Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ሺ

Точка

ͲǢͳሻ удовлетворяет уравнению ݔଶ൅ݕଶൌͳ. Поэтому ͳאܤ. Уравнению

ଶ൅ݕଶ

ൌͳ удовлетворяет также точка ሺͳǢͲሻ, поэтому ͳאܣ. Точка ሺͳǢͳ

ሻ

, по

определению прямого произведения, также должна принадлежать прямому

произведению, и если ܯൌܣൈܤ, то ее координаты должны удовлетворять

уравнению окружности. Но последнее неверно.

Наряду с прямым произведением двух множеств можно рассматривать также

прямое произведение ݇ множеств ܣ

ൈǥൈܣ௞. По определению, ܣଵൈǥൈܣ௞ൌሼሺܽଵǡǥǡܽ

ଵ

ǡǥǡܣ

ଵ

, которое обычно обозначают

௞

ሻ

ǡܽ

௞

ଵאܣଵ

ǡǥǡܽ௞אܣ

ሽ

௞

Понятно, что в случае конечных множеств ܣ прямом произведении равно ݊ሺܣሻή݊ሺܤሻ, где ݊ሺܯ

и ܣ

количество элементов в

ଵ

ଶ

ሻ

есть число элементов мно-

жества ܯ.

Индукцией по числу сомножителей можно показать, что

݊ሺܣ

ൈǥൈܣ

ଵ

ሻൌ݊ሺ

௞

ଵ

ሻ

ήǥή݊ሺܣ

ሻ

௞

Задача. Пусть ܣൌሼܽǡܾሽǡܤൌሼܿǡ݀ǡ݁ሽǤ Выпишите все элементы прямых произведений ܣൈܣǡܣൈܤǡܤൈܣǡܤൈܤǡܣൈܣൈܣ.

Бинарные отношения

Элементы двух множеств или одного и того же множества могут находиться в

различных отношениях по отношению друг к другу. Например, относительно

двух натуральных чисел можно выяснять, какое из них больше, или является ли

одно из них делителем другого. В обычной жизни мы также выясняем, в каком

отношении родства, например, находятся два человека, являются ли они,

например, членами одной семьи, а также является ли один человек старше или

«главнее» другого. Дадим определение математического понятия отношения.

Определение. Любое подмножество прямого произведения множеств ܣ и ܤ называется бинарным отношением между элементами множеств ܣ и ܤ. Таким образом, если ܴكܣൈܤ, то ܴ называется бинарным отношением. При

этом говорят, что если

ሺ

ݔǡݕሻאܴ, то для элементов ݔǡݕ выполняется отноше-

ние ܴ. Вместо записи ሺݔǡݕሻאܴ часто используют более простую запись ݔܴݕ.

Примеры.

x На множестве всех людей можно рассматривать отношения

быть родителем, быть сестрой, быть братом, быть друзьями.

x На множестве всех прямых плоскости можно рассмотреть отношение

быть параллельными или перпендикулярными.

x На множестве действительных чисел можно рассмотреть отношения «по-

рядка»: одно число строго меньше другого, одно число не больше друго-

го и т. д.

ଶ

x Множество ܴ точек на плоскости Թ

ଶ൅ݕଶ

൏ͳ также задает бинарное отношение между действительными

, задаваемое неравенством

числами. Например, числа ݔൌͲǡͷ и ݕൌͳ не находятся в этом отноше- нии, а числа ݔൌͲǡͷ и ݕൌͲǡͶ находятся в этом отношении.

Виды бинарных отношений

Перейдем теперь к рассмотрению бинарных отношений в случае, когда ܣൌܤ.

Рассмотрим наиболее распространенные (в математике) виды и примеры таких

бинарных отношений.

x Рефлексивные отношения. Так называются отношенияܴ на множестве

ܣ, обладающие свойством: для любого элемента ܽאܣ выполняется условие ሺܽǡܽሻאܴǤ

Примеры.

1. Отношение «число ݔ делит число ݕ» на множестве натуральных чисел яв-

ляется рефлексивным, поскольку каждое натуральное число является своим

делителем.

2. Отношение ݔ൏ݕ на множестве действительных чисел не является рефлек- сивным, а отношение ݔ൑ݕ является рефлексивным.

3. Отношения перпендикулярности и параллельности на множестве прямых

плоскости не являются рефлексивными отношениями, а отношение коллине-

арности на множестве векторов плоскости является рефлексивным отношени-

ем.

x Симметричные отношения. Так называются отношения ܴ на множестве

ܣ, у которых для любых элементов ܽǡܾאܣ из того, что ሺܽǡܾሻאܴ, следу-

ሺ

ет, что

ܾǡܽሻאܴ.

Примеры.

1. Отношение «число ݔ делит число ݕ» на множестве натуральных чисел не

является симметричным, поскольку, например, число 2 делит число 4, а 4 не

делит число 2.

2. Отношение ݔ൏ݕ на множестве действительных чисел не является сим- метричным; отношение ݔ൑ݕ также не является симметричным.

3. Отношения перпендикулярности и параллельности на множестве прямых

плоскости являются симметричными отношениями; отношение коллинеар-

ности на множестве векторов плоскости также является симметричным от-

ношением.

4. Полуплоскость, ограниченная прямой ݕ൐ݔ, задает отношение, не явля- ющееся симметричным отношением, а прямая ݕ൐െݔ задает симметричное

отношение.

Замечание.

Пусть отношение

то есть ܴكԹ

ܴ задает отношение на множестве действительных чисел,

ଶ

. Тогда рефлексивность и симметричность можно «видеть»:

для рефлексивных отношений все точки прямойݕൌݔ должны принадлежать множеству ܴ. Для симметричных отношений множество ܴ должно располагаться симметрично относительно прямой ݕൌݔ.

Задача. Изобразите множество решений неравенства ݕ൐ݔ и неравенства ݕ൐െݔ и, используя замечание, убедитесь в том, что первое отношение не

симметрично, а второе симметрично.

x Антисимметричные отношения. Так называются отношения, у которых

ݔܴݕ

для любых элементов ݔǡݕאܣ выполняется условие

൜

ݕܴݔ

ฺݔൌݕ.

Примеры.

1. Отношение «число ݔ делит число ݕ» на множестве натуральных чисел

является антисимметричным, поскольку если натуральное число ݔ делит число ݕ и число ݕ делит число ݔ, то ݔൌݕ.

2. Отношение «число ݔ делит число ݕ» на множестве целых чисел не явля- ется антисимметричным, поскольку если целое число ݔ делит целое число ݕ и число ݕ делит число ݔ, то ݔൌേݕ.

3. Отношение ݔ൑ݕна множестве действительных чисел является антисим- метричным, поскольку если ݔ൑ݕ и ݕ൑ݔ, то ݔൌݕ.

Транзитивные отношения. Так называются отношения, у которых для

любых элементов ݔǡݕǡݖאܣ выполняется условие

൜

ݔܴݕ

ݕܴݖ

ฺݔܴݖ.

Примеры.

1. Отношение ݔ൑ݕ(или ݔ൏ݕሻ на множестве действительных чисел явля-

ется транзитивным.

2. Отношение перпендикулярности прямых на плоскости не является тран-

зитивным.

3. Отношение делимости на множестве целых чисел является транзитивным.

x Отношения порядка. Все отношения порядка должны обладать свой-

ствами:

1. Антисимметричность.

2. Транзитивность.

3. Отношение нестрогого порядка должно кроме того быть рефлексивным.

Примеры. Отношение ك на множестве ܲሺܯ

ሻ

всех подмножеств данного

множества ܯ задает (нестрогий) порядок. Отношение ݔ൑ݕ также задает нестрогий порядок на множестве действи-

тельных чисел.

Задача. Приведите примеры бинарного отношения, которое

а. рефлексивно, транзитивно, но не антисимметрично;

б. транзитивно, симметрично, но не рефлексивно;

в. рефлексивно, транзитивно, но не симметрично;

г. рефлексивно, симметрично, но не транзитивно.

Областью определения отношенияܴكܣൈܣ называется множество таких элементов ݔאܣ, для которых существует такой элемент ݕאܣ, что ሺݔǡݕሻאܴ.

Область определения отношения ܴ будем обозначать ߜ Примеры. Область определения отношения ݔ

ки 0. Область определения отношения ݔ

ሾ

ка

െͳǢͳሿǤ

ଶ൅ݕଶ

ൌͳ состоит из всех точек отрез-

ோ

ൌͲ состоит из одной точ-

Задача. Докажите, что если ܴكܣൈܣ – транзитивно и симметрично на множе- стве ܣ и область определения ߜ

совпадает с ܣ, то ܴ – рефлексивно.

ோ

Представление бинарных отношений графами

Бинарные отношения на конечных множествах удобно изображать в виде схем,

называемых графами. Графом называется фигура на плоскости, состоящая из

конечного числа точек – вершин графа – и линий, соединяющих некоторые

из вершин. Соединяющие линии при этом называют ребрами графа. Линии мо-

гут быть прямыми или кривыми. Точки пересечения некоторых ребер графа

могут не быть вершинами графа. Ребро, на котором стрелкой указано направ-

ление, называется ориентированным ребром.

На рисунке, приведенном ниже, изображен граф с четырьмя вершинами и тре-

мя ориентированными ребрами.

Пусть  – непустое конечное множество, ؿൈ – бинарное отношение, за-

данное на этом множестве. Каждой паре

ሺ

ܽǡܾሻ элементов множества  при ് поставим в соответствие ориентированное ребро, идущее от точки  к точке . Паре ሺǡ

ሻ

поставим в соответствие петлю (см. рисунок ниже) с фик-

сированным направлением обхода (например, всегда против часовой стрелки).

Если в отношение  входит как пара ሺܽǡܾ

ሻ

, так и пара

ሺ

ሻ

ܾǡܽ

, то в графе отно-

шения есть два ребра с вершинами ܽ и ܾ, ориентированные в противоположных

направлениях. В этом случае два ребра заменяют одним.

Граф рефлексивного отношения содержит все петли.

В графе симметричного отношения все ребра неориентированные.

Антисимметричное отношение на языке графов описывается так: если есть

двусторонняя стрелка, то она является петлей.

Среди всех отношений особое место занимают отношения, которые являются

рефлексивными, симметричными и транзитивными. К таким отношениям отно-

сятся равенства, но не только они. Такие отношения называют отношениями

эквивалентности.

Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Разбиения

Определение. Отношение ܴكܣൈܣ называется отношением эквивалентно- сти на множестве ܣ, если оно

1) рефлексивно,

2) симметрично,

3) транзитивно.

Отношение эквивалентности будем символически обозначать знаком  и писать ܽܾ (а не ܴܾܽሻ.

Примеры.

1. Отношение подобия геометрических фигур является отношением эквива-

лентности.

2. Зададим отношение на множестве комплексных чисел:

ܴ֞݁ݖଵൌܴ݁ݖ

ଵܴݖଶ

ଶ

Задача. Докажите, что приведенные отношения являются отношениями экви-

валентности.

Определение. Множество элементов, эквивалентных элементу ܽǡназывается

классом эквивалентности этого элемента. Мы будем обозначать этот класс

эквивалентности символом ܥ

. Итак, ܥ௔ൌሼܽԢȁܽᇱאܣǡܽᇱܽ

௔

ሽ

Задача. Зададим отношение на множестве комплексных чисел:

ܴ֞݁ݖଵൌܴ݁ݖଶ. Найдите класс эквивалентности числа ͳ൅݅. Изобрази-

ଵܴݖଶ

те графически все элементы этого класса эквивалентности, то есть изобразите

на комплексной плоскости все комплексные числа, которые эквивалентны чис-

лу ͳ൅݅.

Свойства классов эквивалентности

1. Любой класс эквивалентности ܥ

не пуст.

௔

2. Классы эквивалентности двух элементов совпадают тогда и только тогда,

когда элементы эквивалентны: ܥ

௔

ൌܥ

ᇲ

֞ܽܽԢ.

௔

3. Классы эквивалентности не эквивалентных элементов не пересекаются;

ᇲ

תܥ

точнее, ܽ؂ܽԢ֞ܥ

௔

ൌ׎.

Доказательство.

1. В силу рефлексивности отношения  класс ܥ

содержит элемент ܽ и

௔

поэтому не пуст.

2. Докажем необходимость. Пусть классы эквивалентности двух элемен-

ᇲ

ൌܥ

тов совпадают, то есть ܥ Докажем достаточность. Пусть элементыܽ

ᇱ

ܽǤ Проверим, что ܥ௔ൌܥ

x Проверим сначала справедливость включения ܥ

смотрим произвольный элемент ܾ из класса эквивалентности ܥ ܾܽ и ܽ ܽ тельно, ܾאܥ

ᇱ

Ǥ Поскольку отношение  транзитивно, то ܾܽᇱǤ Следова-

ᇲ

и ܥ௔كܥ

௔

ᇲ

௔

. Тогда ܽᇱאܥ௔ǡ и поэтому ܽԢܽ.

௔

ᇱ

и ܽ эквивалентны, то есть

ᇲ

௔

ᇲ

كܥ

. Для этого рас-

௔

. Тогда

௔

x Точно так же проверяется справедливость обратного включения

ᇲ

كܥ௔. Поэтому ܥ௔ൌܥ

௔

3. Докажем необходимость. Пусть ܽ؂ܽԢ, но ܥ ܾאܥ

תܥ

௔

ᇲ

תܥ

и ܾܽ и ܾܽᇱ, то есть ܽܽ

௔

ᇲ

ൌ׎.

௔

Докажем достаточность. Пусть ܥ свойству ܥ

௔

ൌܥ

௔

ᇲ

௔

ᇲ

תܥ

௔

ᇲ

и, следовательно, ܥ௔תܥ

ᇲ

תܥ

௔

ᇱ

. Противоречие. Значит,

്׎. Тогда

௔

ൌ׎. Если ܽܽԢ, то по второму

ᇲ

ൌܥ௔്׎. Противоречие.

௔

Поэтому ܽ؂ܽԢ.

Непересекающиеся классы эквивалентности составляют все множество ܣ, и они

Число элементов

разбиения

Число ва-

риантов

3 6 4

не пусты. Такая система подмножеств называется разбиением данного множе-

ства.

Более точно, система подмножеств

ሼ

ǡ݅אܫሽ множества ܣ называется разбие-

௜

нием множества ܣ, если

്׎׊݅,אܫ,

1) ܣ

௜

2) ܣ

Пример. Покажем, что множество

ൌ׎׊݅ǡ݆אܫ, ്݆݅,

௜תܣ௝

ൌܣ.

௜௜

ሼ

ͳǡʹǡ͵ǡͶ

ሽ

имеет 15 различных разбиений.

Назовем элементы разбиения «осколками». Разбиение может содержать один

«осколок», два, три или четыре «осколка».

Всего имеется пятнадцать вариантов:

ሼ

ͳǡʹǡ͵ǡͶ

Тип ʹ൅ʹ , «два плюс два», то есть имеется два элемента разбиения

(осколка) и каждый элемент осколок содержит по два элемента множе-

ства

ሼ

ͳǡʹሽ׫ሼ͵ǡͶ

ሼ

ͳǡ͵ሽ׫ሼʹǡͶ

ሼ

ͳǡͶሽ׫ሼʹǡ͵

Тип ͵൅ͳ

ሽ

;

ሼ

ͳǡʹǡ͵ǡͶሽǤ

ሽ

;

ሼ

ͳǡʹǡ͵ሽ׫ሼͶ

ሼ

ͳǡʹǡͶሽ׫ሼ͵

ሼ

ͳǡ͵ǡͶሽ׫ሼʹ

ሼ

ʹǡ͵ǡͶሽ׫ሼͳ

ሽ

;

Тип ʹ൅ͳ൅ͳ ሼ

ͳǡʹሽ׫ሼ͵ሽ׫ሼͶ

10. ሼͳǡ͵ሽ,ሼʹ

11. ሼͳǡͶሽ,ሼʹ

12. ሼʹǡ͵ሽ,ሼͳ

13. ሼʹǡͶሽ,ሼͳሽ,ሼ͵

14. ሼ͵ǡͶ

ሽ, ሼͳሽ,ሼʹሽ

ሽ, ሼͶሽ ሽ, ሼ͵ሽ

ሼͶሽ

ሽ

Тип ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ

15. ሼͳሽ,ሼʹ

ሽ, ሼ͵ሽ, ሼͶሽ

Задача. Найдите все разбиения для множества

Теорема о разбиениях

ሼ

ͳǡʹǡ͵

ሽ

1. Всякое отношение эквивалентности задает разбиение этого множества.

2. Всякое разбиение множества задает отношение эквивалентности на этом

множестве.

Доказательство. Первое утверждение уже доказано выше. Докажем второе

ሽ

ሼ

утверждение. Пусть система подмножеств

множества ܣ есть разбиение.

௜

Зададим отношение эквивалентности следующим образом:

ᇱ

֞׌݅ǣܽǡܽᇱאܣ

ܽܽ

௜

Нужно проверить, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитив-

ᇱ

но. Первые два свойства очевидны. Проверим транзитивность. Пусть ܽܽ

ᇱᇱ

. Поскольку ܽܽᇱ, найдется такой индекс ݅, что ܽǡܽᇱאܣ

ܽԢܽ

௜

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]