Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
b3=
b5=
➹ëàâà ✷✳
π
Z
2
sin5x sin 3xdx = −
π
0
π
Z
2
sin5x sin 5xdx =
π
0
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
5
,
16
1
.
16
❰ñòалось записать разлоæåíèå â ðÿä Фурье✿
sin5x = b1sin x + b3sin 3x + b5sin 5x =
=
5
sin x −
8
5
sin 3x +
16
1
16
sin 5x.
❰òâåò✿
Пример✳
16 sin5x = 10 sin x − 5 sin 3x + sin 5x.
Ðàçëîæèòå функцию
f(x) = sin4x
íà отрезкå
[−π, π]
â ðÿä Фурье✳
Ðешение✳
Функция
f(x)
внутри[✕
π, π]
непрерывна è êóñî÷✲
но✕монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘ирихле✳
➬аметим✱ ÷òî
äóò толькî êосинуñû✱ ò✳å✳
sin4x
четная✱ ïîэтому â разлоæåíèè ðÿäà Фурье áó✲
bn= 0
✳
✃оэффициенты
π
Z
2
an=
равны íóëþ äëÿ âñåõn✱ кроме
✃оэффициенты
a0✱
a0=
sin4x cos nxdx
π
0
n = 2✱n = 4
a2✱
a4равны✿
π
Z
2
sin4xdx =
π
0
✳
3
,
4
✼✶
π
a2=
a4=
Z
2
sin4x cos 2xdx = −
π
0
π
Z
2
sin4x cos 4xdx =
π
0
1
,
2
1
.
8
❰ñòалось записать разлоæåíèå â ðÿä Фурье✿
sin4x =
❰òâåò✿
a
0
+ a2cos 2x + a4cos 4x =
2
8 sin4x = 3 − 4 cos 2x + cos 4x.
3
8
−
1
cos 2x +
2
1
cos 4x.
8
➓✸✳ Приближåíèå функций
тригонометрическими многочленами
Приведем îäíó èç важнейших теорем теории àïïðîêсимации
✖ теорему ➶ейерштрасса î приближåíèè непрерывной функции
тригонометрическими многочленами✳
Òеорема
дической функции
тригонометрическиé ïîëèíîì✾T (x)
✭➶ейерштрасса✮✳
f(x)
è äëÿ любого
➘ëÿ любой непрерывной перио✲
ε > 0
можно найти òàêîé
✱ ÷òî
|f(x) − T (x)| < ε, x ∈ R.
Существуåò ìíîãî äîêазательств ýòîé теоремы✳ Привед➻м
îäíî èç íèõ✳
➘îêазательство✳
➬íà÷èò✱ íà интервале
Ïî óсловию функциÿ
[−π, π]
существуåò òàêîåδ✱ ÷òî åñëè выпол✲
f(x)
непрерывна✳
✾
многочлен
✼✷
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
няетсÿ
ãäå
➶ыберемmòàê✱ чтобы
çîê
öèåé
ляетсÿ линейной íà êаждом отрезкå
˜
f(x)
˜
f(x)
|x2− x1| ≤ δ
x1✱
x2✖ любые точки èç интервала
Ðазобьем отрезок
−π = x0< x1< x2< ... < x
[−π, π]
✱ áûëè довольно маленькими✳
Построим непрерывную ôóíêöèþ˜f(x)
f(x)
â òî÷êàõ
✱ òî
|f(x2) −f (x1)| <
[−π, π]íàm
2π
< δ
m
xk=
✱ ò✳å✳ части✱ íà êоторые разбит îòðå✲
kπ
✱
k = 0, ±1, ±2, ..., ±m
m
ε
,
2
[−π, π]
✳
îäèíàêîâûõ частей✿
< xm= π.
m−1
✱ совпадающую ñ ôóíê✲
✱ è êоторая ÿâ✲
[xk, x
]
✳ ➹рафик функции
k+1
предстàвляет собой ломаную линию✳ Ïðîдолжим функцию
периодически íà âñþ числовую îñü✳ Ïðîäîëæåíèå˜f(x)
åòñÿ2π✕периодическîé функцией✳ ➮ç óсловия ✭✷✳✷✮ следуåò
f(x)
ε
,
2
è˜f(x)
ýòî справедливо äëÿ
|f(x) −˜f(x)| <
è â ñèëó периоäè÷íîñòè функцèé
любых
x ∈ R
✳
Ñîãласно следствию èç теоремы ➘ирихле ✭ñòð✳ ✷✽✮ ðÿä Ôó✲
ðüå ломаной линии˜f(x)
ñõîäèòñÿ равномерно ê ïîðîждающей åãî
функции✳ Ýòî îçíà÷àåò✱ ÷òî íàéä➻òñÿ òàêàÿ частичная сумма
ðÿäà Фурье ôóíêöèè˜f(x)
✭✷✳✷✮
ÿâëÿ✲
Sn(x)
n
X
a
0
+
Sn(x) =
2
(akcos kx + bksin kx)
k=1
ñ äîñòаточно большим номеромnòàêèì✱ чтобы выполнялось
|˜f(x) − Sn(x)| <
ε
, x ∈ R.
2
✭✷✳✸✮
✼✸
÷èì åãî
Òàê êàê
T (x)
Sn(x)
✖ ýòî тригонометрический полином✱ îбозна✲
✳ Получим✿
|f(x) − T (x)| = |f(x) − Sn(x)| = |f (x) − Sn(x) ±˜f(x)| =
=
(f(x) −˜f(x)) + (˜f(x) − Sn(x))
≤ |f (x) −˜f(x)| + |˜f(x) − Sn(x)| <
=|a + b| ≤ |a| + |b|≤
ε
ε
+
2
= ε.
2
Òеорема äîêазана✳
➬амечание✳
òàê✿
функцию✱ удовлетворяющую óñловиям теореìû ➶ейерштрàñ✲
➘îêазаннóþ теорему ìîæíî сформулировать
ñà✱ можно ðàâíîмерно аппроксимировать✶✵тригонометрическиì
многочленоì
✭✷✳✸✮
ñ любой наперед заданной точностью✳
➓✹✳ Óлучшение ñõîдимости ðÿäîâ Фурье
➶ прилоæениях наиболее óдобны тригонометрические ðÿäû
ñ быстро убывающими êоэффициåíòàìè✳ ➶ случае приближåíèÿ
функций òакими ðÿäàìè ÷åì быстрее убывают êоэффициенты✱ òåì
меньше íåîáõîäèìî брать членов ðÿäà â соответствии ñ заданной
степенью точности✳ Ýòî связано ñ òåì✱ ÷òî ïðè äîñòаточно áûñò✲
ðîì стремлении ê íóëþ êоэффициентов Фурье íåñêîëüêî первых
членов ðÿäà определяют поведение ðÿäà✱ à сумма âñåõ îñòàëüíûõ
членов ðÿäà áóäåò ìàëî ïî сравнению ñ первыми ñëàãаемыми✳
Ñóòü ïðîöåññà состоит â следующем✳
Ðассмотрим сумму òðèãîíîметри÷åñêîãî ðÿäà
∞
X
a
S(x) =
0
2
❮åîáõîäèìî èç этого ðÿäà выделиòü другой ðÿä✱ сумма
(akcos kx + bksin kx).
+
k=1
✭✷✳✹✮
ϕ(x)
êоторого известна ✭ò✳å✳ записываетсÿ аналитическîé формуëîé✮✳
✶✵
приблизить
✼✹
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Ïðè ýòîì функции
S(x) = ϕ(x) +
S(x)èϕ(x)
a
0
+
2
должны áûòü связаны равенством✿
∞
X
(akcos kx + bksin kx)
k=1
✭✷✳✺✮
è êоэффициенты ðÿäà ✭✷✳✺✮ äîñòàòî÷íî быстро óáывают✳
➴ñëè òàêîé выбор функции
S(x)
ìîæåò áûòü заменена
димость ðÿäà
✭✷✳✹✮
ϕ(x)
улучшена
ϕ(x)
возмоæåí✱ òî сумма ðÿäà
è â ýòîì случае говорÿò✱ ÷òî
✳
ñõî✲
Óлучшить ñõîдимость òðèãîíîìåòðическîãî ðÿäà ìîæíî íå✲
ñêолькимè способами✳ ❰ñòановимсÿ ïîдробнее íà îäíîì èç íèõ✳
Ýòîò способ основан íà использовании ñîîòíîøåíèÿ áåñêî✲
нечно малых величин ✭ñì✳ ❬✹✱ ñòð✳ ✷✺✻✱ ✸✶✽❪✮✳ ➚ именно✱ разность
äâóõ эквивалентных áåñêонечно малых величин åñòü áåñêонечно
малая áîëåå высокîãî ïîðÿäêà✱✶✶÷åì êаждая èç íèõ✳
Пример✳
Ðешение✳
эквивалентны величине
❮апомним✱ ÷òî åñëè
эквивалентными бесконечно малыми
Óлучшите ñõîдимость ðÿäà
∞
X
S(x) =
(−1)
k=2
✃оэффициенты ðÿäà
1
∗
b
=
✳
k
k
α(x)
lim
x→a
β(x)
k
k
k3− 1
= 1
2
sin kx.
bk=
✱ òî
✳
2
k
k3− 1
ïðè
α(x)èβ(x)
k → ∞
называют
Проверим â нашем случае✳
✶✶
➴ñëè
высокого порядка
lim
x→a
α(x)
β(x)
lim
k→∞
b
k
= lim
∗
k→∞
b
k
= 0
✱ òî говорÿò✱ ÷òî
✱ ÷åì
β(x)
k
k3− 1
✳
2
1
:
= lim
k→∞
k
α(x)
✖ áåñêîíå÷íî малая âåëичина
3
k
k3− 1
= 1.
áîëåå
✼✺
Ðассмотрим разность êоэффициентов
bk− b
∗
k
=
2
k
k3− 1
−
k3−k3− 1
1
=
k
kk3− 1
bk− b
=
∗
✿
k
1
k4− k
.
Полученная áåñêонечно малая величина являетсÿ áåñêîíå÷✲
íî малой более высокî ïîðÿäêà✶✷✱ ÷åì
стремитсÿ ê íóëþ ïðè
k → ∞
✳
➬апишем èñõîäíûé ðÿä â âèäå суммы äâóõ ñëàãаемых✿
S(x) =
∞
X
k=2
(−1)
k
k
sin kx +
∞
X
k=2
Ðàíåå â ïримере íà ñòð✳ ✸✷ ìû ïîëó÷èëè✱ ÷òî
∞
x =
X
(−1)
k=1
2
k+1
sin kx, x ∈ (−π, π).
k
➘ëÿ íàøåãî представления ïðè
выражåíèå â âèäå✿
x = −2
−
x
−
= −sin x +
2
x
−
2
∞
X
k=1
∞
X
x
=
2
k=1
+ s in x =
(−1)
k
(−1)
k
∞
X
k=2
∞
X
k=2
k
k
(−1)
(−1)
∗
bkè
b
✱ ò✳å✳ îíà ✧быстрее✧
k
1
k
(−1)
k4− k
x ∈ (−π, π)
sin kx,
sin kx,
k
sin kx,
k
k
sin kx
k
sin kx.
✭✷✳✻✮
преобразуåì ýòî
✶✷
➘ëÿ ïроверки íåîáõîäèìî найти ïредел отношения
ïðè
k → ∞
✭è аналогично ê
∗
b
✮✳
k
✼✻
1
k4− k
ê âåëè÷èíå
b
k
➹ëàâà ✷✳
è ïîäñòàâèì â равенствî ✭✷✳✻✮✿
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
S(x) = −
x
+ s in x +
2
∞
X
k=2
(−1)
k4− k
k
sin kx, x ∈ (−π, π).
Òàêèì образом✱ ìû ïîдобрали ôóíêöèþ
è òåì самым óлучшилè ñõîдимость ðÿäà ✭✷✳✻✮✳
k → ∞
lim
k→∞
∞
x
❰òâåò✿
S(x) = −
Пример✳
Óлучшите ñõîдимость ðÿäà
+ s in x +
2
∞
X
S(x) =
k=1
Ðешение✳
✃оэффициенты ðÿäà
эквивалентны величине
b
k
∗
b
k
= lim
k→∞
k3+ k
k5+ k3+ k + 1
k5+ k3+ k + 1
X
k=2
k3+ k
∗
b
=
k
1
:
2
k
Ðассмотрим разность êоэффициентов
(−1)
k4− k
bk=
1
✱ ò✳ê✳
2
k
= lim
k→∞
k
sin kx, x ∈ (−π, π).
cos kx.
k5+ k3+ k + 1
bk− b
ϕ(x) = −
x
+ sin x
2
k3+ k
k5+ k3+ k + 1
3
k5+ k
∗
✿
k
ïðè
= 1.
bk− b
∗
=
k
k3+ k
k5+ k3+ k + 1
k5+ k3−k5+ k3+ k + 1
=
k5+ k3+ k + 1
Полученная áåñêонечно малая величина являетсÿ áåñêîíå÷✲
íî малой более высокî ïîðÿäêà✱ ÷åì
стремитсÿ ê íóëþ ïðè
k → ∞
✳
➬апишем èñõîäíûé ðÿä â âèäå суммы äâóõ ñëàãаемых✿
1
−
2
k
= −
k5+ k3+ k + 1
bkè
∗
b
✱ ò✳å✳ îíà ✧быстрее✧
k
=
k + 1
.
✼✼
∞
X
1
S(x) =
k=1
cos kx −
2
k
Ðàíåå â ïðèìåðå íà ñòð✳ ✺✷ ìû разлоæèëè функцию â ðÿä
Фурье✿
π
2
|x| −
2
x
4
Преобразуåì ýòî выражåíèå â âèäå✿
2
π
x
−
4
|x| +
2
è ïîäñòàâèì â ðàâåíñòâî ✭✷✳✼✮✿
2
S(x) =
π
x
−
4
2
|x| +
π
6
=
2
∞
X
k5+ k3+ k + 1
k=1
∞
2
X
π
−
6
k=1
∞
2
X
π
=
6
k=1
∞
X
−
k5+ k3+ k + 1
k=1
k + 1
cos kx
2
k
cos kx
k
k + 1
cos kx.
✭✷✳✼✮
.
2
cos kx.
Òàêèì образом✱ ìû ïîдобрали функцию
ϕ(x) =
òåì ñàìûì óлучшили ñõîдимость ðÿäà ✭✷✳✼✮✳
∞
2
X
π
−
6
k5+ k3+ k + 1
k=1
❰òâåò✿
S(x) =
2
x
π
−
4
|x| +
2
➓✺✳ ➮нтеграл Фурье
Ðассмотрим разлоæåíèå функций â ðÿä Фурье íà âñåé ÷èñ✲
ловой ïðÿìîéR✳
Ïóñòü функция
f(x)
задана íà âñåé îñè✱ à íà интервале
îíà раскладываетсÿ â ðÿä Фурье✿
∞
f(x) ∼
X
a
0
+
2
akcos
k=1
kπx
l
+ bksin
✼✽
2
x
4
k + 1
kπx
l
2
π
è
6
−
π
2
|x| +
cos kx.
[−l, l]
,
ãäå êоэффициåíòû
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Óстремим
a0=
l → ∞
l
Z
1
f(x)dx, ak=
l
−l
l
Z
1
l
−l
f(x) sin
bk=
è перейдем ê пределу â ýòèõ формуëàõ✳ ➘ëÿ
1
l
Z
−l
kπx
l
f(x) cos
dx.
l
kπx
l
dx,
справедливости предельного перехîäà îò ôóíêöèè требуåòñÿ✱ ÷òî✲
áû íåñобственный интеграл áûë êонечным✿
∞
Z
|f(x)|dx < ∞.
−∞
Ýòî óсловие называют
Òеорема✳
Пусть
àáñîлютной интегриðóåмостью
f(x)
опредеëåíà íà âñåé îñè✱ имеет êî✲
нечное ÷èñëî точек ðазрыва è âûïîлняется óñловие
✭✷✳✽✮
✭✷✳✽✮
✳
✳ Òîãäà
å➻ можно представить интегрàëîì Фурье✿
∞
f(x) ∼
Z
1
π
0
dλ
∞
Z
f(t) cos λ(t − x)dt.
−∞
✭✷✳✾✮
➘îêазательство✳
Ïîäñòàâèì формуëû äëÿ êоэффициентов
Фурье â ðÿä ✭обозна÷èì â êоэффициенòàõ переменнуюxбуквойt✮✿
f(x) ∼
1
2l
l
Z
f(t)dt +
−l
+
−l
l
Z
X
1
l
k=1
f(t) sin
∞
kπt
l
l
Z
−l
dt sin
f(t) cos
kπx
l
kπt
l
.
dt cos
kπx
l
+
✼✾
➶ûðàæåíèå ñ ñèíóñàìè è êосинуñàìè свернем ïî формуëå
êîñèíóñà разности✱ получим✿
l
Z
∞
X
k=1
−l
f(t)dt +
f(t)cos
+ sin
f(x) ∼
kπt
sin
l
1
2l
kπx
l
l
Z
f(t)dt +
−l
dt =
2l
1
l
l
Z
1
−l
Ýòî разлоæåíèå имеет место äëÿ âñåõxèç отрезкà
Перейдем ê ïðåäåëó ïðè
❰тметим✱✶✸÷òî
f(x) ∼
❰бозна÷èâ
kπ
l
l → ∞
lim
l→∞
1
lim
l→∞
π
= λ
✱ получим формуëó✶✹✭✷✳✾✮✳
1
2l
∞
X
k=1
−l
l
Z
Z
−l
✳
f(t)dt = 0.
l
f(t) cos
➶оспользуåìñÿ опять формуëîé äëÿ êосинуñà разности è çà✲
пишем интеграл Фурье â другом âèäå✿
1
l
∞
X
k=1
kπ
l
kπt
l
l
Z
f(t) cos
−l
(t −x)dt.
cos
kπx
l
kπ
(t −x)dt.
l
+
[−l, l]
✳
∞
Z
f(x) ∼
ãäå êоэффициåíòû
a(λ) =
✶✸
Ñì✳✱ íàïð✳✱ ❬✾✱ ñòð✳ ✻✼✼❪
✶✹
➘îêàзателüñòâî òîãî✱ ÷òî предел суммы â данном выражåíèè равен èíòå✲
гралу â формуëå ✭✷✳✾✮✱ âûõîäèò çà рамки ýòîé êíèãè✳
∞
Z
1
f(t) cos λtdt, b(λ) =
π
−∞
a(λ) cos λx + b( λ) sin λxdλ,
0
1
π
∞
Z
f(t) sin λtdt.
−∞
✽✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]