Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

❒➮❮➮ÑÒ➴ÐÑÒ➶❰ ❰➪Ð➚➬❰➶➚❮➮ß ➮ ❮➚Ó✃➮

➘❰❮➴Ö✃❰➱ ❮➚Ð❰➘❮❰➱ Ð➴ÑÏÓ➪❐➮✃➮

➹îñóдарственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

✧➘онбасскàÿ национальная àêадемия строительства è àðõèòåêòóðû✧

✃отова ❰✳ ➶✳✱ Шевчук ❰✳ ➚✳

Ðß➘Û ÔÓÐÜ➴

➮ ➮Õ ÏÐ➮❐❰➷➴❮➮ß

учебно✲методическîå пособие

❒àêååâêà ✷✵✷✵

Ó➘✃ ✺✶✼✳✺✶✽✳✹✺ ➪➪✃ ✷✷✳✶✻✶ ✃ ✼✸

Ðåêомендîâàíî ê èзданиþ Ó÷➻íûì ñîâåòîì ➹îñóäàрственногî образîâà✲ тельнîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûсшего ïðîôåññèîíàëüíîãî îбразовàíèÿ ✧➘îí✲ басскàÿ нациоíàëüíàÿ àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû✧

êîë ➑ ✶✵ îò ✷✾✳✵✻✳✷✵✷✵ ã✳

Ðецензåíòû✿

, ïðîòî✲

Ï✳ ➚✳ ❒ашароâ

ôåäðû математичåñêîãî àíàëèçà è äèôôåðåíöèальныõ óðàвнений ôà✲ êóëüòåòà ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé ➹îñóäарственнîãî образîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîôåññèональíîãî îбразоваíèÿ

✱ êàíäèäàò ôèçèêî✲ìàòåìàòè÷еских íàóê✱ доцент êà✲

✧➘онецкий íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò✧

➶✳ Ô✳ ❒óùàíîâ

íîé ðàáîòå✱ çàâåäóþùèé êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé è ïðикладíîé ìåõàíè✲ êè ➹îñóäàðñòâåííîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî профеññè✲ ональíîãî îáðàçîâàíèÿ ✧➘îíáàññêàÿ íàöèîíàëüíàÿ àêàäåìèÿ строитåëü✲

✱ ä✕ð технич✳ íàóê✱ ïðîфессор✱ ïроректîð ïî íàó÷✲

ñòâà è àðõèòåêòóðû✧

✃ ✼✸ ✃îòîâà ❰✳ ➶✳ Ðÿäû Ôóðüå è èõ ïðèëîæåíèÿ

✿ ó÷åáíî✲ìåòîäè÷✳

пособèå ✴ ❰✳ ➶✳ ✃îòîâà✱ ❰✳ ➚✳ Øåâ÷óê✳ ✖ ❒àêååâêà✱ ✷✵✷✵✳ ✖ ✶✸✶ ñ✳

➶

ïðèâåäåíû ïðимеры ðåøåíèÿ типовûõ çàäà÷ ïî òåìå ✧Ðÿäû Ôóðüå✧ êóðñà âûñøåé ìàòåìàòèêè✱ à òàêæå ïðèëîæåíèÿ ðÿäîâ Ôóðüå â óðàâíåíèÿõ ìàòå✲ ìàòè÷åñêîé ôèçèêè✱ òåîðетичеñêîé ìåõàíèêå✱ òåîðèè èзгиба áàëîê✱ ñîïðîòèâ✲ лении материàëîâ✱ ãèäðîäèíàìèêå✳ Ïособие îðèåíтировано íà ñòóäåíòîâ✱ îáó✲ ÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ✵✽✳✵✸✳✵✶ ✧Ñòðîèòåëьство✧ áåçîïàñíîñòü✧ æå íàïравлениé è ïðåïîäàâàтелям✳

учебнî✲ìåòîäè÷åñêîì ïîñîáèè ïðåäñòàâëåí òåîðåòè÷åñêèé материал✱

, ✷✵✳✵✸✳✵✶ ✧Òåõносферная

, à òàêæå ìîæåò áûòü ïîëåçíî ìàãèñòðàíòàì è аспираíòàì ýòèõ

❝



✃îòîâà ❰✳➶✳✱ Øåâ÷óê ❰✳➚✳✱ ✷✵✷✵

❝

 ➹❰Ó ➶Ï❰ ➽➘îíáàññêàÿ

íàöèîíàëüíàÿ àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû➾✱ ✷✵✷✵

❰➹❐➚➶❐➴❮➮➴

ÏÐ➴➘➮Ñ❐❰➶➮➴ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✺

➶➶➴➘➴❮➮➴ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳✳✻

➹ëàâà ✶✳

➓✶✳ Периодические функции ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ➓✷✳ ❰ðòîгональнîñòü тригонометрическîé системы ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ➓✸✳ Тригонометрический ðÿä ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ➓✹✳ ✃îýôôèциенты Фурье ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ➓✺✳ ➘îñòаточные óсловия разложимости функции ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ➓✻✳ Случай непериодическîé функции ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✽ ➓✼✳ Ôèзическàÿ интерпретàöèÿ разлоæåíèÿ функции ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ➓✽✳ Примеры разлоæåíèÿ функций â ðÿäû Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ➓✾✳ Ðàçëîæåíèå функции â ðÿä Фурье ïî ñèíóñàì

➓✶✵✳ Ðÿäû Фурье ñ произвольным периоäîì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ➓✶✶✳ ✃îìïëåêñíûé ðÿä Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷

➹ëàâà ✷✳

➓✶✳ ➶ычисление суммы ðÿäà äëÿ íåêоторых

➓✷✳ Получение íåêоторых формуë тригонометрии

➓✸✳ Приближåíèå функции òðигонометрическими

➓✹✳ Óлучшение ñõîдимости ðÿäîâ Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹ ➓✺✳ ➮нтеграл Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳ ✼✽ ➓✻✳ ➘âîéíûå ðÿäû Фурье ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷

Ðÿäû Фурье

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

èëè ïî êосинуñàì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸

Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

числовых ðÿäîâ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

ñ помощьþ ðÿäîâ Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻✼

многочленами ✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✼✷

✸

➓✼✳ Óравнение свобоäíûõ малых êолебаний струны ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✽✹

✼✳✶✳ Струна ñ закрепленными êонцами ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹ ✼✳✷✳ Струна ñ ïîëóсвободными êîíöàìè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

➓✽✳ Óравнение теплопроводности äëÿ неограниченного

ñòåðæíÿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✵✵

➓✾✳ Ïример дифференциàëüíîãî уравнения вращения

òâåðäîãî òåëà вокруг íåïîдвижной îñè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸

➓✶✵✳ Ïрименение ðÿäîâ Фурье â теории изгиба балок ✳✳ ✳✶✵✼

✶✵✳✶✳ ➮çãèá балки ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✵✼ ✶✵✳✷✳ Ñâîáîäíî опертàÿ áàëêà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷ ✶✵✳✸✳ Случай сосредоточенной нагрузки ✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✶✶✻

➓✶✶✳ Ïрименение ðÿäîâ Фурье â гидродинамикå ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✾

✶✶✳✶✳ Ðешение уравнения äëÿ функции òîêà

ñ ïîìîùüþ ðÿäîâ Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✾

✶✶✳✷✳ ❒åòîä èññëåäîâàíèÿ âîëí íà âîäå✱

основанный íà ðÿäàõ Фурье ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✷

➓✶✷✳ Ïрименение двойных ðÿäîâ Фурье

â ñîïðîòèвлении материалов ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✷✺

ÑÏ➮Ñ❰✃ Ð➴✃❰❒➴❮➘❰➶➚❮❮❰➱ ❐➮Ò➴Ð➚ÒÓÐÛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✵

✹

ÏÐ➴➘➮Ñ❐❰➶➮➴

Ðаздел ✧Ðÿäû Фурье✧ âõîäèò â ìîäóëü ✧Ðÿäû✧ курса âûñ✲ øåé ìàòематикè è изучаетсÿ ñòóäåíòàìè èíæенерно✲технических специальностей âñåõ ôîðì обучения✳ ✃оличество часов✱ выделя✲ åìûõ íà èçó÷åíèÿ этого раздела✱ íåçíàчительное✳ ➶ òî æå время анализ специальной литературы ïîêазывает✱ ÷òî ñòóденты✱ ìàãè✲ странты è аспиранты â ïроцессе обучения ïðè решении техниче✲ ñêèõ çàäà÷ íåîднократно ñòалкиваютсÿ ñ ìåòîäàìè✱ основанными íà ðÿäàõ Фурье✳ Поэтоìó потребность издания данного пособия äîñòаточно очевидна✳

Пособие состоит èç введения✱ äâóõ ãëàâ è спискà литера✲ òóðû✳ ➶î введении авторы привоäÿò êороткий èñòîðический îá✲ çîð ñòановления тригонометрических ðÿäîâ îò Эйлера äî более современных исследований✳ ➶ ãëàâå ✶ èçëîæåíû теоретические ïî✲ ëîæåíèÿ è приведены решения òèповых çàäà÷❀ ãëàâà ✷ посвяще✲ íà примерам использования ðÿäîâ Фурье â прикладных çàäà÷àõ✳ Ðассмотрены примеры èç òåîðèè приближåíèé✱ уравнений матема✲ тическîé ôèçèêè✱ теоретическîé ìåõаники✱ теории изгиба балок✱ сопротивления материалов✱ гидродинамики✳

❮умерация формуë îòдельно äëÿ êаждой ãëàâû✱ à нумера✲ öèÿ рисункîâ сквозная✳

➘анное издание позволяет îбучающимсÿ самостоÿòåëüíî осваивать учебный материал✳ Ïî ìíåíèþ àâòîðîâ✱ представленное пособие ïîìîæåò ñòóäåíòàì è аспирантàì разобратьсÿ â òîíêîñòÿõ теории ðÿäîâ Фурье✱ òåì самым расширив ñâîè возможности ïðè решении профессиональных çàäà÷✳

➶êëàä êаждого èç соавторов следуåò распределить â соотно✲ шении ✷ ê ✶✳ ➚ именно✱ áîëüøàÿ часть ✖ первая ãëàâà è íåêоторые параграфы âòîðîé ãëàâû ✖ написаны ✃отовой ❰✳ ➶✳❀ â ïîдборе çàäà÷ прикладного õарактера✱ представленных âî второй ãëàâå✱ принимала участие Шевчук ❰✳ ➚✳

✺

➶➶➴➘➴❮➮➴

➶первые ïîÿâèâøèñü â ïервой половине ❳❱■■■ âåêà✱ òåî✲ ðèÿ тригонометрических ðÿäîâ îêàçûâàëà è îêàзывает ïî ñåé äåíü огромное влияние íà развитие математики â целом✳ Ñ развитием ýòîé теории связан целый ðÿä фундаментàëüíûõ вопросов матема✲ òèêè✿ разложимость произвольной функции â ðÿä Ôóðüå✱ расши✲ рение понятия функции è интеграла✱ непрерывность✱ ñõîдимость ðÿäà è ò✳ä✳

➶ ❳❱■■■ âåêå ïðè решении çàäà÷ ïðèêладного õарактера íà✲ êîïèëîñü áîëüøîå ÷èñëî частных разлоæåíèé ôóíêöèé â триго✲ нометрические ðÿäû✳ Ðåçóëüòàòû áûëè разрозненные✱ носили ñëó✲ чайный õарактер✳ ❮åêоторые преобразования ученые äелали ôîð✲ мально✱ íå çàäóìûâàÿñü î теоретических обоснованиях✱ строгости è çàêонности своих ðåçóëüòàòîâ✳

Ñ÷èòàåòñÿ✱ ÷òî самый первый тригонометрический ðÿä встре✲ чаетсÿ ó ❐еонарäà Эйлера â ✧➘ифференциальном исчислении✧ â ✶✼✺✺ ã✳ Получение òàêîãî разлоæåíèÿ â тригонометрический ðÿä ó Эйлера áûëî случайным è являлось побочным ïðîдуктом совер✲ шенно другой çàäà÷è✳

Ýòîò íàчальный периоä развития теории тригонометриче✲ ñêèõ ðÿäîâ ìîæíî óсловно назвать ✧физическим✧✳

Следующий ýòàï развития теории тригонометрических ðÿ✲ äîâ óсловно назовем ✧прикладным✧,òàê êàê применение тригоно✲ метрических ðÿäîâ âñå ÷àùå ñòàëî возникàòü ïðè решениè çàäà÷ прикладного õарактера✱ à òàêæå â вопросах теоретическîé астро✲ номии è небесной ìåõàíèêè✳ ➬àäà÷à î êолебании струны✱ впервые сформулированная ➘аламбером è Эйлером✱ áûëà ïîñòавлена ïå✲ ðåä учеными ❳❱■■■ âåêà✳

Ýòîò ýòàï ïðîäîëæàëñÿ äî исторически поворотной ðàáî✲ òû ➷ана✲➪атистà Фурье ✧➚налитичåñêàÿ теория тепла✧ â ✶✽✷✷ ã✳ ✃íèãà Фурье îêазала íà развитие математики ❳■❳ â✳ наибольшее влияние✳

➹лавный аспект â åãî работе ✖ произвольная функциÿ ïðåä✲ ñòавима тригонометрическим ðÿäîì✳

✻

Ðÿäû Фурье возникли â связи ñ изучением íåêоторых ôè✲ зических явлений✱ ê êоторым â первую очередь îòíîñÿòñÿ малые êолебания упругих ñðåä✳ ➮сторически именно исследования êîëåá✲ лющейсÿ струны привели ê ðÿäàì Фурье è определили направле✲ íèå èõ развития✳

❰äíîé èç важных нерешенных çàäà÷ íà òîò момент áûë âî✲ ïðîñ определения êоэффициентов òðèãîíîìåòðическîãî разлоæå✲ íèÿ✳ ➶ ✶✼✼✼ ã✳ Эйлер ïредстàâèë Петербургскîé ➚êадемии íàóê äâà специальных ìåìóàðà✱ целикîì посвященных определению êî✲ эффициентов тригонометрическîãî разлоæåíèÿ✳ ❰áà ýòè ìåìóàðà áûëè опубликованы после смерти Эйлера✱ â ✶✼✾✽ ã✳

➬àäà÷à íàõîждения êоэффициåíòîâ✱ êоторые ìû íûíå èìå✲ íóåì êîэффицèåíòàìè Фурье✱ áûëà✱ â сущности✱ решена дважды✳ ➮стория возникновения интегральных формуë определения êîýô✲ фициентов тригонометрическîãî ðÿäà ïîêазывает✱ прежде всего✱ ÷òî многие математики ê íèì øëè двумя различными ïóòÿìè✿ первый ✖ îò интерполяционíûõ формуë ê точным✱ путем предель✲ íîãî перехîäà ✭✃ëåðî✱ ❐агранж✮✱ второй ïóòü ✖ ïóòü ïðÿìîé ✖ почленное интегрирование тригонометрическîãî ðÿäà ✭➘аламбер✱ Эйлер✮✳

❒åìóàð Фурье ✶✽✵✼ ã✳ ïроизвел столь íåîжиданное è ãëó✲ áîêîå впечатление íà âåñü математèческий ìèð✱ ÷òî Парижñêàÿ ➚êадемиÿ íàóê✱ æåëàÿ помочь автору ïðîдолжить è óсовершен✲ ствовать ñâîþ теорию✱ ïîñòановила объявить вопрос î распростра✲ нении тепла темой большой математическîé премии çà ✶✽✶✷ ãîä✳ ❮аиболее полно ðåçóëüòàòû нашли ñâîå отображåíèå â классиче✲ ñêîé работе Фурье ✧❚❤❡♦r✐❡ ❛♥❛❧②t✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❝❤❛❧❡✉r✧✳

➶ ðåçóëüòàòå✱ ñ именем Фурье ñòàëè обычно связывать ñëå✲ дующие ôîðìóëû äëÿ вычисления êоэффициентов

anè

bn✿

функции

an=

f(x)

f(x) cos nxdx, bn=

−π

f(x) sin nxdx

−π

✱ êоторая предполагàåòñÿ интегрируåìîé íà

(−π, π)

✳

✼

❰äíàêî ýòè формуëû áûëè известны óæå Эйлеру è ❐агранжу✳

➶ñå авторы✱ изучавшие ✧➚налитическую òåîðèþ тепла✧,óò✲ âåðждают✱ ÷òî Фурье íå äàë â íåé äîêазательства общей теоремы ñõîдимости тригонометрическîãî ðÿäà ê функцèè

f(x)

✳

➶ êîíöå ❳❱■■■ ✕ первой половине ❳■❳ ââ✳ французскими математикàìè определялись основные направления исследований✱ â частностè✱ è теория тригонометрическиõ ðÿäîâ✳

➹лавным вопросом â теории áåñêонечных ðÿäîâ являютсÿ вопросы ñõîдимости✳ Òîëüêî â середине ❳■❳ âåêà â математиче✲ ñêîì анализе âûêðèñòаллизовалось важное понятие равномернîé ñõîдимости ðÿäà✱ открывшее возможность дальнейших ãлубоких теоретических исследований â теории ðÿäîâ è✱ â ÷àñòíîñòè✱ триго✲ нометрических✳

Суммируÿ вклад èññëåäîâàíèé Фурье â развитие анализа✱ выделим îñíîâíûå ðåçóëüòàòû åãî исследований✱ êоторые ñòàëè фундаментом äëÿ дальнейшего ïîñòðîåíèÿ теории тригонометри✲ ческих ðÿäîâ✿

✶✳ Получено разлоæåíèå â òðигонометрический ðÿä ôóíê✲ öèé✱ ïîдчиняющихñÿ â разных ÷àñòÿõ промежутêà разным çàêî✲ íàì✳

✷✳ Сформулирован оригинальный ìåòîä âûâîäà формуë äëÿ êоэффициентов òðигонометðическîãî ðÿäà ïðè решении системы ñ áåñêонечнûì числом алгебраических уравнений✱ ñîäåðæàùèõ áåñ✲ êîíå÷íîå число неизвестных✳

✸✳ Ñäåëàí набросок äîêазательства общей òåîðåìû î ñõîäè✲ мости тригонометрических ðÿäîâ✳ Ýòîò ìåòîä áûë позднее ïëîäî✲ творно использоваí ➘ирихле✳

✹✳ ❮абрасывая èäåþ äîêазательства общей теоремы✱ Фурье впервые âûñêàçàë предполоæåíèå✱ ÷òî êîэффициенты тригономет✲ рическîãî ðÿäà стремятсÿ ê íóëþ✱ êîãäà

n → ∞

✳

✺✳ ➶первые получил изображåíèå произвольной функции ïðè помощи определенного двойного интеграла✱ êоторый являетсÿ ïðå✲ дельным случаем тригонометрическîãî ðÿäà✳

✻✳ ➘îêàçûâàÿ îáùóþ теорему✱ Фурье впервые âûñêàçàë â неявной форме принциï ëîêализации тригонометричåñêèõ ðÿäîâ✳

✽

➶ ❳■❳ âåêå òàêæå áûëè сформированы общие ïîäõîäû è èäåè â изучении òðигонометрических ðÿäîâ✱ äîêàçàíû важнейшие теоремы✳ ➮сследования â ýòîé области ñòàëè носить íå случайный✱ à ñèñтематическèé õàðактер✳

Ðÿäû ñëóæàò важным средством äëÿ вычисления è ïðåä✲ ñòавления ðàçëичных величин è прежде всего ôóíêöèé✳ Ðàçëî✲ æåíèå функций â òðигонометрический ðÿä Фурье занимает îñîáî важное место среди ìåòîäîâ теории приближåíèé✳ ❮åîáõîдимость â òàêîì представлении возникла ïðè решении çàäà÷✱ связанных ñ êîíñòðóèðîâàíèåì ìåõанизмов✱ è ïîëó÷èëà ñâîå теоретическîå развитие â работàõ исследователей✳

➪ольшой вклад â развитие теории тригонометрических ðÿ✲ äîâ внесли è советские ученые✳ ❮à знаменитом семинаре ïрофессî✲ ðà ❮✳ ❮✳ ❐узина â ❒îñêîâñêîì университете рассматривались íà✲ учные ðåçóëüòàòû ➚✳ ❮✳ ✃олмогорова✱ ➘✳ ➴✳ ❒еньшова✱ ❮✳ ✃✳ ➪àðè✱ ➮✳ ➮✳ Привалова è äð✳ Ýòèì советским математикàì принадлежàò принципиально важные исследования è ðÿä фундаментальных ðå✲ çóëüòàòîâ â теории тригонометрических ðÿäîâ✳

✃ настоящему времени теория тригонометрических ðÿäîâ являетсÿ îòдельной îбластью математическîãî анализа ñ больши✲ ìè связями ñî смежными разделами математèêè è приклàäíûìè çàäà÷àìè✳

✾

➹ëàâà ✶✳ Ðÿäû Фурье

➓✶✳ Периодические функции

➶ жизни íàì часто ïðèõîäèòñÿ ñòалкиватьсÿ ñ

скими явлениями

промежутки времени✳

❰пределение✳

ëè существуåò число определения определения è выполнÿåòñÿ равенство

ЧислоTназывают

ïîëîжительный периоä

❰тметим íåêоторые ✶✳

Сумма✱ ðàзность✱ произведениå è частное периодических

функций ñ периодоìTåñòü периодическая функция ñ периодоìÒ✳

✷✳

➴ñëè функция

имеет период

Пример✳

✱ ò✳å✳ òакими✱ êоторые повторÿþòñÿ через ðàâíûå

Функция

T > 0

f(x)

числа

f(x + T ) = f(x) = f (x − T ).

✳

❰пределите✱ являетсÿ ëè периоäè÷åñêîé функция

f(x) = sin x +

x + Tèx − T

f(x)

называетсÿ

òàêîå✱ ÷òî äëÿ любогоxèç области

òàêæå âõîäÿò â область

периодоì

называют å➻

свойства периодических функций

имеет периодÒ✱ òî функция

sin 2x +

функции

1 4

периодической

f(x)

главным периодоì

sin 3x.

периодиче✲

✱ åñ✲

✳ ❮àèменьший

✳

f(ωx)

✭✶✳✶✮

✳

❮айдите ãлавный периоä функцииf✳

Ðешение✳

÷åñêîé✱ êàê сумма ñèíóñîâ✳ Чтобы найти ãлавный периоä✱ íàéä➻ì периоäû êаждого ñëàãаемого✳

Функция

ñòâó ✷ ✖ периоä

2π

T3=

✶✵

✳

❮аименьшее кратное чисел2π✱π✱

➶ ñèëó свойства ✶ функцияfявляетсÿ периоäè✲

sin x

имеет периоä

2π

T2=

= π

T1= 2π

❀ аналогично функция

❀ функция

2π

è áóäåò ãлавным ïåðè✲

sin 2x

sin 3x

ïî ñâîé✲

✖ ïåðèîä

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]