Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Замечание 2. У отображения может существовать много односторонних обрат-
ных отображений. Например, для отображения ןǣԳ՜Գ, ןሺ݊ሻൌ݊ͳ все
отображения ߚ
ǣԳ՜Գ, для которых
ߚሺ݊ሻൌ݊െͳǡˈ˔ˎˋ്݊ͳ
൜
ߚሺͳሻൌ݇
,
являются левыми обратными отображениями для отображения ן.
Задача. Приведите пример отображения, для которого существует не одно пра-
вое обратное отображение.
Задача. Пусть ߚǣܤ՜ܥ,ߛǣܤ՜ܥǤ
1. Для каких отображений ןǣܥ՜ܦ можно выполнять сокращение на него, ес-
ли оно стоит справа, то есть ןלߚൌןלߛ֜ߚൌߛ для любых отображений
ߚǡߛǤ
2. Для каких отображений ןǣܣ՜ܤ можно выполнять сокращение на него, ес-
ли оно стоит справа, то есть ߚלןൌߛלן֜ߚൌߛ для любых отображений
ߚǡߛ.
Решение. Рассмотрим первый случай. Если ן является инъекцией на ܥ, то со-
кращать, очевидно, можно. Если ן не является инъекцией на ܥ, то сокращать
нельзя. Приведите пример.
Ответ для первого случая: отображение ן− инъективно.
Для второго случая, если
ןявляется
сюръекцией, то из равенства
ߚלןൌߛלןкомпозиций следует равенство ߚൌߛ. Действительно, для любого
элемента ܽאܣ имеем
ሺߚלןሻሺܽሻൌሺߛלןሻሺܽሻ֜ߚ൫ןሺܽ
ሻ
൯ൌߛ൫
тивности отображения ן любой элемент ܾאܤ представим в виде ܾൌןሺܽ
тогда равенство ߚሺܾሻൌߛሺܾሻ можно записать в виде ߚ൫ןሺܽ
ሻ
ןሺܽ
. Поскольку в силу сюръек-
൯
ሻ
൯ൌߛ൫
ןሺܽ
ሻ
, ко-
൯
ሻ
,
торое верно.
Если ןне является сюръекцией, то композиции могут быть равными, а ߚˋߛ
51
могут оказаться не равными отображениями. Например, рассмотрим отображе-
ния ןሺ݊ሻൌ݊ͳ и ߚ
ሺͳሻ
ߚ
ൌ݇אԳ . Тогда ߚ
ǣԳ՜Գ, для которых ߚ
לןൌߚଶלןൌ݅݀Գ, но ߚଵ്ߚ
ଵ
ሺ݊ሻ
ൌ݊െͳ, если ്݊ͳ, и
.
ଶ
Ответ для второго случая: отображение ן− сюръективно.
Задача. Докажите, что
1) если ݂ǣܣ՜ܣ и множество ܣ− конечно, то отображение ݂ – инъективно
тогда и только тогда, когда оно сюръективно;
2) если ݂ǣܣ՜ܤ, а множества ܣ и ܤ – конечны и имеют одинаковое количе-
ство элементов, то отображение ݂ – инъективно тогда и только тогда, ко-
гда оно сюръективно.
52
Глава 3. Бинарные операции
и основные алгебраические структуры
Понятие бинарной операции
На множествах целых, рациональных, действительных чисел можно осуществ-
лять сложение, вычитание, умножение любых двух таких чисел. В этом случае
мы будем говорить, что на множествах целых, рациональных, действительных
чисел заданы бинарные операции сложения, вычитания, умножения чисел. По-
добные бинарные операции можно задавать на произвольном множестве.
Определение. Говорят, что на множестве ܯ задана бинарная операция כ, ес-
ли задано отображение ܯൈܯ՜ܯ, которое всюду определено. Другими сло-
݉
ሻ
не обязательно различных элемен-
ଵǡ݉ଶ
.
ଵכ݉ଶ
вами, любой упорядоченной паре
и ݉ଶ из множества ܯ поставлен в соответствие некоторый, однозначно
тов ݉
ଵ
ሺ
определенный, элемент множества ܯ, обозначаемый ݉
Примеры.
1. Пусть ܯൌԺ; операция вычитания, то есть ݉
ଵכ݉ଶ
ൌ݉ଵെ݉
, является
ଶ
бинарной операцией на множестве Ժ.
2. Пусть ܯൌԳ; операция вычитания не является бинарной операцией на
множестве Գ, поскольку, например, разность ʹെ͵ не определена.
3. Пусть ܯൌԺךሼͲሽ; операция деления ݉
нарной операцией на множестве ԺךሼͲ
ሽ
4. Пусть ܯൌԷךሼͲሽ; операция деления ݉
ной операцией на множествеԷךሼͲ
ሽ
.
ଵכ݉ଶ
.
ଵכ݉ଶ
ൌ݉ଵȀ݉
ൌ݉ଵȀ݉
не является би-
ଶ
является бинар-
ଶ
53
Виды бинарных операций
1. Коммутативные бинарные операции – это операции, обладающие свой-
ством ݉
ൌ݉ଶכ݉ଵ для любых элементов ݉ଵǡ݉ଶ множества ܯ.
ଵכ݉ଶ
Примеры.
а. Пусть ܯൌԹǢ операция сложения ݉
ଵכ݉ଶ
ൌ݉ଵ݉
является
ଶ
коммутативной бинарной операцией на множестве Թ.
െ݉
б. Пусть ܯൌԹǢ операция вычитания ݉
ଵכ݉ଶൌ݉ଵ
не является
ଶ
коммутативной бинарной операцией на множестве Թ, поскольку,
например, ʹെ͵്͵െʹ.
2. Ассоциативные бинарные операции – это операции, обладающие свой-
ством
ሺ
݉
ଵכ݉ଶ
ሻ
כ݉
ଷൌ݉ଵ
כሺ݉ଶכ݉
ሻ
для любых элементов ݉
ଷ
ଵǡ݉ଶ
,݉
ଷ
множества ܯ.
Примеры.
а. Пусть ܯൌԹǢ операция сложения ݉
ଵכ݉ଶ
ൌ݉ଵ݉
является ас-
ଶ
социативной бинарной операцией на множестве Թ.
б. Пусть ܯൌԳǢ бинарная операция݉
ଵכ݉ଶ
ൌ݉
не является ас-
ଵ
మ
социативной бинарной операцией на множестве Գ, поскольку,
య
ሺ
например,ሺʹכʹሻכ͵ൌሺʹ
ଶሻଷൌʹ
, а ʹכሺʹכ͵ሻൌʹ
ሻ
ଶ
଼
ൌʹ
.
3. У бинарной операции может существовать двусторонний нейтральный
элемент, то есть элемент ݁, обладающий свойством
݁כ݉ൌ݉כ݁ൌ݉ для любого элемента ݉ из множества ܯ.
Примеры.
а. Пусть ܯൌԹǢ для бинарной операции сложения имеется нейтраль-
ный элемент, это число 0.
б. Пусть ܯൌԺǢ для бинарной операции, действующей по правилу
݉
ଵכ݉ଶ
ൌെ݉ଵെ݉
, нет нейтрального элемента. Действительно,
ଶ
если ݁ – такой элемент, то должны выполняться равенства
݁כ݉ൌ݉כ݁ൌ݉. В частности, должно быть верно, что
݁כʹൌʹכ݁ൌʹ и ݁כ͵ൌ͵כ݁ൌ͵. Но тогда ݁כʹൌെ݁െʹൌʹ,
54
откуда ݁ൌെͶ; кроме того, ݁כ͵ൌെ݁െ͵ൌ͵, то есть ݁ൌെ, что
невозможно.
4. Пусть ݁ – нейтральный элемент. Для элемента ݉ из множества ܯ может
существовать нейтрализующий элемент ݉, то есть элемент, обладаю-
щий свойством ݉כ݉ൌ݉כ݉ൌ݁.
Примеры.
а. Пусть ܯൌԹǢ для бинарной операции сложения нейтральным эле-
ментом служит число 0. Противоположный элемент
ሺെ݉ሻ
является
нейтрализующим элементом для элемента݉.
б. Пусть ܯൌԷךሼͲ
ሽ
; для бинарной операции умножения имеется
нейтральный элемент, это число 1. Обратный элемент, то есть ра-
1
циональное число
служит нейтрализующим элементом.
m
в. Пусть ܯൌԺǢ для бинарной операции умножения имеется
нейтральный элемент, это число 1. У числа െͳ есть нейтрализующий элемент, это число െͳ. У числа 3 нет нейтрализующего, поскольку уравнение ݉ή͵ൌͳ очевидно не имеет решений в целых
числах.
Замечания.
1. Если на множестве ܯ задана бинарная операция, то говорят также, что ܯ
замкнуто относительно этой операции.
2. Нейтральный элемент для операции сложения обычно называют нулем,
а нейтрализующий элемент называют противоположным.
Нейтральный элемент для операции умножения обычно называют еди-
ницей, а нейтрализующий элемент называют обратным.
55
Свойства нейтральных и нейтрализующих элементов
1. Нейтральный элемент единственен.
Действительно, если есть два нейтральных элемента ݁
݁
כ ݁ଶൌ݁ଵ, поскольку ݁
ଵ
כ ݁ଶൌ݁ଶ, поскольку ݁ଵ – нейтральный элемент. Поэтому݁ଵൌ݁
݁
ଵ
– нейтральный элемент. Кроме того,
ଶ
ଵ
и݁
ଶ
, то
.
ଶ
2. Если бинарная операция ассоциативна, то нейтрализующий элемент
единственен.
Действительно, пусть у элемента ݉ есть два нейтрализующих элемента,
и ݉
обозначим их ݉
ства:ሺ݉
כ݉ሻכ݉ଶൌ݁כ݉ଶൌ݉
ଵ
. Тогда, с одной стороны, имеют место
ଵ
ଶ
.
ଶ
С другой стороны, в силу ассоциативности операции כ имеем:
ሺ
כ݉ሻכ݉ଶൌ݉ଵכሺ݉כ݉
݉
ଵ
Поэтому ݉
ଵ
ൌ݉
.
ଶ
ሻ
ൌ ݉
ଶ
כ݁ൌ݉
ଵ
.
ଵ
3. Нейтрализующим элементом для нейтрализующего элемента является
исходный элемент.
Действительно, пусть у элемента ݉ есть нейтрализующий элемент ݉, то-
гда ݉כ݉ൌ݉כ݉ൌ݁. Эти равенства означают, что ݉ является нейтра-
лизующим для элемента ݉, то есть ݉෩ൌ݉.
Алгебраические системы
Определение. Множество с заданными на нем одной или несколькими бинар-
ными операциями называется алгебраической системой (или алгебраической
структурой).
Для обозначения алгебраической системы мы будем использовать угловые
скобки, в которых заключены множество и бинарные операции на нем. Напри-
56
мер, ܣൌۃԹǡۄ – обозначение алгебраической системы, состоящей из множе-
ства действительных чисел с операцией сложения.
В качестве примеров алгебраических систем мы рассмотрим группы и кольца.
Группы. Подгруппы
Определение. Множество ܯ с одной бинарной операцией כ называется груп-
пой, если эта бинарная операция
1) ассоциативна;
2) имеет нейтральный элемент; и
3) у каждого элемента группы имеется нейтрализующий элемент.
Для того чтобы узнать, является ли множество группой, нужно проверять
наличие четырех свойств:
1. Замкнутость множества относительно указанной бинарной операции (то
есть проверить, действительно ли задана бинарная операция).
2. Ассоциативность операции.
3. Наличие нейтрального элемента.
4. Наличие нейтрализующего элемента у каждого элемента множества ܯ.
Примеры.
а) Рассмотрим алгебраическую систему ܣൌۃԹǡۄǤМножество Թ замкнуто
относительно операции сложения чисел, эта операция ассоциативна,
име-
ется нейтральный элемент (это число 0) и противоположный элемент, это
число
. Значит, это группа.
൫Ȃ݉൯
б) Множество нечетных целых чисел ʹԺͳ не является алгебраической си-
стемой относительно сложения, поскольку нет замкнутости: сумма нечет-
ных чисел не является нечетным числом. Сложение не является бинар-
ной операцией. Значит, это не алгебраическая система.
57
в) Алгебраическая система ܣൌۃԺାǡכۄ, где операция כ задана формулой
݉כ݊ൌ݉
г) Алгебраическая система ܣൌۃԺ
. Есть замкнутость. Нет ассоциативности. Не группа.
ା
ǡۄ. Операция ݉ଵכ݉ଶൌ݉ଵ݉
ଶ
Есть замкнутость относительно сложения, есть ассоциативность, нет
нейтрального элемента (проверьте!). Не группа.
д) Алгебраическая система ܣൌۃԺǡήۄ. Операция ݉
כ݉ଶൌ݉ଵή݉ଶǤ Есть
ଵ
замкнутость относительно умножения, ассоциативность, нейтральный
элемент – это 1. Не у всех элементов есть обратный, например, у числа 2
нет нейтрализующего (проверьте!). Не группа.
Группа, для которой бинарная операция кроме того коммутативна, называет-
ся абелевой группой.
Внутри одной группы может оказаться другая, меньшая группа. В этом случае
говорят о подгруппах.
Определение подгруппы
Для произвольной группы ܩ непустое множество ܵكܩ называется подгруп-
пой, если
.
1) ܵ замкнуто относительно операции умножения, то есть если ݏ
כݏଶאܵǢ
ݏ
ଵ
ଵǡݏଶ
אܵ, то
2) если ݏאܵ, то ݏǁאܵ (замкнутость относительно перехода к нейтрализую-
щему элементу).
В качестве следствия этих двух условий получаем ݁אܵ.
Терминология. Если групповая операция есть сложение, то говорят об адди-
тивной группе и ее подгруппах. Для групповой операции умножения говорят о
мультипликативной группе и ее подгруппах.
Непустое множество ܵكܩ аддитивной группы ܩ называется подгруппой, если
1) ܵ замкнуто относительно операции сложения;
58
2) еслиݏאܵ, то െݏאܵ (замкнутость относительно перехода к противопо-
ложному элементу).
Критерий подгруппы
Непустое подмножество ܪ группыܩ является подгруппой тогда и только тогда,
когда подмножество ܪ вместе с любыми двумя его элементами ݄
෪
жит также и элемент ݄
ଵכ݄ଶ
.
и ݄ଶсодер-
ଵ
Доказательство. Необходимость очевидна. Убедитесь в этом самостоятельно.
Проверим, что если ݄
෪
אܪ для любых элементов ݄
ଵכ݄ଶ
и ݄ଶ из подгруппы ܪ,
ଵ
то ܪ– подгруппа.
෪
Действительно, при ݄
ൌ݁ получаем ݁כ݄
ଵ
෪
ൌ݄
אܪ для любого элемента ݄
ଶ
ଶ
из подгруппы ܪ, то есть имеется замкнутость относительно перехода к нейтра-
лизующему элементу. Кроме того,
Кроме того, ݄
෪
ଵכ݄ଶൌ݄ଵכ݄ଶ
෪
ൌ݄
ଵ
כ݄
ᇱ
෩
אܪ, где ݄
ᇱ
෨
ൌ݄
. Таким образом, имеет-
ся замкнутость относительно операции כ, и все доказано.
Основные свойства группы
1. Сумма (произведение) любого числа слагаемых определена однозначно
(обобщенный закон ассоциативности).
2. Нейтральный элемент единственен.
3. Свойства обратных элементов.
а) Обратный элемент единственен.
б) Обратный элемент к элементу ݃
ିଵ
есть݃, то есть ሺ݃
ିଵሻିଵ
ൌ݃.
в) Обратный элемент к произведению вычисляется по формуле
ିଵൌ݄ିଵכ݃ିଵ
ሺ
݃כ݄
ሻ
.
Замечание. Обратите внимание на то, что формула
ଶ
59
ିଵൌ݃ିଵכ݄ିଵ
ሺ
݃כ݄
ሻ
в произвольной группе становится неверной
(например, для композиции отображений). Она верна только в абелевых
(то есть коммутативных) группах.
4. Решение уравнений. Для любых элементов ܽ и ܾ группы существует един-
ственное решение для каждого из уравнений ܽכݔൌܾ иݔכܽൌܾ. Реше-
ниями являются ܽ
ିଵ
כܾ и ܾכܽ
ିଵ
соответственно.
Для аддитивной записи уравнение ܽݔൌܾ имеет единственное решение
ሺെܽሻ
ܾ, которое записывают также в виде െܾܽ, а уравнение ݔܽൌܾ
имеет единственное решение ܽሺെܾ
ሻ
, которое записывают также в виде
ܽെܾ.
5. Закон правого и левого сокращения.
Для любых элементов ݃ǡ݃
а) из условия ݃כ݃
б) из условия ݃
ଵ
כ݃ൌ݃ଶכ݃ следует, что ݃ଵൌ݃
ଵ
В частности, из условия ݃כ݃
из условия݃
Из равенства ݃
כ݃ൌ݃ следует, что ݃ଵൌ݁.
ଵ
כ݃ൌ݁ следует, что ݃ൌ݃
ଵ
группы
ଵǡ݃ଶ
ൌ݃כ݃ଶ следует, что ݃ଵൌ݃
ൌ݃ следует, что ݃ଵൌ݁;
ଵ
ିଵ
и ݃ଵൌ݃
ଵ
ିଵ
;
ଶ
.
ଶ
.
6. Свойства степеней.
Определение. В любой группе ܩмогут быть определены степени элемента
݃אܩ c целыми показателями ݇:
ൌ
݃
ቐ
ିଵ
݃
כǥכ݃ିଵሺെ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇൏ͲǤ
݁ǡ ˈ˔ˎˋ݇ൌͲǢ
Свойства степеней. Если ݇ и ݈ – целые числа, то
݃כǥכ݃ሺ݇˔ˑˏːˑˉˋ˕ˈˎˈˌሻǡ ˈ˔ˎˋ݇ͲǢ
60
а) ݃
б) ݃
в) ݃
г)
ሺ
ି
כ݃ൌ݃ା
כ݃ൌ݃כ݃
݃
ିଵሻ
ൌሺ݃
ሻൌ݃
Ǥ
ൌሺ݃
,
,
ሻିଵ
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]