Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
ϕ = −
l
EI
M.
Ðазделиì выражåíèå ✭✷✳✺✽✮ íàl✿
✃оэффициент
ϕ
l
ϕ
✖ óãîë поворотà балки ê единице длины✱ ò✳å✳ ñðåä✲
l
= −
M
EI
.
✭✷✳✺✽✮
íÿÿ кривизнà балки✳ Òàê êàê áàëêà îднороäíà è изгибающий ìî✲
ìåíò постоянный ïî âñåé длине✱ òî кривизна балки âî âñåõ òî÷êàõ
îäèíàêîâàÿ è равна средней кривизне✳ ➶ óсловиях предполагàå✲
ìîé æåñòêîñòè балки å➻ кривизну ìîæíî принять равной второй
произвоäíîé вертикального смещения точки вдоль длины балки✿
d2v
ϕ
=
l
dx
.
2
Ñ ó÷åòîì ✭✷✳✺✽✮ получим✿
d2v
dx
2
= −
M
EI
.
➴ñëè рассматривать изгибающий моментMâ êаждой òî÷êå
x
✱ ò✳å✳
M = M(x)
✖ функция îò переменнойx✱ òî имеет место
дифференциальное уравнение второго ïîðÿäêà✿
d2v(x)
2
dx
= −
M(x)
EI
Ñ учетом ✭✷✳✺✷✮ ïðè любых нагрузкàõRèSдифференци✲
альное óðàâíåíèå ✭✷✳✺✾✮ запишем â âèäå✿
R+S
dx
2
(x)
MR(x) + MS(x)
= −
EI
d2v
à ïðè любомαèç ✭✷✳✺✸✮ следуåò
.
✭✷✳✺✾✮
,
✶✶✶
➮ç последних äâóõ соотношений вытекàþò свойства ôóíê✲
öèè прогиба
➘ëÿ получения îêончательного уравнения ïðîдиффернци✲
v(x)
d2vαR(x)
dx
= −α
2
балки✿
v
(x) = vR(x) + vS(x),
R+S
(x) = αvR(x).
v
αR
x
выражåíèå ✭✷✳✺✾✮✿
d4v(x)
dx
= −
4
1
EI
MR(x)
EI
d2M(x)
2
dx
.
Ïîäñòàâèì вместо
Соотношение ✭✷✳✻✵✮ называют
åì изгибà áàëêè
✳
d2M(x)
dx
d4v(x)
4
dx
d4v(x)
EI
dx
равенство ✭✷✳✺✺✮✿
2
1
=
q(x)
EI
= q(x).
4
äèôференциальным óðавнени✲
✭✷✳✻✵✮
✶✵✳✷✳ Свобоäíî опертàÿ áàëêà✳
Ðассмотрим балку длиныl✱ êоторая íàõîäèòñÿ ïîä воздей✲
ствием íåêоторой íàãðóçêè è свобоäíî îïåðòà ïî êонцам ✭ðèñ✳ ✷✽✮✳
➬íà÷èò✱ íà êонцах балки å➻
вертикальные смещения
v(0) = v(l) = 0,
à òàêæå изгибающие моменты
Ðèñ✳ ✷✽
M(0) = M (l) = 0.
✶✶✷
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Провоäÿ рассуждения✱ аналогичные пункту ✶✵✳✶✱ выберем
â êàчестве функции состоÿíèÿ балки функцèþ å➻ прогиба
v(x)
áóäåì ïîдбирать ортогональную систему функций äëÿ разлоæåíèÿ
â ðÿä✳
Ðассмотрим îднороäíóþ ïî äëèíå äâóõïðîë➻òíóþ неразрез✲
íóþ балку ñ êонцами â òî÷êàõ
x = −lèx = l
✳ ➪àëêà îдинакî✲
âî опираетсÿ своими êонцами íà îïîðû è имеет промежуточную
опору â òî÷êå
смещению балки✿
x = 0
✳ Средняя опора препятствуåò âåðòèêальному
v(0) = 0
✳
Ïóñòü ê áàëêå симметри÷íî прилоæåíû äâå противополоæ✲
íûå ïî íаправлению è равные ïî ìîäóëþ ñèëû â òî÷êàõ
x = −c
✱ à êаждому моменту✱ прилоæенному â îäíîé òî÷êå✱ ñîîò✲
x = c
ветствуåò равный åìó ïî величиíå è совпадающий ïî направлению
момент✱ прилоæенный â другой òî÷êå ✭ðèñ✳ ✷✾✮✳
➮згибающий момент
íîé функцией✱ à
v(x)
òîæå являетсÿ íå÷➻òíîé✳
M(0) = 0
M(x)
â данной áàëêå являетсÿ íå÷åò✲
✳ Предпîëîæèì✱ ÷òî è функция прогиба
❐åâàÿ половина неразрезной балки воздействуåò íà правую
половину толькî íåêоторой вертикальной силой è íå прилагàåò
íèêàêîãî изгибающего моментà✳ Поэтому✱ åñëè убрать левую ïîëî✲
âèíó балки✱ заменив å➻ соответствующей реакцией опоры â òî÷êå
x = 0
✱ òî íà изгибающих óñèëèÿõ â ïðàâîé половине балки è íà
çíà÷åíèÿõ функции
v(x)
ïðè
x > 0
ýòî íå отразитсÿ✳
è
è
Ðèñ✳ ✷✾
✶✶✸
Ðàçëîæèì функцию прогиба
ðüå ïî ñèíóñàì ✭ñòð✳ ✺✽✮✿
v(x) =
∞
X
n=1
v(x)
bnsin
íà отрезкå
nπ
x.
l
[0, l]
â ðÿä Ôó✲
Òàê êàê функция
v(x)
непрерывна è óдовлетворÿåò óслови✲
ÿì ➘èðèõëå✱ òî ðÿä Фурье ✭ïî ñèíóñàì✮ ñõîäèòñÿ ê функции âî
âñåõ òî÷êàõ✳
Ðешениå дифференциального
уравнения изгиба балки ✭✷✳✻✵✮
требуåò довольно ñëîæíûõ òåî✲
ретических обоснований✱ поэто✲
ìó ограничимсÿ äëÿ примера
случаем балки✱ загруженной ðàâ✲
номерно распредел➻нной íàãðóç✲
êîé интенсивностиqíà отрезкå
[c, l]
✭ðèñ✳ ✸✵✮✳
[0, c]
✱ ãäå
Ðèñ✳ ✸✵
c < l
✱ è íå загружåíîé íà
Ðассмотрим соотношение ✭✷✳✺✾✮✱ описывающее состоÿíèå äå✲
формированной балки✱ являющеесÿ дифференциальным уравне✲
íèåì второго ïîðÿäêà✳
Ïîëîæèì✱ íà áàëêó действуåò нагрузкàR✱ приводящая ê èç✲
гибающему моменту
íà отрезкå
[0, l]
MR(x)
ïî ñèíóñàì✿
MR(x) =
✳ Ðàçëîæèì момент
∞
X
n=1
m
R,n
sin
nπ
l
x.
MR(x)
â ðÿä Фурье
✭✷✳✻✶✮
➴ñëè нагрузкàRíå ñîäåðæèò сосредоточенных моментов✱
òî
MR(x)
✖ непрерывная ôóíêöèÿ✱ ïîýòîìó ðÿä Фурье ñõîäèòñÿ ê
íåé равномерно✳
Ðàçëîæåíèå функции прогиба â ðÿä Фурье íà отрезкå
ïî ñèíóñàì✿
✶✶✹
[0, l]
➹ëàâà ✷✳
vR(x) =
∞
X
n=1
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
sin
nπ
x.
l
b
R,n
✭✷✳✻✷✮
Ïðîäèôôåðенцируåì ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî дважды✳ ➘елаем
ïîêà ýòî формально✱ à правомерность òàêèõ действий проверим
ïîçæå✳ Получим✿
dvR(x)
dx
d2vR(x)
2
dx
=
n=1
= −
b
∞
X
n=1
nπ
n
b
n
nπ
cos
l
nπ
x,
l
2
nπ
sin
l
x.
l
∞
X
Ïîäñòàâèì â выражåíèå
вместо
M(x)
−
π
l
➴ñëè îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ равномерно✱ òî ïðèравниваем èõ êî✲
эффициенты✿
➶ыразим êоэффициенты
Ïîäñòàâèì выражåíèå äëÿ êоэффициåíòîâ â ðÿä ✭✷✳✻✷✮✿
d2vR(x)
è
X
2
n=1
∞
dx
d2vR(x)
2
dx
èõ разлоæåíèÿ â ðÿäû Фурье✿
2
n2sin
2
π
b
R,n
2
l
b
R,n
nπ
l
n2=
=
b
R,n
= −
x = −
b
R,n
2
l
π2EI
1
EI
✿
M(x)
EI
1
EI
m
R,n
m
R,n
2
n
∞
X
n=1
.
.
m
R,n
sin
nπ
l
✭✷✳✻✸✮
x.
✶✶✺
∞
2
X
vR(x) =
l
π2EI
n=1
m
n
R,n
2
sin
nπ
x.
l
✭✷✳✻✹✮
❰ñòалось объяснить правомерность дифференциðîâàíèÿ ðÿ✲
äîâ Фурье✳ ➶торые ïðîèçâîäíûå членов òàêîãî ðÿäà â ñèëó ✭✷✳✻✸✮
пропорциональны соответствующим членам равномерно ñõîäÿùå✲
ãîñÿ ðÿäà ✭✷✳✻✶✮✳ Следовательно✱ è ðÿä ✭✷✳✻✹✮ òîæå ñõîäèòñÿ равно✲
мерно✳ ➬íà÷èò✱ двукратное дифференцирование✱ êоторое ìû ïðî✲
извели âûøå✱ çàêîííî✳
✶✵✳✸✳ Случай ñîñðедоточенной нагрузки✳
Ðассмотрим балку äëèíûl✱
êоторая свобоäíî îïåðòà ïî
êонцам è загружåíà верти✲
êальной силойP✱ прилоæåí✲
íîé â òî÷êå
x = c
✭ðèñ✳ ✸✶✮✳
Ðеакциè îïîð направлены
l − c
Ðèñ✳ ✸✶
ââåðõ è равны
âîé опоры è
P
P
c
✖ äëÿ правой✳
l
l
äëÿ ëå✲
➮згибающий момент балки
(
l−c
, 0 ≤ x ≤ c,
P
Mp(x) =
l
c
P
, c < x ≤ l.
l
✭✷✳✻✺✮
Ðàçëîæèì функцию
Mp(x)
íà отрезкå
[0, l]
â ðÿä Фурье ïî
ñèíóñàì ✭ñòð✳ ✺✽✮✳ ➶ычислим êоэффициенты Фурье✿
l
=
Z
2
mn=
c
Z
2
l
l − c
P
0
x sin
l
l
0
nπ
l
Mp(x) sin
xdx +
nπ
xdx =
l
l
Z
2
l
P
c
c
(l − x) sin
l
✶✶✻
nπ
l
xdx =
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
2P (l − c)
=
(
u = x dv = sin
=
du = dx v =
2P (l − c)
= −
2P c
−
= −
= −
2P c(l − c)
+
❰êончательно✱
Z
2
l
0
2
l
nπ
(l − x)l
2
l
nπ
2P (l − c)c
lnπ
2P c(l − c)
+
lnπ
2P (l − c)c
lnπ
c
−l
nπ
xl
lnπ
cos
x sin
cos
cos
cos
nπ
nπ
l
nπ
cos
cos
nπc
l
l
xdx
nπ
l
l
nπ
l
nπc
cos
+
xdx +
)+(
x
c
x
+
0
l
x
−
c
+
l
nπc
l
nπc
l
2P c
n2π
l
Z
2P c
2
l
(l − x) sin
c
u = l − x dv = sin
du = −dx v =
2
l
nπ
n2π
nπc
l
Z
c
sin
2
nπ
=
l
l
cos
sin
nπ
sin
2P l
n2π
2P (l − c)
l
2P c
2
l
2P (l − c)
lnπlnπ
2P c
−
lnπlnπ
2P (l − c)
+
sin
2
nπ
xdx =
l
l
.
xdx
nπ
l
)
x
nπ
−l
cos
nπ
c
Z
l
nπ
cos
0
nπ
l
x
nπc
2
xdx =
nπ
l
l
=
c
l
sin
x
+
l
c
0
nπc
+
xdx−
l
mn=
2P l
n2π
Ïîäñòàâèì êоэффициенты
∞
3
X
v
(x) =
R
2P l
π4EI
n=1
nπc
sin
2
.
l
mnâ ðÿä ✭✷✳✻✹✮✿
1
nπc
sin
4
n
nπ
sin
l
x.
l
✭✷✳✻✻✮
✶✶✼
Пример✳
➘ëÿ описанного âûøå случая сосредоточенной íà✲
грузки найдите прогиб â середине балки✱ åñëè ñèëà прилоæåíà â
l
òî÷êå
➘ëÿ этого ïîäñòàâèì â выражåíèå ✭✷✳✻✻✮
✳
c =
4
Ðешение✳
❮àéä➻ì çíàчение функции
l
v
R
2
=
2P l
π4EI
∞
3
X
1
sin
4
n
n=1
x =
nπ
4
sin
(x)
l
2
R
è
nπ
2
â òî÷êå
l
c =
4
.
✳
v
x =
l
2
✳
➶ полученном ðÿäå ñëàãаемые ïðè
íóëþ✱ à ñëàãаемые ïðè
1
4
n
n=5
n = 1èn = 3
=
1
5
1
=
4
625
= 0, 0016 < 0, 002.
n = 2èn = 4
равны
îòëè÷íû îò íóëÿ✱ ïðè ýòîì
➶ычислим çíàчение прогиба балки приближåííî✱ îñòавляя
толькî первое è третье ñëàãаемые✿
=
v
R
2P l
π4EI
l
≈
2
√
3
2P l
π4EI
2
−
2
3
sin
√
1
2
4
3
2
π
4
sin
=
π
+
2
3
√
80
2P l
81π4EI
1
3π
sin
4
3
≈ 0, 014339
4
sin
3π
=
2
3
P l
.
EI
Ïðè ýòîì относительная ошибкà вычислений íå превышает ✵✱✵✷✳
➮ç курса сопротивления материалов известна формуëà äëÿ
íàõîждения точного çíàчения величины прогиба â случае äåé✲
ствия ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû íà балку ñ äâóìÿ опорами✿
f =
P c
48EI
3l2− 4c
2
,
ãäåc✖ êîîðäèíàòà точки✱ â êоторой прилоæåíà ñèëà✳
❮айдем точное çíàчение ïðîãèáà балки è сравним åãî ñ ïî✲
лученным приближенным çíà÷åíèåì✿
✶✶✽
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
f =
P
48EIl4
3l2− 4
l
4
2
=
11P l
768EI
3
≈ 0, 014323
P l
EI
3
.
Приближенное çíà÷åíèå прогиба балки è çíàчение✱ найден✲
íîå ïî формуëå✱ îòличаютсÿ четвертой çíàчащей цифрой✳ ❰òíî✲
сительная погрешность вычислений ñîñòавляет ✵✱✶%✳
3
P l
❰òâåò✿
прогиб â середине балки ðàâåí
0, 014339
EI
✳
➓✶✶ Применение ðÿäîâ Фурье â гидроäинамикå
✶✶✳✶✳ Ðешение уравнения äëÿ функции òîêà ñ ïîìî✲
ùüþ ðÿäîâ Фурье✳
➶ ðàìêàõ решения çàäà÷è î плоскîì течении íåñжимаемой
æèäêîñòè â ïðямоугольной системе êîîðдинат рассматðèâàþò óðàâ✲
нения äâèæåíèÿ äëÿ простейших физических переменных ✭ñîñòàâ✲
ляющие ñêоростè è давления✮✱ à затем âûâîäÿò уравнения âèõðÿ
è функцèè òîêà✳ ➶ êà÷åñòâå примера ïрименим ìåòîä✱ использу✲
þùèé ðÿäû Фурье✱ äëÿ решения îдного âèäà уравнения функциè
òîêà
u(x, y)
✳
➶опросы ñõîдимости è óстойчивости решений õорошо иссле✲
дованы толькî äëÿ линейных численíûõ ñõåì✳ ➶ основе êонечно✲
разностной ñõåìû лежит замена произвоäíûõ
альных уравнениях íà разностные отношения òèïà
разностных уравненèÿõ✳
∂u
â äифференци✲
∂x
∆u
â êонечно✲
∆x
Ðешение✱ полученное â ñõîдящейсÿ êонечно✲разностíîé ñõå✲
ìå✱ ïðè стремленèè размера ячейки сетки ê íóëþ приблиæåííî
равно решению ñîответствующего дифференциального уравнения✳
❰áùàÿ ñõåìà решения полной çàäà÷è гидродинамиêè состо✲
èò â следующем✳ ➮сследуåìàÿ область течениÿ покрываетсÿ êîíå÷✲
но✲разностной ñåòêîé✳ ✃онечно✲разностное решение опредåëÿåòñÿ
â узлах сетки✱ ëåæàùèõ íà пересечении линий сетки✳ ➶ íàчальный
момент времени задаютсÿ íàчальные óсловия íà функцèè✳ ➘àëåå
✶✶✾
решают êонечно✲разностный аналог äèôôåðåíциального уравне✲
íèÿ переноса âèõðÿ è аналог уравнения Ïóассона äëÿ определе✲
íèÿ çíàчений функции òîêàu✳ ❮à последнем øàãå расчитывают
çíà÷åíèÿ íà границах рассматриваемой области✳
Ðассмотрим эллиптичåñêîå уравнение Ïóассона äëÿ ôóíê✲
öèè òîêà
u(x, y)
✿
∇2u =
∂2u
∂x
∂2u
+
2
∂y
2
= ξ,
✭✷✳✻✼✮
ãäåξ✖ вихрь❀∇✖ оператор í✁❛áëà✱ êомпонентàìè êоторого ÿâëÿ✲
þòñÿ частные ïроизвоäíûå ïî переменнымxèy✿
∇ =
∂
∂x
∂
,
.
∂y
➬аменяя частные произвоäíûå íà разности второго ïîðÿäêà✱
запишем êонечно✲разностное уравнение Ïóассона â âèäå✿
u
ãäå
u
i+1,j
ξ
известны✳
i,j
− 2u
∆x
i,j
2
+ u
i−1,j
+
i+1,j
− 2u
∆y
i,j
2
+ u
i−1,j
= ξ
i,j
,
✭✷✳✻✽✮
Òочное решениå уравнения ✭✷✳✻✽✮ ìîæåò áûòü представлено
â âèäå разлоæåíèÿ ïî собственным ôóíкциям ñ êонечнûì êоличе✲
ством ÷ленов✳
Ðассмотрим ïðÿìîóгольную область размером
личеством âíóòðенних точекmn✱ ãäå
ïðè ïîñòîянных∆x✱
∆yèu = 0
íà âñåõ границах✳ Òî÷íîå решение
n = max i − 2✱m = max j − 2
X × Y
ñ êî✲
êîíå÷но✲разностного уравнения запишем â âèäå✿
r
u
=
i,j
n + 1
n
X
2
H
p=1
p,j
sin
pπx
X
i
,
✭✷✳✻✾✮
ãäå
xi= (i − 1)∆x❀H
разностных óðàâíåíèé ✭
✶✷✵
✖ решения òðåõäèàãîíальной системы
p,j
1 ≤ p ≤ n
✮
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]