Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы организационного управления. Учебное пособие
.pdf
181
R
=
R
R
R
R
R
R
R
R
R
n01
n02
n03
n14
n13
n34
n25
n64
n57
n67
tn1 – tp0 – t
=
tn2 – tp0 – t
=
tn3 – tp0 – t
=
tn4 – tp1 – t
=
tn3 – tp1 – t
=
tn4 – tp3 – t
=
tn5 – tp2 – t
=
tn6 – tp4 – t
=
tn7 – tp5 – t
=
tn7 – tp6 – t
= 9 – 0 – 3 = 6.
01
= 10 – 0 – 10 = 0.
02
= 10 – 0 – 5 = 5.
03
= 15 – 3 – 4 = 8.
14
= 10 – 3 – 1 = 6.
13
= 15 – 10 – 5 = 0.
34
= 19 – 10 – 5 = 4.
25
= 18 – 15 – 3 = 0.
64
= 25 – 15 – 6 = 4.
57
= 25 – 18 – 7 = 0.
67
5.
Свободный резерв времени R
– это запас времени, которым
cij
можно располагать при выполнении данной работы при условии, что
начальное и конечное ее событие наступят в свои ранние сроки:
R
=
сij
tpj – tpi – t
.
ij
Свободный резерв времени присущ только данной работе, и его
использование никак не повлияет на выполнение последующих работ.
R
=
R
R
R
R
R
R
с01
с02
с03
с14
с13
с34
с25
tp1 – tp0 – t
=
tp2 – tp0 – t
=
tp3 – tp0 – t
=
tp4 – tp1 – t
=
tp3 – tp1 – t
=
tp4 – tp3 – t
=
tp5 – tp2 – t
= 3 – 0 – 3 = 0.
01
= 10 – 0 – 10 = 0.
02
= 10 – 0 – 5 = 5.
03
= 15 – 3 – 4 = 8.
14
= 10 – 3 – 1 = 6.
13
= 15 – 10 – 5 = 0.
34
= 15 – 10 – 5 = 0.
25
R
=
R
R
с64
с57
с67
tp6 – tp4 – t
=
tp7 – tp5 – t
=
tp7 – tp6 – t
= 18 – 15 – 3 = 0.
64
= 25 – 15 – 6 = 4.
57
= 25 – 18 – 7 = 0.
67
Необходимым и достаточным условием расчета критического
пути является прохождение его не только через события, имеющие
+
182
нулевые резервы времени, но и через работы, обладающие нулевыми
полными и свободными резервами времени.
Процесс переброски людских резервов и ресурсов с критического пути на некритические и выравнивание их по длительности носит
название оптимизация сетевого графика.
Расчет вероятностных сетей. При отсутствии нормативных
данных по длительности какой-либо работы ее продолжительность
определяют на экспертном уровне с использованием двух или трех
t
оценочных значений:
– максимальная длительность работы; t
max
минимальная длительность работы;
t
– ожидаемая длительность
н.в
min
–
аботы.
Расчет времени работы производится по одной из формул:
= – ожидаемое время выполнения работы;
t
ож
t
=
ож
1.
Назовите основные недостатки план-графиков Ганта.
2.
Какие основные понятия лежат в основе системы сетевого
управления?
3.
Приведите основные правила построения сетевых графиков.
4.
Как классифицируются сетевые графики по степени охвата
работ?
5.
Дайте определения понятиям «ранний срок свершения собы-
+
5
4
ttt
+
.minmax вн
6
23
tt
minmax
.
Контрольные вопросы
тия», «поздний срок свершения событий», «резерв времени события», «полный резерв времени работы», «свободный резерв времени».
6.
Как осуществляется расчет вероятностных сетей?
′
183
7. РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
Расчет параметров сетевого графика проекта позволяет выявить
критические работы, определяющие ход выполнения всего комплекса
работ, продолжительность его реализации, резервы времени событий
и работ и проанализировать, можно ли его использовать в качестве
плана выполнения работ. Чаще всего требуется улучшение сетевого
графика с учетом сроков выполнения работ и рационального использования материальных
, трудовых и денежных ресурсов, т.е. требуется
его оптимизация.
Ниже рассмотрим математические модели оптимизационных
задач на сетевых графиках:
1) оптимизация проекта по времени;
2) оптимизация проекта по ресурсам;
3) оптимизация проекта по стоимости.
7.1. Оптимизация проекта по времени
Пусть задан срок выполнения проекта
время критического пути). Оптимизация комплекса работ обусловливается сокращением продолжительности критического пути, что может быть осуществлено либо за счет перераспределения внутренних
резервов, либо за счет привлечения дополнительных средств.
t
, а расчетное t
0
> t0 (t
кр
кр
–
Задача 1. Определить величины дополнительных вложений x
ij
в
отдельные работы проекта, при которых общий срок его выполнения
t
не превышал бы заданной величины
, а суммарный расход дополни-
0
тельных средств был бы минимальным.
Пусть задан сетевой график выполнения проекта
Е – вершины графа G,
e
– связи между вершинами графа (дуги). Про-
должительность каждой работы равна
x
средств
этом
t
в работу (i, j) сокращает время ее выполнения до
ij
′
= t
– kij⋅x
ij
ij
, где kij – технологические коэффициенты исполь-
ij
t
. Вложение дополнительных
ij
G = (E, e), где
t
, при
ij
зования дополнительных средств. Однако сокращение продолжи-
184
тельности работы не беспредельно, для каждой работы существует
минимально возможное время ее выполнения
Требуется определить количество дополнительных средств
которые необходимо вложить в работы (
t
свершения событий
, чтобы проект был выполнен в срок t0, а сум-
pj
d
.
ij
x
ij
i, j), а также ранние сроки
марные дополнительные затраты были минимальными.
Математическая запись задачи представлена в следующем виде.
Целевая функция проекта
F(x) =
x,(min) . (1)
∑
ij
()
∈eji
Ограничение, определяющее, что время завершения проекта (
t
pn
– ранний срок свершения последнего события) не должно быть больше заданного
t
:
0
t
≤ t
pn
; (i, n) e∈ . (2)
0
,
Ограничение, показывающее, что продолжительность каждой
работы должна быть не менее минимально возможной ее продолжительности:
t
≥ dij; (i, j) e∈ . (3)
ij
Ограничения-равенства, которые показывают зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных
средств:
′
t
= t
– kij⋅x
ij
ij
; (i, j) e∈ . (4)
ij
Ограничения, обеспечивающие выполнение условий предшествования работ, т.е. время начала выполнения каждой работы должно
быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующих ей работ:
t
pj
≥ t
pi
+ t
. (5)
ij
Ограничения, обусловливающие неотрицательность вычисляе-
∈
мых значений.
t
≥ 0, tpi ≥ 0, tpj ≥ 0, x
ij
Пример 1. Проект представлен сетевым графиком (рис. 33).
185
≥ 0; (i, j) e
ij
. (6)
0
00
0
6[0; 0] 12[0; 0]
10[8; 8]
0
66
1
0
1818
2
8[4; 4]
6[3; 3]
0
1818
3
0
2727
4
9[0; 0]0[0; 0]
Рис. 33. Исходный сетевой график к задачам 1, 2
t
Известны значения параметров: срок выполнения проекта
(для исходных данных
полнения работ
d
= 4, d02 = 6, d12 = 5, d13 = 4, d24 = 3, d34 = 7; техноло-
01
tкр = 27); минимально возможное время вы-
= 22
0
гические коэффициенты использования дополнительных средств
k
= 0,1, k02 = 0,5, k12 = 0,1, k13 = 0,3, k24 = 0,2, k34 = 0,5.
01
t
Требуется найти такие
–
суммарное количество используемых дополнительных
, tij, xij, чтобы:
pj
средств было минимальным;
время выполнения всего комплекса работ не превосходило t
–
–
продолжительность выполнения каждой работы была не
меньше заданного значения параметра
Решение. Целевая функция (1) записывается в виде
F(x) = x
+ x02 + x12 + x13 + x24 + x
01
34
Условия (2), ограничивающие время выполнения проекта 22 ед.
времени, запишутся в виде
t
≤ 22. (8)
p4
;
0
d
.
ij
(min). (7)
186
Условия (3), требующие выполнения каждой работы за время не
меньше минимально возможного времени, выразятся так:
t
≥ 4; t02 ≥ 6; t12 ≥ 5; t13 ≥ 4; t24 ≥ 3; t34 ≥ 7. (9)
01
Зависимости (4) продолжительности работ от вложенных в них
средств принимают вид
t
= 6 – 0,1x
01
t
= 6 – 0,2x
24
01
24
; t
= 10 – 0,5x
02
; t
= 9 – 0,5x
34
; t
02
. (10)
34
= 12 – 0,1x
12
12
; t
= 8 – 0,3x
13
Требования (5) своевременной выполняемости всех предшествующих работ обеспечиваются при условиях
13
;
t
≥ t
p4
t
≥ t
p2
+ t24; t
p2
+ t02; t
p0
p4
p2
≥ t
≥ t
p3
p1
Требования (6) – определяемые значения переменных – должны
быть неотрицательными:
t
≥ 0; tp1 ≥ 0; tp2 ≥ 0; tp3 ≥ 0; tp4 ≥ 0;
p0
t
≥ 0; t02 ≥ 0; t12 ≥ 0; t13 ≥ 0; t23 = 0; t24 ≥ 0; t34 ≥ 0.
01
x
≥ 0, x02 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x24 ≥ 0, x34 ≥ 0. (12)
01
После решения данной задачи симплексным методом получены
результаты
t
= 0; tp1 = 6; tp2 = 15; tp3 = 15; tp4 = 22;
p0
t
= 6; t02 = 10; t12 = 9; t13 = 8; t23 = 0; t24 = 6; t34 = 7.
01
x
= 0, x02 = 0, x12 = 30, x13 = 0, x24 = 0, x34 = 4.
01
+ t34; t
+ t12; t
p3
p1
≥ t
≥ t
+ t23; t
p2
+ t01. (11)
p0
p3
≥ t
+ t13;
p1
F(x)
Оптимизированный сетевой график к примеру 1 представлен на
рис. 34.
min
= 34.
187
0
00
0
6[0; 0] 9[0; 0]
10[5; 5]
0
66
1
0
1515
2
8[1; 1]
6[1; 1]
0
1515
3
0
2222
4
7[0; 0]0[0; 0]
Рис. 34. Оптимизированный сетевой график к примеру 1
t
Таким образом, чтобы выполнить проект за время
= 22, необ-
0
ходимо дополнительно вложить 34 ед. средств. В этом случае средства должны быть распределены следующим образом: 30 ед. в работу
(1, 2) и 4 ед. в работу (3, 4), что приведет к сокращению времени выполнения этих работ.
Задача 2. Необходимо сократить срок выполнения проекта на
сколько это возможно за счет вложения суммы дополнительных
средств, не превышающей
В. Время выполнения каждой работы
должно быть не меньше минимально возможного времени
жат определению количество дополнительных средств
необходимо выделить на ускорение выполнения работ (
ранние сроки свершения событий
t
.
pj
x
i, j), а также
Математическая формализация задачи 2 представлена в следующем виде.
Целевая функция проекта
F(x) = t
(min). (13)
pn
Ограничение, определяющее, что сумма всех дополнительных
средств не должно быть больше заданной
В:
x
∑
ij
()
∈eji
,
≤ В. (14)
d
. Подле-
ij
, которые
ij
Ограничение, показывающее, что продолжительность каждой
работы должна быть не менее минимально возможной ее продолжительности:
∈
188
t
≥ dij; (i, j) e∈ . (15)
ij
Ограничения-равенства, которые показывают зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных
средств:
′
t
= t
– kij⋅x
ij
ij
; (i, j) e∈ . (16)
ij
Ограничения, обеспечивающие выполнение условий предшествования работ, т.е. время начала выполнения каждой работы должно
быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующих ей работ:
t
≥ t
+ t
pj
pi
. (17)
ij
Ограничения, обусловливающие неотрицательность вычисляемых значений:
t
≥ 0, tpi ≥ 0, tpj ≥ 0, x
ij
≥ 0; (i, j) e
ij
. (18)
Пример 2. Проект представлен сетевым графиком (рис. 33).
Известны значения параметров: максимальная величина дополнительных средств, которая может быть выделена на реализацию
проекта составляет
выполнения работ
В = 64 ед. средств; минимально возможное время
d
= 4, d02 = 6, d12 = 5, d13 = 4, d24 = 3, d34 = 7; тех-
01
нологические коэффициенты использования дополнительных средств
k
= 0,1, k02 = 0,5, k12 = 0,1, k13 = 0,3, k24 = 0,2, k34 = 0,5.
01
t
Требуется найти такие
–
суммарное количество используемых дополнительных
средств было не более значения параметра
время выполнения всего комплекса работ было минималь-
–
, tij, xij, чтобы
pj
В;
ным;
–
продолжительность выполнения каждой работы была не
меньше заданного значения параметра
Решение. Целевая функция (13) записывается в виде
F(x) = t
(min). (19)
p4
d
.
ij
189
Условия (14), ограничивающие количество выделяемых средств,
запишутся в виде
x
+ x02 + x12 + x13 + x24 + x
01
≤ 64. (20)
34
Условия (15), требующие выполнения каждой работы за время
не меньше минимально возможного времени, выразятся так:
t
≥ 4; t02 ≥ 6; t12 ≥ 5; t13 ≥ 4; t24 ≥ 3; t34 ≥ 7. (21)
01
Зависимости (16) продолжительности работ от вложенных в них
средств принимают вид
t
= 6 – 0,1x
01
01
; t
= 10 – 0,5x
02
02
; t
= 12 – 0,1x
12
12
; t
= 8 – 0,3x
13
13
;
t
= 6 – 0,2x
24
24
; t
= 9 – 0,5x
34
. (22)
34
Требования (17) своевременной выполняемости всех предшествующих работ обеспечиваются при условиях
t
≥ t
p4
t
≥ t
p2
+ t24; t
p2
+ t02; t
p0
p4
p2
≥ t
≥ t
+ t34; t
p3
+ t12; t
p1
p3
p1
≥ t
≥ t
+ t23; t
p2
+ t01. (23)
p0
p3
Требования (18) – определяемые значения переменных – должны быть неотрицательными:
t
≥ 0; tp1 ≥ 0; tp2 ≥ 0; tp3 ≥ 0; tp4 ≥ 0;
p0
t
≥ 0; t02 ≥ 0; t12 ≥ 0; t13 ≥ 0; t23 = 0; t24 ≥ 0; t34 ≥ 0.
01
x
≥ 0, x02 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x24 ≥ 0, x34 ≥ 0. (24)
01
После решения данной задачи симплексным методом получены
≥ t
+ t13;
p1
результаты
t
= 0; tp1 = 4; tp2 = 12; tp3 = 12; tp4 = 19;
p0
t
= 4; t02 = 10; t12 = 8; t13 = 8; t23 = 0; t24 = 6; t34 = 7.
01
x
= 20, x02 = 0, x12 = 40, x13 = 0, x24 = 0, x34 = 4.
01
F(x)
min
Оптимизированный сетевой график к примеру 2 представлен на
35.
рис.
= 19.
190
0
00
0
4[0; 0] 8[0; 0]
10[2; 2]
0
44
1
0
1212
2
8[0; 0]
6[1; 1]
0
1212
3
0
1919
4
7[0; 0]0[0; 0]
Рис. 35. Оптимизированный сетевой график к примеру 2
Таким образом, чтобы выполнить проект за минимальное время,
t
равное
= 19, необходимо дополнительно вложить 64 ед. средств. В
0
этом случае средства должны быть распределены следующим образом: 20 ед. в работу (0, 1), 40 ед. в работу (1, 2) и 4 ед. в работу (3, 4),
что приведет к сокращению времени выполнения этих работ.
7.2. Оптимизация проекта по ресурсам
Под оптимальным распределением ресурсов понимается, что
при заданном размещении свершений событий в любой момент времени было бы достаточно ресурса для выполнения работ, а время выполнения проекта было бы минимальным. Работы не допускают перерыва в выполнении.
Пусть задан сетевой график выполнения проекта
t
Продолжительность каждой работы равна
r
требления ресурса
бот равно
d
. Для реализации проекта имеется количество R ресурса.
ij
. Минимально возможное время выполнения ра-
ij
, а ее интенсивность по-
ij
Под интенсивностью потребления понимается требуемое количество
для выполнения работы (
i, j) в единицу времени.
Ресурсы каждой работы определяются по формуле
G = (E, e ).
R
Ход оптимизации проекта рассмотрим на решении следующей
задачи.
= t
ij
. (25)
ij rij
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]