Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Поскольку ܽԢܽᇱᇱ, найдется индекс ݆, для которого ܽᇱǡܽᇱᇱאܣ
ܴ݁ݖ
ݖ
ݔ
ݕ
ݖ
ݔ
ݕ
ܥ
௭
ݖ
ଵ
ܥ
௭
భ
ᇱ
В этом случае ܽ
אܣ и ܽᇱאܣ. Значит, ܽᇱאܣ
ൌ, если ്݆݅.
ܣ
ځ
.
Поэтому ݅ൌ݆, и тогда ܽǡܽ
ᇱǡܽᇱᇱ
אܣ, то есть ܽܽᇱԢ.
Фактормножества
Все (различные) классы эквивалентности образуют множество, которое называ-
ется фактормножеством отношения эквивалентности .
Приведем примеры фактормножеств.
Пример 1. Две точки на комплексной плоскости будем считать эквивалентны-
ми, если действительные части соответствующих комплексных чисел равны, то
ᇱ
есть ݖݖ
ܴ֞݁ݖൌܴ݁ݖᇱǤ
На чертеже изображено числоݖ и его действительная часть ܴ݁ݖ. В класс экви-
валентности ܥ
числа ݖ входят те и только те точки, у которых действительные
௭
части одинаковы и равны ܴ݁ݖ.
Все такие точки проектируются в точку ܴ݁ݖ на оси ܱݔ и поэтому лежат на пря-
мой ݔൌܴ݁ݖǡ параллельной оси ܱݕǤ
Пример 2. Две точки на комплексной плоскости будем считать эквивалентны-
ми, если их аргументы равны, то есть ݖݖ
ᇱ
֞ܽݎ݃ݖൌܽݎ݃ݖᇱǤ Нетрудно видеть,
что это отношение эквивалентности задано не на всей комплексной плоскости,
а только на множестве Թ
ଶ
ሼሺͲǢͲ
ሻሽ
, поскольку у точки
ሺ
ሻ
ͲǢͲ
аргумент не опре-
делен.
31
Класс эквивалентности числа ݖ есть луч, выходящий из начала координат (без
ݖ
ܥ
௭
ሺ
ݔǡݕ
ሻ
ܥ
ሺ
௫ǡ௬
ሻ
ݕൌ݇ଵݔ
ݕൌ݇ଶݔ
ݕ
самого начала координат) и образующий угол ܽݎ݃ݖ с положительным направлением оси Oݔ.
Пример 3. Для всех точек координатной плоскости Թ
ଶ
, первая координата ко-
торых отлична от нуля, то есть точек, не лежащих на оси ܱݕ, определим отно-
шение эквивалентности так:
௬
ሺ
ݔǡݕሻሺݔ
ᇱ
ǡݕԢሻ֞
௬ᇱ
ൌ
.
௫
௫ᇱ
Проверьте, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности – это
части прямых, проходящих через начало координат, содержащие все точки
прямой кроме начала координат. Эти прямые отличны от оси ܱݕ.
Упражнения. Проверьте, что следующие отношения являются отношениями
эквивалентности, и найдите классы эквивалентности.
1. Пусть ܣൌሼͳǡʹǡ͵ሽǡܲሺܣ) – множество всех его подмножеств. На множестве ܲሺܣሻ задано бинарное отношение ܴ:
ܴܻܺȁܺȁൌȁܻ
32
ȁ
.
Ответ: класс эквивалентности состоит из подмножеств, содержащих одно и то
же число элементов:
x Класс эквивалентности
x Класс эквивалентности
ሼሽ
;
ሼͳሽǡሼʹሽǡሼ͵ሽ
൛
, содержащий одноэлементные
ൟ
подмножества;
x Класс эквивалентности
ሼ
ͳǡʹሽǡሼʹǡ͵ሽǡሼͳǡ͵
൛
ሽ
, содержащий двухэлемент-
ൟ
ные подмножества;
ሼ
x Класс эквивалентности
2. На множестве Թ: ܽߩܾܽ
൛
ଶൌܾଶ
ሽ
ͳǡʹǡ͵
ൟ
ሺȁܽȁൌȁܾ
.
ȁሻ
.
Ответ: классы эквивалентности состоят из четырех точек, образующих
вершины квадрата:
эквивалентности
ሼሺ
ܽǡേܽሻǡሺെܽǡേܽሻǡܽאԹሽǤ Например, имеется класс
ሼሺ
ʹǡʹሻǡሺʹǡെʹሻǡሺെʹǡʹሻǡሺെʹǡെʹሻሽǤ Исключение состав-
ляет класс эквивалентности числа ноль, он состоит из одной точки.
3. На множестве ߪ
݂ߩ݃ሺܿאԹሻሺݔאԹሻሺ݂ሺݔሻൌ݃ሺݔሻܿ
Ответ: класс эквивалентности состоит из функции ݄ሺݔ
всех отображений Թ в Թ задано бинарное отношение ߩ:
Թ
ሻ
.
ሻ
и всех ее парал-
лельных сдвигов вдоль оси ܱݕǤ
4. На множестве ߪ
݂ߩ݃ሺݔאԹሻሺ݂ሺݔሻൌͲ՞݃ሺݔሻൌͲ
всех отображений Թ в Թ задано бинарное отношение ߩ:
Թ
ሻ
.
Ответ: класс эквивалентности состоит из функций с одинаковым множе-
ством нулей.
33
Отображения (функции). Равенство функций
Среди всех бинарных отношений ܴكܣൈܤ выделяется класс отношений, ко-
торые называются функциями.
Определение. Отношение ܴكܣൈܤ задает отображение множества ܣ во
множество ܤ (или функцию из множества ܣво множество ܤ), если для всяко-
го элемента ܽאܣнайдется такой элемент ܾאܤ, что ሺܽǢܾሻאܴ и при этом
элемент ܾ определен однозначно.
Подмножество ܴكܣൈܤ называется графиком этой функции. Множество ܣ
называется областью определения отображения.
По-другому. Пусть имеются множества ܣи ܤ. Если каждому элементу из множества ܣ поставлен в соответствие единственный элемент из множества ܤ, то
говорят, что задано отображение или функция из множества ܣво множество ܤ.
Отображение принято обозначать каким
-нибудь символом. Например, если
отображение обозначено символом ݂, то запись ݂ǣܣ՜ܤ читают так: при отображении݂ множество ܣ переходит во множество ܤ. При этом также пишут
݂ǣܾܽ, если элементу ܽאܣ ставится в соответствие элемент ܾאܤ. В этом
случае пишут также ܾൌ݂ሺܽ
ሻ
, как это и принято, например, в математическом
анализе.
Если ܴ – отображение (функция) и ሺܽǢܾሻאܴ, то элемент ܽ называют прообра-
зом элемента ܾ, а элемент ܾ называют образом элемента ܽ. Прообраз элемента
ିଵ
ܾאܤ символически обозначают так: ݂
Пример 1. Пусть ܴكԹൈԹൌԹ
ଶ
ሺܾሻ
.
и ܴൌሼሺݔǢݕሻאԹൈԹȁݔൌݕ
ଶ
ሽ
. Это отноше-
ние не задает функцию, поскольку элементу ݔൌͶ соответствует два элемента
ݕൌെʹ и ݕൌʹǤ
34
ଶ
Пример 2. Пусть ܴكԹൈԹ и ܴൌሼሺݔǢݕሻאԹൈԹȁݕൌݔ
ሽ
. Это отношение за-
дает функцию или отображение из Թ в Թ.
Определение. Два отображения ݂ и݃ множества ܣво множество ܤ будем счи-
тать равными, только если ݂ሺܽሻൌ݃ሺܽሻ для любого элементаܽאܣ.
Для произвольных отображений ݂ и݃ можно говорить об их равенстве только в
случае, когда их области определения равны, а их действия на любом элементе
из области определения одинаковы (݂ሺܽሻൌ݃ሺܽሻ для любого элементаܽ из об-
ласти определения).
Композиция отображений и ее свойства
Определение. Композицией отображений ݂ǣܣ՜ܤ и ݃ǣܤ՜ܥ называется
отображение, обозначаемое ݃ל݂, отображающее множество ܣво множество ܥ
по правилу:
ሺ
݃ל݂ሻሺܽሻൌ݃൫݂
Например, если ݂ሺݔሻൌݔ
ሺ
ܽ
ଶ
, то
ሻ
.
൯
ሺ
݂ל݂ሻሺݔሻൌ݂൫݂ሺݔ
ሻ
൯
ൌ݂ሺݔ
ଶ
ሻൌሺ
ଶሻଶൌݔସ
ݔ
Можно говорить, что для композиции݃ל݂ отображение ݂ осуществляется сначала (или что оно более раннее отображение), а отображение ݃ осуществляется
после отображения ݂Ǥ
В общем случае композиция не подчинена закону коммутативности.
Пример. Зададим отображения ݂ǣԹ՜Թ и ݃ǣԹ՜Թ так: ݂ሺݔሻൌݔ,
ଶ
݃ሺݔሻൌݔ
ሺ
݂ל݃ሻሺݔሻൌ݂൫݃ሺݔ
. Тогда
ሺ
݃ל݂ሻሺݔሻൌ݃൫݂ሺݔ
ൌ݂ሺݔ
ଶ
ሻ
ൌሺݔ
ሻ
൯
ሻ
ൌ݃ሺݔሻൌሺݔ
൯
ଶ
ሻ
, то есть ݃ל്݂݂ל݃.
ଶ
ሻ
ൌଶݔ;
Композиция тем не менее обладает свойством ассоциативности.
35
.
Теорема (об ассоциативности композиции отображений). Для любых отоб-
ሱ
ሱ
ᇣ
ሱ
ሱ
ражений ݂ǣܣ՜ܤ, ݃ǣܤ՜ܥ, ݄ǣܥ՜ܦ справедливо равенство:
ሺ
݄ל݃ሻל݂ൌ݄לሺ݃ל݂
ሻ
.
Доказательство. Приведенное выше равенство означает равенство отображе-
ний, то есть равенство областей определения этих отображений и одинаковость
действия на любом элементе из области определения.
Проверим сначала, что оба отображения имеют областью определения множе-
ство ܣ.
Для правой части равенства имеем: ܣ
ל
ܥ, ܣ
ሻ
לሺל
ܦ, то есть элементу мно-
жества ܣ поставлен в соответствие элемент множества ܦ.
Кроме того, ݂ሺܽሻ определено для любого элементаܽאܣ и ݂ሺܽሻאܤ. Отображение ݃ определено для любого элемента ܾאܤ, поэтому
ሺ
݃ל݂ሻሺܽሻൌ݃൭݂ሺܽ
ሻ
אܥ и отображение ݃ל݂ определено для любого
൱
ถ
א
элемента ܽאܣ. Поскольку ሺ݃ל݂ሻሺܽሻאܥ и отображение ݄ определено для
любого элемента ܿאܥ, то выражение ൫݄לሺ݃ל݂
ሻ൯ሺܽሻ
ൌ݄
ሺ
݃ל݂ሻሺܽ
൭
א
ሻ
൱
также
определено. Следовательно, множество ܣ является областью определения для
отображения ݄לሺ݃ל݂
ሻ
.
Для левой части равенства имеем: ܤ
ל
ܦ, ܣ
ሺ
לሻל
ܦ.
Аналогично рассуждая, заключаем, что область определения для отображения
݄לሺ݃ל݂ሻ есть множество ܣ. Осталось применить оба отображения к произ-
вольному элементу ܽאܣ и сравнить результаты:
݄לሺ݃ל݂
൫
36
ሻ൯ሺܽሻ
ൌ݄
ሺ
݃ל݂ሻሺܽ
൫
ሻ
ൌ݄ቀ݃൫݂ሺܽ
൯
ሻ
;
൯ቁ
ሺ
݄ל݃ሻל݂
൫
ሺܽሻൌሺ
൯
݄ל݃
ሻ
൫
݂ሺܽ
ሻ
ൌ݄ቀ݃൫݂ሺܽ
൯
ሻ
. Теорема доказана.
൯ቁ
Типы отображений
Пусть имеется отображение ݂ǣܣ՜ܤ.
Рассмотрим следующие типы отображений.
1. Сюръективное отображение, или сюръекция (от французского предлога
ݏݑݎ – на), – это отображение, обладающее свойством: любой элемент
ܾאܤ имеет хотя бы один прообраз, то есть ܾאܤ ܽאܣǣܾൌ݂ሺܽሻ.
По-русски иногда сюръективное отображение называют наложением или
отображением «на» (множество ܤሻ. Отображение, не являющееся сюръ-
ективным, будем называть несюръективным.
Множество, состоящее из образов всех элементов множества ܣ, то есть
ሼ
ܾאܤȁܽאܣǣܾൌ݂ሺܽሻሽ, называется образом отображения ݂ и обозна-
чается ܫ݂݉Ǥ
Таким образом, ܫ݂݉ൌሼܾאܤȁܽאܣǡܾൌ݂ሺܽ
ሻሽ
.
Сюръективность отображения ݂ǣܣ՜ܤ означает, что ܫ݂݉ൌܤ.
2. Инъективное отображение (инъекция) – это отображение, обладающее
свойством: у любого элемента bאܤ есть не более одного прообраза. Подругому, ݂ሺܽ
ሻൌ݂ሺ
ଵ
ሻ
ܽ
ଶ
֜ܽ
. В противном случае будем называть
ଵൌܽଶ
отображение неинъективным.
3. Биективное отображение (биекция): отображение, которое одновремен-
но сюръективно и инъективно. По-другому, у любого элемента bאܤ
имеется и притом только один прообраз.
Примеры.
1. Пусть ݂ǣԹ
ା
՜Թାǡпричем ݂ሺܽሻൌܽ
и инъективным отображением.
ଶ
. Тогда мы имеем дело с сюръективным
37
2. Отображение ݂ǣԹା՜ԹାሼͲሽ, ݂ሺܽሻൌܽ
ଶ
является инъективным, но не
сюръективным отображением: у элемента Ͳ нет прообраза. В данном случае
ܫ݂݉ൌԹ
ା്Թା
3. Та же формула ݂ሺܽሻൌܽ
не задает отображения в ܤൌԹ
4. Отображение ݂ǣԹ՜Թ , ݂ሺܽሻൌܽ
ሼͲ
ሽ
.
ଶ
, рассматриваемая на множестве ܣൌԹାሼͲ
ା
, поскольку не определен образ элемента Ͳ.
ଶ
задано, но оно не сюръективно и не инъ-
ективно: элементы ʹ и െʹ переходят в один и тот же элемент 4, а у элемента
ା
െʹ нет прообраза. В частности, ܫ݂݉ൌԹ
ሼͲሽ്Թ.
Композиция инъективных, сюръективных
и биективных отображений
Композиция сюръективных отображений
Сформулируем и докажем свойства композиции сюръективных отображений.
1. Композиция сюръективных отображений также сюръективна.
2. Если более позднее отображение не сюръективно, то композиция также не
сюръективна.
Следствие 1. Композиция отображений, не являющихся сюръективными
отображениями, также не сюръективна.
Следствие 2. Если композиция отображений сюръективна, то более позднее
отображение сюръективно.
3. Композиция не сюръекции и сюръекции может, как показывают приведен-
ные ниже примеры, быть как сюръективным, так и несюръективным отоб-
ражением.
ሽ
,
Запишем результаты всех возможных случаев в таблицу. При этом знаку כ
соответствует отображение произвольного типа. Сюръективному отображению
38
соответствует обозначение ݏݑݎ в таблице, а несюръективному отображению
݂ ݃ ݃ל݂
ݏݑݎ
ݏݑݎ
ݏݑݎ
כ
ሺݏݑݎ
ሻ
ሺݏݑݎ
ሻ
ሺݏݑݎ
ሻ
ݏݑݎ
כ
соответствует символ ሺݏݑݎሻǤ
Пусть имеются отображения ݂ǣܣ՜ܤ и ݃ǣܤ՜ܥ. Докажем свойство 1 (строка
1 таблицы). Рассмотрим произвольный элемент ܿאܥ. Отображение ݃ сюръ-
ективно, поэтому ܿൌ݃ሺܾሻ для некоторого элемента ܾאܤ. Отображение ݂
также сюръективно, поэтому ܾൌ݂ሺܽሻ для некоторого элемента ܽאܣ. Но тогда
ܿൌ݃ሺܾሻൌ݃൫݂ሺܽ
ሻ
ൌሺ݃ל݂ሻሺܽሻ. Значит, ܿ אܫ݉ሺ݃ל݂ሻ, поэтомуܥൌ ܫ݉ሺ݃ל݂
൯
ሻ
и отображение ݃ל݂ – сюръективно.
Докажем свойство 2: если более позднее отображение не сюръективно, то ком-
позиция также не сюръективна (строка 2 таблицы).
Действительно, если отображение ݃не сюръективно, то
у некоторого элемента
ܿאܥ нет прообраза при отображении ݃Ǥ В этом случае у элемента ܿ нет прооб-
раза и при отображении ݃ל݂, иначе нашелся бы такой элемент ܽאܣ, что
ሺ
݃ל݂ሻሺܽሻൌܿ. Тогда ܿൌ݃൫݂ሺܽ
ሻ
, и элемент ܿ имел бы прообраз ݂ሺܽሻאܤ и
൯
при отображении ݃. Противоречие.
В качестве следствия получаем, в частности, что композиция несюръективных
отображений также не сюръективна.
Докажем следствие 2: если композиция отображений сюръективна, то более
позднее отображение сюръективно. По-другому, если композиция ݃ל݂ – сюръ-
екция, то ݃ – сюръекция. Действительно, если бы отображение ݃ не было
сюръекцией, то по свойству 2
композиция
݃ל݂ также не была бы сюръекцией,
39
а это не так. Поэтому остается только случай, когда отображение݃ – сюръек-
݂ ݃ ݃ל݂
ሺݏݑݎ
ሻ
ݏݑݎ
כ
݂
݃
݂
݃
тивно.
Свойство 3, соответствующее строке
таблицы, проиллюстрируем примерами.
Пример 1. Композиция несюръективного отображения ݂ и сюръективного
отображения ݃ может быть не сюръективной. В нижеследующем примере
отображение ݂ – не сюръективно, отображение ݃ – сюръективно и отображение
݃ל݂– также не сюръективно.
Точками на рисунке, помещенном ниже, изображены элементы множеств, а
стрелки указывают, в какой элемент второго множества, находящийся конце
стрелки, переходит элемент первого множества, стоящий в начале стрелки.
Пример 2. Композиция несюръективного отображения ݂ и сюръективного
отображения ݃ может быть сюръективной. В нижеследующем примере отображение ݂ – не сюръективно, отображение ݃ – сюръективно и отображение
݃ל݂ – также сюръективно.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]