Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы организационного управления. Учебное пособие
.pdf
191
Пример 3. Проект представлен сетевым графиком (рис. 33).
Известны значения параметров: максимальная величина ресурсов, которая может быть выделена на реализацию проекта, составляет
R = 700 кВт⋅ч; минимально возможное время выполнения работ
d
= 4 ч, d02 = 6 ч, d12 = 5 ч, d13 = 4 ч, d24 = 3 ч, d34 = 7 ч; интенсивно-
01
сти выполнения работ (мощность работы объекта)
r
= 55 кВт, r12 = 80 кВт, r13 = 70 кВт, r23 = 0 кВт, r24 = 130 кВт,
02
r
= 50 кВт.
34
Требуется найти такие
–
количество используемых ресурсов было не более значения
параметра
–
время выполнения всего комплекса работ было минималь-
R =
700 кВт;
t
, tij, чтобы:
pj
r
= 60 кВт,
01
ным;
– время выполнения работы должно быть максимальным, так
как снижение времени обусловливает повышение издержек на ее выполнение;
–
продолжительность выполнения каждой работы была не
меньше заданного значения параметра
d
.
ij
Решение
1. Составляем линейный график выполнения проекта (рис. 36).
Определяем по нему критическое время
t
и критический путь.
кр
По графику, представленному на рис. 36, определяем критиче-
t
ский путь (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4); критическое время
Линейный график (рис. 36) разбит на шесть зон – 0
= 27.
кр
А, АБ, БВ, ВГ,
ГД, ДЕ.
Работы
0 2
0 1
А Б В Г Д Е
3 4
1 3 2 4
1 2, 3
6 0 18 27
Рис. 36. Линейный график выполнения проекта для примера 3
t, ч
192
2. По графику выполнения проекта, представленного на рис. 36,
строим линейный график используемых ресурсов (рис. 37). Суммируя
проекции ресурсов каждой работы на ось абсцисс (ось ресурсов), получим общее количество ресурсов, необходимых на реализацию работ.
Работы
55 кВт
0 2
60 кВт
0 1
А Б В Г Д Е
70 кВт 130 кВт
1 3 2 4
80 кВт
1 2, 3 (0 кВт)
54 кВт
3 4
6 0 18 27
10 14 24
Рис. 37. Линейный график используемых ресурсов для примера 3
Для зон 0
А, АБ, БВ, ВГ, ГД, ДЕ количество ресурсов определяет-
ся по формулам
R
= r
0А
R
= r02(t02 – t01) + r12(t02 – t01) + r13(t02 – t01) = 55(10 – 6) +
АБ
+ 80
R
= r12(t01 + t13 – t02) + r13(t01 + t13 – t02) = 80(6 + 8 – 10) +
БВ
+ 70
R
= r12(t12 – t
ВГ
R
= r
ГД
R
= r24(t34 – t24) + r34(t34 – t
ДЕ
01t01
+ r
= 60⋅6 + 55⋅6 = 690 кВт⋅ч;
02t01
⋅(10 – 6) + 70 (10 – 6) = 820 кВт⋅ч;
⋅(6 + 8 – 10) = 600 кВт⋅ч;
) = 100(12 – 8) = 400 кВт⋅ч;
13
24t24
+ r
= 130⋅6 + 50⋅6 = 1080 кВт⋅ч;
34t24
) = 130(9 – 6) + 50⋅(9 – 6) =
24
t, ч
= 540 кВт
⋅ч;
Анализируя количество используемых ресурсов в каждой зоне
R
выполнения работ, можно заключить, что работы в зонах
и RГД не
АБ
могут быть выполнены в непрерывном режиме. Эти работы могут
быть реализованы, если выделяемые на них ресурсы меньше заданно-
го наибольшего значения ресурсов
R = 700 кВт⋅ч.
193
3. Используя результаты, полученные на основе анализа рис. 37,
снижаем время выполнения работ в зонах
АБ и ГД. Уменьшение вре-
мени работ должно проводится в соответствии с правилами:
–
длительность работ, принадлежащих критическому пути, по
возможности корректируются в первую очередь;
по возможности начало свершения событий зоны должно
–
совпадать с ранними сроками свершения событий предыдущей зоны;
–
продолжительность выполнения каждой работы должна быть
не меньше заданного значения параметра
Рассмотрим промежуток
АБ. Уменьшение времени работы (0, 1)
d
.
ij
приводит к увеличению потребления ресурсов в зоне АБ. Снижение
времени выполнения работ (1, 3) и (1, 2) до критических
t
= d13 = 4 ч, t12 = d12 = 5 ч не понижает количества потребления ре-
13
сурсов, так как (
t
02
– t
) ≤ t
01
и (t02 – t
13
) ≤ t
01
. В этом случае необхо-
12
димо снизить время выполнения работы (0, 2). Время выполнения работы (0, 2) определяем из выражения
R
= r02(t02 – t01) + r12(t02 – t01) + r13(t02 – t01) = R; (26)
АБ
55(10 – 6) + 80(10 – 6) + 70(10 – 6) = 820 кВт
⋅ч;
t
Решая выражение (26) относительно
, получим
02
R
= t
t
02
=+
++
rrr
131202
01
700
ч.
4,96
=+
708055
++
Проверим правильность результата для зон
АБ, БВ.
R
= r02(t02 – t01) + r12(t02 – t01) + r13(t02 – t01) =
АБ
= 55(9,4 – 6) + 80(9,4 – 6) + 70(9,4 – 6) = 697 кВт
R
= r12(t01 + t13 – t02) + r13(t01 + t13 – t02) = 80(6 + 8 – 9,4) +
БВ
+ 70(6 + 8 – 9,4) = 690 кВт
⋅ч.
⋅ч;
Рассмотрим промежуток
ГД. Для уменьшения времени критиче-
ского пути необходимо снизить время выполнения работы (3, 4):
R
ГД
= r
24t24
+ r
= R. (27)
34t34
⋅
−
194
Решая уравнение (27) относительно t34, получим
−
trR
2424
=
t
34
r
34
=
50
6130700
– 1,6 ч. (28)
=
На основе результата (28) можно заключить, что для обеспечения работоспособности проекта в зоне
время работы (2, 4), т.е.
R
ГД
= r
24t24
+ r
34t24
= R, t
24
≥ d
. (29)
24
Тогда
t
24
R
=
+
rr
3424
700
=
=
3,8 ч, (t24 = 3,8 ч) > (d24 = 3 ч).
+
50130
Проверим правильность результата для зон
ГД необходимо уменьшать
ГД, ДЕ:
R
= r
ГД
R
= r24(t34 – t24) + r34(t34 – t24) = 130(9 – 3,8) + 50(9 – 3,8) =
ДЕ
= 936 кВт
24t24
+ r
34t24
⋅ч;
= 130⋅3,8 + 50⋅3,8 = 684 кВт⋅ч;
Зона
ДЕ не обеспечивает реализацию проекта. Уменьшаем вре-
мя работы (3, 4). В этом случае уравнения по нахождению времени
имеет вид
R
= r24(t34 – t24) + r34(t34 – t24) = R; t
ДЕ
34
≥ d
. (30)
34
Решая уравнения (30) относительно
t
, получим
34
= 8,3
t
34
+
rr
t
24
3424
R
700
7,6 ч; (t
=+
50130
+
=+
= 7,6 ч) ≥ (d34 = 7 ч).
34
t
34
Проверим правильность результата для зоны
R
= r24(t34 – t24) + r34(t34 – t24) = 130(7,6 – 3,8) + 50(7,6 – 3,8) =
ДЕ
= 684 кВт
⋅ч;
ДЕ:
Оптимизированный линейный график представлен на рис. 38,
сетевой – на рис. 39.
195
Работы
0 2
0 1
А Б В Г Д Е
3 4
1 3 2 4
1 2, 3
6 0 18 25,6
9,6
Рис. 38. Оптимизированный линейный график
0
00
0
6[0; 0] 12[0; 0]
9,6[8,4; 8,4]
0
1818
2
0[0; 0]
3,8[3,8; 3,8]
7,6[0; 0]
25,6
0
4
t
25,6
0
66
1
8[4; 4]
0
1818
3
Рис. 39. Оптимизированный сетевой график
Таким образом, чтобы выполнить проект при имеющемся ресурсе 700
квт⋅ч, необходимо сократить работы (0, 2) до 9,6 ч, (2, 4) до 3,8
ч, (3, 4) до 7,6 ч. Критическое время выполнения проекта равно
t
= 25,6 ч.
кр
7.3. Оптимизация проекта по стоимости
Под стоимостью выполнения работы подразумеваются только
прямые затраты. Для каждой работы должны быть заданы параметры:
d
– минимальная продолжительность работы (i, j) (срочный режим
ij
выполнения), которой соответствуют наибольшие затраты
мальная (наибольшая) продолжительность работы
c
ветствуют наименьшие затраты
. Вводим ограничение – затраты на
ij
D
, которой соот-
ij
C
и нор-
ij
196
выполнение отдельных работ изменяются по линейному закону и находятся в обратной зависимости от продолжительности их выполнения. Коэффициент
показывает насколько увеличится стоимость работы (
hij (коэффициент дополнительных затрат – КДЗ)
i, j), при умень-
шении ее продолжительности на единицу времени:
cC
−
ijij
h
=
ij
−
. (31)
dD
ijij
Оптимизация комплекса работ может быть осуществлена либо
при нефиксированной величине критического пути, либо при фиксированной его продолжительности.
Задача 3. Оптимизация при нефиксированной величине крити-
ческого пути. Пусть задан сетевой график выполнения проекта
G = (E,
выполнения работ в нормальном режиме работы (
(
d
, Сij). Необходимо сократить критический срок выполнения проек-
ij
e
). Продолжительность каждой работы равна tij. Стоимость
D
, cij) и срочном
ij
та до некоторого минимально возможного значения при наименьшем
возрастании его стоимости.
Алгоритм оптимизации проекта предполагает следующее:
1. Определяем КДЗ для каждой работы по формуле (31). Используя нормальные продолжительности работ, определяем критический путь
ческих работ сетевого графика и затраты на реализацию проекта
L
, его продолжительность tкр, резервы времени некрити-
кр
С.
2. Среди критических работ находим работу, для которой КДЗ
наименьший. Если эта работа является общей для всех критических
путей или если критический путь один, то она подлежит сокращению.
Если же найденная работа не является для критических путей общей,
однако пути имеют одну или несколько общих работ, то на каждом из
находим работу с наименьшим КДЗ. Суммируем КДЗ этих работ
них
и сравниваем с наименьшим КДЗ работы, принадлежащей критическим путям. Если сумма КДЗ работ не больше КДЗ общей работы
критических путей, то все эти работы подлежат сокращению. В случае, когда сумма КДЗ работ больше КДЗ общей работы, тогда сокращению
подлежит общая для критических путей работа. Если критические пути не имеют общих работ, то на каждом из них находится
работа с наименьшим КДЗ.
−
−
−
197
3. Сокращаем продолжительность этой работы (этих работ) на
такую величину, чтобы она (они) достигла (и) минимальной продолжительности
d
или образовался новый критический путь (полный
ij
резерв времени одной из некритических работ станет равным нулю).
4. Для нового варианта сетевого графика определяем критиче-
ский путь
ческих работ сетевого графика и затраты на реализацию проекта
L
, его продолжительность tкр, резервы времени некрити-
кр
С.
5. Проверяем, все ли выбранные работы критических путей достигли минимальной продолжительности и уменьшилось ли критическое время выполнения проекта. Если достигли, то задача решена.
Сокращение продолжительности некритических работ увеличивает
стоимость выполнения всего комплекса, не влияя на длину критического пути. При недостижении результата, необходимо перейти к п. 2
данного алгоритма.
Пример 4. Проект представлен сетевым графиком (рис. 33).
Известны значения параметров: максимальная величина затрат
С
по работам
С
= 33 руб., С34 = 57 руб.; минимальная величина затрат по работам
24
= 54 руб., С02 = 46 руб., С12 = 65 руб., С13 = 44 руб.,
01
с
= 34 руб., с02 = 26 руб., с12 = 44 руб., с13 = 36 руб., с24 = 24 руб.,
01
с
= 27 руб.; минимально возможное время выполнения работ d01 = 4,
34
d
= 6, d12 = 5, d13 = 4, d24 = 3, d34 = 7.
02
t
Требуется найти такие
–
затраты на реализацию проекта были минимальными;
–
время выполнения всего комплекса работ было минималь-
, tij, чтобы:
pj
ным;
продолжительность выполнения каждой работы была не
–
d
меньше заданного значения параметра
.
ij
Решение
1. Определяем КДЗ для каждой работы по формуле (31):
cC
−
−
−
−
0101
=
dD
0101
cC
1212
=
dD
1212
h
=
01
h
=
12
−
−
−
−
3454
10;
=
h
=
02
46
4465
3;
=
h
=
13
512
−
−
cC
0202
=
dD
0202
cC
1313
=
dD
1313
−
−
−
−
2646
5;
=
610
3644
2;
=
48
−
cC
3434
=
dD
3434
−
−
2757
15.
=
79
cC
−
−
2424
=
dD
2424
h
=
24
−
−
2433
=
3;
h
=
34
36
2. На основании сетевого графика, представленного на рис. 33,
критический путь
Затраты на реализацию проекта составляют
198
L
– 0-1-2-3-4, его продолжительность tкр = 27.
кр
С = c
=
+ c
01
02
191 руб.
+ c
+ c13 + c24 + c34 = 34 + 26 + 44 + 36 + 24 + 27 =
12
3. Критический путь проекта 0-1-2-3-4 включает КДЗ
h
. КДЗ, принадлежащий к критическому пути, имеет наименьшее
34
значение
h
= 3.
12
h
, h12, h23,
01
4. Сокращаем продолжительность работы (1, 2) с 12 до 5 временных единиц.
5. Строим новый сетевой график (рис. 40).
0
00
0
6[0; 0] 5[3; 0]
10[4; 1]
0
66
1
3
1411
2
8[0; 0]
6[6; 6]
9[0; 0]0[0; 0]
0
1414
3
0
2323
4
Рис. 40. Новый сетевой график для примера 4
Затраты на реализацию проекта на рис. 40 составляют
С = c
= 212
01
+ c
02
руб.
+ C
+ c13 + c24 + c34 = 34 + 26 + 65 + 36 + 24 + 27 =
12
Исходя из рис. 40, можно определить, что образовался новый
критический путь 0-1-3-4. На основе этого необходимо подобрать
время работы
t
таким образом, чтобы на сетевом графике появились
12
два критических пути: 0-1-2-3-4 и 0-1-3-4. В этом случае
t
+ t12 + t23 + t34 = t01 + t13 + t34.
01
Тогда
199
t
= t01 + t13 + t34 – (t01 + t23 + t34);
12
t
= 6 + 8 + 9 – (6 + 0 + 9) = 8.
12
6. Строим новый сетевой график (рис. 41).
0
00
0
6[0; 0] 8[0; 0]
10[4; 4]
0
66
1
Рис. 41. Оптимизированный сетевой график по стоимости
Затраты на реализацию проекта на рис. 41 составляют
С = c
+ (65 – 3[8 – 5]) +
01
+ c
+ (С
02
– h
12
12[t12
36 + 24 + 27 = 203 руб.
Сетевые графики, представленные на рис. 40 и рис. 41, имеют
одинаковое критическое время
0
1414
2
8[0; 0]
– d
12
]) + c
6[3; 3]
9[0; 0]0[0; 0]
0
1414
3
+ c24 + c34 = 34 + 26 +
13
0
2323
4
tкр = 23. При этом себестоимость реа-
лизации проекта на рис.
41 меньше, следовательно, этот сетевой гра-
фик является оптимизированным по стоимости.
Задача 4. Оптимизация стоимости проекта при фиксированной
величине критического пути. Пусть задан сетевой график выполнения проекта
работ и их стоимость в срочном режиме (
критическое время
С. Коэффициенты дополнительных затрат h
G = (E, e). Известны продолжительности выполнения
d
, Сij). Для них определены
ij
t
и максимальная стоимость выполнения проекта
кр
для каждой работы из-
ij
вестны. Необходимо минимизировать стоимость проекта при фикси-
t
рованном сроке
его выполнения за счет увеличения времени вы-
0
полнения отдельных работ.
Математическая формализация задачи 4 представлена в следующем виде.
Целевая функция проекта имеет вид
F(С) =
()
∑
[C
– h
ij
∈eji,
ij(tij
– d
)] (min). (32)
ij
∈
200
Ограничение, определяющее, что ранний срок свершения последнего события должен быть равен
t
:
кр
t
= tкр. (33)
pn
Ограничение, показывающее, что продолжительность каждой
работы должна быть не менее минимально возможной ее продолжительности:
t
≥ dij; (i, j) e∈ . (34)
ij
Ограничения, обеспечивающие выполнение условий предшествования работ, т.е. время начала выполнения каждой работы должно
быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующих ей работ:
t
≥ t
+ t
pj
pi
. (35)
ij
Ограничения, обусловливающие неотрицательность вычисляемых значений:
t
≥ 0, tpi ≥ 0, tpj ≥ 0, (i, j) e
ij
. (36)
Сформулированная задача относится к классу задач линейного
программирования и может быть решена симплексным методом.
Пример 5. Проект представлен сетевым графиком (рис. 42).
Известны значения параметров: максимальная величина затрат
по работам
С
= 33 руб., С34 = 57 руб.; минимально возможное время выполне-
24
ния работ
бот
h
= 10, h02 = 5, h
01
проекта
Требуется найти такие
–
затраты на реализацию проекта были минимальными;
d
t
= 25.
0
С
= 54 руб., С02 = 46 руб., С12 = 65 руб., С13 = 44 руб.,
01
= 4, d02 = 6, d12 = 5, d13 = 4, d24 = 3, d34 = 7; КДЗ всех ра-
01
= 3, h
12
= 2, h24 = 3, h34 = 15; срок реализации
13
t
, tij, чтобы:
pj
–
продолжительность выполнения каждой работы была не
меньше заданного значения параметра
d
.
ij
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]