Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
➓✼✳ Физическàÿ интерпретàöèÿ
разлоæåíèÿ функции â ðÿä Фурье
Ðассмотрим íåêоторый процесс✱ êоторый описываетсÿ ôóíê✲
циональной зависимостью✳ ❮езависимая переменнаяtфункции õà✲
рактеризуåò время процесса✳ Ïîëîæèì äëÿ определенности✱ ÷òî
процесс ✖ ýòî ìåõаническîå äâèæåíèå íåêоторой системы✳ Òàêîå
äâèæåíèå çà íåêоторый промежуток времени ìîæåò áûòü êîìáè✲
нацией заранее заданнûõ äâèæåíèé✱ íàïðèìåð✱ ñòационарное ñìå✲
щение è ãармонические êолебания✳
➹армонические êолебания â отрезкå времени
[−π, π]
описы✲
ваютсÿ функцией
f(t) = ancos nt + bnsin nt,
ãäån✖ частотà êолебаний ✭
t
✖ время✳
n > 0✮❀an✱
bn✖ амплитуäû✱
➶ûðàæåíèå ✭✶✳✶✶✮ представляет собой ïàðó соседних ñëàãà✲
åìûõ òðèãîíîìåòðическîãî ðÿäà✳ Ïîëîæèì
an= Ansin ωn,
bn= Ancos ωn,
òîãäà
f(t) = Ansin ωncos nt + Ancos ωnsin nt =
= An(sin ωncos nt + cos ωnsin nt).
➶оспользовавшись формуëîé ñèíóñà суммы✱ ýòî выражåíèå
ìîæíî записать ñëåäóþùèì образом✿
f(t) = Ansin(nt + ωn),
p
2
ãäå
An=
a
2
+ b
n
✖ амплитуäà❀
n
ωn✖ íàчальная ôàçà❀t✖ время✳
Òàêèì образом✱ äâà ñëàãаемых ✭✶✳✶✶✮ тригонометрическî✲
ãî ðÿäà соответствуют
ãàðмоничесêîé составляющей
✭✶✳✶✶✮
an✱
bn∈ R
✭✶✳✶✷✮
✭✶✳✶✷✮ îáùå✲
❀
✸✶
ãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû✳ ➴➻ называютn✕òîé
2π
Функция
f(t)
имеет периоä
T =
✳
n
ãàðмоникой
äâèæåíèÿ✳
Процесс разлоæåíèÿ периодическîé функции íà ãармоники
называетсÿ
ãàðмоничесêèì анализоì
✳ Òàê æå называетсÿ è раздел
математическîãî анализа✱ изучающего свойства функций ñ ïîìî✲
ùüþ представления èõ ðядами è интегралами Фурье✳
➓✽✳ Примеры разлоæåíèÿ функций â ðÿäû Фурье
Пример✳
отрезкå[✕
Ðешение✳
π, π]
Ðàçëîæèòå â ðÿä Фурье функцию
✳
Функция
f(x) = x
внутри(✕
f(x) = x
π, π)
непрерывна è
íà
монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘èðèõëå✳
Ïðîäолжим периодически ôóíêöèþ
íà âñþ действительную ïðÿìóþ✳ Òî÷êè
þòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà ✶✲îãî ðîäà функции
f(x)
ñ отрезкà
x = (2k + 1)π✱k ∈ Z
f(x)
✭ðèñ✳ ✻✮✳ Стрелки
[−π, π]
✱ ÿâëÿ✲
íà ãðàôèêå îçíà÷àþò✱ ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ функция стремитсÿ ê ñî✲
ответствующему çíàчению✱ íî íå äîñòèãàåò åãî✳
Ðèñ✳ ✻
Фурье✳
✸✷
Применим формуëû ✭✶✳✶✵✮ äëÿ íàõîждения êоэффициентов
π
a0=
Z
1
xdx =
π
−π
2
x
1
π
2
Ïðè вычислении следующих интегралов используåòñÿ
òîä интегрирования ïî частям✼✿
(
u = x, dv = cos kxdx,
du = dx, v =
π
Z
1
sin kxdx = 0 +
kπ
−π
cos kπ − cos(−kπ)= 0,
(
u = x, dv = sin kxdx,
du = dx, v = −
π
Z
cos kxdx = −
2
cos kπ = −
k
= −
ak=
=
bk=
x
kπ
x
kπ
cos kx
+
k2π
1
π
1
π
1
π
Z
x cos kxdx =
−π
π
sin kx
−π
=
π
Z
x sin kxdx =
−π
π
+
−π
sin kx
−
1
k2π
1
kπ
−π
π
= −
−π
π
−π
➹ëàâà ✶✳
π2− ( − π)
=
2π
π
cos kπ +
kπ
2
(−1)k= (−1)
k
1
k2π
Ðÿäû Фурье
2
= 0,
1
sin kx
k
π
cos kx
−π
)
1
cos kx
k
−π
cos(−kπ)+
kπ
k+1
)
ìå✲
=
=
=
2
.
k
Полученные êоэффициенты ïîäñòàâèì â ðÿä Фурье ✭✶✳✾✮✿
∞
X
f(x) = x ∼
k=1
X
(−1)
∞
x ∼ 2
k=1
✼
Формуëà интегрирования ïî ÷àñòÿì✿
(−1)
2
k+1
sin kx = S(x).
k
k+1
sin kx.
k
b
Z
udv = uv
a
b
Z
b
−
vdu
a
✳
a
✭✶✳✶✸✮
✸✸
Ýòî è åñòü разлоæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Фурье✳ Сумма ðÿäà
S(x)
внутри интервала
ности ñ функцией
f(x)
[−π, π]
✿
совпадает âî âñåõ òî÷êàõ непрерыв✲
S(x) = f(x) = x, x ∈ (−π, π).
Функция
S(x)
являетсÿ2π✕периоäическîé✳ Ïî теореме ➘è✲
рихле ✭ñòð✳ ✷✼✮ â òî÷êàõ ðàçðûâà сумма ðÿäà равна среднему àðèô✲
метическîìó çíàчению пределов функции
f(x)
слева è справа ✖ â
данном случае íóëþ✿
➹рафик суммы
−π + π
S(x)
изображåí íà ðèñ✳ ✼✳
= 0.
2
Ðèñ✳ ✼
➬амечание✳
(−π, π)
f(x)
îòличаютсÿ ✭ñì✳ ðèñ✳ ✻ è ✼✮✳ ❮î åñëè ïðîäîëæåíèå функции
дополнить çíàчениями
➹рафики функций
f(x)èS(x)
âíå интервала
òî ýòî ïðîäîëæåíèå
❰òâåò✿
f(x) = x ∼ 2
✸✹
f(2k + 1)π= 0, k ∈ Z,
f(x)
è сумма ðÿäà
∞
X
(−1)
k=1
k
k+1
S(x)
sin kx
✳
áóäóò совпадать✳
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Пример✳
интервале
Ðешение✳
Ðàçëîæèòå функцию
[0, 2π]
✳
Ñ данной функцией ìû óæå ñòалкивались â ïðè✲
f(x) =
x − π
2
â ðÿä Фурье íà
ìåðå íà ñòð✳ ✷✽✳ ➶ычислим теперь êоэффициенты Фурье è запишем
разлоæåíèå â ðÿä✱ îïóñêàÿ рассуждения ïî ïîâîäó самого процесса
разлоæåíèÿ✳
2π
ak=
bk=
=
2π
Z
1
π
0
= 0 +
2π
Z
1
π
0
= −
a0=
1
2π
x − π
2
=
1
2k2π
x − π
2
= −
π
2kπ
Z
x − π
1
π
0
2
4π
− 2π2− 0=
2
cos kxdx =
x − π
sin kx
2kπ
cos kx
sin kxdx =
x − π
cos kx
2kπ
cos 2kπ −
1
= −
2k
−
2
2
x
dx =
1
2π
1
2π
2
2π2− 2π
(
u = x − π, dv = cos kxdx,
du = dx, v =
2π
Z
1
2kπ
1
sin kxdx =
0
cos 2kπ − cos 0= 0,
2π
0
2π
−
0
=
2k2π
(
u = x − π, dv = sin kxdx,
du = dx, v = −
2π
2π
0
π
2kπ
1
+ 0 = −
2k
+
cos 0 +
1
2kπ
Z
0
2k2π
2
2k
2π
− πx
0
2
cos kxdx =
1
sin kx
1
= −
.
k
=
= 0,
1
sin kx
k
1
cos kx
k
2π
0
)
=
)
=
=
Полученные êоэффициенты ïîäñòàâèì â ðÿä Фурье ✭✶✳✾✮✿
✸✺
f(x) =
Ýòî è åñòü разлоæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Фурье✳ Сумма ðÿäà
S(x)
внутри èнтерваëà
ности ñ функцией
S(x) = f(x) =
f(x)
x − π
2
(0, 2π)
✿
∞
X
k=1
sin kx
k
= S(x).
∼ −
совпадает âî âñåõ òî÷êàõ непрерыв✲
x − π
, x ∈ (0, 2π).
2
Функция
S(x)
являетсÿ2π✕периоäическîé✳ Ïî теореме ➘è✲
рихле â òî÷êàõ разрыва сумма ðÿäà равна среднему арифметиче✲
ñêîìó çíàчению пределов функции
π
−
2
➹рафик суммы
S(x)
изображåí íà ðèñ✳ ✽✳
f(x)
слева è справа✿
π
+
2
= 0.
2
Ðèñ✳ ✽
Сравните график ïðîäîëæåíèÿ функцèè
ôèê суммы
S(x)
ðÿäà Фурье ✭ðèñ✳ ✽✮✳ ➶нутри интервала
f(x)
✭ðèñ✳ ✺✮ è ãðà✲
(0, 2π)
îíè
совпадают✱ à âíå åãî ✖ îòличаютсÿ✳
∞
X
k=1
sin kx
k
✳
❰òâåò✿
f(x) =
x − π
2
∼ −
✸✻
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Пример✳
êå[✕
π, π]
✳
Ðèñ✳ ✾
a0=
Ïðè вычислении êоэффициентов
ческие интегрàëû
π
Z
1
ak=
excos kxdx =
π
−π
=
=
= 0 −
1
kπ
Ðàçëîæèòå â ðÿä Фурье функциþ
Ðешение✳
Функция
непрерывна è монотонна íà âñåé
числовой îñè ✭ðèñ✳ ✾✮ è✱ â ÷àñò✲
ности✱ íà интервале[✕
÷èò✱ выполняютсÿ óсловия òåîðå✲
ìû ➘ирихле✳ Ïðîдолжим перио✲
дически функцию
êà
[−π, π]
íà âñþ действитель✲
íóþ ïðÿìóþ✳ Применим форму✲
ëû ✭✶✳✶✵✮ äëÿ íàõîждения êîýô✲
фициентов Фурье✳
π
1
π
Z
exdx =
−π
π
1
x
e
=
π
−π
akè
−π
eπ− e
π
bkполучаютсÿ
✭ñì✳ ❬✹✱ ñòð✳ ✹✻✻❪✮✳
(
u = ex, dv = cos kxdx,
du = exdx, v =
π
1
exsin kx
kπ
(
π
−π
−
1
kπ
Z
−π
exsin kxdx =
)
u = ex, dv = sin kxdx,
1
+
cos kx
k
π
Z
1
excos kxdx#=
k
−π
du = exdx, v = −
"
−
1
k
excos kx
π
−π
y = exíà отрез✲
f(x) = e
π, π]
✱ çíà✲
f(x)
ñ îòðåç✲
,
цикли✲
)
1
sin kx
k
=
=
x
✸✼
1
=
eπcos kπ − e−πcos kπ−
k2π
= (−1)
eπ− e
k
−π
k2π
❒û получили выражåíèå✱ â êотором åñòü òàêîé æå èíòå✲
ãðàë✱ êàê è â íà÷àëå ✖ êоэффициент
перенес➻м
akвлево✿
ak=
k2+ 1
ak= (−1)
a
1 +
k
2
k
(−1)
1
2
k
eπ− e
k
eπ− e
k
= (−1)
k2π
−π
k2π
−π
π
Z
1
−
1
2
k
π
−π
1
ak.
2
k
excos kxdx =
ak✳ ➶ыразим åãî✱ äëÿ этого
1
−
ak,
2
k
−π
eπ− e
k
k2π
= (−1)
eπ− e
k
,
−π
.
k2+ 1π
❮àéä➻ì êоэффициенты
π
Z
1
bk=
exsin kxdx =
π
−π
= −
1
excos kx
kπ
bk✳
(
u = ex, dv = sin kxdx,
du = exdx, v = −
π
+
−π
➶оспользуåìñÿ òåì✱ ÷òî çíàчение интеграла
óæå вычислено ✖ ýòî êоэффициент
bk= −
1
excos kx
kπ
✸✽
1
kπ
Z
−π
ak✳
π
−π
π
excos kxdx.
1
ak=
+
k
1
cos kx
k
1
π
)
π
Z
excos kxdx
−π
=
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
1
= −
kπ
= (−1)
eπcos kπ − e−πcos kπ+
−π
eπ− e
= (−1)
kπ
k
−π
eπ− e
k
kπ
kπ
−
+ ( − 1)
−π
2
k
k2+ 1
= −(−1)
eπ− e
k
− 1 +
= (−1)
1
(−1)
k
eπ− e
k
k2+ 1kπ
1
k2+ 1
k+1
k
−π
keπ− e
−π
eπ− e
k2+ 1π
=
=
k2+ 1π
−π
=
.
Полученные êоэффициенты ïîäñòàâèì â ðÿä Фурье ✭✶✳✾✮✿
f(x) = ex∼
eπ− e
2π
−π
+
∞
X
k=1
(−1)
k
−π
eπ− e
k2+ 1π
cos kx − k sin kx.
❒û получили разлоæåíèå функции â ðÿä Ôóðüå✳ Сумма ðÿ✲
äà
S(x)
внутри интервала
рывности ñ функцией
f(x)
(−π, π)
✿
совпадает âî âñåõ òî÷êàõ непре✲
S(x) = f(x) = ex, x ∈ (−π, π).
Функция
S(x)
являетсÿ2π✕периоäическîé✳ Ïî теореме ➘è✲
рихле â òî÷êàõ разрыва сумма ðÿäà равна среднему арифметиче✲
ñêîìó çíà÷åíèþ пределов функции
f(x)
слева è справа✿
➹рафик суммы
❰òâåò✿
f(x) ∼
S(x)
eπ− e
2π
e−π+ e
π
.
2
изображåí íà ðèñ✳ ✶✵✳
∞
−π
+
X
(−1)
k=1
eπ− e
k
k2+ 1π
−π
cos kx−k sin kx✳
✸✾
Ðèñ✳ ✶✵
Пример✳
Ðешение✳
âèÿì ➘ирихле✳ ➹рафик ïåðèîдически ïðîäîëæенной ôóíêöèè èçîá✲
ðàæåí íà ðèñ✳ ✶✶✳
❮айдем êоэффициенты Фурье ïî формуëàì ✭✶✳✶✵✮✳
Ðàçëîæèòå â ðÿä Фурье функцèþ
(
f(x) =
❮à интервале
2, −π < x < 0,
π − x, 0 < x < π.
[−π, π]
Ðèñ✳ ✶✶
функция óдовлетворÿåò óñëî✲
✹✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]