Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Действительно, ܥൌܥ
݉אԺǤ Поэтому ܾܽൌܽ
ᇲ
֞ܽൌܽᇱ݊݇ǡ ݇אԺ и ܥൌܥ
ᇱܾᇱ
݊ሺ݇݉ሻ, то есть ܾܽൌܽᇱܾ
ᇲ
ܾ֞ൌܾᇱ݊݉ǡ
Кроме того,
ܾܽ
ൌሺܽᇱ݊݇ሻሺܾᇱ݊݉ሻൌܽᇱܾᇱ݊ሺܽᇱܾ݉݇ᇱ݊݇݉ሻ, то есть ܾܽൌܽᇱܾ
ᇱ
.
ᇱ
.
По сложению имеется нейтральный элемент – это класс Ͳ
противоположный элемент – это класс െܽ
, а единичный элемент – это класс ͳ.
Ǣ для класса ܽимеется
Остается проверить, что сложение и умножение классов коммутативно и ассо-
циативно и что имеет место дистрибутивность умножения относительно сло-
жения.
Проверим ассоциативность сложения:
ܾ
ܽ
൫
ൌܾܽܿൌሺܾܽሻܿൌܽሺܾܿሻൌܾܽܿൌܽ൫ܾܿ
ܿ
൯
൯
Проверим дистрибутивность:
ܾ
ܽ
൫
ൌሺܾܽሻήܿൌሺܾܽሻήܿൌܽήܾܿήܿൌܽήܾܿήܿൌܽήܾܿήܿ.
ήܿ
൯
Коммутативность сложения и умножения, а также ассоциативность умножения
проверьте самостоятельно.
Тем самым мы показали, что Ժ
является кольцом относительно операций
сложения и умножения классов вычетов.
Кольцо Ժ
для некоторых чисел ݊ является полем. Для того чтобы узнать, когда
это будет так, введем каноническую запись элементов этого кольца и изучим
множество его обратимых элементов.
.
1. Каноническая запись элементов множества Ժ
. В кольце Ժ
имеется столько
же элементов, сколько имеется остатков при делении на݊. Поэтому мы получим все элементы кольца, если будем использовать остатки ͲǢͳǢǥǢ݊െͳ:
Ժ
ൌ൛ͲǢͳǢǥǢ݊െͳ
. Например, Ժ
ൟ
ൌ൛ͲǢͳǢʹǢ͵
ସ
.
ൟ
71
2. Обратимость элементов кольца Ժସ. Отметим, например, что у элемента ʹ
ത
нет
обратного элемента. Действительно, обратным элементом может быть только
такой элементʹ
ʹ
ൌʹ,͵തήʹൌൌʹ, то есть равенство ݔήʹൌͳ невыполнимо.
кольца Ժସൌ൛ͲǢͳǢʹǢ͵
, для которого ݔ
ൟ
ήʹൌͳǤ Но ͲήʹൌͲ,ͳή
Некоторые свойства колец вычетов
1. Обратимость элементов кольцаԺ
Теорема. Элемент ݔҧ кольца Ժ
обратим тогда и только тогда, когда ݔ и ݊ вза-
имно просты, что эквивалентно тому, что
ݔݑ݊ݒൌͳ для некоторых ݑǡݒאԺ.
Доказательство. Если элемент Ժ
ет, что ݔήݑ
ൌͳ֞ݔήݑൌͳ݊ݒǡݒאԺ֞ݔήݑ݊ሺെݒሻൌͳ.
Обратно, пусть ݔݑ݊ݒൌͳ для некоторых ݑǡݒאԺ, тогда
ݔݑ݊ݒൌͳ֞ݔήݑ
этому элемент ݑ
ൌͳെ݊ݒ֞ݔήݑൌͳെ݊ݒดୀ֞ݔήݑൌͳ֞ݔήݑൌͳ, по-
является обратным для элемента ݔ.
Следствие 1. Если ݊ – простое число, то все элементы ͳǡʹǡǥǡ݊െͳ взаимно
просты с числом ݊ и поэтому обратимы. Значит, все ненулевые элементы коль-
ца Ժ
обратимы, то есть кольцо Ժ является полем, если ݊ – простое число.
.
обратим, то ݔήݑൌͳ ǡݑאԺ
. Это означа-
Следствие 2. Если ݊ – составное число, то есть ݊ൌ݇ή݉ǡ݇ͳǡ݉ͳ, то эле-
отличен от Ͳ и не имеет обратного элемента в кольце Ժ
мент ݇
не взаимно прост с числом ݊. Поэтому Ժ
не является полем, если
, поскольку он
݊ – составное число.
2. Наличие делителей нуля. Если ݊ – составное число, то в кольце Ժ
имеются
ненулевые элементы, произведение которых равно нулю. Такие элементы
называются делителями нуля.
72
Действительно, ݊ൌ݇ή݉ǡ݇ͳǡ݉ͳ и тогда Ͳൌ݇ή݉ ֞Ͳൌ݇ή݉, причем
ᇣ
ᇣ
݇
്Ͳ и ്݉Ͳ, поскольку ݊݇ͳ и ݊݉ͳ.
3. ݇ήܽ
ൌ݇ήܽ, если ݇ − натуральное число.
Проверим свойство 3. ݇ήܽ
ൌܽڮܽ
Вычисления в кольцах вычетов
ହ
ሿ
Пример 1. Вычислим
ሿ
ሾ
ʹ
ଵଶହ
ହ
͵
ด
ήͻ
ቈ
ଶସଷ
Кроме того, ʹ
ൌሾ͵
ଵଶହ
ൌሾʹͶ͵
ൌሾሺʹ
ሿ
ଵଶହ
ହ
ሻ
ሾ
ʹ
ଵଶହ
. Затем вычислим
ሿ
ሿ
ήሾͻ
ଵଶହ
ଵଶହ
ሻ
ൌሺʹ
ሿ
ଵଶହ
ήሾʹ
ήʹ. Значит, ሾʹ
ሿ
ଵଶହ
Пример 2.
Используя пример 1, найдем
Имеем
ሺሾʹሿ
ଵଶହ
ଵ
ሿ
ሾ
ʹ
ଵଶହ
ିଵ
ൌሾʹ
ଽଽ
ሻ
ሿ
ଵଶହ
ൌሾሺʹ
ൌሾʹ
ହሻଶ
ସଽ
ൌܽڮܽ
ൌ݇ήܽǤ
ǤЗаметим, что ʹൌͳʹͺൌͳʹͷ͵, поэтому
ൌሾെ
ൌሾെ͵
ሺሾʹሿ
ሿ
ൌሾሺെͳ
ଵଶହ
ሿ
ήሾʹ
ଵଶହ
ଵଶହ
ସଽ
ሿ
ሾ
ʹ
ଵଶହ
ሿ
ሿ
ሻ
ହ
ଵଶହ
ଵଶହ
ିଵ
ሿ
ହ
.
ሻ
ଵଶହ
ሿ
ήሾͻ
ሿ
ଵଶହ
ሿ
ήሾʹ
ଵଶହ
ଶ
ሿ
ଵଶହ
ൌሾെ͵
ଵଶହ
ൌሾሺʹ
ൌሾͳ
ൌሾെήͻ
ሻ
ൌሾെͳʹ
ሿ
ଵଶହ
ሿ
ଵଶହ
ሻ
ሿ
ଵଶହ
ሿ
ଵଶହ
ଵଶହ
ሿ
ଵଶହ
ൌሾെ͵
ൌ
ൌሾെͳ
ൌሾ͵
ሿ
ଵଶହ
ሿ
ൌሾሺʹ
ήʹ
ሿ
. Это означает, что
ήሾെͳ
ሿ
ଵଶହ
ൌሾ͵
ሿ
ଵଶହ
ଵଶହ
ሿ
ൌ
ଵଶହ
.
Ǥ
.
Пример 3. Вычислим три последние цифры числа ʹ
достаточно вычислить остаток от деления числа ʹ
ሿ
ଵ
ሿ
ଵ
ଵ
ሿ
ଵ
ήሾʹ
ൌሾͶ͵ʹ
.
ൌሾͷή͵ʹ
Проводим следующие вычисления в кольце Ժ
ଶହ
ሾ
ሿ
x
ʹ
ሿ
ൌሾʹͶ
ଵ
ൌሾͳͳͷʹήͳ
ൌሾʹଵήʹଵήʹ
ଵ
ሿ
ήሾʹͶ
ଵ
ሿ
ൌሾͳͷʹήͳ
ଵ
ήሾ͵ʹ
ହ
ሿ
ଵ
ሿ
ൌሾʹͶήʹͶή͵ʹ
ଵ
ሿ
ଵ
ଵ
ൌሾʹ
ൌሾʹͶ͵ʹ
ଵ
. Для этого заметим, что
ଵ
на ͳͲͲͲ или ሾʹ
ଵ
ሿ
ଵ
ሿ
ଵ
ήሾʹ
ହ
ሿ
ൌ
ଵ
ሿ
ൌ
ଵ
.
ଵ
ሿ
ଵ
.
73
ଵ
ᇣ
ሾ
x
ሺሾሺ
ൌ
ൌሾ͵ͺͻ͵
ሿ
ʹ
ଵ
ͶͲͲ͵ʹ
ሿ
ଵ
ሻ
Ответ: три последние цифры числа ʹ
ൌሺሾʹ
ଶ
ሿ
ଵ
ൌሾ͵
ଶହ
ሻ
ସ
ሿ
ሻ
ൌሺሾͶ͵ʹ
ଵ
ଶ
ൌቆʹήͶͲͲή͵ʹ
ଶఴήଵୀଶହ
ሿ
.
ଵ
ସ
ሿ
ሻ
ൌሺሾͶ͵ʹήͶ͵ʹ
ଵ
ଶ
͵ʹ
ต
ቇଶ൩
ଶభబୀଵଶସ
ଵ
составляют число 376.
ଵ
ሿ
ଵ
ൌሾʹͶ
ଶ
ሻ
ൌ
ଶ
ሿ
ൌ
ଵ
Пример 4. Вычисления предыдущего примера можно провести с использова-
нием примера 1. Согласно примеру 1 имеем
ሿ
ሾ
ʹ
ଵଶହ
ൌሾെͳ
ሿ
, что эквива-
ଵଶହ
ହ
лентно равенству
ହ
ൌെͳͳʹͷ݇,݇אԺ. Разделим ݇ с остатком на 8 и получим ݇ൌ݈ͺ݉ǡ
ʹ
Ͳ݈ǤТогда
ହ
ൌെͳͳʹͷ݇ൌͳͳʹͷሺ݈ͺ݉ሻ или ʹହൌെͳͳʹͷ݈ͳͲͲͲ݉.
ʹ
Ясно, что ݈ должно быть нечетным. Поэтому имеем варианты: ݈אሼͳǡ͵ǡͷǡሽǤ
Кроме того, െͳͳʹͷ݈ должно делиться на 8. Из четырех вариантов подходит
только ݈ൌͷ, иначе нет делимости на 8. Значит,
ହ
ൌെͳͳʹͷήͷͳͲͲͲ݉ൌʹͶͳͲͲͲ݉.
ʹ
ଵ
Поэтому три последних цифры числа ʹ
ଶ
рами числа ʹͶ
ൌ͵ͺͻ͵ и составляют число 376.
совпадают с тремя последними циф-
ଵ
ଵ
.
.
Задача. Вычислите три последние цифры числа ͵
Ответ: «001» – три последние цифры числа ͵
Поля. Подполя
Определение. Множество ܯ, содержащее, по крайней мере, два элемента,
замкнутое относительно двух бинарных операций, называемых обычно опера-
циями сложения и умножения, называется полем, если
1) относительно сложения множество ܯ− абелева группа;
74
2) относительно умножения множеств ܯሼͲ
ሽ
− абелева группа;
3) операция умножения дистрибутивна относительно сложения, то есть вы-
полняются тождества
ܽሺܾܿሻൌܾܾܽܿǡሺܾܽሻܿൌܽܿܽܿ.
Можно сформулировать это же определение так.
Поле – это коммутативное кольцо, в котором имеется нейтральный элемент
для умножения, называемый обычно единицей, и каждый ненулевой элемент
обратим относительно операции умножения. Кроме того, требуется, чтобы
единица и нуль были различными элементами.
Примеры:
x множества рациональных, действительных и комплексных чисел с опера-
циями сложения и умножения чисел являются полями;
x целые числа относительно сложения и умножения образуют кольцо, но не
поле;
x кольца вычетов Ժ
являются полями для простых чисел ݊ и являются
кольцами, но не полями для составных чисел ݊.
Замечание. Поля не называют кольцами. Например, не говорят, что ԧ является
кольцом, а говорят, что имеется поле комплексных чисел, а не кольцо ком-
плексных чисел. То же относится к полю рациональных и действительных чи-
сел.
Подполе. Множество M поля P называется подполем P, если оно само явля-
ется полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в
поле P. Поле P называется также надполем или расширением поля M.
Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чи-
сел, а последнее – подполем поля комплексных чисел.
75
Теорема (критерий подполя). Для того чтобы подмножество M поля P, со-
держащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточ-
но, чтобы разность, произведение и частное (если только оно существует в P)
любых элементов из M снова принадлежали к M.
Все подполя поля комплексных чисел называют числовыми полями.
Рациональные и действительные числа являются примерами числовых полей.
Приведем пример еще одного числового подполя.
Рассмотрим множество чисел вида ܾܽξʹ
сел принято обозначать Է
ൣ
ξ
ʹ
. Итак Է
൧
Заметим, что числа ܾܽξʹ и ܽെܾ
ଵήݖଶ
ିଵ
Ǥ
ൣ
אԷ
אԷ
ܽൌͲ
. Кроме того, ܾܽξʹ
ቄ
ܾൌͲ
ʹ
كԹ كԧ, то для проверки того, что это подполе, достаточно
൧
ξ
ʹ
אԷ
ൣ
ξ
אԷ
ൣ
ξ
ൣ
ξ
ʹ
ǡ если ݖ്Ͳ.
ൣ
൧
ξ
ʹ
ʹ
ଵǡݖଶ
;
൧
;
൧
тогда, когда
ܽൌܽԢ
когда
ቄ
ܾൌܾԢ
Поскольку Է
проверить, что если ݖ
1) ݖ
ଵെݖଶ
2) ݖ
3) ݖ
Проверим эти свойства. Пусть ݖ
1) ݖ
ܾെܾ
2) ݖ
ܽܽ
ൌܾܽξʹെ൫ܽᇱܾ
ଵെݖଶ
ᇱ
являются рациональными числами, поэтому ݖଵെݖଶאԷ
ൌ൫ܾܽξʹ
ଵήݖଶ
ᇱ
ʹܾܾᇱ и ܽᇱܾܾܽ
ᇱܾᇱ
ܽ
൯ή൫
ᇱ
являются рациональными числами,
ʹ
ൣ
ξ
ʹ, где ܽǡܾאԷ, равны нулю тогда и только
ξ
, то
൧
ൌܾܽξʹ, ݖଶൌܽᇱܾ
ଵ
ᇱ
ൌሺܽെܽ
ʹ
൯
ξ
ൌሺܽܽ
ʹ
൯
ξ
ǡ где ܽǡܾאԷ. Множество таких чи-
൧ൌ൛
ܾܽξʹ
ܽǡܾאԷ
.
ൟ
ȁ
ൌܽԢܾԢξʹ тогда и только тогда,
ᇱ
ʹ
. Тогда
ξ
ᇱ
ᇱ
ʹܾܾ
ሻሺ
ܾെܾ
ᇱ
ሻሺ
ᇱ
ሻ
ʹ
, числаܽെܽ
ξ
ᇱ
ܽ
ܾܾܽ
ᇱ
ሻ
ʹ
ൣ
ξ
ʹ
, числа
ξ
;
൧
ᇱ
и
76
поэтому ݖ
ଵήݖଶ
אԷ
ʹ
;
ൣ
൧
ξ
3) пусть ݖൌܾܽξʹ്Ͳ, то есть ്ܽͲ или ്ܾͲ. Тогда
ଵ
ିଵ
ݖ
ൌ
ାξଶ
ൌ
ିξଶ
మିଶ
В силу того, что ܽǡܾאԷǡ число ܽ
మ
ିଶ
ିଵ
ݖ
и
మ
אԷ
Ȃ
являются рациональными числами. Значит,
మ
మ
ିଶ
ʹ
Ǥ
ൣ
൧
ξ
Таким образом, мы показали, что Է
ൌ
మ
మ
ିଶ
ି
మ
ଶ
ʹ
есть числовое поле.
൧
ൣ
ξ
ʹ
.
ξ
మ
ିଶమ
ଶ
െʹܾ
отлично от нуля, поэтому
Основные свойства полей
Кроме того, что в поле справедливы все свойства колец, справедливы еще и
следующие свойства. Пусть ܨ – поле.
1. Множество ܨሼͲ
ሽ
является мультипликативной абелевой группой. Поэтому
уравнение ܽݔൌܾ в случае, когда ്ܽͲ, имеет единственное решение, а
именно ݔൌܽ
Замечание. В поле выражение ܽ
2. Если ܾܽൌͳ, то ്ܽͲ и ܾൌܽ
3. Если
ቄ
следствия получаем ܾܽൌͲ֜ቂ
4. Если ܾܽൌܽܿ, то ቂ
5. Пусть ്ܾͲ и്݀Ͳ. Условие равенства дробей:
В частности,
ିଵ
ܾ.
ିଵ
ܾ записывают также в виде
ିଵ
, а ܽൌܾ
്ܽͲ
, то ്ܾܽͲ. (Отсутствие делителей нуля.) Поэтому в качестве
്ܾͲ
ܽൌͲ
ܾൌͲ
ܽൌͲ
.
ܾൌܿ
ൌ
, если ്݇Ͳ.
ିଵ
.
.
.
ൌ
ௗ
֞ܽ݀ൌܾܿ.
6. Арифметические действия с дробями в произвольном поле.
а.
б.
ௗേ
േ
ൌ
ௗ
ή
ൌ
ௗ
ௗ
.
ௗ
.
77
в.
г. Если
ି
ൌͲ֜െ
്ܽͲ
ቄ
്ܾͲ
, то
ି
.
ൌ
ቀ
ቁ
ିଵ
ൌ
ቀ
.
ቁ
Доказательство некоторых свойств. Докажем, например, свойство 5:
ൌ
֞ܽ݀ൌܾܿ, если ്ܾͲ и്݀Ͳ.
ௗ
ൌ
Действительно, равенство
ିଵ
ൌܿ݀ିଵ. Умножая обе части равенства ܾܽିଵൌܿ݀ିଵ на элемент ܾ݀, по-
ܾܽ
ିଵ
лучим ܾܽ
ܾ݀ൌܿ݀ିଵܾ݀Ǥ С учетом коммутативности умножения получаем
есть другая форма записи равенства
ௗ
ܽ݀ൌܾܿ.
Обратно, если ܽ݀ൌܾܿ, то умножим обе части этого равенства на элемент
ିଵ݀ିଵ
ܾ
и получим ܾܽିଵൌܿ݀ିଵ֞
Докажем свойство 6а:
ௗേ
േ
ൌ
ௗ
ௗ
ൌ
.
ௗ
.
В поле, в отличие от кольца, если ݑ്Ͳ, то ሺܽൌܾ֞ܽݑൌܾݑ
ௗേ
േ
вид
ൌ
ௗ
ሺ
ܾܽ
после умножения на ненулевой знаменатель ݑൌܾ݀ примет
ௗ
ିଵ
േܿ݀
ିଵ
ሻ
ܾ݀ൌܽ݀േܾܿ. Левая часть последнего равенства после
ሻ
. Равенство
раскрытия скобок совпадает с правой.
Приведенные свойства полей указывают на то, что в любом поле можно
действовать так, как мы привыкли действовать в любых числовых полях.
Пример нечислового поля. Из свойств колец вычетов в качестве следствия
получаем: кольцо вычетов Ժ
является полем тогда и только тогда, когда ݊ –
простое число.
78
Глава 4. Кольца многочленов
В школьном курсе рассматриваются многочлены вида ܽ
ܽଵ
ݔڮܽݔ
коэффициенты которых – действительные числа. Мы будем рассматривать
многочлены, коэффициенты которых берутся в так называемом целом кольце
или области целостности. Свойства многочленов, как мы увидим, зависят от то-
го, в каком кольце берутся его коэффициенты.
Области целостности
Пусть имеется кольцо ܣ, ܽ и ܾ – два элемента этого кольца.
Определение. Элементы ܽ и ܾ называются делителями нуля, если ни один из
них не равен нулю, а ܽ ήܾൌͲ.
Примеры.
1. В кольце вычетов по модулю 4 элементы ʹ
ля, сами они ненулевые, а ʹ
ήʹൌͶൌͲ.
и ͵ являются делителями ну-
2. В поле нет делителей нуля (проверьте!).
Определение. Кольцо ܣ называется целым кольцом (или областью целостно-
сти или целостным кольцом), если оно
,
1) коммутативно,
2) содержит 1,
3) не содержит делителей нуля.
Примеры.
1. Кольцо Ժ целых чисел является целым кольцом. Именно оно и дало
название «целое» кольцо.
2. Кольцо Ժ
не является целым кольцом, если ݊ – составное число.
79
Суммирование и его свойства
Договоримся сначала, что если ݏͳ, то сумму
ܽ
ܽଵ
ڮܽ
௦ିଵܽ௦
௦
ୀ
мы будем записывать более коротко:
௦
ܽ
ൌܽ
ൌܽܽଵڮܽ
ୀ
௦ିଵܽ௦
Ǥ
Знак ȭ (заглавная греческая буква сигма) есть знак суммирования.
௦
Переменная ݅ в записи σܽ
может быть заменена (дважды!) на любую дру-
ୀ
гую, например, на букву ݆, как в примере выше, важны лишь пределы изменения (в примере выше это от нуля до ݏ). Поэтому переменную ݅ называют
«немой» (как бы ничего не говорящей) переменной.
Свойства суммирования
ܽ
ܽ
σ
ൌ
ܾ
ୀଵ
ሻൌσ
ܽ
.
ୀଵ
σ
ܽ
, если операция сложения коммутативна.
ܾ
ୀଵ
σ
1.
σሺ
2.
ୀଵ
ୀଵ
3. Если имеется свойство дистрибутивности (как в кольце) умножения от-
носительно сложения, то
ሺ
ܽ
ܽଵ
ڮܽ
௦ିଵܽ௦
ሻ
ήܾൌܽ
ܾܽଵܾڮܽ
ܾܽ௦ܾ.
௦ିଵ
Это же свойство, записанное с помощью знака суммирования, имеет вид:
௦
ሻ
ൌ
ܽ
ୀ
ήܾǤ
൱
൭
ୀ
௦
ሺ
ήܾ
ܽ
Его можно также записать, и это более общепринято, так:
௦
ୀ
ሻ
ሺ
ήܾ
ܽ
௦
ൌܾήܽ
ୀ
(символ ܾ, общий множитель всех слагаемых, можно выносить за скобку).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]