Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Степень многочлена и ее свойства
В дальнейшем мы в основном будем опускать знак умножения כ и вместо
ܨൌ݂
݂ଵכݔ݂ଶכݔଶ…݂כݔ писать ܨൌ݂݂ଵݔ݂ଶݔଶ...݂ݔǤ
Напомним, что для ненулевого многочлена последний, считая слева направо,
коэффициент многочлена ܨ называют старшим коэффициентом, а показатель
ݔ
степени старшего одночлена ݂
– степенью многочлена, которую обознача-
ют ݀݁݃ܨ:
ሻ
݂ଵݔ݂ଶݔଶڮ݂ݔ
݀݁݃ሺ݂
ൌ݊.
Слагаемые ݂
ݔ будем называть одночленами, а одночлен ݂ݔ
– старшим од-
ночленом. Степень нулевого многочлена не определена, хотя иногда ее удоб-
но считать равной
ሺെλሻ
.
Свойства степени многочлена
Для ненулевых многочленов ܨ и ܩ справедливы следующие свойства.
1) Если многочлен ܨܩ отличен от нулевого многочлена, то
݀݁݃ሺܨܩሻሺ݀݁݃ܨǡ݀݁݃ܩ
2) ݀݁݃ሺܨכܩሻൌ݀݁݃ܨ݀݁݃ܩ, если в кольце ܣ нет делителей нуля.
Проверим, например, последнее равенство. Пусть ݀݁݃ܨൌ݉ǡ݀݁݃ܩൌ݊ и
݂ଵݔǥ݂ݔǡ്݂Ͳǡ݉Ͳǡ
ܨൌ݂
ܩൌ݃
݃ଵݔǥ݃ݔǡ്݃Ͳǡ݊Ͳ.
Многочлен ܨכܩ можно записать в виде
ା
ሻ
ݔ
ܨכܩൌሺ݂
ή݃
одночлены меньших степеней.
Поскольку кольцо коэффициентов целое, то ݂
Поэтому ݀݁݃ሺܨכܩሻൌ݉݊.
ሻ
;
്Ͳ.
ή݃
91
Деление многочлена с остатком на
ненулевой многочлен
Деление многочленов с остатком, как и деление целых чисел с остатком, произ-
водят только на ненулевой многочлен.
Пусть ܣ – целое кольцо, ܣ ሾݔሿ – кольцо многочленов над кольцомܣ.
Определение. Если многочлен ܨ можно представить в виде ܨൌܩכܴܳ, где
ܨǡܩǡܳǡܴאܣ ሾݔሿ, и при этом многочлен ܴ или нулевой (символически ܴൌ),
или ܴ݀݁݃൏݀݁݃ܩ, то говорят, что многочлен ܨ разделили с остатком на
ненулевой многочлен ܩ.
При этом многочлен ܳ называют неполным частным, а многочлен ܴ называ-
ют остатком.
Частные случаи.
1. Нулевой многочлен можно разделить с остатком на любой ненулевой
многочлен ܩ, поскольку в любом кольце произведение нуля на любой
элемент кольца есть ноль. Поэтому ൌܩכ, то есть неполное
частное и остаток –
это нулевые многочлены
.
2. Если ܨ് и степень многочлена ܨ меньше степени многочленаܩ, то
есть ݀݁݃ܨ൏݀݁݃ܩ, то деление с остатком также возможно:
ܨൌܩכܨณ
– искомое представление.
ୀோ
Для остальных случаев возможность деления с остатком гарантируется следу-
ющей теоремой.
Теорема (о возможности и единственности деления с остатком в кольце ܣ ሾݔ
ሿ
,
где ܣ – целое кольцо).
Если старший коэффициент многочлена ܩ обратим в кольцеܣ, то многочлен ܨ
можно разделить и притом единственным образом на многочлен ܩ с остатком.
92
Доказательство. Возможность деления.
ᇣ
Для нулевого многочлена возможность деления уже разобрана в частном слу-
чае 1. Поэтому мы должны рассмотреть только случай ܨ്.
Возможность деления с остатком ненулевых многочленов докажем индукцией
по степени многочленаܨ.
1. База индукции. Если ܨ − многочлен нулевой степени, то ܨൌ݂
്Ͳ и воз-
можны два случая.
а. Многочлен ܩ имеет нулевую степень, то есть ݀݁݃ܩൌͲ. Тогда ܩൌ݃
ିଵ
По условию теоремы существует ݃
ିଵ
ющее равенство: ܨൌ݃
݂
݃
ୀொ
. В этом случае можно записать следу-
ณ
, то есть искомое представление
ୀோ
്Ͳ.
получено.
б. Степень многочлена ܩ положительна, то есть ݀݁݃ܩͲ. Тогда мы имеем
частный случай 2, рассмотренный ранее.
2. Индукционный переход. Предположим, что утверждение верно для много-
членов степени не большей, чем ݊. Докажем утверждение теоремы для многочленов степени݊ͳ. Возможны два случая.
а. ݀݁݃ܨ൏݀݁݃ܩ. Тогда все доказано, поскольку это второй из рассмотренных
выше частных случаев.
б. ݀݁݃ܨ݀݁݃ܩ. Запишем многочлены с использованием их коэффициентов.
ାଵ
ݔ
ܨൌ݂
ାଵ
݂ݔڮ݂ଵݔ݂, ܩൌ݃ݔڮ݃ଵݔ݃
Нетрудно проверить, что если ܪൌܨെ݂
ାଵή݃
ିଵ
ήݔ
ାଵି
ήܩ, то у многочлена
.
ܪ старший одночлен имеет степень не больше, чем ݊.
(Чтобы определить необходимый множитель, «выравнивающий» степень и
старшие одночлены многочленов ܨ и ܩ, нужно, хотя в кольце многочленов нет
ାଵ
ݔ
операции деления, как бы разделить старший одночлен ݂
ାଵ
делимого на
93
старший одночлен делителя ݃ݔ
курсе алгебры, и получить ݂
, действуя так, как это делается в школьном
ାଵି
ିଵ
ାଵή݃
ήݔ
.)
Если ܪ – нулевой многочлен, то мы разделили ܨ на многочлен ܩ с нулевым
остатком. Осталось рассмотреть случай, когда ܪ – ненулевой многочлен. По
предположению индукции многочлен ܪ можно разделить с остатком на многочлен ܩ и получить равенство ܪൌܩήܳ
левой многочлен, или ܴ݀݁݃
൏݀݁݃ܩ. В случае ܴ݀݁݃ଵ൏݀݁݃ܩ для многочле-
ଵ
, где ܳଵǡܴଵאܣሾݔሿ, а ܴ
ଵܴଵ
– или ну-
ଵ
на ܨ имеем требуемое представление:
ܨൌܪ݂
ାଵή݃
и многочлен ݂
ିଵ
ൌሺ݂
ାଵή݃
ήݔ
ିଵ
ାଵି
ήܩൌܩήܳଵܴଵ݂
ିଵ
ାଵή݃
ାଵି
ήݔ
ήݔ
ܳଵאܣሾݔሿ есть неполное частное, а ܴ
ାଵି
ܳ
ሻ
ήܩܴ
ଵ
ାଵή݃
ାଵି
ିଵ
ήݔ
ǡ
ଵ
ήܩൌ
ଵ
–
остаток.
Задача. Рассмотрите оставшийся случай, когда ܴ
– нулевой многочлен и за-
ଵ
вершите доказательство возможности деления.
Однозначность деления. Пусть имеется два представления указанного вида, то
есть
1) ܨൌܩήܳ
2) ܨൌܩήܳ
, причем ܴଵ – нулевой многочлен или ܴ݀݁݃ଵ൏݀݁݃ܩ, и
ଵܴଵ
, причем ܴଶ – нулевой многочлен или ܴ݀݁݃ଶ൏݀݁݃ܩ.
ଶܴଶ
Тогда справедливо равенство ܩήሺܳ
гда многочлены ܳ
члена ܴ
определена, и в силу того, что ܴ݀݁݃ଵ൏݀݁݃ܩ и ܴ݀݁݃ଶ൏݀݁݃ܩ,
ଶെܴଵ
, ܴଵ и ܴଶ – ненулевые. Если ܴଶ്ܴ
ଵെܳଶ
получаем
݀݁݃ሺܴଶെܴ
С другой стороны, из условия ܴ
степень многочлена ܳ
94
ଵെܳଶ
ଶ്ܴଵ
и при этом ሺܳଵെܳ
ሻ
ଵെܳଶ
ሻ
ଵ
ൌܴ
൏݀݁݃ܩ.
ଶെܴଵ
следует, что ܳଶ്ܳ
. Рассмотрим случай, ко-
, то степень много-
ଵ
, и тогда определена
ଵ
ሻ
Ͳ. Поэтому
ଶ
݀݁݃ሺܴଶെܴ
ᇣ
ᇣ
Таким образом, если ܴ
ሻ
ൌ݀݁݃൫ܩήሺܳ
ଵ
ଶ്ܴଵ
, то неравенства
одновременно, что невозможно. Поэтому ܴ
ଵെܳଶ
ሻ
ൌ݀݁݃ܩ݀݁݃ሺܳ
൯
и
, и тогда в силу отсутствия
ଶൌܴଵ
ሻ
ଵെܳଶ
должны выполняться
݀݁݃ܩ.
делителей нуля в кольце многочленов над целым кольцом и того, что ܩ്,
получаем ܳ
ଶൌܳଵ
.
Задача. Рассмотрите оставшиеся случаи и завершите доказательство един-
ственности деления.
Следствие. В кольце многочленов над полем деление с остатком может быть
выполнено на любой ненулевой многочлен (Докажите!).
На практике деление осуществляют с помощью деления уголком. Рассмотрим
это на следующем примере.
Пример. Разделим многочлен ܨൌݔ
ܩൌ͵ݔ
ଶ
െʹݔ в кольце ԺሾݔሿǤ Данный пример не подходит под условие при-
ଷെݔଶ
ͳʹݔͳͳ на многочлен
веденной выше теоремы, однако деление с остатком можно провести и в этом
случае, действуя способом, приведенным в доказательстве теоремы.
Для этого заметим, что можно домножить многочлен ܩ на некоторый много-
член так, чтобы старший одночлен произведения стал равен старшему одно-
члену многочлена ܨ.
В качестве такого множителя нужно взять многочлен ʹݔ и рассмотреть произ-
ଷ
ведение ʹݔήܩൌݔ
Разность ܨെʹݔήܩൌ͵ݔ
െͶݔଶͳͶݔ.
ଶ
െʹݔ ͳͳ можно снова разделить на многочлен ܩ.
Для этого умножим многочлен ܩ просто на многочлен ͳ (нулевой степени) и
получим ͵ݔ
െʹݔͳͳൌ͵ݔଶെʹݔ
ீήଵୀீήொ
Ͷณ
.
ୀோ
భ
భ
ଶ
Окончательно
ܨൌʹݔήܩܩήͳͶ, то есть ܨൌܩή൭ʹݔͳ
ୀொ
൱
Ͷณ
.
ୀோ
95
Поскольку степень многочлена Ͷ меньше степени многочлена-делителя, деление с остатком выполнено. Таким образом, неполное частное равно ʹݔͳ,
а остаток равен Ͷ. Процедуру деления записывают коротко в виде схемы деле-
ния уголком следующим образом.
32
xx x
61211
32
xx x
6414
2
xx
3211
2
xx
327
4
2
xx
327
xQ
21
R
Схема Горнера
Коэффициенты неполного частного и остаток при делении на двучлен
ܩൌݔെܿ вычисляются особенно просто и записываются в виде следующей
схемы. Пусть ܨൌ݂
ݔڮ݂ݔ, ݂אܣǡ݅ൌͲǡǥǡ݊Ǥ Результат деления
݂ଵ
многочлена ܨ на многочлен ܩ с остатком можно записать в виде
ܨൌሺݔെܿሻήܴܳ, где ܴൌ или ܴ݀݁݃൏ͳ, то есть
ିଵ
ሻ
݂
ݔڮ݂ݔൌሺݔെܿሻሺݍݍଵݔڮݍ
݂ଵ
ିଵ
ݎ
ݔ
, где ݎאܣ.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной ݔ в левой
и правой частях равенства, получим следующее.
Приравняем коэффициенты при степенях ݔ
в левой и правой части равенства.
x Одночлен, содержащий степень ݔ
, получится, только если в первой скобке
взять слагаемое ݔ, а во второй – слагаемое ݍ
݂
ൌݍିଵ
Итак, ݂
.
ൌݍିଵ
или ݍ
ିଵൌ݂
. Эти равенства записаны в левом и правом
столбцах приведенной ниже таблицы.
96
ିଵ
ିଵ
ݔ
. Приходим к равенству
ିଵ
݂ൌݍ
ିଵ
֜
ݍ
ିଵൌ݂
݂
ିଵൌݍିଶ
െܿήݍ
ିଵ
֜
ݍ
ିଶൌ݂ିଵ
ܿήݍ
ିଵ
… …
݂ଵൌݍെܿήݍ
ଵ
֜
ݍൌ݂ଵܿήݍ
ଵ
݂ൌݎെܿήݍ
֜
ݎൌ݂ܿήݍ
݂
݂
ିଵ
…
݂
ଶ
݂
ଵ
݂
ܿ
݂
݂
ିଵ
ܿήݍ
ିଵ
…
݂ଶܿήݍ
ଶ
݂ଵܿήݍ
ଵ
݂ܿήݍ
ݍ
ିଵ
ݍ
ିଶ
…
ݍ
ଵ
ݍ
ݎ
ିଵ
в левой части равен ݂
ିଵ
ݔ
во второй скобке умножается на число Ȃܿ из первой
. В правой части степень
ିଵ
x Коэффициент при ݔ
ିଵ
получается в двух случаях:
ݔ
1. Одночлен ݍ
скобки.
2. Одночлен ݍ
вой скобки. Поэтому для коэффициентов при ݔ
݂
ିଵൌݍିଶ
ݍ
ିଶൌ݂ିଵ
ݔ
ିଶ
െܿήݍ
ܿήݍ
ିଶ
во второй скобке умножается на многочлен ݔ из пер-
ିଵ
получаем равенство
. Выражаем ݍ
ିଵ
.
ିଵ
и получаем
ିଶ
Снова записываем их в левый и правый столбец соответственно. Продол-
жая таким же образом, получаем:
Для удобства записывают вычисление коэффициентов ݍ
де таблицы
В последней строке указано, какой коэффициент ݍ
строке. Когда производят вычисления в числах, последнюю строку не пишут.
Пример 1. Выполним деление с остатком для многочленов
ܨൌʹݔ
ܿൌ͵ǡ݊ൌǤ Имеем таблицу
вычисляется в средней
െͳͳݔସെͳͻݔଷെݔଶͺݔ и ܩൌݔെ͵. В данном примере
ିଵǡݍିଶ
ǡǥǡݍǡݎ
в ви-
97
ʹ Ͳ െͳͳ
െͳͻ
െ ͺ
͵ ʹ ʹ
െͳ ͷ ʹͳ
ݍ
ହ
ݍ
ସ
ݍ
ଷ
ݍ
ଶ
ݍ
ଵ
ݍ
ݎ
Таким образом, остаток равен 21 и результат деления с остатком таков:
ʹ Ͳ െͳ
െͳ
െͳͶͲ
Ͷͻ ͵ െ͵ ʹ െ
ͳ
െͷʹ
ͳ ͳ Ͳ
͵
ͷ
͵
െ ʹ
ͻ
͵ ݕ ͵ ͷ ݐ
ݔ ͵ െ ݖ ʹ
ͻ
െͳͳݔସെͳͻݔଷെݔଶͺݔൌ
ʹݔ
ሻ
ൌሺݔെ͵ሻሺݍ
ݔହݍସݔସݍଷݔଷݍଶݔଶെݍଵݍ
ହ
ݎ
ൌ
ൌሺݔെ͵ሻሺʹݔ
ହ
ݔସݔଷʹݔଶെݔͷሻʹͳ.
Пример 2. Выполним деление с остатком для многочленов
െݔସെݔଷ
ʹݔ
െͳͶͲݔଶͶͻݔ͵ и ݔ͵.
Таким образом, остаток равен нулю и результат деления с остатком таков:
െݔସെݔଷ
ʹݔ
ൌሺݔ͵ሻሺʹݔ
െͳͶͲݔଶͶͻݔ͵ൌ
ହ
െݔସͳݔଷെͷʹݔଶͳݔͳ
ሻ
.
Пример 3. Восстановим пропущенные числа в схеме Горнера
Решение. Второй элемент первой строки очевидно равен 3. Недостающие чис-
ла в таблице обозначим символами ݔǡݕǡݖǡݐ. Таблица примет вид
Произведя вычисления по схеме Горнера, получим систему уравнений:
98
͵ݔݕൌെ
͵
െͻ ͵ ͷ ͳ ͵ െ
െ͵ ʹ ͻ
͵
െ
ͻ
ʹ
͵ ͷ ͳͲ
െ
ͳ
ʹ
͵
െ ʹ
ͻ
െݔ͵ൌݖ
൞
ݔݖͷൌʹ
.
ʹݔݐൌͻ
Подставим ݖ из второго уравнения в третье уравнение и получим
ݔሺെݔ͵ሻ͵ൌͲ֞ݔ
ଶ
െ͵ݔെ͵ൌͲ֞ʹݔଶെݔെͳൌͲ֞ݔൌ
Двум полученным решениям соответствуют два ответа
a) ݔൌͳ֜ݕൌെͻǡݖൌെ͵ǡݐൌǤ
Ответ 1:
ͳ
ଵ
.
ቈ
െ
ଶ
б) ݔൌെ
ଵ
֜ݕൌെ
ଶ
ଽ
ǡݖൌǡݐൌͳͲ.
ଶ
Ответ 2:
Функции, задаваемые многочленами, и их свойства
Всякий многочлен ܨൌ݂
ݔڮ݂ݔ, ݂אܣǡ݅ൌͲǡǥǡ݊ над целым коль-
݂ଵ
цом ܣ задает некоторое отображение из кольца ܣ в само кольцо .
А именно, если ܿ אܣ, то ܿհ݂
Элемент ݂
точке ܿ и обозначается ܨሺܿ
ܿڮ݂ܿ кольца ܣ называется значением многочлена в
݂ଵ
ሻ
.
ܿڮ݂ܿאܣ.
݂ଵ
99
Функцию, соответствующую многочлену ܨ будем обозначать ܨ
определению имеем ܨ
כ
ሺܿሻ
ൌ݂
ܿڮ݂ܿൌܨሺܿ
݂ଵ
ሻ
.
Проверим, что имеют место свойства:
כ
. Согласно
ሺ
1)
ܨܩሻሺܿሻൌܨሺܿሻܩሺܿ
ሺ
2)
ܨכܩሻሺܿሻൌܨሺܿሻήܩሺܿ
ሻ
;
ሻ
.
Проверим первое равенство. Можно считать, что в записи многочленов исполь-
зованы одни и те же степени ݔ
сутствующих больших степенях ݔ
членов ܨൌσ݂
Значит,
ሺ
ܨܩሻሺܿሻൌ
ݔ
и ܩൌσ݃ݔ
ୀ
σሺ
ୀ
, только у многочлена меньшей степени при от-
коэффициенты нулевые. Тогда для много-
݂
݃
имеем ܨܩൌ
ୀ
ሻ
σ
ൌ
ୀ
݂ܿ
ܿ
σ
݃ܿ
ୀ
σሺ
ୀ
ൌܨሺܿሻܩሺܿ
݂݃
ሻ
ሻ
ݔ
.
Для доказательства второго равенства в общем случае сначала проверим его
для одночленов: ܨൌ݂
ሺ
ܨכܩሻሺܿሻൌሺ݂
݃
ା
ݔ
ݔ и ܩൌ݃ݔ. В этом случае ܨכܩൌ݂݃ݔ
ሻሺܿሻ
ൌ݂
݃
ା
ܿ
ൌ݂ܿή݃ܿൌܨሺܿሻήܩሺܿ
ା
,
ሻ
, и равенство
доказано.
Запишем теперь многочлены в виде суммы их одночленов
ݑ
ൌ݂
ܨൌݑ
ݔ и ݒൌ݃ݔ
ݑଵ
:
ڮݑǡܩൌݒݒଵڮݒ
.
Тогда
ܨכܩൌσݑ
ୀ
σ
כ
ୀ
ݒൌ
σσ
ୀ
ୀ
ݑ
כݒ
и
.
ୀ
σσ
൫
ୀ
ሺܿሻ
ݑ
ቀ
ήݒ
ୀ
ሺܿሻ
ሺ
ܨכܩሻሺܿሻൌ
σσ
ൌ
ୀ
Равенство доказано.
100
ݑ
כݒ
ቁ
൯
σ
ൌ
ݑ
ୀ
ሺܿሻήσ
ୀ
ሺܿሻൌσσ
ୀ
ୀ
ሺܿሻ
ݑ
൫
כݒ
ሺܿሻ
ݒ
ൌ
ൌ
൯
ሺܿሻήܩሺܿሻ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]