Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Задача. Пусть ݂ǣܣ՜ܤ, ݃ǣܤ՜ܥǤ При каких условиях из того, что отображение ݂ не сюръективно, а отображение ݃ сюръективно, следует, что композиция
݃ל݂ сюръективна?
Решение. Если отображение ݃ – сюръекция, то у любого элемента ܿאܥ суще-
ствует прообразܾאܤ, то есть ݃ሺܾሻൌܿ. Если у элемента ܾ есть прообраз в ܣ
(то есть ܾ אܫ݂݉), то элемент ܿимеет прообраз и при отображении ݃ל݂. Зна-
чит, если ܫ݂݉ содержит прообразы всех элементов ܿאܥ, то отображение
݃ל݂ − сюръекция. Напротив, если ܫ݂݉ не содержит прообраз какого-то
элемента ܿאܥ, то ܿבܫ݉ሺ݃ל݂ሻ и ݃ל݂
– не сюръекция.
Ответ: Пусть отображение ݂ – не сюръективно, а отображение ݃ – сюръектив-
но. В этом случае сюръективность композиции ݃ל݂ равносильна условию: ܫ݂݉
содержит прообразы всех элементов ܿאܥ.
ିଵ
В частности, если ݃ – биекция, то ݃
ሺܥሻൌܤ. Но ݂– не сюръекция и
ܫ݂݉هܤ. Значит, в этом случае ܫ݂݉ содержит прообразы не всех элементов
ܿאܥ и композиция ݃ל݂ не является сюръекцией, то есть если ݂ – не сюръекция, ݃ – биекция, то ݃ל݂ – не сюръекция.
Композиция инъективных отображений
1. Композиция инъекций есть инъекция.
2. Если более раннее отображение не инъекция, то композиция также не инъ-
екция.
Следствие 1. Композиция не инъекций есть не инъекция.
Следствие 2. Если композиция отображений является инъекцией, то более
раннее отображение также инъекция.
3. Композиция инъективного отображения ݂ и неинъективного отображения ݃
может, как показывают приведенные ниже примеры, быть как инъективной,
так и не инъективной.
41
Свойства композиции инъективных отображений можно записать в виде сле-
݂ ݃ ݃ל݂
݅݊
ሺ݅݊
ሻ
כ
݂ ݃ ݃ל݂
݅݊
݅݊
݅݊
ሺ݅݊
ሻ
כ
ሺ݅݊
ሻ
݅݊
ሺ݅݊
ሻ
כ
дующей таблицы
Докажем свойство 1: композиция инъекций есть инъекция. Действительно,
пусть ݃൫݂ሺܽ
ሻ
൯ൌ݃൫
ሻ
݂ሺܽԢ
. Поскольку ݃ – инъекция, то ݂ሺܽሻൌ݂ሺܽԢ
൯
ሻ
, а по-
скольку ݂ – инъекция, то ܽൌܽԢ.
Докажем свойство 2: пусть отображение ݂– не является инъекцией, тогда
݂ሺܽሻൌ݂ሺܽԢሻǡ причем ്ܽܽԢ. Но тогда ݃൫݂ሺܽ
отображение ݃ל݂
– не инъекция.
ሻ
൯ൌ݃൫
ሻ
݂ሺܽԢ
, ്ܽܽԢ, то есть
൯
В частности, композиция неинъективных отображений не инъективна.
Докажем следствие 2: если композиция отображений является инъекцией, то
более раннее отображение также инъекция. По-другому, если композиция ݃ל݂
инъективна, то отображение ݂ также инъективно.
Действительно, если бы отображение ݂ было не инъективно, то по свойству 2
композиция ݃ל݂ также была бы не инъективна, а это не так. Поэтому остается
только случай, когда отображение ݂ – инъективно.
Свойство 3, соответствующее строке
таблицы, проиллюстрируем примерами.
42
Пример 3. Композиция инъективного отображения ݂ и неинъективного отоб-
݂
݃
݂
݃
ражения ݃ может быть неинъективной. В нижеследующем примере отображение ݂ – инъективно, отображение ݃ – не инъективно и отображение ݃ל݂ –
также не инъективно.
Пример 4. Композиция инъективного отображения ݂ и неинъективного отоб-
ражения ݃ может быть инъективной. В нижеследующем примере отображение
݂ – инъективно, отображение ݃ – не инъективно, а отображение ݃ל݂ – инъек-
тивно.
Задача. Пусть ݂ǣܣ՜ܤ, ݃ǣܤ՜ܥǤПри каком условии из инъективности отоб-
ражения ݂ и неинъективности отображения ݃ следует инъективность композиции ݃ל݂?
Решение. Пусть отображение ݂ – инъективно. Относительно действия отобра-
жения ݃ на множестве ܫ݂݉ имеется две возможности:
x отображение ݃
действует инъективно на множестве
ܫ݂݉. Тогда композиция
݃ל݂ – также инъективна;
x отображение ݃ действует не инъективно на множестве ܫ݂݉Ǥ
В этом случае найдутся такие элементы ܾ
݃ሺܾ
ሻൌ݃ሺ
ଵ
ሻ
ܾ
.
ଶ
אܫ݂݉, для которых ܾଵ്ܾ
ଵǡܾଶ
и
ଶ
43
Из того, что ܾଵǡܾଶאܫ݂݉ следует, что найдутся такие элементы ܽଵǡܽଶאܣ, для
݂ ݃ ݃ל݂
ܾ݅
ܾ݅
ܾ݅
ሺܾ݅
ሻ
ܾ݅
ሺܾ݅
ሻ
ܾ݅
ሺܾ݅
ሻ
ሺܾ݅
ሻ
ሺܾ݅
ሻ
ሺܾ݅
ሻ
כ
которых ܾ
ሻ
ൌܾ
݂ሺܽ
ଵ
ൌ݂ሺܽ
ଵ
ଵ്ܾଶ
ሻ
,ܾ
ଵ
ൌ݂ሺܽ
ଶ
ଶ
ሻ
ൌ݂ሺܽ
ሻ
. Ясно, что ܽ
ଶ
Ǥ Но тогда ݃൫݂ሺܽ
ሻ
൯ൌ݃൫
ଵ
ଵ്ܽଶ
, поскольку
ሻ
݂ሺܽ
и ܽ
൯
ଶ
ଵ്ܽଶ
, то есть
композиция ݃ל݂ – не инъективна.
Ответ: в случае, если отображение ݂ – инъективно, а отображение ݃ – не инъ-
ективно, инъективность композиции ݃ל݂ равносильна инъективности отобра-
жения ݃ на множествеܫ݂݉.
В частности, если ݂ – биекция, то ܫ݂݉ൌܤ. В этом случае композиция ݃ל݂ с
неинъективным отображением ݃ также не инъективна, то есть если ݂ – биекция, ݃ – не инъекция, то ݃ל݂ – не инъекция.
Композиция биекций
Свойства композиции инъективных отображений можно также записать в виде
таблицы
1. Композиция биекций есть биекция.
2. Композиция не биекции и биекции есть не биекция.
3. Композиция биекции и не биекции есть не биекция.
4. Композиция не биекций может быть как биекцией, так и не биекцией.
Свойство 1 докажите самостоятельно.
44
Докажем свойство 2. Пусть ݂ǣܣ՜ܤ, ݃ǣܤ՜ܥи отображение ݂ – не биективно, а отображение ݃ – биективно.
Возможны два случая: ݂ – не инъективно или ݂ – не сюръективно.
Случай 1. Отображение ݂ – не инъективно, тогда композиция ݃ל݂ – не инъ-
ективна, а значит, не биективна.
Случай 2. Отображение ݂ не сюръективно. Тогда найдется элемент ܾא ܤ, не
имеющий прообраза в ܣ, то есть ܾבܫ݉ሺ݂ሻ. В этом случае у элемента ݃ሺܾ
ሻ
нет
прообраза при отображении ݃ל݂. Действительно, если бы был такой прообраз,
например, ݔאܣ, для которогоሺ݃ל݂ሻሺݔሻൌ݃ሺܾሻ, то ݃
൫
݂ሺݔ
ሻ
ൌ݃ሺܾሻǤ
൯
Но тогда в силу инъективности отображения ݃ имеем ݂ሺݔሻൌܾ, то есть
ܾאܫ݉ሺ݂ሻ. Противоречие. Значит, отображение ݃ל݂ не сюръективно и компо-
зиция ݃ל݂ – не биекция.
Докажем свойство 3. Пусть отображение ݂ – биективно, а отображение݃– не
биективно. Возможны два случая.
Случай 1. Отображение ݂ – биекция, а отображение݃ – не сюръективно. То-
гда композиция ݃ל݂ – не сюръективна, то есть ݃ל݂ – не биекция.
Случай 2. ݂ – биекция,݃ –
элементов ݕ
, ݕଶאܤ, причем ݕଵ് ݕଶǤ Поскольку отображение ݂ – биективно,
ଵ
не инъективно. Тогда ݃ሺݕ
ሻൌ݃ሺ
ଵ
ሻ
ݕ
для некоторых
ଶ
то оно, в частности, сюръективно, то есть
ݕ
ൌ݂ሺݔ
ଵ
ሻ
, ݕ
ଵ
ଶ
ൌ݂ሺݔ
ሻ
, ݔ
ଶ
ଵ്ݔଶ
. Значит,
ሺ
݃ל݂ሻሺݔ
ሻൌሺ
ଵ
݃ל݂ሻሺݔ
ሻ
, ݔ
് ݔ
ଶ
,
ଵ
ଶ
то есть композиция ݃ל݂ не инъективна, следовательно, ݃ל݂ – не биекция.
Свойство 4 проиллюстрируем примерами.
Пример 5. Приведем пример, когда композиция не биекций есть биекция, то
есть ݂ – не биекция, ݃ – не биекция, а ݃ל݂ – биекция.
45
݂
݃
݂
݃
Отображение݂ инъективно, но не сюръективно, отображение ݃ сюръективно,
но не инъективно, а отображение ݃ל݂ – биекция.
Пример 6. Приведем пример, когда композиция не биекций есть не биекция, то
есть ݂ – не биекция, ݃ – не биекция и ݃ל݂ – не биекция.
В этом примере также отображение݂ инъективно, но не сюръективно, отображение ݃ сюръективно, но не инъективно.
Для произвольных отображений введем понятие обратного отображения и по-
нятие обратимости.
Обратимые отображения
Определение. Отображение ݅݀
ሺܽሻ
݅݀
ൌܽܽאܣ, называется тождественным отображением множества ܣ.
ǣܣ՜ܣ, действующее по правилу
Тождественное отображение по отношению к произвольным отображениям об-
ладает свойством, похожим на свойство, которым обладает число 1 для чисел.
А именно, если ݂ǣܣ՜ܤ, то ݅݀
Определение. Если ݂ǣܣ՜ܤ, ݃ǣܤ՜ܣ и выполнены условия ݃ל݂ൌ݅݀
46
ל݂ൌ݂, ݂ל݅݀ൌ݂Ǥ
и
݂ל݃ൌ݅݀, то отображения ݂ и ݃ называют взаимно обратными.
В этом случае говорят, что отображение ݂ обратимо, и отображение ݃ называ-
ют (двусторонним) обратным отображением для отображения ݂ и обознача-
ିଵ
ют его символом ݂
.
Очевидно, что тождественное отображение ݅݀
ିଵ
݅݀
ൌ݅݀. Кроме того, отображение ݅݀
ǣܣ՜ܣ обратимо и при этом
является инъекцией и сюръекцией.
Для всякой ассоциативной операции двусторонний обратный элемент един-
ственен. Действительно, пусть ݃
ǣܤ՜ܣи ݃ଶǣܤ՜ܣ два двусторонних об-
ଵ
ратных отображения для отображения ݂ǣܣ՜ܤ, то есть
ל݂ൌ݅݀,݂ל݃ଵൌ݅݀ и ݃ଶל݂ൌ݅݀,݂ל݃ଶൌ݅݀
݃
ଵ
.
Тогда
ሻ
ൌ݅݀ל݃ଶൌ ሺ݃ଵל݂ሻל݃ଶൌ݃ଵלሺ݂ל݃
݃
ଶ
ൌ݃
ଶ
ל݅݀ൌ݃ଵ. Значит, ݃ଵൌ݃
ଵ
ଶ
Условие обратимости отображения
Теорема. Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Необходимость
то есть существует такое отображение ݂
ିଵ
ל݂ൌ݅݀, ݂ל݂ିଵൌ݅݀
݂
ሺ֜ሻ
. Пусть отображение ݂ǣܣ՜ܤ обратимо,
ିଵ
ǣܤ՜ܣ, что
.
По свойствам инъективных и сюръективных отображений из условия
.
ିଵ
݂ל݂
композиции ݂ל݂
ൌ݅݀и сюръективности отображения ݅݀
ିଵ
, следует сюръективность отображения ݂:
ିଵ
ൌ
ל
݂
ݏݑݎ
݅݀
݂
֚
ݏݑݎ
כ
.
Из инъективности тождественного отображения ݅݀
ିଵ
ции ݂
ל݂ൌ݅݀ следует инъективность отображения ݂ǣ
, то есть из сюръективности
и инъективности компози-
47
ିଵ
ൌ
ל
݂
݂
כ
݅݀
Ǥ
֚
݅݊
݅݊
Поэтому ݂ – биекция.
Докажем достаточность
ሺ֚ሻ
. Пусть ݂ – биекция и ݂ǣܣ՜ܤ. Покажем, что
отображение ݂ – обратимо.
Для этого определим соответствие ݃ между элементами множеств ܣ и ܤ так:
Для произвольного элемента ܾאܤ в силу сюръективности отображения ࢌ
найдется элемент ܽאܣ, для которого ݂ሺܽሻൌܾ. Будем считать тогда, что
݃ሺܾሻൌܽ. Соответствие ݃определено на всем множестве ܤǤ Кроме того, соответствие ݃ является отображением. (Объясните, почему.)
Если бы ݂ሺܽሻൌ݂ሺܽ
Значит
ሺ
݃ל݂ሻሺܽ
ሻ
ଵ
ሻ
ൌܾ и ݃ሺܾሻൌܽǡ то ሺ݃ל݂ሻሺܽ
ଵ
്ܽ
и ݃ל്݂݅݀
ଵ
, то есть построенное нами исходя из
ሻ
ൌ݃൫݂ሺܽ
ଵ
ሻ
ൌ݃ሺܾሻൌܽ .
൯
ଵ
сюръективности отображения݂ соответствие ݃, не было бы обратным для ݃.
Поскольку отображение ࢌ – инъекция, то элемент ܽ в равенстве ݂ሺܽሻൌܾ
определен однозначно. Поэтому если ݃ሺܾሻൌܽ, то ݂ሺܽሻൌܾ.
Проверим, что отображение ݃ является обратным отображением для отоб-
ражения ݂, то есть проверим справедливость равенств
݃ל݂ൌ݅݀
, ݂ל݃ൌ݅݀
.
Действительно, пусть ܽאܣи ݂ሺܽሻൌܾ; тогда
ሺ
݃ל݂ሻሺܽሻൌ݃൫݂ሺܽ
Наоборот, пусть теперь ܾאܤ. Поскольку ݂ – сюръекция, то ܾൌ݂ሺܽ
ሻ
ൌ݃ሺܾሻൌܽൌ݅݀
൯
ሺܽሻ
ܽאܣฺ݃ל݂ൌ݅݀
.
ሻ
, и в силу
инъективности отображения ݂ и определения отображения ݃ имеем ݃ሺܾሻൌܽ.
Поэтому
ሺ
݂ל݃ሻሺܾሻൌ݂൫݃ሺܾ
Следствие. Если отображение ݂ – биекция, то ݂
поскольку ݂ל݂
обратное отображение для отображения ݂
ражение, значит, ݂
ሻ
ൌ݂ሺܽሻൌܾൌ݅݀
൯
ିଵ
ൌ݅݀ и ݂ିଵל݂ൌ݅݀, то отображение ݂ есть двустороннее
ିଵ
– биекция.
ሺܾሻ
ܾאܤฺ݂ל݃ൌ݅݀
ିଵ
– биекция. Действительно,
ିଵ
. Поэтому ݂
.
ିଵ
– обратимое отоб-
48
Односторонние обратные отображения
Рассмотрим односторонние обратные отображения и выясним, когда такие
отображения существуют.
Докажем, что
1) если отображение ןǣܣ՜ܤ инъективно, то существует левое обратное
отображение ߚǣܤ՜ܣ, для которого ߚלןൌ݅݀
;
2) если отображение ןǣܣ՜ܤ сюръективно, то существует правое обрат-
ное отображение ߛǣܤ՜ܣ, для которого ןלߛൌ݅݀
.
Рассмотрим сначала примеры односторонних обратных отображений.
Пример 1. Пусть ןǣԳ՜Գ и ןሺ݊ሻൌ݊ͳ. Зададим отображение
ߚǣԳ՜Գ по правилу ߚሺͳሻൌͳ и ߚሺ݊ሻൌ݊െͳ, если ്݊ͳ.
Нетрудно проверить, что ߚלןൌ݅݀
, значит, ߚ есть левое обратное отображе-
Գ
ние для отображения ן. Действительно, ሺߚלןሻሺ݊ሻൌߚሺ݊ͳሻൌ݊.
Пример 2. Рассмотрим теперь сюръективное, но не инъективное отображение
ןǣԳ՜Գ, задаваемое правилом: ןሺʹ݊െͳሻൌ݊ǡןሺʹ݊ሻൌ݊ǡ݊ൌͳǡʹǡǥ. Зададим отображение ߛǣԳ՜Գ следующим образом: ߛሺ݊ሻൌʹ݊. Нетрудно проверить, что ןלߛൌ݅݀
, значит, ߛ есть правое обратное отображение для отобра-
жения ן. Действительно,
ሺ
ןלߛሻሺ݊ሻൌןሺߛሺ݊ሻሻൌןሺʹ݊ሻൌ݊.
Для доказательства утверждения пункта 1 для инъективного отображения
ןǣܣ՜ܤ зададим отображение ߚǣܤ՜ܣ следующим образом.
, где ܽ
Если ܾבܫ݉ሺܣሻ, то положим ߚሺܾሻൌܽ
– фиксированный элемент мно-
жества ܣ.
Если ܾאܫ݉ሺܣሻ, то ܾൌןሺܽሻ для некоторого элемента ܽאܣ. Положим
ߚሺܾሻൌܽ. Поскольку из условий ܾൌןሺܽሻ и ܾൌןሺܽԢሻ следует, что ܽൌܽԢ в
49
силу инъективности отображения ן, то отображение ߚ задано корректно.
ᇣ
Проверим, что ߚלןൌ݅݀
. Действительно, если ܽאܣ, то
ሺ
ߚלןሻሺܽሻൌߚ൫ןሺܽ
ሻ
ൌܽ֜ߚלןൌ݅݀
൯
.
Для доказательства утверждения пункта 2 для сюръективного отображения
ןǣܣ՜ܤ зададим отображение ߛǣܤ՜ܣ следующим образом. Поскольку
ן− сюръективное отображение, то у любого элемента ܾאܤ существует хотя
бы один прообраз. Пусть это элемент ܽאܣ, то есть ܾൌןሺܽ
ߛሺܾሻൌܽ, то есть ߛ൫ןሺܽ
Проверим, что ןלߛൌ݅݀
ሺ
ןלߛሻሺܾሻൌןሺߛሺܾሻሻൌן൭ߛ൫ןሺܽ
ሻ
ൌܽ.
൯
. Действительно,ܾൌןሺܽሻܾאܤ, поэтому
ሻ
൱ൌܾܾאܤ֜ןלߛൌ݅݀
൯
ୀ
ሻ
. Положим
.
Нетрудно проверить, что отображения ןלߚ и ߛלן не являются тождествен-
ными отображениями для разобранных выше примеров. Действительно,
ሺ
ߛלןሻሺʹ݊െͳሻൌߛሺןሺʹ݊െͳሻሻൌߛሺ݊ሻൌʹ݊.
ሺ
ןלߚሻሺͳሻൌןሺߚሺͳሻሻൌןሺͳሻൌʹ,
Замечание 1. Если существуют и правое и левое обратные отображения, то они
равны. Действительно,
ିଵ
ן
ˎˈ˅
לןלן
ିଵ
˒˓˃˅
ൌሺן
ିଵ
לןሻלן
ˎˈ˅
ିଵ
˒˓˃˅
ൌן
ିଵ
˒˓˃˅
.
С другой стороны,
Значит, ן
ିଵ
˒˓˃˅
ൌן
ିଵ
לןלן
ן
ˎˈ˅
ିଵ
Ǥ Поэтому если отображение сюръективно, но не инъек-
ˎˈ˅
ିଵ
˒˓˃˅
ൌן
ିଵ
ל൫ןלן
ˎˈ˅
ିଵ
˒˓˃˅
൯
ൌן
ିଵ
ˎˈ˅
.
тивно, или инъективно, но не сюръективно, то для него существует только од-
ностороннее обратное отображение.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]