Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы организационного управления. Учебное пособие
.pdf
121
таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.
Игровую схему можно придать многим ситуациям в организационных системах и экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов сред защиты информационных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории
игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной
повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно
или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют
смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Отсюда
игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Поэтому можно сказать, что игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников
принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации,
которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход.
Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо
аналитически выражением, либо таблично (матрицей). В дальнейшем будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш
выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д.
Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком. Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Всякая игра состоит из отдельных партий. Партией называют каждый вариант реализации игры определенным образом. В
свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шах-
122
матах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор
чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например, с применением таблицы случайных чисел.
Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают
различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре
может участвовать любое конечное число игроков. Если при этом игроки объединяются, например, в две группы, преследующие противоположные цели, то наблюдается игра двух "лиц" (парная игра). В
зависимости от количества стратегий в игре они делятся на наконечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или
кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой. В первых – общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с
чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей
отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса
участников идет организатору лотереи. По виду функции выигрыша
игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые,
сепарабельные и др. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных выигрыши
каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр
различаются видом аналитического выражения платежной функции.
По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры, в свою очередь, делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации
различают игры с полной и неполной информацией.
В дальнейшем мы будем рассматривать только парные матричные игры с нулевой суммой.
Выше отмечалось, что в реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для
123
партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное
решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в
равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.
Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего
результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называют иногда стратегическими
. Однако в организационных системах нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми
с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность
внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда "статистиком", а соответствующую
игру – статистической) приходится принимать решение. Например, выбор службой
безопасности предприятия специалистов для обеспечения безопасности того или иного объекта в надежде получить наилучшие показатели безопасности объекта; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня
спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие
дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает в первом
примере – показатели безопасности; во втором – уровень спроса; в
третьем – размеры ожидаемой прибыли.
В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх "природа"", будучи
индеферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).
Матричные игры с нулевой суммой
Будем рассматривать игры, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных действий – чистых стратегий.
Допустим, что игрок А располагает т чистыми стратегиями А1,...,Аm,
а игрок В – п чистыми стратегиями В1,...,Вп. Чтобы игра была полностью определенной, необходимо указать правило, сопоставляющее
j
β
124
каждой паре чистых стратегий Аi и Вj число аij – выигрыш игрока А за
счет игрока В или проигрыш игрока В. Мы рассматриваем парные игры с нулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. При аij < 0 игрок А платит игроку В сумму aij. Если
игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий (Аi; Вj) единственным образом определяет исход (результат) игры.
Если же в игре используются случайные ходы, то исход игры определяется средним значением выигрыша (математическим ожиданием).
Если известны значения аij для каждой пары (Аi; Вj) чистых стратегий,
то можно составить матрицу игры – платежную матрицу (табл. 9), являющуюся табличной записью функции выигрыша. В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной матрице записаны выигрыши игрока А. Напомним, что выигрыши могут выражаться
и отрицательными числами. Это означает, что в подобном случае
фактически выигрывает игрок В. Описанные игры называют прямоугольными, или матричными. Отдельная партия в такой игре реали-
зуется следующим образом. Игрок А выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата
его выбора, игрок В выбирает один из столбцов (свою чистую стратегию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и
столбца, определяет выигрыш игрока А (проигрыш игрока В).
Таблица 9
Матрица игры в каноническом виде
Вj
А
i
α
i
В1 … Вn
А1 a
11
… a1n
α
1
… … … … …
Аm am1 … amn
β
β
1
…
n
α
m
–
Пример 1. Игроки А и В записывают цифры 1 и 2. Игра состоит
в том, что, кроме цифры 1 или 2, каждый игрок записывает еще и ту
цифру, которую, по его мнению, записал партнер. Если оба игрока
угадали или оба ошиблись, то партия заканчивается вничью; если же
j
j
125
угадал только один, то он получает столько очков, какова сумма записанных им цифр.
Составить платежную матрицу игры.
Решение. Для большей наглядности согласимся записывать
чистые стратегии игроков с помощью пары чисел (аi; bj), где аi – число (1 или 2), записанное самим игроком, а bj – число (1 и 2), которое,
по его мнению, записал его партнер. Тогда каждый игрок при любом
ходе может записать либо (1; 1), либо (1; 2), либо (2; 1), либо (2; 2).
Таким образом, игроки имеют по четыре чистых стратегии (табл. 10).
Таблица 10
Матрица игры при четырех стратегиях
α
B
i
B1(1; 1) B2(1; 2) B3(2; 1) B4(2; 2)
A
i
(1; 1) 0 2 –3 0 –3
A
1
A2(1; 2) –2 0 0 3 –2
A3(2; 1) 3 0 0 –4 –4
A4(2; 2) 0 –3 4 0 –3
β
3 2 4 3 –
Теперь вычислим элементы аij платежной матрицы – выигрыши
игрока А при всех комбинациях чистых стратегий игроков. Рассмотрим случай, когда игроки применяют свои первые чистые стратегии,
т.е. когда оба записывают (1; 1). В этом случае и тот и другой игрок
угадал, поскольку его партнер, действительно, записал единицу. По
условиям игры партия заканчивается вничью, т.е. а
= 0. Вычислим
11
элемент а14, соответствующий выбору игроком А чистой стратегии
А
(1; 1), а игроком В – чистой стратегии В
1
(2; 2). В этой ситуации не
4
угадал ни тот, ни другой игрок, а потому a14 = 0. Вычислим еще, например, элемент а42, которому отвечают чистые стратегии А4 (2; 2) и
В2 (1; 2). В этой ситуации угадывает только игрок В, поскольку он записал для игрока А число 2, что и соответствует действительности.
Игрок А не угадал, так как записал для игрока В число 2, а тот в действительности записал 1. Так что в этом случае игрок В получает
126
1 + 2 = 3 очка – сумму записанных им цифр, а игрок А "выигрывает"
(–3) очка, т.е. а42 = –3. Аналогичным образом вычисляются все ос-
тальные элементы платежной матрицы.
Пример 2. Фирмы Ф
и Ф2 производят однородный сезонный
1
товар, пользующийся спросом в течение п единиц времени. Доход от
продажи товара в единицу времени составляет С ден. ед. Фирма Ф2,
будучи более состоятельной, в ходе конкурентной борьбы стремится
вытеснить фирму Ф1 с рынка сбыта, способствуя своими действиями
минимизации ее дохода, не считаясь при этом с временными потерями части своего дохода в надежде наверстать упущенное в будущем.
Действующее законодательство не позволяет злоупотреблять для этого заведомым занижением цены на товар (прибегать к демпинговым
ценам). Единственным допустимым способом достижения своей цели
для фирмы Ф2 (как и для фирмы Ф1 в целях защиты своих интересов
на рынке сбыта) остаются повышение качества товара и надлежащий
выбор момента времени поставки его на рынок сбыта. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и в данный момент реализуется
тот товар, качество которого выше. Повышение же качества требует
дополнительных затрат времени на совершенствование технологии
его изготовления и переналадки оборудования. В связи с этим будем
предполагать, что качество товара тем выше, чем позже он поступает
на рынок. Придать описанной ситуации игровую схему и построить
платежную матрицу.
Решение. Если фирма Ф1 предложит свой товар в момент i, а
фирма Ф2 в момент j > i, то фирма Ф1, не имея конкурента в течение
(j – i) единиц времени, получит за этот период доход в C (j – i)
ден. ед. В момент j на рынке появляется товар фирмы Ф
более высо-
2
кого качества (j > i), и фирма Ф1 теряет рынок и дохода не получает.
Если i > j, то фирма Ф1, предлагая товар более высокого качества, будет единолично получать доход на отрезке от i до п, состоящем
из (п – i
+ 1) единиц времени. Доход фирмы Ф
, на нем будет равен
1
С (п – i + 1) ден. ед.
Наконец, если i = j, т.е. если на рынок одновременно поступает
товар обеих фирм, то он реализуется с одинаковым спросом, а потому
<
−
j
127
доход как фирмы Ф1 так и фирмы Ф
, будет составлять 0,5С (n – i + 1)
2
ден. ед.
А теперь формализуем рассмотренную ситуацию в терминах
теории игр. Фирмы Ф1 и Ф2 примем соответственно за игроков А и В.
Через A
(i = n,1) обозначим чистую стратегию игрока А, cостоящую в
i
том, что он поставляет свой товар на рынок сбыта в i-ю единицу времени; через B
(j = n,1) – чистую стратегию игрока В, в соответствии
j
с которой он поставляет свой товар для реализации в j-ю единицу
времени. Игрок А, выбирая i-ю единицу времени поставки товара,
стремится максимизировать свой доход, а игрок В, выбирая j-ю единицу времени поставки своего товара, стремится достичь прямо противоположной цели – минимизировать доход игрока А. В этом проявляется антагонистичность конфликта между игроками.
Что же касается выигрышей аij игрока А, то ими будут величины
дохода фирмы Ф1, найденные нами для всех возможных случаев. Их
можно компактно записать в виде следующей функции выигрыша
игрока А:
; ),(
⎧
jiijC
⎪
=
a
⎨
ij
⎪
⎩
; ),1(5,0
jiinC
=+−
. ),1(
jiinC
>+−
Если, например, п
= 5, то функцию выигрыша а
можно записать
ij
в форме следующей платежной матрицы (табл. 11):
Таблица 11
Платежная матрица примера 2
B
A
i
B1 B2 B3 B4 B5
A1 2,5С С 2С 3С 4С
A2 4С 2С С 2С 3С
A3 3С 3С 1,5С С 2С
A4 2С 2С 2С С С
A5 С С С С 0,5С
128
Пример 3. Для отопления коттеджа в зимний период использу-
ется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5, в обычную – 9,0, а в холодную – 9,5. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно
6 т, на обычную требуется 7 т, а в холодную зиму расходуется 8 т.
Понятно, что затраты домовладельца зависят от количества запасенного им с лета угля. При анализе возможных вариантов уровня запаса
следует иметь в виду, что при необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой. Кроме того, необходимо
учесть, что продать непотребовавшийся уголь возможности не будет.
Используя игровой подход, составить платежную матрицу.
Решение. Одним из участников рассматриваемой ситуации
является домовладелец, озабоченный необходимостью заготовки определенного количества угля на предстоящий отопительный сезон.
Если описанной ситуации придать игровую схему, то домовладелец
выступает в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в минимизации затрат на приобретение угля. Вторым участником
является природа (игрок П), подчиняющаяся своим законом развития.
В данном случае игрок П является инстанцией, безразличной к результатам тех или иных действий сознательного игрока А-статистика.
Подобная ситуация при моделировании представляется типичной для
статистической игры.
Заготавливая летом уголь, домовладелец может ориентироваться либо на мягкую (первая его чистая стратегия A1), либо на обычную
(вторая чистая стратегия А2), либо на холодную зиму (третья чистая
стратегия А3), покупая соответственно 6, 7 или 8 тонн угля. Игрок П
может реализовать либо мягкую зиму (первая его чистая стратегия –
состояние П1), либо обычную (второе возможное состояние П2), либо
холодную (третье возможное состояние П3), что потребует затрат 6, 7
или 8 тонн угля соответственно. Таким образом, платежная матрица
статистической игры будет иметь размерность 3×3 (табл. 12).
j
α
j
129
Платежная матрица примера 3
Таблица 12
Стратегии П
i
П1(6) П2(7) П3(8)
A
A
(6) –45 –54 –64 –64
1
A2(7) –52,5 –52,5 –62 –62
i
A3(8) –60 –60 –60 –60
β
–45 –52,5 –60 –
Приступая к вычислению элементов аij платежной матрицы, напомним, что в теории игры элементы аij обычно называют выигрышами игрока А, а наилучшей, для игрока А считается стратегия, при
которой выигрыш максимизируется. В данном случае плата домовладельца за уголь лишь условно может называться его "выигрышем",
поскольку будет выражаться отрицательными числами (приходится
отдавать собственные деньги), а наилучшей будет стратегия, при которой затраты минимизируются.
Вычислим элемент а11, соответствующий ситуации (A1; П1). Это
наиболее благоприятный случай. В самом деле, домовладелец в расчете на мягкую зиму купил летом 6 тонн угля, заплатив
6⋅7,5 = 45 ден. ед. Наступившая зима оказалась мягкой, и потому дополнительных затрат не потребовалось. Таким образом, "выигрыш"
игрока А равен (–45), т.е. а
= –45.
11
Рассмотрим теперь ситуацию (А1; П2), т.е. случай, когда домовладелец приобретает летом 6 тонн угля в расчете на мягкую зиму, а
зима оказалась обыкновенной. Пришлось дополнительно купить зимой 1 т угля по цене 9 ден. ед., а потому общие расходы на отопление
составили 45 + 9 = 54 ден. ед. "Выигрыш" в этом случае равен (–54),
т.е. а12 = –54.
В ситуации (А1; П3) общие расходы, с учетом холодной зимы,
составили 45 + 2⋅9,5 = 64 ден. ед., а потому а
= –64.
13
Рассуждая аналогично, находим и остальные элементы платежной матрицы.
Равенство а21 = а22 = –52,5 и а31 = а32= а33= –60 объясняется тем,
что неизрасходованный на отопление уголь продать для возмещения
лишних затрат возможности нет (по условиям задачи).
130
4.6. Методы экономических индикаторов и индексов
Методы экономических индикаторов и индексов – методы прогнозирования, не использующие специального математического аппарата.
Экономическими индикаторами называют статистические пока-
затели, для динамики которых характерны устойчивость, однозначность их поведения в ходе экономического цикла.
Различают три группы индикаторов: опережающие, совпадающие, запаздывающие. К опережающим индикаторам относят показатели, опережающие во времени изменения экономической конъюнктуры. Индикаторы, совпадающие во времени с движением экономической конъюнктуры, относят к группе совпадающих индикаторов.
Запаздывающими являются индикаторы, отстающие во времени от
динамики экономической конъюнктуры. Классификация индикаторов
зависит от особенностей экономического развития. Например, капитальные вложения относят к группе запаздывающих индикаторов; к
группе совпадающих индикаторов отнесены валовой внутренний
продукт, показатели промышленного производства, показатели, характеризующие реальные доходы населения; индексы цен, валютный
курс, курс акций, изменение товарно-материальных запасов входят в
группу опережающих индикаторов.
Отличительная особенность метода экономических индикаторов
и индексов, в сравнении с другими методами прогнозирования, состоит в возможности прогнозирования поворотных точек цикла. И в
этом смысле наиболее актуальным является изучение динамики показателей группы опережающих индикаторов. Если все индикаторы
группы ведут себя однонаправлено, то прогнозирование поворотной
точки цикла не представляет труда. Например, если интенсивность
инфляционных процессов устойчиво снижается, реальный обменный
курс национальной валюты не падает, товарно-материальные запасы
сокращаются и т.п., то можно прогнозировать наступление поворотной точки цикла, предопределяющей положительные сдвиги в развитии экономического процесса: рост ВВП, сокращение безработицы,
рост реальных доходов населения. Иными словами, динамика опережающих индикаторов предопределяет динамику совпадающих и запаздывающих индикаторов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]