Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
С.В. НЕДЕЛЬКО, Г.Н. МИРЕНКОВА
РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2018
УДК 517.518.45(075.8)
Н 421
Рецензенты:
канд. пед. наук, доцент А.Н. Буров
д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев
Работа подготовлена кафедрой высшей математики
Неделько С.В.
Н 421 Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математи-
ческого анализа: учебное пособие / С.В. Неделько, Г.Н. Миренкова. – Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2018. – 62 с.
ISBN 978-5-7782-3626-4
Учебное пособие предназначено студентам технических факультетов, в программе обучения которых содержится тема «Ряды Фурье.
Преобразование Фурье». Авторами предложено доступное изложение
этой темы, достаточное для усвоения ее студентами нематематических специальностей.
В пособии сначала дается теоретический материал с пояснениями
и примерами, а затем приводятся условия задач типового расчета.
УДК 517.518.45(075.8)
ISBN 978-5-7782-3626-4 © Неделько С.В., Миренкова Г.Н., 2018
© Новосибирский государственный
технический университет, 2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................................................................................. 4
§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА ..................................... 5
1. Бесконечномерные евклидовы пространства ............................................ 5
2. Пространство L
3. Определение обобщенного ряда Фурье. Сходимость в среднем ............. 8
4. Свойства обобщенного ряда Фурье .......................................................... 10
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ ................................................... 12
1. Примеры ортогональных в L
функций ....................................................................................................... 12
2. Разложение периодических функций в ряд Фурье на промежутке
(–π, π) (период T = 2π) ................................................................................ 15
3. Разложение периодических функций в ряд Фурье на промежутке
(–L, L) (период T = 2L) ............................................................................... 19
4. Свойства тригонометрического ряда Фурье ............................................ 20
5. Спектр функции. Энергия спектра. Оценка вклада k-й гармоники
в общую энергию спектра ......................................................................... 25
6. Метод
Малиева построения быстросходящегося ряда ........................... 28
7. Примеры ...................................................................................................... 29
§ 3. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ................................................. 42
§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ................................... 46
1. Интеграл Фурье в комплексной форме .................................................... 46
2. Интеграл Фурье в действительной форме ............................................... 47
3. Преобразование Фурье (в комплексной форме) ...................................... 47
4. Некоторые свойства преобразования Фурье ........................................... 48
5. Приложения преобразования Фурье ........................................................ 52
§ 5. УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ............................................................ 56
Библиографический список ................................................................................. 61
........................................................................................... 7
2
систем тригонометрических
2
ВВЕДЕНИЕ
Французский математик Фурье (1768–1830) – один из известных
представителей математической французской школы наряду с Лагранжем и Коши. Ряды Фурье, открытые им в начале XIX века, были восприняты современниками как революция в математике. Почти весь
ХХ век ряды и преобразование Фурье были основным математическим
аппаратом радиотехники. И в настоящее время техника описывается
математическим языком с помощью преобразования и рядов Фурье.
В пособии рассмотрены обобщенный и тригонометрический ряды
Фурье и их свойства, ряды Фурье в комплексной форме, интеграл и
преобразование Фурье. Для усвоения темы требуется владеть материалом курсов математического анализа и линейной алгебры.
Напомним отдельно некоторые способы приближения функций,
которые потребуются далее при
странства L
1. Локальное приближение – приближение функции в окрестности некоторой точки. Обычно требуется совпадение значений функции
и ее производных с соответствующими значениями приближения
функции в точке. Реализуется локальное приближение с помощью рядов Тейлора.
2. Равномерное приближение. При этом способе требуется, чтобы
погрешность
лости. За критерий близости принимается наибольшее уклонение, максимум модуля разности между данной функцией и ее приближением.
При интерполяции приближение в виде многочлена совпадает с
функцией в нескольких данных точках (узлах интерполяции). Математическим аппаратом являются интерполяционные многочлены, например
, Ньютона и Лагранжа.
3. Приближение в среднем (по среднеквадратичному отклоне-
нию). В роли математического аппарата выступают ряды Фурье. Требуется минимизировать квадрат модуля разности между функцией и ее
приближением.
и рядов Фурье, а также при рассмотрении свойств рядов.
2
во всех точках имела примерно один и тот же порядок ма-
определении функционального про-
4
E
xE
x
x
x
x
x
E
E
E
E
E
E
E
x
§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ
И ЕГО СВОЙСТВА
1. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Вспомним определение n-мерного евклидова пространства.
Определение. Евклидово пространство
странство, в котором введено скалярное произведение элементов (векторов) пространства.
Основными операциями в линейном пространстве являются сло-
жение элементов и умножение элементов на числа.
Определение.
Скалярным произведением элементов
называется вещественное число, которое ставится в соответствие
и
y , обозначается (, )xy и удовлетворяет следующим четырем акси-
омам:
(, ) (, )
1)
2)
3)
yyx ;
( , ) ( , ) ( , )
yz xz yz ;
(, ) (, ),
yxy K (K – числовое поле); (1)
– это линейное про-
n
yE
,
n
n
(, ) 0, если 0;
xx x
4)
Элементы
В геометрических векторных пространствах
(, ) 0, если 0.
xx x
и y называются ортогональными, если (, ) 0xy.
,
,
2
3
ортогональ-
1
ность означает перпендикулярность векторов.
Норма вектора в пространстве
(в пространствах
n
,
,
1
2
3
это длина вектора) вводится следующим образом:
(, )
xx . (2)
5
Метрика (в геометрии расстояние между элементами
x
x
x
E
x
x
x
x
x
f
деляется как
y .
и y ) опре-
Основным понятием любого линейного пространства является базис, т. е. система максимального числа линейно независимых векторов.
Любой вектор (элемент) пространства можно однозначно разложить
по базису, т. е. представить в виде линейной комбинации базисных
векторов:
в
, где
n
e – базис,
i
n
xe
i
– координаты, n – размерность прост-
i
(3)
ii
1
ранства.
В ортогональном базисе (векторы
В ортонормированном базисе (
xe . (4)
i
ii
e попарно ортогональны)
i
(, )
e
i
2
i
1
e
) получаем
i
(, )
xe
. (5)
Объектом изучения алгебры являются конечномерные (n-мерные)
линейные пространства с конечными базисами. Например, у полинома
()
Px a ax ax базисными будут степени :1, , ,
nn
координатами –
01
aa a .
01
Для бесконечномерных пространств (
n
,,,
xx , а
n
n ) вопросы выбора ба-
n
зиса и разложения вектора по базису – более сложная задача. Функции,
в отличие от полиномов, представляются в виде бесконечных
рядов.
Можно показать, что функциональные пространства являются бесконечномерными. Элементы таких пространств – функции, а базис в
них – это полная бесконечномерная система линейно независимых
()
функций
. Понятие полноты будет уточнено далее.
k
Представим (формально) функцию рядом
() ()
xcx
kk
k
1
6
.
Если этот ряд сходится к ()
f
x
f
f
f
f
f
R
f
f
()
базису
. Ниже будут рассмотрены различные виды сходи-
k
x , то говорят, что ()fx разлагается по
мости.
Фактически с разложением функции по базису мы уже встречались
()
k
xxx
при изучении ряда Тейлора
()
k
()
x
ck есть коэффициенты ряда, а
k
0
!
() ( )
k
()
()
fx
0
k
!
0
k
xx – базис.
0
0
k
. Здесь
2. ПРОСТРАНСТВО
Определение.
непрерывных на
1. Обозначим через 2L множество всех кусочно-
, ab
функций таких, что
2. Определим скалярное произведение на
b
() , ()
xL gxL ( , ) ( ) ( )
22
3. Норма в
L есть
2
gfxgxdx
a
(, ) ()
ff f xdx
L
2
b
2
()
fxdx.
a
L
следующим образом:
2
.
1
b
2
a
2
, 0f при
0f .
Легко проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произве-
L
дения, привычного для геометрических векторов. Норма в
аналог длины геометрических векторов, которая в
1
n
xx
i
2
2
. Нетрудно убедиться из свойств интегралов, что норма
i
1
есть
2
равна
n
удовлетворяет аксиомам:
0
1)
2)
fL
, при этом
2
fRfL
,
00ff
;
2
;
7
3)
f
E
E
f
E
E
f
x
f
f
gfgfgL
В пространствах
,
,
для геометрических векторов третья акси-
2
3
(неравенство Минковского).
2
ома есть классическое неравенство треугольника.
b
Ортогональность в пространстве
()
x и ()gx – ортогональные функции. Ортогональность функций
L , как и в других функциональных пространствах, не означает пер-
в
2
L означает: ( ) ( ) 0
2
fxgxdx
a
пендикулярности графиков этих функций, это верно для геометрических векторов в пространствах
и
2
.
3
Множество кусочно-непрерывных функций образует линейное
функциональное пространство. Поскольку в этом линейном про-
странстве введено скалярное произведение,
образом, пространство
L – бесконечномерное евклидово простран-
2
L – евклидово. Таким
2
ство (оно является частным случаем так называемых гильбертовых
пространств).
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЯДА ФУРЬЕ.
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
Пусть
стема функций, т. е.
()
xL и пусть
2
(, )0, ,
km
(, ) 0.
kk k
()
, 1, 2, . . .k – ортогональная си-
k
km
2
Пусть эта система функций
линейно независима и образует базис, по которому можно разложить
x , т. е.
()
() ()
xcx
Частичная сумма ряда есть
kk
1
k
() ()
Px c x
nkk
. (1)
n
1
k
.
Разложение функции в какой-либо ряд применимо при решении
реальных инженерных задач тогда только, когда ряд сходится. Суще-
8
ствует несколько видов сходимости рядов, таких как поточечная, рав-
f
f
x
x
x
x
xx
x
x
f
x
номерная, сходимость в среднем. Сходимость ряда (1) будем понимать
как сходимость в среднем.
Определение. Говорят, что ряд (1) сходится к функции ()
среднем
, если среднеквадратичное отклонение
x в
b
fP fx c x dx
2
nkk
a
n
() () 0
1
k
Если (2) выполнено для любой функции
()
функций
()
k
системе
означает, что при присоединении какой-либо функции ()
k
называется полной. Полнота системы функций
k
()
система функций
2
(), ()
k
при n . (2)
()
xL
, то система
2
к
станет линейно зави-
симой.
Система функций
()
является полной, если не существует
k
ненулевого элемента пространства, ортогонального всем базисным
элементам
()
одновременно.
k
Замечание. Существуют другие определения полноты системы
функций. Здесь приведено наиболее простое для понимания.
Доказательство полноты системы функций является более сложной
задачей, чем доказательство их ортогональности, и в пособии не приводится, поскольку относится к курсу функционального анализа.
Найдем коэффициенты
получим (, ) ( , )
fc . Следовательно,
kkkk
(, ) (, )
c
ff
k
(, )
c из (1). Умножим скалярно (1) на
k
kka
:
kk
b
() ()
xxdx
2
k
k
b
2
()
k
a
. (3)
dx
и
k
1
Если
() ()
, т. е. система является ортонормированной, то
k
b
cfxxdx. (4)
kk
a
9
Определение. Обобщенным рядом Фурье называется разложе-
f
x
x
f
f
f
()
ние (1) произвольной функции
()
системе функций
, если сходимость ряда понимается как схо-
k
димость в среднем, а коэффициенты
c
циенты
называются коэффициентами обобщенного ряда Фурье.
k
xL
по полной ортогональной
2
c
определяются из (3). Коэффи-
k
4. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОГО РЯДА ФУРЬЕ
Пусть
из (3), тогда
щенный многочлен
()
– ортонормированная система, kc определяются
k
n
() ()
Px c x
nkk
k
1
() ()
Qx x
nkk
– многочлен Фурье. Рассмотрим обоб-
n
k
1
, где
не являются коэффици-
k
ентами Фурье.
Свойство 1. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
ТЕОРЕМА. Среди всех обобщенных многочленов n-го порядка
наилучшее среднеквадратичное приближение функции
, ab дает многочлен Фурье, т. е.
fQ при
2
n
min
()
xL
c .
kk
Доказательство
bb
QfxQxdxfxfxQxQxdx
nn nn
() () () 2 () () ()
aa
bb
22
() 2 () ()
fxdx xfxdx
aa
22
nn
kk
11
22
kk k
2
на
b
2222
() 2
xdx c c c
a
nnnn
kk k k k
kkkk
1111
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]