌܣ.
3.
ܣ
ൌܣ. Закон инволюции.
൫
൯
Свойства дополнения
4. Законы де Моргана: ܣڂܤ
ൌܣ
, ܣځܤൌܣ
ܤ
ځ
Ǥ
ܤ
ڂ
Решение задач по теории множеств
Задача 1. Верно ли, что
а. א. Ответ: нет.
ሼ
ͳǡʹሽא
ሽ
. Ответ: да.
ሼ
ሽ
ͳǡʹ
. Ответ: нет.
൛
ൟ
ሼ
ͳǡʹ
൛
ሽ
. Ответ: да.
ൟ
б. אሼ
в. ͳא
г.
Задача 2. Приведите примеры множеств ܣ, ܤ,ܥ, для которых истинны выска-
зывания:
а. ܣאܤǡܤאܥǡܣבܥ.
б. ܣאܤǡܤאܥǡܣאܥ.
Решение.
а. ܣൌሼͳሽǡܤൌ
ሼͳሽ
ǡʹൟǡܥൌቄͳǡ
൛
൛
ሼͳሽ
ǡʹ
.
ൟቅ
б. ܣൌሼͳሽǡܤൌ
൛
ሼͳሽ
ǡʹൟǡܥൌ
ቄ
ሼͳሽ
ሼͳሽ
ǡ
ǡʹ
൛
.
ൟቅ
Задача 3. Вставьте между множествами символ א илиك так, чтобы получились
истинные высказывания.
16
а.
ሼͳሽ
и
ͳǡሼͳǡʹ
൛
ሽ
. Ответ: ك.
ൟ
б.
в.
ሼ
ሼ
ͳǡʹ
ͳǡʹ
ሽ
и
൛
ሽ
и
൛
ͳǡʹǡሼͳሽǡሼʹ
ͳǡʹǡሼͳǡʹ
ሽ
ሽ
. Ответ: ك.
ൟ
. Ответ: אǡك.
ൟ
г. и ൛ͳǡʹǡሼͳሽǡሼ
ሽ
Ответ: ك.
ൟ
(Пустое множество является подмножеством любого множества).
д. и
ሼሽ
. Ответ: ك.
൛
ൟ
е. и ሼሽ. Ответ: אǡك.
Упражнения
1. Является ли верным утверждение
ȁ
ܽאሼݔ
ݔെ˕˖˒ˑ˖ˆˑˎ˟ː˞ˌ˕˓ˈ˖ˆˑˎ˟ːˋˍሽ, где ܽ – треугольник со сторонами
12, 15, 20.
2. Докажите справедливость основных свойств операций א,ك и ؿ.
3. Докажите, что следующие три условия выполняются или не выполняются
одновременно
а. ܣځܤൌܣ.
б. ܣكܤ.
в. ܣڂܤൌܤ.
4. Докажите справедливость свойств разности множеств.
5. Докажите справедливость свойств дополнения.
6. Докажите следующие тождества
а. ܣܤൌܣځܤ
б. ܣڂሺܤܥሻൌሺܣڂܤ
ሺ
ܣܤ
ሻ
в.
г. ܣځܤൌܣځ൫ܣ
ሺ
д.
ܣڂܤ
.
ሺܣځܤሻൌܣ.
ڂ
ሻ
൫ܣڂܤ
ځ
ڂ
ܤ
൯
ሻ
.
൯
ൌܣ.
൫ܣڂܥ
ځ
.
൯
7. Пусть ܷ – универсальное множество, ܣكܷ. Найдите множество ܺ, удовле-
творяющее следующим условиям:
а. ܣܺൌܣ и ܣڂܺൌܷ.
17
Решение. Поскольку ܣܺൌܣ, то ܺكܣǤ Из второго условия ܣڂܺൌܷ, поэтому ܣҧكܺ. Значит, ܺൌܣ
б. ܣځܺൌ и ܣڂܺൌܷ. Ответ: ܺൌܣ
в. ܣሺܣܺሻൌ. Ответ: ܺكܣ
8. Докажите, что
ሺ
ܣڂܤ
.
.
ሻ
ܥൌܣڂሺܤځܥሻฺܣكܥ.
ځ
.
Решение. (От противного.) Предположим, чтоܣمܥ.
Тогда найдется такой элемент ܽאܣ, что ܽבܥ. В этом случае ܽבሺܣڂܤ
ሺ
и ܽאܣ
ڂ
ሻ
ܤځܥ
, что противоречит тому, что
9. Докажите, что множество, состоящее из ݊ элементов, содержит ʹ
ሺ
ܣڂܤ
ሻ
ځ
ܥൌܣ
ڂ
ሺ
ܤځܥ
ሻ
ܥ
ځ
ሻ
.
различных
подмножеств.
10. Докажите, что если ݉൏݊, то множество, состоящее из ݊ элементов, имеет
Ǩ
ǨሺିሻǨ
различных ݊-элементных подмножеств.
(Напомним, что ݊Ǩൌͳήʹήǥή݊.)
11. Пусть ܣ и ܤ – конечные множества и ݊ሺܯሻ – число элементов множества ܯ.
Докажите, что ݊ሺܣڂܤሻൌ݊ሺܣሻ݊ሺܤሻെ݊ሺܣځܤ
ሻ
.
12. Перечислите элементы множества всех чисел от 0 до 30, которые можно
представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Решение. Числа, удовлетворяющие условию задачи, можно представить в виде
ଶ݊ଶ
݉
ǡ݉݊ǡ݉ǡ݊אԺǤ
Ясно, что отрицательные числа ݉ǡ݊ можно не рассматривать.
x ݉ൌͲ֜݊ൌͲሺ݉݊ሻ. Тогда имеем ͲͲ.
Получаем число 0.
x ݉ൌͳ֜݊ൌͲǡͳǤ Получаем числа 1, 2.
x ݉ൌʹ֜݊ൌͲǡͳǡʹ. Получаем числа 4, 5, 8.
x ݉ൌ͵֜݊ൌͲǡͳǡʹǡ͵. Получаем числа 9, 10, 13, 18.
x ݉ൌͶ֜݊ൌͲǡͳǡʹǡ͵. Получаем числа 16, 17, 20, 25.
18
x ݉ൌͷ֜݊ൌͲǡͳǡʹ. Получаем числа 25, 26, 29
(25 уже встречалось ранее).
Ответ: Всего имеется 16 чисел.
Используя диаграммы Эйлера – Венна, решите следующую задачу.
13. Каждый из 100 дипломатов знает хотя бы один из трех языков: испанский,
французский или немецкий. При этом 10 дипломатов знают только испанский,
15 – только французский и 20 – только немецкий язык. Кроме того, ровно два
языка, испанский и французский, знают 6 человек, испанский и немецкий зна-
ют 7 человек, французский и немецкий знают 8 человек. Сколько дипломатов
знает одновременно все три языка? Сколько дипломатов знает немецкий язык?
19
Глава 2. Отношения
Элементы двух или нескольких множеств могут быть связаны друг с другом
тем или иным образом. Например, две прямые в пространстве могут быть па-
раллельными, перпендикулярными, скрещивающимися. Две прямые могут
быть перпендикулярны одной и той же плоскости. Алгебраические выражения
могут быть тождественно равными. Для описания подобного рода связей нам
понадобятся понятия прямого произведения и отношения.
Прямое произведение множеств
Определение. Прямым произведением двух множеств ܣ и ܤ называется мно-
жество всевозможных упорядоченных пар вида
ሺ
ܽǡܾሻ, где ܽאܣ, ܾאܤ. Прямое
произведение обозначается так: ܣൈܤ.
Замечание. Слова «множество упорядоченных пар» означают, что мы считаем,
ሺ
ሻ
например, что пары
Отметим, что пары
гда, когда ܽൌܽ
и ܾൌܾ
ଵ
ሺ
ܽǡܾ
ܽǡܾ
ሺ
и
ܾǡܽሻ различны, если ്ܾܽ.
ሻ
ሺ
ሻ
ܽ
мы считаем равными тогда и только то-
ଵǡܾଵ
ଵ
и
.
ଶ
Пример 1. Прямое произведение множества Թ на себя обозначается Թ
. Оно
отождествляется с множеством координат всех точек плоскости.
Приведем пример множества, не представимого в виде прямого произведения.
ଶ
Пример 2. Рассмотрим множество ܯ точек на плоскости Թ
ଶݕଶ
нением ݔ
ൌͳ. Покажем, что множество ܯ не может быть представлено в
, задаваемое урав-
виде прямого произведения множеств ܣكԹ и ܤكԹǤ Предположим, напротив,
что множество ܯ может быть представлено в виде прямого произведения множеств ܣكԹ и ܤكԹǡ то есть справедливо равенство ܯൌܣൈܤ.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]