Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Теорема Безу
Определение. Элемент ܿ кольца ܣ называется корнем многочлена ܨ, если
ܨሺܿሻൌͲ.
Пусть ܣ – целое кольцо и ܨൌ݂
ݔڮ݂ݔǡ݂אܣ,݅ൌͲǡͳǡǥǡ݊. Раз-
݂ଵ
делим многочленܨ с остатком на двучлен ݔെܿ: ܨൌሺݔെܿሻήܴܳ, где ܴൌ
или ܴ݀݁݃൏ͳ. Подчеркнем, что остаток при делении на многочлен первой степени является элементом кольца ܣ, то есть ܨሺܿሻൌሺݔെܿሻήܳሺܿሻݎ
ݎ
אܣ. Подставим вместо ݔ элемент ܿ кольца ܣ. Тогда получим равенство
ܨሺܿሻൌሺܿെܿሻήܳሺܿሻݎ
или ܨሺܿሻൌݎ
и справедлива следующая теорема.
, где
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена ܨ на двучлен ݔെܿ равен значе-
нию многочлена ܨ в точке ܿ.
Следствие 1. Число ܿ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда
остаток от деления этого многочлена на двучлен ݔെܿ равен нулю.
Следствие 2. Если ܿ является корнем многочлена ܨ, то справедливо равенство
ܨൌሺݔെܿሻήܳ, то есть многочлен ܨ делится на многочлен ݔെܿ.
ଶ
ଷ
ͷݔ
Пример. Найдем остаток от деления многочлена ܨൌͳെݔݔ
на мно-
гочлен ݔʹ.
Ответ: ݎ
ൌܨሺെʹሻൌͳʹͶെͶͲൌെ͵͵.
Применение схемы Горнера
1. Схему Горнера можно использовать для вычисления значения многочле-
на в данной точке ܿאܣ, поскольку по теореме Безу это значение равно
остатку от деления многочлена ܨ на двучлен ݔെܿ.
Пример. Вычислим значение многочлена
101
ܨൌʹݔସ͵ݔଷെʹݔଶݔെ͵ в точке ܿൌെ
ʹ ͵ െʹ െ͵
െ
͵
ʹ
ʹ Ͳ െʹ
ͻ
െ
͵͵
ʹ
ൌܨ൬െ
͵
ʹ
൰
ʹ ͵ െʹ െ͵
ͳ
ʹ
ʹ Ͷ Ͳ Ͳ
ʹ ͵ െʹ െ͵
െ͵ ʹ െ͵ െͳͷ
Ͷʹ
ଷ
:
ଶ
Ответ есть число, находящееся в последнем столбце второй строки в схеме
ଷ
Горнера, то естьܨቀെ
ଷଷ
.
ൌ െ
ቁ
ଶ
ଶ
2. Схему Горнера можно использовать для проверки того, является ли дан-
ный элемент кольца корнем многочлена.
Пример. Определим, являются ли числа
ସ
ܨൌʹݔ
ны ݔെ
͵ݔଷെʹݔଶݔെ͵. Находим остатки от деления ܨ на двучле-
ଵ
и ݔെሺെ͵
ଶ
ሻ
:
ଵ
и െ͵ корнями многочлена
ଶ
Обращаем внимание на остаток. Он находится в правом нижнем углу таблиц.
ଵ
У корня, и только у него, остаток по теореме Безу есть 0. Поэтому
– это ко-
ଶ
рень многочлена ܨ, а െ͵ не является его корнем.
3. Схему Горнера можно использовать для разложения многочлена ܨ по
степеням разности ݔെߙ.
Задача. Представьте многочлен ܨൌ݂
ܨൌ݃
݃ଵ
ሺ
ݔെߙሻڮ݃
ሺ
ݔെߙ
ሻ
݂ଵ
.
ݔڮ݂ݔ
Решение. Для того чтобы найти коэффициенты ݃
в виде
ǡǥǡ݃, сначала по схеме
ǡ݃ଵ
Горнера делим с остатком многочлен ܨ на двучлен ݔെߙ. Получаем представ-
102
ление ܨൌܳ
ʹ
ͳͷ
Ͷ͵
ͷ
ʹ ͳ ʹ
ͳ
Ͳ
ͳͳ
ͳͶ͵ൌ݃
ͳ ʹ ͳͻ
ͻ
ͳͻͷൌ݃
ଵ
ͳ ʹ ʹͳ
ͳͲͲൌ݃
ଶ
ͳ ʹ ʹ͵ൌ݃
ଷ
ͳ
ʹൌ݃
ସ
частное ܳ
равенство ܳ
Значит, ݎ
ты ݃
ǡ݃ଵ
Пример. Разложим многочлен ܨൌʹݔ
ሺ
ݔെߙሻݎ
ଵ
снова по схеме Горнера делим на двучлен ݔെߙ, то есть получаем
ଵ
ሺ
ଵൌܳଶ
ܨൌܳ
. Продолжая так дальше, получаем по очереди все коэффициен-
ଵൌ݃ଵ
ǡǥǡ݃
.
. Очевидно, что ݎൌ݃
ݔെߙሻݎ
ሺ
ݔെߙሻݎ
ଵ
. Тогда
ଵ
ൌܳଶ
ሺ
ݔെߙ
. Получившееся неполное
ଶ
ሻ
ሺ
ݎ
ݔെߙሻݎ
ଵ
ସ
ͳͷݔଷͶ͵ݔଶͷݔʹ по
.
степеням разности ݔെͳ.
Ответ задачи:
ܨൌ݃
݃ଵ
ሺ
ݔെͳሻ݃
ሺ
ଶ
ݔെͳ
ൌͳͶ͵ͳͻͷሺݔെͳሻͳͲͲሺݔെͳ
ଶ
ሻ
݃
ଶ
ሻ
ʹ͵ሺݔെͳ
ሺ
ଷ
ݔെͳ
ଷ
ሻ
ଷ
ሻ
ሺ
݃
ସ
ʹሺݔെͳ
ݔെͳ
ସ
ሻ
.
ସ
ሻ
ൌ
4. Схему Горнера можно использовать для сведения полного кубического
уравнения вида ݔ
ଷ
ݕݍൌͲ. Это осуществляется подстановкой ݔൌݕߙ, где ߙൌെ
ݕ
ଷ
ܾݔଶܿݔ݀ൌͲ к неполному уравнению
Для того чтобы найти коэффициенты и ݍ можно пользоваться схемой
Горнера. Для этого многочлен ܨൌݔ
݃
݃ଵ
ሺ
ݔെߙሻ݃
ሺ
ݔെߙ
ଵ
ଷ
ܾݔଶܿݔ݀ представляют в виде
ଶ
ሻ
ሺ
݃
ଷ
ݔെߙ
ଷ
ሻ
ൌ݃݃ଵݕ݃ଶݕଶ݃ଷݕଷǡ
где ݕൌݔെߙ. Как это сделать, объяснено в пункте 3.
Ǥ
ଷ
103
Пример. Приведем к неполному уравнению кубическое уравнение
ͳ
െ݅
ͳͷ
െͳͲͲ݅
ʹ݅ ͳ െͶ݅
ʹ͵
െͷͶ݅ൌ݃
ʹ݅ ͳ െʹ݅
ʹൌ݃
ଵ
ʹ݅ ͳ Ͳൌ݃
ଶ
ʹ݅
ͳൌ݃
ଷ
ଷ
ݔ
െ݅ݔଶͳͷݔെͳͲͲ݅ ൌͲ. Для данного примера ߙൌെ
ଷ
ൌെ
ି
ଷ
ൌʹ݅,
то есть ݔൌݕʹ݅. Используем схему Горнера.
Ответ: неполное уравнение имеет вид:݃ଷݕଷ݃ଶݕଶ݃ଵݕ ݃ൌͲ, то есть
ଷ
ʹݕെͷͶ݅ൌͲ.
ݕ
Теорема о наибольшем возможном числе корней
многочлена над целым кольцом
Теорема. Пусть ܣ – целое кольцо и ܨ – произвольный ненулевой многочлен
степени ݊ из кольца ܣሾݔሿ. Тогда ܨ имеет не более ݊ различных корней.
По-другому. Ненулевой многочлен над целым кольцом не может иметь больше
(различных) корней, чем его степень.
Доказательство. Поскольку ܨ – ненулевой многочлен, для него определено
понятие степени. Доказательство проведем индукцией по степени ݀݁݃ܨ.
1. База индукции: ݀݁݃ܨൌͲ. Тогда ܨൌ݂
്Ͳ и многочленܨ имеет 0 кор-
ней, то есть число корней не больше, чем ݀݁݃ܨ. Теорема верна.
2. Индукционный шаг. Пусть теорема верна для многочленов степени не
больше ݊. Докажем теорему для многочленов степени ݊ͳ. Если число
корней многочлена ܨ равно нулю, то все доказано. В противном случае у
многочлена ܨ имеется кореньܿ. По теореме Безу имеем ܨൌሺݔെܿሻܳ.
104
Если ܾ – другой корень многочлена ܨ, то есть ്ܾܿ, то он является корнем
ᇣ
ݔ
ܨכ
ܩ
כ
Ͳ
ത
Ͳ
ത
Ͳ
ത
ͳ
ത
ͳ
ത
ͳ
ത
ʹ
ത
ʹ
ത
ʹ
ത
многочленаܳ. В самом деле,
ሻ
ሻ
ܳሺܾ
Ͳൌܨሺܾሻൌሺܾെܿ
ஷ
.
Для кольца без делителей нуля это означает, что ܳሺܾሻൌͲ, то есть
ܾ – корень многочлена ܳǤ Число ݇ корней у многочлена ܳ по предположе-
нию индукции не больше, чем его степень, а она равна ݀݁݃ܨെͳ, то есть
݇݀݁݃ܳൌ݀݁݃ܨെͳ. Поскольку у многочлена ܨ число корней равно
݇ͳ, то оно не больше, чем ݀݁݃ܨ. Теорема доказана.
Следствие. Если многочлен ܨൌ݂
ݔڮ݂ݔאܣሾݔ
݂ଵ
ሿ
имеет в области
целостности ܣ более чем ݊ различных корней, то ܨ является нулевым многочленом, то есть ܨൌ.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов
Для конечных полей многочлены могут быть разными, а функции, ими задава-
емые, могут быть одинаковыми. Например, многочлены ܨൌݔ
сматриваемые как многочлены над полем Ժ
, задают одну и ту же функцию:
ଷ
ଷ
и ܩൌݔ, рас-
Сформулируем условие, при котором такое невозможно.
Пусть ܨൌ݂
Рассмотрим отображения ܨ
כ
ܨ
ǣܿհ݂݂ଵܿڮ݂ܿ, ܩכǣܿհ݃݃ଵܿڮ݃ܿ
ݔڮ݂ݔאܣሾݔሿǡܩൌ݃݃ଵݔڮ݃ݔאܣሾݔ
݂ଵ
כ
כ
и ܩ
, определяемые этими многочленами:
.
Теорема. Если ܣ – бесконечная область целостности, то многочлены равны то-
гда и только тогда, когда функции, ими определяемые, равны, то есть
כൌܩכ
.
ܨൌ ܩ֞ ܨ
ሿ
.
105
Доказательство. Необходимость.
Равенство ܨൌ ܩ многочленов ܨ и ܩ означает, что ݉ൌ݊ и
݂
ǡ ݂ଵൌ݃ଵǡ …ǡ݂ൌ݃
ൌ݃
многочленам ܨ и ܩ, равны, то есть ܨ
Достаточность. Пусть равны функции ܨ
. Ясно, что тогда и функции, соответствующие
כൌܩכ
.
כ
כ
и ܩ
, соответствующие многочленам
ܨ и ܩ, то есть для любого элемента ܿאܣ верно равенство
ሺ
כככሻ݂
ܿڮ݂ܿൌ݃݃ଵܿڮ݃ܿ.
݂ଵ
Рассмотрим разность ܨെܩ этих многочленов. Если многочлен ܨെܩ ненуле-
ሺ
вой, то он имеет конечное число корней. Из равенства
ሻ
כככ
видно, что любой
элемент кольца ܣ есть корень разности ܨȂܩ. Но кольцо ܣ по условию теоремы
бесконечно. Поэтому число корней у многочлена ܨെܩ больше, чем его сте-
пень. Это противоречит теореме о наибольшем возможном числе корней мно-
гочлена. Поэтому многочлен ܨെܩ нулевой и ܨൌܩ.
Следствие. Над бесконечной областью целостности разные многочлены задают
разные функции.
Замечание. Пусть ܣ – конечное целое кольцо. Разные многочлены степени
меньше, чем число элементов в ܣ, задают разные функции.
Применим доказанную теорему для решения следующей задачи.
Задача. Не деля уголком, найти остаток от деления целочисленного многочле-
на ܨൌʹݔ
ܩൌݔ
଼
ʹݔെʹݔ͵ݔହ͵ݔଷʹݔଶͳͳݔͷ на многочлен
ଶ
ݔെʹ.
Решение. Остаток от деления многочлена ܨ на многочлен ܩ есть многочлен
ݔܽ
степени не больше чем 1, то есть имеет вид ܽ
Кроме того, ݔ
ଶ
ݔെʹൌሺݔെͳሻሺݔʹ
ܨൌሺݔെͳሻሺݔʹሻכܳܽ
ݔܽ
ଵ
.
ሻ
. Поэтому
ଵ
.
Алгебраическое равенство многочленов влечет за собой их функциональное ра-
106
венство, то есть функции, стоящие в левой и правой части равенства, равны.
ʹ ʹ െʹ ͵ Ͳ ͵ ʹ
ͳͳ
ͷ
െʹ ʹ െʹ ʹ െͳ 2 െͳ Ͷ ͵
െͳൌܨሺെʹ
ሻ
Подставим ݔൌͳ в последнее равенство и получим уравнение ܨሺͳሻൌܽ
ଵܽ
Учтем, что ܨሺͳሻൌʹʹെʹ͵͵ʹͳͳͷൌʹ.
Для случая ݔൌെʹ получаем значение
ܨሺെʹሻൌͷͳʹെʹͷെͳʹͺെͻെʹͶͺെʹʹͷൌെͳ
.
и уравнение െͳൌെʹܽ
находим, что ܽ
ൌͳ, ܽଵൌͻǤ
. Решая систему уравнений
ଵܽ
൜
െʹܽ
ܽ
ଵܽ
ଵܽ
ൌʹ
ൌെͳ
,
Ответ: остаток равен ͳͻݔ.
Замечание. Для вычисления значения ܨሺെʹሻ и ܨሺͳ
Горнера, поскольку, например, по теореме Безу ܨሺെʹ
ሻ
можно использовать схему
ሻ
равно остатку от деле-
ния многочлена ܨ на двучлен ݔʹ , то есть
Наибольший общий делитель двух многочленов над полем
Перейдем теперь к многочленам, коэффициенты которых принадлежат некото-
рому полю . Мы уже отмечали выше, что в этом случае возможно деление
многочлена на ненулевой многочлен с остатком.
Кроме того, можно говорить о делимости одного многочлена на другой (с нуле-
вым остатком) и рассматривать общие делители и наибольшие делители много-
членов.
Определения.
1. Многочлен ܩאܲሾݔሿ будем называть делителем многочлена ܨאܲሾݔ
найдется такой многочлен ܪאܲሾݔ
ሿ
, если
ሿ
, для которого справедливо равенство
107
ܨൌܩכܪ. В этом случае, как и для целых чисел, мы будем использовать
символическую запись ܩȁܨˋˎˋܨڭܩǤ
2. Будем называть многочлен ܨ общим делителем многочленов ܨ
он является делителем каждого из многочленов ܨ
ǡǥǡܨ
ଵ
.
ǡǥǡܨ
ଵ
, если
3. Многочлен ܨ называется наибольшим общим делителем многочленов
ǡǥǡܨ
ଵ
, если он
ܨ
а) является их общим делителем и
б) делится на любой их общий делитель.
Наибольший общий делитель определяется неоднозначно. Например, если
ݔെͳ – общий делитель двух многочленов, то ܽሺݔെͳሻ, где элементܽ – ненуле-
вой элемент поля, также является наибольшим общим делителем. Поэтому бу-
дем говорить о множестве наибольших общих делителей и писать
ሼ
ʜʝʓሺܨ
ǡǥǡܨ
ଵ
ሻሽ
.
Из определения не ясно, всегда ли существует наибольший общий делитель.
Рассмотрим случаи, когда это так.
Примеры.
1. Если ܨڭܩ, то в этом случае ʜʝʓ существует и ܩא ሼʜʝʓሺܨǡܩ
ሻሽ
.
2. Поскольку ڭܩ, то ܩא ሼʜʝʓሺǡܩሻሽൌሼʜʝʓሺܩǡሻሽǡ если ܩ്.
Замечание. Наибольший общий делитель для многочленов ܨൌܩൌ не су-
ществует, поскольку общими делителями являются все многочлены кольца
ܲሾݔሿ, и нет многочлена, который делился бы на любой многочлен кольца ܲሾݔ
ሿ
.
Задача [2, с. 484]. Определите коэффициенты ܽ и ܾ так, чтобы многочлен
ସ
ܾݔଷͳǡ
а) ܽݔ
ାଵ
б) ܽݔ
из кольца Էሾݔ
ܾݔͳ
ሿ
делился на многочлен
ሺ
ݔെͳ
ଶ
ሻ
.
Ответ: для задачи а) ܽൌ͵ǡܾൌെͶ; для задачи б) ܽൌ݊ǡܾൌെ݊െͳǤ
108
Свойства наибольших общих делителей
1. Любые два наибольших общих делителя ассоциированы, то есть отли-
чаются множителем, равным ненулевому элементу поля.
Действительно, если ܦ
то они делятся друг на друга, то есть справедливы равенства ܦ
אܨሾݔሿ и ܦଶൌܦଵ݇ଶ,݇ଶאܲሾݔ
݇
ଵ
ܦ
ଵܦଶൌܦଵܦଶ݇ଵ݇ଶ
݀݁݃݇
ൌ݀݁݃݇ଶൌͲ и ݇ଵ݇ଶൌͳ. Поэтому ݇ଵ и ݇ଶ – это элементы поля ܲ,
ଵ
произведение которых равно 1. Значит, ݇
наибольшие общие делители ܦ
и ܦ
– два ненулевых наибольших общих делителя,
ଵ
ଶ
, откуда ݀݁݃ሺ݇ଵ݇
и ܦ
ଵ
ଵൌܦଶ݇ଵ
ሿ
. Перемножив эти равенства, будем иметь
ሻ
ൌͲ. Отсюда следует, что
ଶ
– обратимый элемент поля и
ଵ
ассоциированы.
ଶ
2. Пусть в результате деления многочлена ܨ на многочлен ܩ с остатком по-
лучено равенство ܨൌܩܴܳ, причем многочлен ܴ нулевой или удовлетво-
ряет условию ܴ݀݁݃൏݀݁݃ܩ. Тогда справедливо равенство
ሼ
ʜʝʓሺܨǡܩሻሽൌሼʜʝʓሺܩǡܴ
ሻሽ
.
Действительно, из равенства ܨൌܩܴܳ видно, что любой общий делитель
многочленовܩ и ܴ является общим делителем многочленов ܨ иܩ. Наоборот, поскольку ܴൌܨെܩܳ, то любой общий делитель многочленов ܨ иܩ
является общим делителем многочленов ܩ и ܴ. Значит, у пар многочленов
ܨ,ܩ и ܩ, ܴ одинаковы и множества наибольших делителей. Поэтому и
множества наибольших общих делителей у них одинаковы. Итак,
ሼ
ʜʝʓሺܨǡܩሻሽൌሼʜʝʓሺܩǡܴ
ሻሽ
.
Нашей ближайшей задачей будет научиться находить наибольший общий
делитель двух многочленов, а также выражать его через исходные много-
члены. Для этого будем использовать алгоритм Евклида для многочленов.
,
109
Алгоритм Евклида
Для того чтобы найти наибольший общий делитель многочленов ܨ иܩ, посту-
пают так же, как это делалось для целых чисел. Заметим, что в связи с рассмот-
ренными выше примерами и свойством
ሼ
ʜʝʓሺܨǡܩሻሽൌሼʜʝʓሺܩǡܨ
ሻሽ
можно счи-
тать, что многочлены ܨ и ܩ ненулевые и ݀݁݃ܨ݀݁݃ܩǤ
Сначала разделим многочлен ܨ на многочлен ܩ с остатком:
ܨൌܩܳ
ряет условию ܴ݀݁݃
, где ܳଵǡܴଵאܲሾݔሿ, причем многочлен ܴ
ଵܴଵ
൏݀݁݃ܩ.
ଵ
нулевой или удовлетво-
ଵ
x Если ܴ
ܩൌܴ
влетворяет условию ܴ݀݁݃
x Продолжая дальше подобным образом, разделим ܴ
получим ܴ
്, то разделим многочлен ܩ на многочлен ܴ
ଵ
ଵܳଶܴଶ
, где ܳଶǡܴଶאܲሾݔሿ, причем многочлен ܴ
൏݀݁݃ܩ.
ଶ
ଵൌܴଶܳଷܴଷ
.
с остатком
ଵ
нулевой или удо-
ଶ
на ܴ
ଵ
с остатком и
ଶ
Имеем цепочку равенств:
ܨൌܩܳ
ܩൌܴଵܳଶܴ
ܴଵൌܴଶܳଷܴ
ܴ
ିଶൌܴିଵܴܳ
ܴ
ିଵൌܴܳାଵܴାଵ
ଵܴଵ
ڮ
ଶ
ଷ
ถ
ୀ
Поскольку степени остатков становятся все меньше и меньше, являясь нату-
ральными числами, то в некоторый момент очередной остаток будет иметь ми-
нимально возможную степень, и тогда на следующем шаге остаток станет ну-
левым многочленом. Пусть это остаток ܴ
Докажем, что последний ненулевой остаток ܴ
тель ܨ иܩ. То есть ܴ
אሼʜʝʓሺܨǡܩ
ሻሽ
.
, тогда ܴ
ାଵ
есть наибольший общий дели-
ାଵ
ൌ.
Действительно, согласно свойству 2 имеем цепочку равенств
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]