Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика решения задач по алгебре. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
4. Суммирование по двум индексам.
Пусть числа расположены в виде прямоугольной таблицы (или матрицы,
как говорят в этом случае). Таблица имеет ݉ строк (горизонталей),
݊ столбцов (вертикалей) и имеет вид:
ܽ
ଵଵܽଵଶ
ܽଶଵܽ
ڮڮ
ܽ
ଵܽଶ
ଶଶ
ڮܽ
ଵ
ڮܽ
ଶ
ڮڮ
ڮܽ
.
Можно сначала просуммировать элементы матрицы, стоящие вдоль
строк, а полученные результаты сложить, а можно сначала просуммиро-
вать элементы каждого столбца, затем все полученные числа сложить.
И в том и в другом случае получится сумма всех элементов матрицы. Это
свойство записывается в виде равенства
При этом
σ
есть сумма элементов строки ݅, а сумма σܽ
ܽ
ୀଵ
σ൫σ
ୀଵ
ୀଵ
ܽ
σ൫σ
ൌ
൯
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
сумма элементов столбца ݆. Равенство означает, что знаки суммирования
по двум разным индексам можно переставлять.
Это равенство обычно пишут без скобок, и получается так:
σσ
ୀଵ
ୀଵ
ܽ
ൌ
σσ
ୀଵ
ୀଵ
ܽ
.
В частности, если имеется таблица
ୀଵ
ୀଵ
ଶ
ܽ
ܽ
ڮܽଵܾ
ڮܽଶܾ
ڮڮ
ڮܽ
ܾ
σ൫σ
ൌ
൯
ܾ
ሻ
ήܾ
ୀଵ
ሺσ
ൌ
,
ୀଵ
ܽ
ୀଵ
σ
ൌ
ܾܽ
൯
ୀଵ
ሻ
σ
ή
ܾ
ୀଵ
.
൯
൫
ୀଵ
ሻ
ൌ
ܽ
ቁ
ሺσ
ܾ
ή
ቀ
ܽ
ଵܾଵܽଵܾଶ
ܽଶܾଵܽଶܾ
ڮڮ
ܽ
ܾଵܾܽଶ
σ൫σ
то
ୀଵ
σሺσ
ൌ
ୀଵ
Это соответствует более привычной записи при раскрытии скобок по
дистрибутивности:
ሺ
ܽ
ଵ
ڮܽ
ሻሺ
ܾ
ڮܾ
ଵ
ሻ
ൌܽ
ଵܾଵܽଵܾଶ
ڮܾܽ
.
Заметим, что указанные равенства со знаком суммирования можно ис-
пользовать в любом кольце.
ܽ
൯
есть
Ǥ
81
Построение кольца многочленов над целым кольцом
Пусть кольцо ܣ является областью целостности. Бесконечную последователь-
ность элементов кольца будем называть многочленом над кольцом ܣ, если
только конечное число ее элементов отлично от нуля.
ሺ
Итак,
рого ݂
обозначать заглавной буквой ܨ. Кроме того, мы будем писать так: ሺܨ
ǡǥǡ݂ǡǥሻ, ݂אܣ есть многочлен, если найдется номер ݊, для кото-
݂
ǡ݂ଵ
ାଵൌ݂ାଶ
ൌڮ݂
ൌڮൌͲ. Коротко многочлен ሺ݂ǡ݂ଵǡǥǡ݂ǡǥ
ା
ሻ
ሻ
௦ൌ݂௦
будем
.
Последовательность, состоящую из одних нулей, будем называть нулевым
многочленом.
Для ненулевого многочлена последний (считая слева направо) ненулевой
коэффициент ݂
многочлена ܨ называют старшим коэффициентом, а его номер
݊ называют степенью многочлена.
Нулевому многочлену либо не приписывают никакой степени, либо считают ее
равной символу െλ.
Зададим на множестве многочленов две бинарные операции: сложение и умно-
жение многочленов.
Сложение многочленов
Пусть ܨൌሺ݂
ǡǥǡ݂ǡǥሻ и ܩൌሺ݃ǡ݃ଵǡǥǡ݃ǡǥ
ǡ݂ଵ
кольцом ܣ.
Определим сложение многочленов по правилу:
ܨܩൌሺ݂
݃ǡ݂ଵ݃ଵ
ǡǥǡ݂݃ǡǥ
ሻ
.
Задача. Проверьте, что
1) результат сложения есть многочлен;
82
ሻ
– многочлены над целым
2) сложение коммутативно и ассоциативно;
3) нулевая последовательность (то есть последовательность, состоящая из
одних нулей) играет роль нейтрального элемента по сложению; будем
называть ее нулевым многочленом и использовать для нулевого много-
члена символ ;
4) противоположный элемент для многочлена ܨ есть ሺെ݂
ǡെ݂ଵǡǥǡെ݂ǡǥ
Для него мы будем использовать обозначение െܨ.
Таким образом, относительно сложения многочлены образуют абелеву
группу.
Умножение многочленов
Определим произведение ܨכܩ многочленов ܨ и ܩ по правилу
ሺ
ሻ
ܨכܩ
ൌ
௦
ାୀ௦
݂ή
݃ൌ݂݃௦݂ଵ݃
௦ିଵ
ڮ݂
௦ିଵ݃ଵ݂௦݃
ൌ
ሻ
.
௦
ൌ݂
ୀ
ή݃௦ି
௦
ൌ݂
ୀ
௦ିή݃
Ǥ
В частности,
ሺ
ܨכܩ
ሺ
ܨכܩ
ሺ
ܨכܩ
ሻ
ൌ݂݃
ሻ
ଵൌ݂݃ଵ݂ଵ݃
ሻ
ଶൌ݂݃ଶ݂ଵ݃ଵ݂ଶ݃
,
,
.
Нетрудно видеть, что умножение многочленов коммутативно:
ሺ
ሻ
ൌ
݂ή
ܨכܩ
ሺ
ܩכܨ
݂
݃௦ൌ݃௦݂ǡ݂௦ିଵ݃ଵ
௦
ାୀ௦
ሻ
σ
ൌ
௦
ାୀ௦݂ൌ݂݃௦݃ଵ݂௦ିଵ
݃ൌ݂݃௦݂ଵ݃
݃ή
ൌ݃ଵ݂
௦ିଵ
ǡǥ
௦ିଵ
ڮ݂
ڮ݃
௦ିଵ݃ଵ݂௦݃
௦ିଵ݂ଵ݃௦݂
ǡ
и
Докажем, что умножение многочленов ассоциативно.
83
Преобразуем сначала сумму
ൌ݂
ή
݃ή݄
ାୀ௦
௦
ୀ
ή
ାୀ௦ି
ൌ݂
σ
ାାୀ௦݃ή݄
݂ଵή
ାୀ௦ିଵ
Ǥ
݃
ή݄
݂ή
݃ή݄
ൌ
ڮ݂௦ή
С другой стороны, эту же сумму можно представить так:
ൌ݄
ή
݂ή݃
ାୀ௦
݄ଵή
ൌ݄
௦
ୀ
ାୀ௦ିଵ
ή
݂ή݃
ାୀ௦ି
ڮ݄௦ή
Ǥ
݂
ή݃
Вычислим теперь координату ݏ многочлена ܨכሺܩכܪ
௦
ሺ
ܨכሺܩכܪ
൫
ሻ
൯
௦
ൌ݂ή
ୀ
ܩכܪ
ሻ
௦ି
݃ή݄
ାୀ
σ
ାାୀ௦݃ή݄
ାୀ
ሻ
.
݂
݂ή݃ൌ
ൌ
ൌ
ή
ൌ
ൌ݂
ൌ݂
ή
ήሺܩכܪ
ାୀ௦
݃ή݄
ൌ
ାାୀ௦
ሻ
௦݂ଵ
݂ଵή
ήሺܩכܪ
ାୀ௦ିଵ
݂
ή݃ή݄
ሻ
ڮ݂௦ήሺܩכܪ
௦ିଵ
݃ή݄
ڮ݂௦ή
Ǥ
ାୀ
ሻ
ൌ
݃ή݄
ൌ
Вычислим координату ݏ многочлена ሺܨכܩሻכܪ и сравним ее с координатой
ݏ многочлена ሺܨכܩሻכܪ:
௦
84
ൌ݄
൫
ήሺܨכܩ
ൌ݄
ሺ
ܨכܩሻכܪ
ሻ
௦݄ଵ
௦
ή
ୀ
ାୀ௦ି
൯
ήሺܨכܩ
ൌ݄ή
௦
݂
ή݃
ሺ
ܨכܩ
ୀ
ሻ
ڮ݄௦ήሺܨכܩ
௦ିଵ
ൌ
ାାୀ௦
ሻ
ൌ
௦ି
݂ή݃ή݄
ሻ
ൌ
Ǥ
Сравнивая результаты вычислений, видим, что умножение многочленов ассо-
циативно.
Задача. Проверьте (левую) дистрибутивность умножения относительно сложе-
ния, выписав для этого
ሺ
ܨܩሻכܪ
൫
ሺ
и
ܨכܪܩכܪ
൯
௦
Проверим, что многочлен ܩൌሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲǡǥ
ሻ
служит единицей для умноже-
ሻ
.
௦
ния многочленов.
Пусть ܨൌሺ݂
ሺ
ሻ
ܨכܩ
ൌ
ǡǥǡ݂ǡǥ
ǡ݂ଵ
ሺ
݂ǡ݂ଵǡǥǡ݂ǡǥሻכሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲǡǥ
൫
ሻ
. Тогда
ሻ
ൌ݂ήͳൌ݂
൯
,
а при ݏͳ
ሺ
ሻ
Поэтому
ܨכܩ
ሺ
݂
ǡǥǡ݂ǡǥሻכሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲǡǥሻൌሺ݂ǡ݂ଵǡǥǡ݂ǡǥ
ǡ݂ଵ
ሺ
ൌ
݂ǡ݂ଵǡǥǡ݂ǡǥሻכሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲǡǥ
൫
௦
ൌ݂
ด
௦ή݃
ୀଵ
݂
வ
௦ି
ή݃
ณ
ୀ
ൌ݂௦Ǥ
ሻ
ൌ
൯
௦
ሻ
.
Мы показали, что умножение справа любого многочлена ܨ на многочлен
ܩൌሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲǡǥሻ не изменяет его, то есть многочлен ܩ играет роль единич-
ного элемента в кольце многочленов.
С учетом свойств, отмеченных выше, получаем, что множество многочленов
относительно введенных операций сложения и умножения многочленов обра-
зуют кольцо, которое коммутативно и содержит единицу.
Можно предположить, что в построенном нами кольце многочленов нет дели-
телей нуля.
О делителях нуля в кольце многочленов
Теорема. В кольце многочленов над целым кольцом нет делителей нуля.
85
Доказательство. Пусть ܨ и ܩ – ненулевые многочлены над целым кольцом ܣǤ
ᇣ
и ݃
Покажем, что ܨכܩ также ненулевой многочлен. Пусть ݂
тая слева направо, ненулевые коэффициенты многочленов ܨи ܩ, то есть ݂
݃
്Ͳ, а ݂
Вычислим
ሺ
݅൏݆݈݇֞
ሺ
ܨכܩ
ା௦ൌ݃ା௦
ሺ
ܨכܩ
ሻ
ൌͲ, ݏൌͳǡʹǡǥ
ሻ
ା
ሻ
. Поэтому
ൌ
ା
ାୀା
. Заметим, что если ݆݅ൌ݈݇ для чисел ݅ǡ݆ǡ݇ǡ݈, то
݂ή
݃ൌ
வ
ାୀା
݂ή
݂݃ή݃
последние, счи-
வ
ାୀା
݂ή
݃ൌ
്Ͳ,
Но ݂
ൌ
வ
ାୀା
്Ͳ, поскольку в кольце ܣ нет делителей нуля. Поэтому ܨכܩ – не
ή݃
݂݃ή݃
Ͳή
வ
ାୀା
݂ή
Ͳൌ݂ή݃Ǥ
нулевой многочлен.
Обозначение. Кольцо многочленов над кольцом ܣ принято обозначать ܣሾݔ
ሿ
.
Следствие. Если ܣ – целое кольцо, то кольцо многочленов ܣሾݔሿтакже целое
кольцо. (Кольцо многочленов над целым кольцом есть целое кольцо.)
Примеры колец многочленов:
ሾݔሿ
ԺሾݔሿǢԺ
, где – простое число; ԷሾݔሿǢԷ
Замечание. Можно построить кольцо многочленов для кольца Ժ
ሾݔሿ
простое число. Тогда в кольце Ժ
будут делители нуля, и произведение
ሾݔሿǢԹሾݔሿǢԧሾݔሿ
ʹ
ൣ
൧
ξ
.
, если ݊ – не
ненулевых многочленов может стать равным нулевому многочлену.
ൌܽ
Задача. Пусть ܣ – кольцо и ܽאܣǤ Введем обозначение: ܽڄܽڄǥڄܽ
кажите, что ܽ
ڄܽൌܽା
для любых натуральных чисел ݉ и݊.
. До-
86
Переход к стандартной записи многочлена
ᇣ
ᇣ
ᇣ
Отождествим многочлен
ሺ
ܽǡͲǡǥǡͲǡǥ
ሻ
, все элементы которого, кроме первого,
равны нулю, с элементом ܽ кольца ܣ, то есть будем коротко записывать его как
просто ܽ.
Проверим, что если ܨ
ǡͳǡͲǡǥ
ͲǡǥǡͲ
൭
ต
ː˖ˎˋ
൱
то есть умножение на многочлен ܨ
ሺ
݃
ǡǥǡ݃ǡǥሻ.
ǡ݃ଵ
Действительно,
ሺ
ܨ
כܩ
ൌ൭ͲǡǥǡͲᇣǡͳǡͲǡǥ
כሺ݃
ǡ݃ଵ
ሺ
ܨ
ሻାଵ
൜
ሺ
ܨ
ൌͲǡ്݅݉ͳ
ሻ
௦
ሻ
ൌ
௦
ୀ
, то
൱
ต
ː˖ˎˋ
ǡǥǡ݃ǡǥሻൌቆͲǡǥǡͲᇣǡ݃ǡ݃ଵǡǥǡ݃ǡǥ
вставляет ݉ нулей слева в многочлен
ൌͳǡ
ሺ
ܨ
ሻή݃௦ି
. При условии, что ݏ݉, имеем:
௦
ൌͲή݃
ୀ
ൌͲǡݏൌͲǡͳǡǥǡ݉Ǥ
௦ି
,
ቇ
Значит, первые ݉ чисел в последовательности коэффициентов многочлена
ܨ
כܩ равны нулю.
При условии, что ݏൌ݉݇, ݇ൌͳǡʹǡǥимеем:
ሺ
כܩ
ܨ
ൌͳή݃
ା
ሻ
ൌ
ା
ିଵൌ݃ିଵ
ୀ
ሺ
ܨ
Ǥ
ሻή݃ାି
ൌ
ା
ୀ
ஷାଵ
ሺ
ܨ
ሻ
ୀ
ሻ
В частности, при ݇ൌͳ получаем ሺܨ
כܩ
ାଵൌ݃
коэффициентов на месте с номером ݉ͳ стоит ݃
ǡǥ
݃
ଵǡ݃ଶ
ή݃
ାି
ሺܨ
ሻାଵ
ୀଵ
ή݃
, то есть после ݉ нулевых
, затем будут стоять числа
ିଵ
ൌ
87
Суммируя все сказанное выше, получаем ܨכܩൌቆͲǡǥǡͲᇣǡ݃ǡ݃ଵǡǥǡ݃ǡǥ
ᇣ
ᇣ
ᇣ
.
ቇ
Чтобы перейти к более привычной или стандартной записи обозначим симво-
лом ࢞ многочлен ሺǡǡǡǥǡǡǥ
ሻ
.
Можно проверить, что
ቆ
ǡͳǡͲǡǥͲǡǥቇൌݔכݔכǥכݔᇣൌݔ
ͲǡǥǡͲ
Кроме того,
ǡܽǡͲǡǥͲǡǥቇൌሺܽǡͲǡǥǡͲǡǥሻכቆͲǡǥǡͲᇣǡͳǡͲǡǥͲǡǥቇൌܽכݔ
ͲǡǥǡͲ
ቆ
Заметив, что
ܨൌ
ሺͲǡͲǡͲǡǥǡ݂
ǡǥǡ݂ǡͲǡǥǡͲǡǥሻൌሺ݂ǡͲǡǥǡͲǡǥሻሺͲǡ݂ଵǡͲǡǥǡͲǡǥሻڮ
݂
ǡ݂ଵ
ǡͲǡǥǡͲǤǤ
ሻ
,
получаем стандартную запись многочлена:
݂ଵכݔ݂ଶכݔଶ+ … +݂כݔൌ
ܨൌ݂
௦
כݔ
Слагаемые ݂
כݔ
– старшим одночленом.
݂
Числа ݂
ǡ݂ଵ
в этой сумме называются одночленами, а одночлен
௦
ǡǥǡ݂
называют коэффициентами многочлена. Произведение мно-
σሺ
гочленов можно записать в виде
ା
ሺ
ܨכܩൌ
௦ୀ
ܨכܩ
ሻ
ݔ௦ൌ
௦
௦ୀ
ା
௦ୀ
݂௦כݔ
௦
כ
ݔ
௦
ሻ
.
ାୀ௦
.
.
݂
ή݃
Ǥ
Задача. Докажите справедливость равенства
ǡͳǡͲǡǥͲǡǥቇכቆͲǡǥǡͲᇣǡͳǡͲǡǥͲǡǥቇൌቆͲǡǥǡͲᇣǡ
ͲǡǥǡͲ
ቆ
справедливо равенство ݔ
88
כݔൌݔ
ା
.
ା
ͳǡͲǡǥͲǡǥ
, то есть
ቇ
Примеры вычислений коэффициентов многочлена
Рассмотрим примеры вычислений коэффициентов многочлена с помощью
формулы ܨכܩൌ
ା
σሺ
ܨכܩ
௦ୀ
ሻ
௦
ݔ௦ൌ
σ
ା
௦ୀ
௦
σ
כ
ݔ
݂
ή݃
, приведенной
ାୀ௦
выше.
Пример 1. Вычислим коэффициент при степени ݔ
ସݔଷ
ሺ
ݔ
ݔͳ
Решение. Чтобы получить ݔ
x в двух скобках взять ݔ
риантов равно ܥ
x или в одной скобке взять ݔ
в остальных взять 1. Число вариантов равно ܥ
ଷ
способов выбрать три скобки, затем из них нужно выбрать ту, в ко-
(ܥ
ଵ
торой берем ݔ
ଵ
ሻ
.
ଵήଽ
ଶ
ൌ
ଵ
ଶ
ସ
, это три способа);
можно
ଷ
, а в остальных взять 1 (способ ͵͵). Число ва-
ൌͶͷ;
ସ
, в двух скобках взять ݔ (способ Ͷͳͳ), а
ଷ
ή͵ൌ
ଵ
x или способ ͵ͳͳͳ, число вариантов равно
ήͶൌ
ଵήଽή଼ή
ଶήଷήସ
ήͶൌͺͶͲ;
ସ
ܥ
ଵ
x или способ ͳͳͳͳͳͳ , число вариантов равно
ൌܥ
ܥ
ଵ
ଵήଽή଼ή
ସ
ൌ
ଵ
ଶήଷήସ
ൌʹͳͲ .
Всего имеется Ͷͷ͵ͲͺͶͲʹͳͲൌͳͶͷͷ вариантов.
Ответ: ͳͶͷͷ.
ସ
Пример 2. Вычислим коэффициенты при степенях ݔ
ସݔଷݔଶ
ሺ
ݔ
ݔͳ
ଵଶ
ሻ
.
и ݔଷ для многочлена
Решение.
для многочлена
ଵήଽή଼
ή͵ൌ͵Ͳ
ଶήଷ
Для получения степени ݔ
ଷ
имеются следующие варианты.
x (3 + 0) В одной скобке взять ݔ
равно 12.
ଷ
, а в остальных взять 1; число вариантов
89
x (2 + 1) В одной скобке взять ݔ, в другой ݔ
антов выбора двух скобок равно ܥ
произведения ݔ
ଷ
в два раза больше, поскольку можно выбрать в первой вы-
бранной скобке ݔ, а во второй ݔ
ଶ
ݔ
, а во второйݔ. Итого 132 варианта.
ଶ
ଵଶ
ଶ
, а можно, наоборот, в первой скобке выбрать
ଶ
, а в остальных взять 1; число вари-
ଵଶήଵଵ
ൌ
ൌǤ Число вариантов получения
ଶ
x (1 + 1 + 1) В трех скобках взятьݔ, а в остальных взять 1; число вариантов рав-
но ܥ
ൌ
ଵଶ
ଶήଷ
ൌʹʹͲ.
ଵଶήଵଵήଵ
ଷ
x Общее количество вариантов равно ͳʹͳ͵ʹʹʹͲൌ͵Ͷ.
ସ
Чтобы получить ݔ
нужно:
x (4 + 0) в одной скобке взять ݔ
ସ
, а в остальных 1; общее число вариантов
равно ͳʹ;
ଶ
x (2 + 2) или в двух скобках взять ݔ
ଵଶήଵଵ
ଶ
ൌ
тов равно ܥ
ଵଶ
ଶ
ൌ;
x (3 + 1) или в одной скобке взять ݔ
ных 1; число вариантов равно ʹήܥ
x (2 + 1 + 1) или в одной скобке взять ݔ
, а в остальных взять 1; число вариан-
ଷ
, в другой скобке взятьݔ, а в осталь-
ଶ
ൌʹήൌͳ͵ʹ;
ଵଶ
ଶ
, в двух скобках взять ݔ, а в
остальных скобках взять 1; число вариантов равно
ή͵ൌ
ଵଶήଵଵήଵ
ή͵ൌʹʹͲή͵ൌͲ;
ଶήଷ
ଷ
ܥ
ଵଶ
x (1 + 1 + 1 + 1) или в четырех скобках взять ݔ, а в остальных 1; число ва-
ଵଶήଵଵήଵήଽ
риантов равно ܥ
ସ
ൌ
ଵଶ
ଶήଷήସ
ൌͶͻͷǤ
Общее количество вариантов равно ͳʹͳ͵ʹͲͶͻͷൌͳ͵ͷ.
Ответ: ͵Ͷ и ͳ͵ͷ.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]