Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
ሼ
ᇣ
ᇣ
ʜʝʓሺܨǡܩሻሽൌሼʜʝʓሺܩǡܴ
ሻሽൌሼ
ଵ
ʜʝʓሺܴ
ሻሽ
ൌڮൌ ൝ʜʝʓ൭ܴ
ଵǡܴଶ
ถ
ǡܴାଵ
ୀ
൱ൡ
.
Но согласно рассмотренному выше примеру для НОД имеем
ܴ
א൝ʜʝʓ൭ܴǡܴ
ถ
ାଵ
ୀ
ൌሼʜʝʓሺܨǡܩ
൱ൡ
ሻሽ
, и все доказано.
Выражение НОД многочленов через исходные многочлены
Равенство ܨൌܩܳ
показывает, что остаток ܴ
ଵܴଵ
выражается через много-
ଵ
члены ܨ и ܩ:
Остаток ܴ
ܩൌܴ
ൌܩെሺܨܷଵܩܸ
ܴ
ଶ
выражаем сначала через многочлены ܩ и ܴ
ଶ
ଵܳଶܴଶܴ֜ଶ
ൌܨെܩܳଵൌܨܷଵܩܸଵ, где ܷଵൌͳǡܸଵൌെܳ
ܴ
ଵ
:
ଵ
ൌܩെܴଵܳଶ, а затем через многочленыܨ и ܩ:
ሻ
ܳ
ଵ
ଶ
ൌܨሺെܷଵܳ
ሻ
ܩሺെܸଵܳଶͳ
ଶ
ୀ
మ
ୀ
ሻ
.
మ
.
ଵ
Продолжая дальше таким же образом, получим выражение для остатка
ܴ
ൌܨܷܩܸ
.
Замечание. Проверьте, что при нахождении ʜʝʓሺܨǡܩ
можно использовать ассоциированные с ними (то есть умноженные на
ܨǡܩǡܴ
ሻ
вместо многочленов
ненулевой элемент поля) многочлены.
Пример. Найдем наибольший общий делитель многочленов
ଷ
െݔଶͳʹݔെͺ и ܩൌݔଶെݔെʹ .
ܨൌݔ
Разделим многочлен ݂ на многочлен ݃ с остатком:
111
32
2
2
R
6128
xx x
32
xx x
2
2
5148
xx
2
5510
xx
918 2
xRx
1
2
xx
5
x
2
.
Затем нужно разделить многочлен ܩ на остаток ܴ
можно использовать ассоциированный с ним многочлен
ܴ
ଵ
. Заметим, что вместо остатка
ଵ
ଵ
ܴଵൌݔെʹ. Мно-
ଽ
жество наибольших общих делителей при этом останется прежним.
2
xx x
xx x
Последний ненулевой остаток есть ܴ
ной записи НОД можно взять
Ответ: ʜʝʓሺݔ
ଷ
െݔଶͳʹݔെͺǡݔଶെݔെʹሻൌݔെʹ.
22
2
21
2
x
2
x
R
2
, поэтому в качестве наиболее компакт-
ଵ
ଵ
ܴൌݔെʹ.
ଽ
Решение задач по теме многочлены
Приведем примеры задач повышенной сложности из элементарной математики.
Задача 1. Докажите, что выражение ܽ
ଷܾଷܿଷ
െ͵ܾܽܿ делится на сумму
ܾܽܿ.
Для того чтобы это доказать, рассмотрим выражения ܽ
ଷܾଷܿଷ
െ͵ܾܽܿ и
ܾܽܿ как значение соответственно многочленов
ܨሺݔሻൌݔ
ଷܾଷܿଷ
െ͵ݔܾܿ иܩሺݔሻൌݔܾܿ в точке ݔൌܽ.
Делимость по теореме Безу означает, что остаток равен нулю. С другой сторо-
ны, остаток равен значению многочленаܨሺݔሻ в точке െሺܾܿ
ଷܾଷܿଷ
ܨሺെܾെܿሻൌെሺܾܿ
112
ሻ
͵ሺܾܿሻܾܿൌ
ሻ
:
ൌെܾଷെܿଷെ͵ܾଶܿെ͵ܾܿଶܾଷܿଷ͵ܾଶܿ͵ܾܿଶൌͲǤ
Делимость доказана.
Более сложная формулировка этой задачи имеет вид:
разложить ܽ
ଷܾଷܿଷ
െ͵ܾܽܿ на множители.
Для этого делим уголком или по схеме Горнера многочлен
ଷܾଷܿଷ
ݔ
bc bc bc bc
െ͵ݔܾܿ на многочлен ݔܾܿ:
10 3
13
bc b c
bc bc bc b c
2
3
bc bc bc b c
33 0
33
2
3
2233
33
и получаем:
ଷܾଷܿଷ
ݔ
െ͵ݔܾܿൌሺݔܾܿሻሺݔଶሺെܾെܿሻݔሺെܾെܿ
ଶ
ሻ
െ͵ܾܿ
ሻ
.
Или для ݔൌܽ
ଷܾଷܿଷ
ܽ
െ͵ܾܽܿൌሺܾܽܿሻሺܽଶሺെܾെܿሻܽሺܾܿ
ଶ
ሻ
െ͵ܾܿ
ሻ
.
В более симметричном виде ответ имеет вид:
ଷܾଷܿଷ
ܽ
െ͵ܾܽܿൌሺܾܽܿሻሺܽଶܾଶܿଶെܾܽെܽܿെܾܿ
ሻ
.
Задача 2. Докажите, что для произвольных действительных чисел ܽǡܾǡܿи про-
извольного действительного значения справедливо равенство
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
ሻ
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
ሻ
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
ൌͳ.
ሻ
Выражение, стоящее слева от знака равенства, с одной стороны, есть многочлен
второй степени, а с другой стороны, это функция от переменной ݔ.
На указанное равенство можно смотреть как на равенство функций, а с другой
стороны, как на равенство многочленов
ܨሺݔሻൌ
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
ሻ
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
ሻ
ሺ
௫ିሻሺ௫ି
ሺ
ିሻሺି
ሻ
и ܩሺݔሻൌͳ.
ሻ
Значения многочленов ܨሺݔሻ и ܩሺݔ
ሻ
совпадают в трех точках, а именно в точках
ܽǡܾǡܿ: ܨሺܽሻൌܨሺܾሻൌܨሺܿሻൌͳ. Поэтому многочлены ܨ и ܩ равны, поскольку
разность ܨെܩ есть многочлен второй степени, он имеет три корня, а это воз-
113
можно, по теореме о наибольшем возможном числе корней, только если много-
член ܨെܩ нулевой. Тем самым утверждение задачи доказано.
Задача 3. Разложите
ሺ
ݔݕݕݖݔݖሻሺݔݕݖሻെݔݕݖ на множители.
Выражениеሺݔݕݕݖݔݖሻሺݔݕݖሻെݔݕݖ является многочленом второй сте-
ଶ
пени относительно ݔ и легко приводится к виду ܽݔ
ሺ
ݕݖሻݔ
ଶ
ሺݕݖ
ଶ
ሻ
ݔሺݕݖሻݕݖ.
Разложение на множители теперь очевидно:ሺݕݖሻሺݔ
ܾݔܿ:
ଶ
ሺݕݖሻݔݕݖ
ሻ
.
Далее, по теореме Виета многочлен
ଶ
ݔ
ሺݕݖሻݔݕݖ имеет корни െݕ и െݖ. Поэтому
ଶ
ሺݕݖሻݔݕݖൌሺݔݕሻሺݔݖሻǤ
ݔ
Таким образом, окончательно имеем
ሺ
ݔݕݕݖݔݖሻሺݔݕݖሻെݔݕݖൌሺݔݕሻሺݔݖሻሺݕݖ
ሻ
.
114
Задания для проведения контрольных работ
͵
ʹ͵
െ͵ Ͳ
Ͷ
Вариант 1
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
ହ
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ହ
െʹݔଷ͵ݔെʹ, ܩൌെʹݔସ͵ݔଶെݔെʹ.
ܨൌݔ
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ܨൌሺݔ
ହݔଶ
ͳ
ଵହ
ሻ
.
, если
и ݔହ для многочлена
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସെݔଷ
ݔ
െͳ по степеням ݔʹ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
Вариант 2
1. Используя формулу
ሺ
ሻ
ܩכܨ
σ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
ହ
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ହ
ܨൌݔ
െͷݔଷݔଶെʹݔെͳ, ܩൌ͵ݔସ͵ݔଷെݔെʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ܨൌሺݔ
ସݔଷ
ͳ
ଵସ
ሻ
.
, если
и ݔ
для многочлена
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସെݔଷ
ݔ
െͳ по степеням ݔെʹ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
115
ʹ Ͷ ͳ
െʹ ͳʹ Ͷ
െͳͻ
ͳ
Ͷ ͳ ʹͳ
ʹ
Вариант 3
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ହ
ܨൌݔ
െͷݔସ͵ݔଷݔଶെʹݔെͳ, ܩൌ͵ݔସ͵ݔଷെݔെʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ସݔଷ
ܨൌሺݔ
ݔͳ
, если
ଶ
и ݔଷ для многочлена
ଵ
ሻ
.
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସെݔଷݔଶ
ʹݔ
െͷ по степеням ݔͳ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
Вариант 4
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ܨൌݔ
െͶݔସݔଷݔଶെͷݔെͳ, ܩൌ͵ݔସ͵ݔଷെݔെʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ସݔଷݔଶ
ܨൌሺݔ
ͳ
, если
ସ
ଵ
ሻ
.
и ݔ
ହ
для многочлена
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସ
Ͷݔଷെݔଶെͷ по степеням ݔെʹ.
ͷݔ
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
116
ʹ
െͷ
Ͳ
െ͵ െ
ͳʹͷ
െ͵ͷ
͵
Ͳ
ʹ ͳ ʹʹ ͳͷ
Вариант 5
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ହ
ܨൌݔ
͵ݔଷݔଶെͷݔെͳ, ܩൌͶݔହݔସʹݔଶെݔെʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ܨൌሺݔ
ହݔଶ
ݔͳ
ሻ
, если
ଶ
ଵଶ
.
и ݔ
ଷ
для многочлена
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସ
ͷݔ
ʹͶݔଷʹͻݔଶͳͺݔെͳ по степеням ݔͳ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
Вариант 6
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
циенты при степенях ݔ
െʹݔସͷݔଷݔଶെݔെͳ, ܩൌݔସʹݔଷݔʹ.
ܨൌݔ
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ସݔଷ
ܨൌሺݔ
ݔͳ
и ݔ
, если
ଷ
и ݔସдля многочлена
ଵଷ
ሻ
.
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସ
ͷݔ
െͳݔଷʹͻݔଶെͳͺݔെͳ по степеням ݔͳ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
117
ʹ ʹ
ͷ ʹ ͶͲ
ͳ͵ͷ
Ͳ
ʹ ͳ ͳ
ʹ ͵
ͳ
Ͳ
Вариант 7
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
ହ
и ݔ
циенты при степенях ݔ
ହ
ܨൌ͵ݔ
ݔଷݔଶെͷݔെͳ, ܩൌʹݔସ͵ݔଷെݔെʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степеняхݔ
ܨൌሺݔ
ହݔଷݔଶ
ͳ
, если
ସ
ଵସ
ሻ
.
и ݔ
ହ
для многочлена
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସ
ͶͶݔଷͳͳͻݔଶͳͷݔͳ по степеням ݔͳ.
ͷݔ
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
Вариант 8
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
циенты при степенях ݔ
ܨൌݔ
ͷݔସെʹݔଷݔଶݔെͳ, ܩൌݔସ͵ݔଷെݔଶʹ.
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ܨൌሺݔ
ସݔଶ
ͳ
ଵସ
ሻ
.
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен Ͷݔ
и ݔ
, если
ସ
и ݔ для многочлена
ସ
ʹݔଷെݔଶെͷ
по степеням ݔെʹ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
118
͵
Ͷ
ͳ
ͷ
െ ͳ െ͵
Вариан
Ͷ
Ͷ
ͳ
ͳ
െ ͳ Ͷ
т 9
1. Используя формулу
ሺ
ܩכܨ
σ
ሻ
ൌ
௦
݃ή
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
ڮ݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
вычисления коэффициентов произведения многочленов, вычислите коэффи-
ହ
и ݔ
циенты при степенях ݔ
െݔହ
ܨൌʹݔ
െʹݔଷݔଶݔെͳ, ܩൌ͵ݔସെʹݔଷെݔଶʹǤ
2. Вычислите коэффициенты при степенях ݔ
ܨൌሺݔ
ସݔଶ
ݔͳ
ሻ
, если
ଶ
и ݔଷ для многочлена
ଵ
.
3. Используя схему Горнера, разложите многочлен
ସ
ͷݔ
ʹͶݔଷʹͻݔଶͳͺݔെͳ по степеням ݔെʹ.
4. Восстановите пропущенные числа в схеме Горнера
Рекомендуемая литература
1. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: МЦНМО, 2007.
2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре
и теории чисел. М.: Просвещение, 1993.
4. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре.
М.: Наука, 1977.
5. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
6. Шеина Г. В. Теория и практика решения задач по алгебре. Часть 1.
М.: МПГУ, 2014.
119
Учебное пособие
Шеина Галина Валентиновна
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
Часть 2
2-е издание, стереотипное
электронное
Редактор
Оформление обложки
Компьютерная верстка
Управление издательской деятельности
и инновационного проектирования МПГУ
119571, Москва, Вернадского пр-т, д. 88, оф. 446.
Тел.: (499) 730-38-61
E-mail: izdat@mpgu.edu
Бум. офсетная. Печать цифровая. Объем 7,5 п. л.
Тираж 500 экз. Заказ № 387.
Дубовец В. В.
Удовенко В. Г.
Дорожкина О. Н., Ковтун М. А.
Формат 60х90/16.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]